Notion de fonction. Fonctions affines

CHAPITRE Notion de fonction Fonctions affines Les prérequis : «Vérifier les acquis de e» Exercice Prérequis testés Réponses Calculer les valeurs d une fonction affine à partir de son expression explicite À partir de la droite représentant une fonction affine, lire : l image d un nombre donné, un nombre qui a une image donnée Tracer la droite qui représente une fonction affine x,, Image f (x), a) b) d) -- a) b) d) a) b) O O 6 Lire graphiquement le coefficient directeur d une droite Lire graphiquement l ordonnée à l origine d une droite Reconnaître si une fonction est affine ou non Le coefficient directeur de la droite d est égal à -- L ordonnée à l origine de la droite d est égale à a) = ( x + ) = x + 8 f est donc une fonction affine (ici a = et b = 8) b) gx ( ) = x g n est pas une fonction affine ( x = x x+ et ici a n est pas une constante) hx ( ) = donc h est une fonction affine (ici a = et b = ) Objectifs Distinguer fonction et relation non fonctionnelle Reconnaître la variable et l ensemble de définition d une fonction Identifier une fonction définie par une courbe, un tableau de valeurs ou une formule Calculer, dans chaque cas, l image d un nombre Utiliser, grâce à la calculatrice ou l ordinateur, la fonction en tant que «boîte noire» Reconnaître si un point appartient à une courbe Vérifier son appartenance par le calcul Dresser le tableau de variation d une fonction à partir d une courbe ou d un écran graphique Tracer la courbe d une fonction sur écran Chapitre - Notion de fonction Fonctions affines

Décrire les variations d une fonction à partir d une courbe ou d un tableau de variation Tracer une représentation graphique compatible avec un tableau de variation Reconnaître les extrema d une fonction sur un intervalle Traduire de façon mathématique qu une fonction croissante conserve l ordre et qu une fonction décroissante le change Connaître les propriétés graphiques des fonctions paires, impaires et périodiques Indiquer le sens de variation d une fonction affine Connaître et savoir utiliser le fait que les fonctions affines sont caractérisées par la proportionnalité de leurs accroissements et de ceux de la variable Difficultés et erreurs Confusion entre l image et «le nombre qui a pour image» donc difficulté à différencier une fonction d une correspondance non fonctionnelle Erreurs graphiques dans la lecture des coordonnées ou dans le placement de points, confusion entre abscisses et ordonnées Mauvaise prise en compte des unités Erreurs de calcul dans les recherches d images Certains élèves maîtrisent mal le calcul algébrique et numérique ; ils devront effectuer les révisions nécessaires L aide individualisée aidera à surmonter ces difficultés Mauvais usage de la calculatrice Les images lues sur le graphique ne sont souvent que des valeurs approchées, les élèves doivent donc faire une lecture prudente des écrans et penser surtout à encadrer les résultats obtenus en prenant garde aux unités Les règles de priorité des opérations sont parfois mal appliquées et la fonction n est pas saisie correctement Erreurs dans la réalisation d un tableau de variation : inversion des flèches, échange du maximum et du minimum Difficultés pour comprendre le lien entre le sens de variation d une fonction et l ordre des images Mauvaise utilisation des inégalités Difficultés de compréhension et d interprétation de certains énoncés Confondre proportionnalité et proportionnalité des accroissements Activités d approche «Être fonction de» : tableau et représentation graphique a) La vitesse de la voiture au début du tour lancé est km /h b) Au niveau de l enregistreur n, la vitesse de la voiture est km /h La vitesse maximale de la voiture est km /h, elle est atteinte à km de la ligne de départ a) 8 km /h b) km /h 8 km /h d) km /h e) 9 km /h À toute distance d comprise entre et km correspond une vitesse unique de la voiture de course, on peut considérer la fonction qui à d associe cette vitesse Par contre à toute vitesse v comprise entre et km /h ne correspond pas une distance parcourue unique Par exemple la vitesse v = km /h est atteinte pour six valeurs différentes de d La deuxième relation n est pas fonctionnelle Construire un graphique a) (,) +, = 8, ( ) + = 9 (,) +, = 8, b) et hauteur (en mètres) t (en secondes) Variations de l aire d un rectangle MN AB a) D après le théorème de Thalès : --------- = -------- MC AC MN, donc --------- = -- et MN = ---------------- =,, L aire du rectangle est :,,6 =,9 b) De façon plus générale : MN ----------- = -- donc MN = -- ( x) x L aire du rectangle AMNP est donc : -- ( x) x = x -- x Avec les arrondis au dixième, on obtient : x = AM en cm,,, Aire de AMNP en cm,,,, a) Lorsque x augmente de à,, il semble que l aire du rectangle augmente puis lorsque x augmente de, à, il semble que l aire du rectangle diminue b) Il semble que l aire du rectangle est maximale lorsque x =,, c est-à-dire lorsque M est le milieu de [ AC] 8

Pour aller plus loin a) x -- x = -- ( x x + 9) = -- ( x ) b) L aire du rectangle est donc maximale pour x = --, elle est alors égale à Un tarif de location Tom a emprunté 6 CD de plus que Pierre, la différence de correspond à la location de ces 6 CD La location d un CD revient donc à Pauline a loué 8 CD de plus que Pierre, elle aura donc payé ( + 8 = ) Travaux dirigés «Être fonction de, dépendre de» A Notions utilisées Définition de la notion de fonction Ensemble de définition d une fonction B Corrigé En biologie a) La variable est le temps, elle est exprimée en heures La grandeur étudiée, dépendant de cette variable, est la population de bactéries exprimée en millions b) À chaque temps t compris entre et 8 heures, est associé un seul nombre qui est la population de bactéries correspondant à ce temps L ensemble de définition de cette fonction est l intervalle [ ;8] En géométrie a) D après le théorème de Pythagore : h = donc h = b) De façon plus générale : h a a --, donc a a = = -------- h = --------- À chaque valeur du côté a, correspond une seule valeur de la hauteur h On définit donc une fonction lorsqu au côté a, on associe la hauteur h Son ensemble de définition est l intervalle [;+ [ Dépendance non fonctionnelle Deux personnes de même taille ( cm) ont deux poids différents ( et 8 kg) On ne définit pas une fonction en associant à la taille d un individu son poids Lecture graphique et sens de variation A Notions utilisées Lecture graphique du sens de variation d une fonction Réalisation du tableau de variation Lecture à l écran de la calculatrice B Corrigé a) La fonction f est : décroissante sur [ ; ] ; croissante sur [ ;] ; décroissante sur [;+ [ b) Il existe deux nombres a et b, a et b tels que f est : croissante sur [ ;a ] ; décroissante sur [a ; b ] ; croissante sur [b ;] L écran graphique ne permet pas de lire les valeurs exactes de a et b Fonction et calculatrice A Notions utilisées Définition d une fonction avec la calculatrice Reconnaissance d une fonction à partir d une succession de touches B Corrigé a) On obtient les résultats : 9 ; 9,6 ; 9, ;,88 (arrondi au centième) b) Il s agit de la fonction : x ( x ) a) x x + b) x x + Une fonction à deux variables A Notions utilisées Aire d un trapèze Notion de fonction à deux variables Courbe représentative d une fonction B Corrigé x + = -- ( b + 6 )h a) = b) = 9 = 9,6 b doit appartenir à l intervalle I = [ ;6] et h à l intervalle [;+ [ a) f ( ;) = ; f ( ;) = 6 ; f ( ;,6) = 8 ; f ( ;,6) = 9,8 b) La fonction est : b b + 6 6 6 b Chapitre - Notion de fonction Fonctions affines 9

La fonction est : h h Éléments de symétrie d une courbe A Notions utilisées Élément de symétrie d une courbe Calculs d images B Corrigé La courbe semble admettre l axe des ordonnées pour axe de symétrie La courbe ' semble admettre l origine du repère pour centre de symétrie a) Pour x [ ;], f( x) = ( x) = x = M et M ' sont symétriques par rapport à l axe des ordonnées b) Pour x [ ;], g( x) = ( x) ( x) = x + x = gx ( ) M et M ' sont symétriques par rapport à l origine du repère 6 Réfléchir avec l ordinateur A Notions utilisées Utilisation du logiciel Géoplan Recherche de l expression explicite d une fonction Sens de variation Courbe représentative d une fonction B Corrigé h a) Lorsque x [ ;], = x+ x+ ( 6 x) + ( 6 x) + ( 6 x) = 8 x Lorsque x [ ;6], = x+ x+ ( x 6) + ( 6 x) + ( 6 x) = x + 6 b) f est décroissante sur [ ;], f est croissante sur [ ;6] 8 6 6 6 Corrigés des exercices et problèmes Exercices d application - a) À chaque valeur de t est associée une unique valeur de x On définit donc ainsi une fonction b) Deux valeurs de t (,8 et,) correspondent à la valeur de x On ne définit pas de cette façon une fonction - a) À chaque moyenne annuelle est associée une seule note au Brevet On définit donc ainsi une fonction, son ensemble de définition est formé des cinq moyennes annuelles du tableau b) Deux moyennes annuelles (9 et,) correspondent à la note obtenue au Brevet On ne définit pas de cette façon une fonction À tout réel x de [ ; ], on associe un seul réel, sa racine carrée On définit donc ainsi une fonction dont l ensemble de définition est l intervalle [ ; ] - a) y = ------ et y = ------ b) y = --------- et y = --------- Il n existe pas de réel y dans ce cas d) y = À la valeur -- de x sont associées deux valeurs de y On ne définit donc pas une fonction en associant à un réel x, un réel y avec la relation () - a) xy = donc y = ----- x b) L ensemble de définition de cette fonction est l intervalle ];+ [ On doit avoir x y L ensemble de définition de la fonction est l intervalle ] ;] - On doit affranchir une lettre de g à,, une lettre de g à, et une lettre de g à,6 a) On définit une fonction lorsqu à un poids, on associe le tarif correspondant b) Au tarif, correspondent plusieurs poids, on ne définit donc pas de cette façon une fonction L ensemble de définition de la fonction obtenue précédemment est l intervalle [ ;] 6 - a) x peut prendre les valeurs de l intervalle [ ;] b) PM = PC + CM = x + ( x) = x x + Donc = x x + a) L ensemble de définition de f est l intervalle [ ;] b) f ( ) = ; f ( ) = ; f (,) =, ; f ( ) = - a) f ( ) = 9 b) f ( ) = a) g ( ) = -- b) g -- = 8 -- 8 - a) f ( ) = 6 b) f -- = 9 ----- 9 f ( ) = 9 - À tout réel x de l intervalle I = ];+ [ est associé l unique réel ----------- x

a) f ( 8) = -- b) f -- = f ( + ) = --------- x - À tout réel x est associé l unique réel -------------- x + a) g ( ) = -- b) g -- = ----- g 8 -- = 6 -------- - a) Le réel n a pas d image On peut prendre par exemple I = ] ;+ [ b) Le réel n a pas d image On peut prendre par exemple I = [ ;+ [ - Les graphiques a) et représentent une fonction Dans le cas a), son ensemble de définition est l intervalle [ ;] et dans le cas, l intervalle -- ; -- Les graphiques b) et d) ne représentent pas une fonction Par exemple au réel sont associés par le graphique deux réels - a) b) d) Le graphique ne permet pas de lire la valeur exacte de l image de et de par f - D = [ ;] a) f ( ) = b) f ( ) = f ( ),8 a) et b), x et x avec x,9 et x,9 - a) C b) C C d) C a) h et environ h et 9 h b) 6 h et h 8h a) On définit une fonction lorsqu à chaque instant t de [ ;] on associe la température b) Par contre à une température de [ ;] peut correspondre plusieurs instants t On ne définit donc pas ainsi une fonction 6 - a) De façon sûre, les points O, A et D appartiennent à la courbe b) Par le calcul, les points O, A, D et E appartiennent à la courbe ; les points B et C n appartiennent pas à la courbe - Les points A, C, D et E appartiennent à la courbe Les points B et F n appartiennent pas à cette courbe 8 - a) A ( ; ) b) B -- ; L unique point de la courbe d ordonnée a pour abscisse 9 - a) b) - a) x x x 6 b) - - a) D = [ ;,] b) f est croissante sur les intervalles [ ; ] et [ ;] f est décroissante sur les intervalles [ ;] et [ ;,] - L ensemble de définition de la fonction f est l intervalle [ ;+ [ a) f n est pas croissante sur [ ;] f est croissante sur [ ;] b) f est décroissante sur [ ;] f n est pas décroissante sur [ ;] f ( ) =, f ( ) = et f (,) = -a) b) x x --,, x -- Chapitre - Notion de fonction Fonctions affines

- a) h ( ) h ( ) b) h -- h -- h (,6) h (,) d) h -- h ( ) 6 - a) Les valeurs de la fonction en,, et ne sont pas cohérentes avec le sens de variation indiqué dans le tableau b) Les valeurs -- et de x doivent être échangées On note également des incohérences entre les valeurs de f en,, -- et le sens de variation indiqué dans le tableau - a) p( ) = π + π = π ( ) = π π = π b) x px ( ) 6π 8 - a) b) a) b) 9 - a) Maximum : f ( ) = Minimum : f ( ) = b) Maximum : f ( ) = Minimum : f ( ) = Maximum : f ( ) = Minimum : f ( ) = - a) f semble décroissante sur [ ; ], croissante sur [ ;], décroissante sur [ ;,] et croissante sur [,;] b) Sur [ ;], le maximum de f n est pas visible, il semble qu il soit obtenu pour x = mais on ne peut pas lire la valeur de f ( ) Le minimum de f sur [ ;] semble être égal à (il paraît être obtenu pour la valeur, de x) - a) Pour tout réel x, = ( x,) 9, b) Pour tout réel x, ( x,) donc 9, Le minimum de f sur est 9,, il est obtenu pour la valeur, de x On peut par exemple choisir pour fenêtre graphique : X min =, X max =, Y min =, Y max = - a) = ------x ; a = ------, b = b) g( x) = --x + -- ; a = --, b = -- h( x) = ( )x + ; a =, b = d) kx ( ) = πx + π ; a = π, b = π - Voir graphique ci-après π x 9π ( x) fx ( ) = x x + = ( x,), + - d représente la fonction f ; d représente la fonction f ; d n est pas la représentation graphique d une fonction ; d représente la fonction f d d - a) f est décroissante sur b) f est décroissante sur f est croissante sur d) f est croissante sur e) f est croissante sur f) f est croissante sur 6 - a) Quand x augmente de, alors son image augmente de -- b) Quand x diminue de, alors son image diminue de Quand x augmente de 8, alors son image augmente de 9 d) Quand x diminue de, alors son image diminue de 6 - a) Quand x augmente de 6, alors son image diminue de 8 b) Quand x diminue de, alors son image augmente de 6 Quand x diminue de, alors son image augmente de d) Quand x augmente de, alors son image diminue de 9 8 - + x On note f : x ax + b la fonction affine cherchée D après le tableau ci-dessus : a = donc a = -- Pour tout réel x, = -- x+ b Or f ( ) = donc -- + b = et b = -- = ----- Donc f est la fonction affine définie par = -- x + ----- 9 - Quand x varie de +, alors g( x) varie de + Donc a = -- et g( x) = -- x+ b D autre part g ( ) = donc + b = et b = g est définie par g( x) = -- x - Quand x varie de + 6, alors mx ( ) varie de Donc a = ----- = et mx ( ) = x + b 6 O d

D autre part m( ) = 8 donc 8 + b = 8 et b = m est définie par mx ( ) = x - Quand x varie de, alors varie de + Donc a = -- et = -- x+ b D autre part A( ;) est un point de la droite qui représente f donc f ( ) =, c est-à-dire -- + b = et b = ----- f est définie par = -- x + ----- - + Lorsque x varie de alors varie de ; le coefficient de proportionnalité est a = ------ = -- Lorsque x varie de +, varie donc de : a ( +) = -- ( +) = + ----- Donc f ( ) = + ----- = ----- - +6 + - - x? x 6 - -- ------ donc f n est pas une fonction affine, -- x 6 + + x g( x) + + 6 9 x, + +, 6 9 + + x g( x) +8 8 + 8 ------ ----- donc g n est pas une fonction affine 8 6 - + + 6 -- -- donc les accroissements de f ne sont pas proportionnels aux accroissements de la variable Ainsi la fonction f n est pas affine - a) Pour un euro, on obtient environ,8 $ Donc : x y = ------------,8 La fonction : x ------------ x est affine,8 b) y = x La fonction : x x n est pas affine y = πx La fonction : x πx est affine 8 - a) Le salaire du vendeur est : x 9 + ----------- = 9 +,x b) On résout : 9 +,x =,x = et x = Un montant des ventes de assure au vendeur un salaire de 9 - La différence correspond donc à 6 km Le prix du kilomètre parcouru est donc, La course de km coûte 6, le montant fixe de la prise en charge est donc ( 6, = ) On obtient finalement : y = +,x QCM - b - c - c - b - a - a 6 - b Vrai ou faux x + +6 - Vrai À chaque réel x de [ ; ], on associe une image unique -- x 8 - Vrai Par exemple au réel correspondent deux réels : et 9 - Faux Une fonction peut être ni croissante, ni décroissante sur un intervalle 6 - Faux Pour x [ ;], = 9x 6x 8 f ( ) = 8 et f ( ) = donc f ( ) f ( ) D autre part f -- donc, f n est pas 9 = f -- f ( ) croissante sur [ ;] 6 - Faux Pour x, = x f est pas croissante sur et f ( ) 6 - Faux Pour u = et v =, f( u) f ( v) 6 - Faux = ( )x + +, donc f est une fonction affine décroissante sur Chapitre - Notion de fonction Fonctions affines

6 - Faux On peut constater que les accroissements de la fonction ne sont pas proportionnels aux accroissements de la variable 6 - Vrai Le coefficient de proportionnalité est a = -- 66 - Vrai Le nouveau prix est : x ----------- x = x,x =,9x Exercices d approfondissement 6 - Pour x ] ;], = et pour x [ ;+ [, = --x + 68 - a) À m d altitude, la température est égale à 6 C b) La température croît jusqu à C (à une altitude d environ 6 km) puis décroît lorsqu on continue de s élever dans cette couche La température minimale est égale à 9 C, la température maximale peut atteindre C d) On définit une fonction lorsqu on associe à une altitude, la température mesurée à cette altitude Par contre plusieurs altitudes peuvent correspondre à une température donnée, l altitude n est pas fonction de la température e) t 6 8 f() t 6 9 Les valeurs fournies dans ce tableau ne peuvent être qu approchées 69 - a) Lorsque x =, l aire du carré ABCD est égale à 9 et l aire de chaque cercle est π -- Donc π a = 9 ----- b) De façon générale, afin que les cercles restent dans le rectangle, on doit avoir : -- donc x décrit l intervalle [ ;9] x L aire du rectangle est x et l aire de chaque cercle est π x 6 -- = -------- πx 6 πx Donc : a x π = -------- = x -----x 6 x 6 8 9 a,, 6,6,8 8, 8,6 8,,,8 a) L aire semble croissante sur un intervalle [ ;x ] et décroissante sur un intervalle [ x ;9] où x 6 b) D après le graphique x, x Pour cette valeur x, a π x = -------- donc ----- x et = -------- 8 x = ----- ( x π ) 8 La valeur exacte de a est alors : a = -- ----- π = ----- π - Pour chaque question a), b), les images indiquées sont égales Le plus petit nombre T possible est Un motif minimal est une partie de la courbe construite sur carreaux en abscisse Par des translations successives de carreaux à droite et à gauche, on obtient toute la courbe - Le graphique représente la fonction d a) t [ ;6], d() t = t ---- b) t [ 6;9], d() t = t [ 9;], d() t = -- t + - Pour la voiture A : = 8 x ----------- =,8x Pour la voiture B : g( x) = ( x) ---------------------------------- = 6,x a) f et g sont définies sur l intervalle [ ; ] b) L 6 km a) Graphiquement, les consommations d essence sont égales lorsque x est égal à environ 8 b) On résout l équation : = g( x), c est-à-dire,8x = 6,x ;,x = 6 ; x = 8 Les quantités d essence consommées sont égales lorsque x = 8 (km) - a) x [ ;], = x b) x [ ;8], = + ( x ) = x + 8 x [ 8;], = 6 + ( x 8) = x 8 d) x [ ;], = + ( x ) = x 8 6 - a) (g) (f) 8 a Ma T V M T

Planètes : Mercure (M), Vénus (V), Terre (T), Mars (Ma) 8 a Ma J T Planètes : Mars (Ma), Jupiter (J), Saturne (S) b) On peut remaquer que a T Pour la planète Uranus, T = 8 donc a 6 d où a 9 - f ( v) f( u) = ( v 6v) ( u 6u) = v u 6 ( v u) f ( v) f( u) = ( v u) ( v + u) 6( v u) = ( v u) ( v+ u 6) a) On a v u b) u, v donc u + v 6 et u + v 6 Donc f ( v) f( u) Pour tous u et v de [ ;+ [, si u v alors f( u) f ( v) Donc f est croissante sur [;+ [ 6 - f ( v) f( u) = ---------- ----------- v u ( u ) ( v ) = --------------------------------------------- ( u ) ( v ) ( v u) = --------------------------------- ( u ) ( v ) u v donc v u et d autre part u et v car u et v sont deux réels de ] ;+ [ Finalement f ( v) f( u) Pour tous u et v de ];+ [, si u v alors f ( v) f( u) Donc f est décroissante sur ];+ [ - On peut conjecturer que la fonction f est croissante sur ] ;] et décroissante sur [ ;+ [ a) f ( v) f( u) = ( v + v) ( u + u) = u v + ( v u) = ( u v) ( u + v) + ( v u) = ( v u) ( u v) b) Dans le cas où u v alors u + v, donc u v Dans le cas où u v alors u + v, donc u v Pour tous u et v de [ ;+ [, si u v alors f ( v) f( u) et f ( v) f( u) S Donc f est décroissante sur [;+ [ Pour tous u et v de ] ;], si u v alors f ( v) f( u) et f( u) f ( v) Donc f est croissante sur ] ;] Des défis 8 - On pose = ax + b f ( ) f ( ) donc a+ b a+ b, d où a f ( ) f ( ) donc a+ b a+ b, d où a Donc a = f est constante sur Comme f ( ) =, on a pour tout réel x, = f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 9 - ------------------------------- = ----------------------------------- ( ) ( ) ( ) donc f ( ) = 9 f ( ) car f ( ) = La seule possibilité est f ( ) = et f ( ) = 8 - On pose = ax + b La fonction f convient si et seulement si pour tout réel x, a( ax+ b) + b = x Ceci équivaut à a = et ba ( + ) = Une solution est donc par exemple : = x + 8 - Pour tout réel x, x + x + = x + -- + -- donc x + x + f est effectivement définie sur, on peut écrire : ( x ) ( x + x + ) = ------------------------------------------------- x = x + x + f est une fonction affine f ( ) f ( ) f ( ) 8 - --------------------------- = ------------------- est égal au coefficient directeur de la droite qui représente f f ( ) Donc -------------------, c est-à-dire : f ( ) f ( ) étant entier, f ( ) = On obtient alors : 8 - Les trains se croisent au bout de h ( km à parcourir avec une vitesse de + 8 = (km /h)) L hirondelle vole donc h à km /h, elle parcourt 6 km Problèmes de synthèse 8 - A a) Pour x =, AH -- = = -------- L aire de ABC est : -- ------------ = --------------- Pour x =, AH = = L aire de ABC est -- = b) La valeur maximale de x est x varie dans l intervalle [ ;] a) AH x -- x = = ------------------- x AH = ------------------------ = -- x + -- Chapitre - Notion de fonction Fonctions affines

b) = AH BC x ------------------------ = -- x x 6 8 9 f (x) 9,9,8 9,6, 8,6,8 6,,, x 6 8 9 f (x),9 8 9, 9,6 8,8 9,, d) a) La longueur OM est minimale pour x = donc sur [ ;], f admet un minimum égal à f ( ) = b) Si α est un réel compris entre et, la longueur OM est la même pour x = α et x = + α La droite d équation x = est un axe de symétrie de la courbe 8 6 a) x [ ;8], = f( x ) b) x [ 8;], = f( x 8) x [ ;6 ], = f( x ) d) x [ 6 ; ], = f( x 6) e) x [ ; ], = f( x ) 86 - a) Pour t, f() t = 6t b) Pour t,, g() t = ( t,) = t Pour t h() t = 9( t ) = 9t 9 (en kilomètres) h B a) Avec la calculatrice et le graphique, on conjecture que x b) x,,,, f (x) 9,999 9,999 8 9,999 6 9,999 9 g f x,,,6 f (x) 9,999 9 9999 8 Donc, x, BK a) L aire de ABC est égale à -------------------- = BK b) La longueur maximale de BK est, elle est obtenue lorsque le triangle ABC est rectangle en A (K est alors confondu avec A) L aire de ABC est maximale lorsque la longueur BK est maximale Donc, dans ce cas : x =, x = et x, 8 - a) f ( ) = b) f ( ) = f ( ) = d) f ( ) = e) f ( ) = f) f ( 9) = g) f ( ) = Si x [ ;], OM = ( x) + = x x + 8 Si x [ ;], OM = ( x ) + = x x + 8 Pour tout x [ ;], = x x + 8, t (en heures) a) Le cycliste dépasse le piéton lorsque t, et 6t = t, c est-à-dire : t = -- donc t, b) L automobiliste dépasse le piéton lorsque t et 6t = 9t 9, c est-à-dire : t = ----- donc t, L automobiliste dépasse le cycliste lorsque t et 8 t = 9t 9, c est-à-dire : t = -- donc t, L automobiliste se trouve entre le piéton et le cycliste pendant l intervalle de temps : ----- ; 8 -- À l instant t = -----, l automobiliste a parcouru la distance d = ----- 8 À l instant t = --, l automobiliste a parcouru la distance 9 d = ----- 6

Entre le dépassement du piéton et celui du cycliste, l automobiliste aura parcouru ----- ----- = -----, c est-à-dire environ 9 6, km 8 - a) Pour x, f ( x) = et pour x, = +, ( x ) =,x 6 b) Les fonctions x et x,x 6 sont des fonctions affines euros f g k 6 9 g f 6 8 minutes a) Pour x 8, g( x) = et pour x 8, g( x) = +, ( x 8) =, x b) Voir graphique ci-dessus On résout :, x 6 =, on obtient x = ------ donc x, a) Pour x, k( x) = et pour x, k( x) = +, ( x ) =, x Pour x, ( x) = 6 et pour x, ( x) = 6 +, ( x ) =, x 6 On résout :, x =, x = ------ donc x, Le forfait de h est plus avantageux que le forfait de h à partir de la valeur trouvée 8 On résout :, x = 6, x = ------ donc x, Le forfait de h est plus avantageux que le forfait de h à partir de la valeur trouvée 88 - a) f( x+ ) = g( x+ ) g( x) = b) Voir graphique ci-après Les fonctions x + ( x 9) et x + ( x 9) sont affines, leurs représentations sont des droites d) On ne peut pas justifier les remarques du fleuriste à l aide des seules variations absolues a) Entre 99 et 99, le pourcentage d augmentation du nombre de géraniums vendus est : --------------,% Celui des bégonias vendus est : ------------,9 % b) Entre les années n et n +, le pourcentage d augmentation du nombre de géraniums vendus est : -----------, celui des f( n) bégonias vendus est : ----------- g( n) d) 9 9 96 9 98 99 de 9 à 9 de 9 à 96 de 96 à 9 de 9 à 98 de 98 à 99 Bégonias,9 % %, % 8, %,8 % Géraniums, %,6 % % %, % % % % % % 9 à 9 Pourcentage 9 à 96 96 à 9 e) Les pourcentages d augmentation des ventes diminuent d une année à l autre, ce qui explique la remarque du fleuriste : «la croissance diminue» 9 à 98 Bégonias Géraniums 98 à 99 Chapitre - Notion de fonction Fonctions affines