Systèmes et asservissements linéaires échantillonnés Frédéric Gouaisbaut LAAS-CNRS Tel : 05 61 33 63 07 email : fgouaisb@laas.fr webpage: www.laas.fr/ fgouaisb, fredgouaisbaut.free.fr February 28, 2008
Sommaire 1 Introduction Origines Problématique 2 Les signaux discrets Transformée en Z Théorème de Shannon 3 La modélisation des systèmes linéaires discrets Définition des systèmes linéaires discrets Un système vu comme un produit de convolution Les équations aux récurrence La Fonction de transfert en Z La Fonction de transfert échantillonnée
Origines - Depuis 30 ans, commandes implantées sur un calculateur numérique. - Mode de régulation appelée numérique par opposition à la commande analogique. - En général, processus continu (variables évoluant d une maniére continue), exemples : avion, lanceur, dirigeable, etc... - Systèmes intrinsèquement discrets (économie, finance...) Pour/contre - Souplesse d emploi, précision, insensibilité aux bruits, fiabilité. - Pertes de performances dynamiques, problèmes de compatibilité, nécessité des conversions analogiques, numériques. Utilisation des commandes continues : discrétisation Théorie appropriée à la nature numérique
Principe de la régulation numérique - Processus à asservir :généralement à temps continu. Algorithme de résolution implanté sur un calculateur numérique qui va réaliser une commande numérique (suite de nombre cadencée àune periode d echantillonnage). C.A.N : Echantillonnage des variations mesurées sur le processus continu, transmis au calculateur. C.N.A : transforme le signal discret en signal continu (transmis au processus continu).
Exemple Example Soit le système G(p) = 23 p+23 asservi par l intermédiaire d un correcteur intégral K(p) = 1 p. La loi de commande à concevoir est ainsi u(t) =ɛ(t). Celle ci est soit réalisée de manière analogique à l aide d A.O., soit réalisée par l intermédiaire d un calculateur.dans ce dernier cas, on discrétise la loi de commande en choisissant que u(t) = u(t) u(t T ) T. Nous obtenons alors les différentes courbes de simulation: 1.4 1.2 commande numerique T=0.5 1.4 1.2 commande numerique, T=0.5 amplitude 1 0.8 0.6 0.4 commande numerique T=0.1 amplitude de la commande 1 0.8 0.6 0.4 commande numerique, T=0.1 commande analogique commande analogique 0.2 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 temps 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 temps
Exemple Problème du choix de T Problème du choix de la méthode de discrétisation du correcteur. D une manière plus générale, problème de la synthèse de correcteurs adaptés au numérique. Problème du mélange entre les signaux discrets et continus. Conséquence sur les réponses temporelles, sur les performances du système asservi.
différentes architectures modèle dynamique à temps continu : horloge r(t) + _ e(t) CAN e(k) calculateur u(k) CNA (B0Z) u(t) procédé continu y(t) régulateur modèle dynamique à temps discret (échantillonné) horloge r(k) + e(k) procédé _ calculateur u(k) CNA u(t) y(t) CAN y(k) (B0Z) continu procédé discrétisé
Définitions d un signal analogique Fonction de f : R R. x : { R R t x(t) f(t) t
Définitions d un signal discret Un signal discret correspond à un signal qui ne prend des valeurs que pour des instants discrets, c est à dire en des points distincts. { I R x : i x(i) où I est un ensemble prenant des valeurs discrètes I = {1, 2, 3, 4, 5, 6...} ou I = {1.1, 3.3, 5.5, 7.7, 9.9,...}. Remarquons que ce signal n est pas défini pour des valeurs différentes de t k.
Définitions d un signal échantillonné Signal continu observé à des instants discrets I = {t k, k N}, on obtient un signal discret. Dans ce cas, on parle plutôt de signaux échantillonnés, c est à dire provenant de l échantillonnage d un signal continu. f(t) Un signal échantillonné :l observationà des instants discrets f : t k, k Z Rde signaux continus. Signal discret { N R x e : i x(t i )=x i t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t
Les instants discrets sont appelés instants d échantillonnage. En général, la durée entre 2 instants d échantillonnage est constante: t k+1 t k = T où T est appelée période d échantillonnage. Dans la suite du cours, on considèrera ainsi que t k = kt et on notera sans ambiguité x(t k )=x(kt )=x(k) =x k
Description temporelle des signaux discrets Par convention l échantillonnage d une impulsion est défini par le poids de l impulsion. Ainsi, par exemple : l échantillonnage de x(t) =x k0 δ(t t k0 ) avec δ(t t k0 ), la distribution de Dirac à l instant t k0 donne : x k = x k0 δ(k k 0 ) avec δ(k k 0 )=0sik k 0 et δ(k k 0 )=1sik = k 0 x k x k0 0 1 23 k 0 k
Description temporelle des signaux discrets Un signal discret quelconque peut donc être représenté par une suite d impulsion : {x k } = + k=0 x i δ (k i) = + k=0 (x i x i 1 )Γ (k i) avec Γ(k i) =0sik < i et Γ(k i) =1sik i
La transformée en Z Definition La description qui utilise la transformée en z est équivalente pour les signaux discrets à la représentation fréquentielle (basée sur la transformée de Laplace) utilisée pour les signaux continus. Elle est parfois appelée par abus de language représentation fréquentielle. Definition La transformée en z du signal discret x k (ou x(kt )) est notée Z(x k ) et est définie par : Z(x k )= + k=0 x k z k
Description d un signal échantillonnée u(t) u*(t) u(t) t T CAN u*(t) 0 T kt t 1 La suite u k correspond au signal u (t) (échantillonné deu(t) àla période T )etestdéfini par: u (t) =u(t)δ T (t) = + k=0 u(kt )δ(t kt ) 2 Sa transformée de Laplace s écrit : U (p) =L[u (t)] = 3 En posant z = e Tp on reconnaît la Transformée en z : + U(z) = u(kt )z k + k=0 u(kt )e ktp
Théorème de Shannon Theorem (Théorème de Shannon) Un signal continu u(t) de fréquence maximale f 0 est équivalent àsa représentation échantillonnée si la fréquence d échantillonnage f e est le double de f 0. La pulsation ω N = 2π f e est appelée pulsation de Nyquist. f e 2f 0
Utilisation du théorème de Shannon Remarque Pour que l observation échantillonnée d un signal soit significative, il est nécessaire que la fréquence d échantillonnage soit suffisamment élevée. En effet, si la période d échantillonnage est trop élevée, l information contenue dans le signal analogique peut être irrémédiablement détruite. Remarque En pratique, on préfère un rapport de fréquence, au moins supérieur à10 entre la fréquence d échantillonnage et la fréquence de coupure du signal analogique. En temporelle, on choisira une période d échantillonnage au moins 10 fois inférieure au temps de monté du signal analogique.
Quelques définitions Definition Un système est dit discret ssi ces entrées et ses sorties dont discrets. Il est dit dynamique si la valeur de la sortie y(k) dépend non seulement de l entrée à l instant k mai aussi des valeurs passées de l entrée. (possiblement des valeurs futures) Definition Un système est dit linéaire si celui ci respecte les propriétés de linéarité et de superposition. Definition UN système discret est dit causal si sa sortie y(k) autempskt ne dépend que des valeurs prises par l entrée pour des instants inférieures à kt
Exemples Example Soit l intégrateur numérique : y(k +1)=y(k)+u(k)T ou y(kt + T )=y(kt )+u(kt )T Ce système définit un système discret linéaire, causal.
La réponse impulsionnelle Soit l impulsion unité défini par : { 1 si k =0 δ(k) =δ k = 0 sinon On définit par ailleurs l impulsion de Dirac à l instant k 0 par δ(k k 0 )=δ k k0 = { 1 si k = k0 0 sinon Definition La réponse d un système discret à une impulsion unité injectée à l instant k 0 est appelée réponse impulsionnelle et est notée g(k, k 0 )=g(kt, k 0 T ) On peut remarquer que la réponse impulsionnelle est une suite qui dépend de deux variables, la première concerne le temps d observation du signal. La seconde concerne l instant d application de l impulsion unité.
Example Soit l intégrateur numérique : ou y(k +1)=y(k)+u(k)T k 1 y(k) = u(i)t { 1 si i = k0 si y(0) = 0. Or u(i) = et donc nous obtenons 0 sinon { T si k k0 +1 g(kt, k 0 T )= 0 sinon i=0
Stationnarité d unsystème linéaire discret Definition Un système est dit stationnaire si g(kt, k 0 T )=g(kt + dt, k 0 T + dt ) On peut alors montrer que la réponse impulsionnelle peut s écrire g(kt, k 0 T )=g(kt k 0 T )=g(k k 0 )
Theorem Soit un système discret, linéaire, causal, stationnaire, alors sa sortie s exprime comme un produit de convolution entre l entrée et sa réponse impulsionnelle y(kt )= k u(lt )g(kt lt ) l=0 Example Calculons la réponse d un intégrateur numérique : or y(kt )= k u(lt )g(kt lt ) l=0 g(kt lt )= { T si l k 1 0 sinon et donc y(kt )= k 1 u(lt )T On retrouve bien la formule de l intégrateur.
Les équations récurrentes Modéliser : établir un modèle mathématique reliant les entrées et les sorties d un système. {u k} Σ {y k} Discret Definition Un système linéaire à temps discret peut être décrit par un ensemble d équations récurrentes, définit comme suit à l ordre n (m n, lessorties dépendent uniquement des évemements passés) : a n y (k) + a n 1 y (k 1) + + a 0 y (k n) = b m u (k+m n) + + b 0 u (k n)
Formulation adaptée au calcul numérique Remarque Le système peut être entièrement défini et l équation récurrente peut être résolue si l on précise les condtions initiales : y 0, y 1,, y n 1, u 0,, u m 1 Exemples k 0 1 - Intégrateur : y k = y k 1 + Tu k 1 y k0 = y 0 + u k T - Retard pur : y k = u k d k=0
La fonction de transfert Propriétés des transformées en Z - Linéarité : Z(ax k + by k )=ax (z)+by (z), a, b R - Retard : Z(x (k 1) )=z 1 Z(x k ) Généralisation : Z(x (k r) )=z r Z(x k ) - Avance : Z(x (k+1) )=zx (z) zx 0 - Théorème de la valeur initiale : lim z X (z) =x 0 - Théorème de la valeur finale : lim (z 1)X (z) =x z 1 - Théorème de la somme : x(k) = lim X (z) z 1 - Convolution discrète : Z( x (i) y (k i) )=X(z)Y(z) 0 i=0
D efinitions de la fonction de Transfert en Z Equivalent de la fonction de transfert en continu. Y (z) =Z[y Opérateur retard : z, transformée en z : k ] U(z) =Z[u l ] u(k) Suite recurrente y(k) Z U(z) F(z) Y(z) y k y k i u l u l j Y (z) z i Y (z) U(z) z j U(z) En appliquant le théorème de convolution : Y (z) =F (z)u(z)
Le lien entre la fonction de transfert et l équ. récu. Rappel Eq. Rec. a n y (k) + a n 1 y (k 1) + + a 0 y (k n) = b m u (k+m n) + + b 0 u (k n) Transformée en z : a n Y (z)+a n 1 Z(y (k 1) )+ +a 0 Z(y (k n) )=b m Z(u (k+m n) )+ +b 0 Z(u (k n) ) et donc (a n + a n 1 z 1 + + a 0 z n )Y (z) =(b m z m n + + b 0 z n )U(z) Fonction de transfert en z : Fonction de transfert en z 1 : F (z) = Y (z) U(z) = b mz m + + b 0 a n z n + + a 0 F (z) = Y (z) U(z) = b mz m n + + b 0 z n a n + + a 0 z n
Introduction T y*(t) u(t) U(p) T u*(t) U*(p) G(p) Y*(p) y(t) Y(p) La sortie : Y (p) =G(p)U (p) = G (p) + k=0 + u (kt ) e (kt )p = G (p) u (kt ) z k Problème pour manipuler cette expression avec àlafoisdesp et des z Théorème de convolution discrète y(t) =$ 1 [Y (p)] = + k=0 u(kt )g(t kt ) et aux instants d échantillonnage : + y(nt )= u(kt )g((n k)t ) k=0
F.T. Echantillonnée Remarque : - Fonction de transfert : G (p) - Réponse impulsionnelle : g(t) =L 1 [G (p)] - Fonction de transfert discrète : Utilisation du Théorème de Shannon G (z) =Z[L 1 [G (p)]] Recommandation : f e =6à24foisf c, f c étant la fréquence coupure du procédé. Exemple : G(p) = 1 1+τp Fréquence de coupure : f c = 1 2πτ 6 2πτ < 1 T < 6 24πτ
Conv. Numérique Analogique (C.N.A) - Bloqueur d ordre 0 1 Le signal fourni par le calculateur est un signal en escalier. 2 Le système commandé par l intermédiaire d un échantilloneur bloqueur. 3 Le but : conserver l information du signal pendant une période. La fonction de transfert B 0 (p) du bloqueur d ordre 0 représente la transformée de Laplace de sa réponse impulsionnelle. Soit Γ(t), un échelon de position unitaire : B 0 (t) =Γ(t) Γ(t T ), (B 0 (t) =δ(t) δ(t T )) B 0 (p) = 1 e Tp p Représentation en z : B 0 (z) =1 z 1 = z 1 z
Conv. Numérique Analogique (C.N.A) uk u(t) uk B (p) 0 u(t) 0 1 2 3 4 5 k 0 1 2 3 4 5 k Bloqueur d ordre 1 B 1 (p) = (1 + Tp)(1 e Tp ) 2 Tp 2 uk u(t) uk B (p) 1 u(t) 0 1 2 3 4 5 k 0 1 2 3 4 5 k
Fonction de transfert : bloqueur+processus B (p) 0 G(p) T Y*(p) U*(p) U(p) Y(p) Z [B 0(p)G(p)]=G(z) [ ] 1 e Tp G(z) =Z[B 0 (p)g (p)] = Z G(p) p G(z) =(1 z 1 )Z [ ] G(p) p = z 1 z [ ] Z G(p) p
Exemple u k B (p) 0 1 p(p+1) G(z) =Z[B 0 (p)g c (p)] = z 1 [ ] Gc (p) Z z p décomposition en éléments simples G c (p) p = 1 p 2 (p +1) = 1 p + 1 p 2 + 1 p +1 Utilisation d un tableau de transformées élémentaires G(z) = z 1 [ z z z 1 + Tz ] (z 1) 2 + z z e T ) G(z) = K(z b) (z 1)(z a), K = e T 1+T, a = e T, b =1 T (1 e T ) e T 1+T T y k
Composition de F.T. Theorem La transformée en z d un groupement d éléments ne peut être définie qu entre deux échantillonneurs. T T T U*(p) G (p) 1 G (p) 2 Y*(p) Y (z) =G 2 (z)g 1 (z)u(z) =G (z)u(z) T U*(p) G (p) G (p) 2 1 T Y*(p) G (p)g (p)=g(p) 2 1 Y (z) =G (z)u(z) =Z[G 2 (p)g 1 (p)]u(z)