Vecteurs et applications linéaires

Vecteurs et applications linéaires (1) (1) () Vecteurs et applications linéaires 1 / 41

1 Familles de vecteurs de R n 2 Sous-espace vectoriels dans R n 3 Base d un sous-espace vectoriel (1) () Vecteurs et applications linéaires 2 / 41

Plan 1 Familles de vecteurs de R n 2 Sous-espace vectoriels dans R n 3 Base d un sous-espace vectoriel (1) () Vecteurs et applications linéaires 3 / 41

Dépendance et indépendance Définition Soit (X 1, X 2,..., X p ) une famille finie de vecteurs de R n. On dit que la famille (X 1, X 2,..., X p ) est libre si et seulement si : Si il existe λ 1,..., λ p R tels que λ 1 X 1 + + λ p X p = 0 E alors λ 1 = = λ p = 0. Aucun vecteur de la famille n est combinaison linéaire des autres (lorsque p 2). Dans ce cas, on dit que les vecteurs de la famille sont linéairement indépendants. (1) () Vecteurs et applications linéaires 4 / 41

Définition On dit que la famille (X 1, X 2,..., X p ) est liée si et seulement s il existe des scalaires λ 1, λ 2,..., λ p R qui ne sont pas tous nuls tels que λ 1 X 1 + + λ p X p = 0 E c est-à-dire si, et seulement si l un au moins des vecteurs de la famille est une combinaison linéaire des autres vecteurs de cette famille (lorsque p 2). Remarque: Si une famille est libre ou liée, il en est de même pour toutes les familles obtenues par permutation de ses éléments. (1) () Vecteurs et applications linéaires 5 / 41

Exemple: 1 Une famille à un vecteur (X ) est libre si, et seulement si, X est non nul. 2 Une famille qui contient le vecteur nul O = (0, 0,..., 0) est liée. En effet 1.X 0 + 0.X 1 + + 0.X n = 0 et les coefficients de cette combinaison linéaire ne sont pas tous nuls. 3 Dans R 3 les vecteurs e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0) et e 3 = (0, 0, 1) sont linéairement indépendants car pour tous a, b, c R, on a ae 1 +be 2 +ce 3 = (0, 0, 0) = (a, b, c) = (0, 0, 0) = a = b = c = 0. Plus généralement, dans R n, la famille (e 1,..., e n ), où le vecteur e i est le vecteur dont toutes les composantes sont nulles sauf la i-ième qui vaut 1, est libre. 4 Une famille qui contient deux vecteurs colinéaires est liée. (1) () Vecteurs et applications linéaires 6 / 41

Technique: On veut étudier si la famille de vecteurs (X 1, X 2,..., X n ) est libre ou liée. Soit λ 1, λ 2,..., λ n R tels que λ 1 X 1 + λ 2 X 2 + + λ n X n = 0 On cherche ensuite les solutions λ 1, λ 2,..., λ n. Si la seule solution possible est que les λ i sont nuls, λ 1 = λ 2 = = λ n = 0, alors la famille est libre. Si on trouve une (ou plusieurs) solution avec λ 1, λ 2,..., λ n non tous nuls, alors la famille est liée. Exercice 1 Les familles de vecteurs de R 3 suivants sont-elles libres ou liées? (u 1, u 2, u 3 ) avec u 1 = (1, 1, 0), u 2 = (1, 2, 1), u 3 = (0, 1, 1). (v 1, v 2, v 3 ) avec v 1 = (3, 2, 1), v 2 = (1, 1, 2), v 3 = (7, 4, 0). (1) () Vecteurs et applications linéaires 7 / 41

Bases de vecteurs Définition Une famille de n vecteurs (U 1, U 2,..., U n ) de R n est appelée base de R n si la matrice de cette famille est de rang n. Remarque: La famille de vecteurs (E 1, E 2,... E n ) de R n, formée de E 1 = (1, 0, 0,... ), E 2 = (0, 1, 0,... ),... E n = (0, 0, 0,..., 0, 1) est une base, appelée la base canonique de R n. (1) () Vecteurs et applications linéaires 8 / 41

Proposition 1 Une base de R n est formée de n vecteurs indépendants. 2 Une famille libre à n vecteurs dans R n est une base. 3 Une famille de vecteurs de R n est une base si et seulement si la matrice de cette famille est carrée et inversible. Définition Soit U = (U 1, U 2,..., U n ) une base de R n. La matrice P de la famille (U 1, U 2,..., U n ) est appelée matrice de passage de la base canonique à la base U. On rappelle que P est la matrice formée en mettant les vecteurs de U côte à côte dans une seule matrice. (1) () Vecteurs et applications linéaires 9 / 41

Théorème Si U = (U 1, U 2,..., U n ) est une base de R n, alors pour tout vecteur X de R n, il existe des coefficients λ 1, λ 2,..., λ n R uniques tels que X = n λ i U i = λ 1 U 1 + λ 2 U 2 + + λ n U n i=1 X s ecrit comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille U. Le n-uplet (λ 1, λ 2,..., λ n ) s appelle les coordonnées de X dans la base U. Exemple: (1) () Vecteurs et applications linéaires 10 / 41

Définition Une famille U = (U 1, U 2,..., U p ) de vecteur de R n est génératrice si tout vecteur de R n peut s écrire au moins d une façon comme combinaison linéaire des U i. Corollaire 1 Une base de R n est génératrice. 2 Une famille génératrice de n vecteurs de R n est une base. Remarque: Les familles de n vecteurs de R n ne sont pas toutes des bases. Pour une famille de n vecteurs de R n, il y a équivalence entre libre, génératrice et base. Il suffit de vérifier une des trois propriétés pour avoir les deux autres. Attention, ça ne marche qu avec n vecteurs! (1) () Vecteurs et applications linéaires 11 / 41

Technique: On étudie si une famille (V 1,..., V n ) de vecteurs de E est génératrice de E. Soit U E. On cherche λ 1,..., λ n R tels que λ 1 V 1 + + λ n V n = U Si on peut trouver au moins une solution λ 1,..., λ n sans aucune condition sur U, alors la famille (V 1,..., V n ) est génératrice de E. Si il y a des conditions sur U pour trouver des solutions λ 1,..., λ n, alors la famille (V 1,..., V n ) n est PAS génératrice de E. (1) () Vecteurs et applications linéaires 12 / 41

Exercice 2 1 La famille (u 1, u 2, u 3, u 4 ) = ( ) (1, 0, 1), (0, 1, 1), ( 1, 0, 1), (0, 2, 1) est-elle génératrice de R 3? ( ) 2 La famille (v 1, v 2, v 3 ) = (1, 2, 1), (3, 1, 2), (3, 4, 1) est-elle une famille génératrice de R 3? Exercice 3 La famille (u 1, u 2, u 3 ) = ((2, 1, 0), (0, 3, 1), (1, 1, 1)) forme-t-elle une base de R 3? Le cas échéant, donner les coordonnées du vecteur (2, 4, 1) R 3 dans cette base. (1) () Vecteurs et applications linéaires 13 / 41

Matrices de passage On rappelle que, pour une base B de R n, la matrice de passage de la base canonique vers la base B s obtient en mettant en colonne côte à côte les vecteurs de B. On obtient ainsi une matrice carrée et inversible. (1) () Vecteurs et applications linéaires 14 / 41

Proposition Soit X = x 1. x n un vecteur de R n, (x 1,..., x n ) sont les coordonnées de X dans la base canonique. Soit B = (U 1,..., U n ) base de R n de matrice de passage P. Alors X peut s écrire de manière unique comme combinaison linéaires de B : X = n i=1 x i U i, (x 1,..., x n) étant les coordonnées de X dans la base B. Si on pose X = x 1. x n, alors on a X = PX, et X = P 1 X Remarque: La deuxième égalité signifie que, pour trouver les coordonnées d un vecteur X dans une nouvelle base B, il suffit de multiplier X par l inverse de la matrice de passage de B. Exemple: (1) () Vecteurs et applications linéaires 15 / 41

On sait donc passer de la base canonique à B (grâce à P 1 ) et de B à la base canonique (grâce à P). Comment passer d une base quelconque à une autre base quelconque? On considère deux bases de R n : B de matrice de passage P et B de matrice de passage Q. Soit un vecteur X (on est donc implicitement en base canonique). Notons X B le vecteurs des coordonnées de X dans la base B et X B le vecteurs des coordonnées de X dans la base B. On veut des formules pour passer de X B à X B et inversement. D après ce qui précède, on a les relations suivantes : (1)X = PX B (2)X B = P 1 X, (3)X = QX B, (4)X B = Q 1 X On reporte (3) dans (2) et (1) dans (4) : (2)X B = P 1 QX B, (4)X B = Q 1 PX B = (P 1 Q) 1 X B On a donc des formules directes pour aller de X B à X B utilisant P 1 Q. et inversement, en (1) () Vecteurs et applications linéaires 16 / 41

Définition Soient deux bases de R n : B de matrice de passage P et B de matrice de passage Q. La matrice P 1 Q est appelée la matrice de passage de la base B vers la base B. On la note P(B, B ) = P 1 Q. Proposition Soit un vecteur X de R n, avec X B le vecteurs des coordonnées de X dans la base B et X B le vecteurs des coordonnées de X dans la base B. On a alors (2)X B = P(B, B )X B, }{{} et X B = (P(B, B )) 1 X B (1) () Vecteurs et applications linéaires 17 / 41

Proposition 1 Soient B 1, B 2, B 3 trois bases de R n. On a P(B 1, B 2 ) P(B 2, B 3 ) = P(B 1, B 3 ) 2 Toute matrice de changement de base est inversible. De plus, si B et B sont deux bases de R n, l inverse de la matrice P(B, B ) est la matrice P(B, B), autrement dit P(B, B ) 1 = P(B, B). 3 Les colonnes de la matrice P(B, B ) de passage de la base B vers la base B sont formées avec les coordonnées des vecteurs de B exprimés dans la base B. Exemple: (1) () Vecteurs et applications linéaires 18 / 41

Effet des changements de base sur les systèmes Soit AX = B un système d équation linéaires de n lignes et n inconnues (donc A est une matrice carrée). On considères une base B, et P = P(C, B) la matrice de passage de la base canonique vers la base B. On exprime X et B dans la base B : X = PX B et B = PB B, qu on reporte dans le système AX = B APX B = PB B P} 1 {{ AP} X B = B B A X B = B B A On a transformé le système AX = B en un système A X B = B B, où A = P 1 AP. On verra quand on parlera de diagonalisation l intérêt de A. (1) () Vecteurs et applications linéaires 19 / 41

Plan 1 Familles de vecteurs de R n 2 Sous-espace vectoriels dans R n 3 Base d un sous-espace vectoriel (1) () Vecteurs et applications linéaires 20 / 41

Définition Définition Un sous-ensemble (une partie) F de R n est appelé un sous-espace vectoriel (s.e.v) si F vérifie les trois propriétés suivantes : 1 O F : le vecteur nul appartient à F. 2 X, Y F, X + Y F. F est stable par addition. 3 X F, λ R, λx F. F est stable par la multiplication par un scalaire. Remarque: On peut regrouper (2) et (3) en une seule phrase : λ R, X, Y F, λx + Y F. (1) () Vecteurs et applications linéaires 21 / 41

Exemples: 1 R n est un sous-espace vectoriel de R n. 2 {O} (le sous ensemble de R n ne contenant que le vecteur nul) est un sous-espace vectoriel de R n. 3 Dans R 2, toute droite passant par l origine est un sous-espace vectoriel. Dans R 3, tout plan passant par l origine est un sous-espace vectoriel. Corollaire Un sous-espace vectoriel F de R n est stable par combinaisons linéaires. Autrement dit, on a : n N, (λ 1,..., λ n ) R n, (V 1,..., V n ) F n, λ 1 V 1 + λ 2 V 2 + + λ n V n F. (1) () Vecteurs et applications linéaires 22 / 41

sous-espace engendré par une famille de vecteurs Définition Soit F = (X 1, X 2,..., X m ) une famille de m vecteurs de R n. On appelle Vect(F) l ensemble de toutes les combinaisons linéaires des vecteurs de F : { m } Vect(F) = λ i X i, λ 1,... λ m R Proposition i=1 L ensemble Vect(F) défini ci-dessus est un sous-espace vectoriel de R n. On l appelle le sous-espace vectoriel engendré par la famille F. Remarque: Vect(F) ne dépend pas de l ordre des vecteurs de la famille F. (1) () Vecteurs et applications linéaires 23 / 41

Exemples: 1 Si F = {X } ne contient qu un seul vecteur, alors Vect(F) = {λx, λ R} est l ensemble des vecteurs colinéaires à X. C est une droite vectorielle. 2 Si X 1 = O, X 2 = O,..., X m = O alors Vect(F) = {O}. 3 Si B est une base de R n, alors Vect(F) = R n. (1) () Vecteurs et applications linéaires 24 / 41

Définition Soit F un sous-espace vectoriel de R n et F une famille de vecteurs. Si F = Vect F, on dit que la famille F engendre F, ou encore que les vecteurs de F forment une famille génératrice de F. Exemple: 1 Si B est une base de R n, comme Vect(F) = R n, alors F engendre R n. 2 La droite vectorielle {λx, λ R} est engendrée par le vecteur X. Remarque: un sous-espace vectoriel F peut avoir plusieurs familles génératrice. (1) () Vecteurs et applications linéaires 25 / 41

Sous-espace vectoriel défini par des équations Proposition Soit A une matrice de M(n, p) et (S) le système d équations linéaires AX = O (où X est le vecteur de inconnus de taille p et O le vecteur nul de taille n). Alors l ensemble des solutions de (S) forment un sous-espace vectoriel. Autrement dit, le sous-ensemble est un sous-espace vectoriel de R p. {X R p, AX = O} (1) () Vecteurs et applications linéaires 26 / 41

Démonstration. Notons S l ensemble des solutions du système (S). Le vecteur nul de taille p est une solution évidente du système, donc O p est dans S. Soient X, Y deux vecteurs de S (donc des solutions du systèmes) et λ R. On vérifie que λx + Y est dans S : A(λX + Y ) = A(λX ) + AY = λ (AX ) + }{{}}{{} AY = O + O = O =O =O λx + Y est bien une solution du système, donc λx + Y S. Donc S est bien un sous-espace vectoriel de R p. (1) () Vecteurs et applications linéaires 27 / 41

On s intéresse en particulier au cas où A est une matrice à une ligne, c est-à-dire lorsque le système se réduit à une seule équation. Définition Soit A une matrice ligne de taille (1, p) et AX = 0 l équation associée. L ensemble des solutions de l équation Ax = 0 forme un sous-espace vectoriel de R p, qu on appelle hyperplan défini par l équation AX = 0. Remarque: l équation AX = 0 n est pas unique. L hyperplan peut être définie par une autre équation. Exemples: 1 Dans R 2, un hyperplan est l ensemble des solutions d une équation de la forme ax + by = 0. C est donc une droite passant par O. 2 Dans R 3, un hyperplan est l ensemble des solutions d une équation de la forme ax + by + cz = 0. C est donc un plan passant par O. (1) () Vecteurs et applications linéaires 28 / 41

Famille génératrice et système d équations Un sous-espace vectoriel peut être défini à partir d une famille génératrice ou d un système d équations, et il existe des méthode pour aller de l un à l autre. Par contre, attention à l ordre des inconnues dans le système! Il ne doit jamais changer en cours de route! (1) () Vecteurs et applications linéaires 29 / 41

Technique Soit AX = O un système d équations linéaires à p inconnues et F = {X R p, AX = 0} le sous-espace vectoriel formé des solutions de AX = 0. On veut écrire F à l aide d une famille génératrice. On commence à le résoudre avec la méthode du pivot partiel de Gauss. Comme le second membre ne contient que 0, il ne peut pas y avoir d équation auxiliaire 0 = b avec b 0, il y a toujours des solution. Si il y a une unique solution (toutes les variables ont un pivot), cette solution est le vecteur nul, donc F = {O}. Sinon, il y a des variables auxiliaires (=sans pivot) qu on doit remplacer par des paramètres λ 1, λ 2,... pour résoudre. Notons que si il y a r pivots, il y aura p r paramètres à poser. Ainsi, tout vecteur X de F (solution du système) s écrit à l aide des paramètres λ 1, λ 2,.... (1) () Vecteurs et applications linéaires 30 / 41

On décompose X en une somme de vecteurs : le premier ne contenant que le paramètre λ 1, le second que le paramètre λ 2,... puis pour chaque vecteur, on met le paramètre en facteur devant (de la forme λ i V 1 avec V i ne contenant plus de paramètres). On a alors écrit X comme une combinaison linéaires de vecteurs fixes multipliés par les paramètres λ i. On reconnait alors l écriture d un sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteur (V 1, V 2,... ), c est à dire F = Vect(V 1, V 2,... ). Remarquons que F est engendré par p r vecteurs. Exemple: Si les solutions d un système à trois inconnues sont de la forme suivante : λ 1 + λ 2 λ 1 λ 2 1 1 X = λ 1 = λ 1 + 0 = λ 1 1 + λ 2 0 2λ 1 λ 2 2λ 1 λ 2 2 1 L espace vectoriel des solutions est donc engendré par la famille de deux 1 1 vecteurs 1, 0. 2 1 (1) () Vecteurs et applications linéaires 31 / 41

Technique: Soit F = Vect(V 1, V 2,... ) un sous-espace vectoriel de R p engendré par une famille de vecteur. On chercher cette fois à l écrire à l aide d un système d équations. Soit X un vecteur de F de coordonnées (x 1, x 2,... ), alors X se décompose comme combinaison linéaire X = λ 1 V 1 + λ 2 V 2 +... avec λ i R. On obtient alors une égalité de vecteurs : x 1 λ 1 V 1 + λ 2 V 2 + = x 2. qu on peut écrire sous forme de système (en enlevant les parenthèses des vecteurs). On obtient alors un système (S) où les λ i sont les inconnues et les x i les seconds membres. On commence à résoudre ce système avec la méthode du pivot de Gauss partiel (1) () Vecteurs et applications linéaires 32 / 41

Mais attention, ce ne sont PAS les solutions qui nous intéressent, ce sont les équations auxiliaires! Ce sont des équations contenant les coordonnées x i de X. X est dans F si et seulement si les équations auxiliaires sont vérifiées. Donc F est définie par le système formé uniquement des équations auxiliaires. Exemple: (1) () Vecteurs et applications linéaires 33 / 41

Plan 1 Familles de vecteurs de R n 2 Sous-espace vectoriels dans R n 3 Base d un sous-espace vectoriel (1) () Vecteurs et applications linéaires 34 / 41

Définition Soit F un sous-espace vectoriel de R n. On appelle base de F toute famille de vecteurs F = (X 1, X 2,..., X r ) telle que 1 F engendre F, c est à dire F = Vect(F). 2 F est une famille libre, c est à dire que les vecteurs (X 1, X 2,..., X r ) sont indépendants. Remarque: le nombre r de vecteurs dans la famille F est alors le rang de cette famille, car elle est libre. Exemple: Soit X un vecteur non nul et F = Vect(X ) droite vectorielle engendrée par X. Alors (X ) est une base de F, puisqu elle est génératrice et libre. (1) () Vecteurs et applications linéaires 35 / 41

Proposition La famille F = (X 1, X 2,..., X r ) est une base du sous espace vectoriel F si et seulement si tout vecteur X de F peut s écrire d une façon et d une seule comme combinaison linéaire des X i : X = n λ i X i. i=1 C est à dire que les réels λ i existent et sont uniques pour chaque X F. (1) () Vecteurs et applications linéaires 36 / 41

Existence de base et dimension Si F est un espace vectoriel engendré par une famille F, on peut trouver une base en choisissant certains vecteurs de F de manière à avoir une deuxième famille F, qui engendre toujours F et qui est libre (donc une base). On peut même créer plusieurs bases (mais elles auront toujours le même nombre de vecteurs!). D une manière générale, on a le théorème suivant : Théorème Tout sous-espace vectoriel F de R n possède une base B. De plus, toutes les bases d un sous-espace vectoriel F ont le même nombre d éléments. Ce nombre est appelé la dimension de F. On le note dim(f ). (1) () Vecteurs et applications linéaires 37 / 41

Exemples: 1 le sous-espace vectoriel {O} formé du seul vecteur nul a, par convention, une base vide. Donc sa dimension est dim({o}) = 0. C est même le seul sous-espace vectoriel de dimension nulle. 2 R n (vu comme un sous-espace vectoriel) a comme base la base canonique par exemple. Cette base contient n éléments, donc dim(r n ) = n. 3 Soit X un vecteur non nul et F = Vect(X ). (X ) étant une base de F, on a dim(f ) = 1 (1) () Vecteurs et applications linéaires 38 / 41

Proposition Soit F un sous-espace vectoriel de R n. On a alors De plus : Si dim(f ) = 0, alors F = {O}. Si dim(f ) = n, alors F = R n. Proposition 0 dim(f ) n Si F et E sont deux sous-espaces vectoriels de R n vérifiant E F, alors on a dim(e) dim(f ). De plus, si E F et dim(e) = dim(f ), alors E = F. (1) () Vecteurs et applications linéaires 39 / 41

La dimension d un sous espace vectoriel est impose des conditions sur le nombre d éléments des familles libres, génératrices et des bases. Proposition Soit F un sous-espace vectoriel de R n de dimension dim(f ) : Toute famille libre de vecteurs de F contient au maximum dim(f ) vecteurs. De plus, si une famille libre contient exactement dim(f ) vecteurs, alors c est une base. Toute famille génératrice de vecteurs de F contient au minimum dim(f ) vecteurs. De plus, si une famille génératrice contient exactement dim(f ) vecteurs, alors c est une base. Remarque: En nombre d éléments, on a libre base génératrice. (1) () Vecteurs et applications linéaires 40 / 41

Théorème Soit F un sous-espace vectoriel de R n. Toute famille F génératrice de F contient une base. De plus, si F est génératrice de F et si G est une famille libre de F, alors on peut compléter G avec des vecteurs de F pour former une base de F (Théorème de la base incomplète) Toute famille libre de F peut être complétée en une base. Remarque: on verra en exercice des exemples de base à compléter. (1) () Vecteurs et applications linéaires 41 / 41