Mathématique Sylvie Jancart sylvie.jancart@ulg.ac.be Octobre 2015
Ces fonctions sont d une importance considérable en mathématique et ont des applications dans beaucoup de domaines scientifiques. Elles se révèlent particulièrement utiles en chimie, en physique, en biologie, dans les sciences économiques où elles contribuent à décrire la croissance ou la décroissance de certaines variables. Vous les rencontrerez en acoustique
Fonction exponentielle de base a ( a > 0, a 1 ) Commençons par les fonctions ayant des termes de la forme tels que 2 x, (0.04) 4x et 3 x. (base constante) puissance variable, Considérons une base quelconque a, où a est un nombre réel positif différent de 1. Il correspond à chaque nombre réel x exactement un nombre positif a x tel que les règles de calcul des puissances sont applicables. Nous pouvons définir une fonction f dont le domaine de définition est R et dont l ensemble image est l ensemble des nombres réels positifs. Définition Soit a un nombre réel strictement positif et différent de 1. La fonction f telle que f : R R, x y = a x, est appelée la fonction exponentielle de base a.
Graphe : l allure du graphe de la fonction y = a x dépend de la valeur de a : a a > 1 1 1 0 < a < 1 1 a 1 Si a > 1, alors f est croissante dans R, et si 0 < a < 1, alors f est décroissante dans R. C est l apparence générale des graphiques, la forme exacte dépend de la valeur de a. Puisque a 0 = 1, l intersection avec 0y est en y = 1 pour tout a. L axe 0x est une asymptote horizontale de f.
Fonctions exponentielles Par exemple : Fonction exponentielle de base 2 définie par f (x) = 2 x où x appartient à l ensemble des nombres réels. Les coordonnées de plusieurs points du graphique de y = 2 x sont données dans le tableau suivant : x 10 3 2 1 0 1 2 3 10 y = 2 x 1 1024 1 8 1 4 1 2 1 2 4 8 1024 D autres valeurs de y pour x rationnel, telles que 2 1 3, 2 9 7 et 2 5.143 peuvent être calculées à l aide d une calculatrice. On peut étendre à des valeurs pour x irrationnel.
La fonction f définie par f (x) = 2 x pour tout nombre réel est appelée fonction exponentielle de base 2. y x
Remarque : en étudiant a x, nous excluons les cas a 0 et a = 1. Si a < 0, alors a x n est pas un nombre réel pour de nombreuses valeurs de x telles que 1 2, 3 4, et 11 6. Si a = 0, alors a 0 = 0 0 n est pas défini. Enfin, si a = 1, alors a x = 1 pour tout x, et le graphique de y = a x est une droite horizontale. Propriétés des fonctions exponentielles de base a : soient a, b > 0 et x R. 1 a x+y = a x a y ; 2 (a x ) y = a xy ; 3 (ab) x = a x b x ; 4 la fonction R R +, x y = a x est continue et bijective.
Equations exponentielles Résoudre l équation 7 3x = 7 2x+5. Solution : les fonctions exponentielles sont bijectives et, par conséquent, 3x = 2x + 5 ou encore x = 5. Résoudre l équation 3 5x 8 = 9 x+2.
Equations exponentielles Résoudre l équation 3 5x 8 = 9 x+2. Solution : 3 5x 8 = 9 x+2, 3 5x 8 = (3 2 ) x+2, 3 5x 8 = 3 2x+4, 5x 8 = 2x + 4, 3x = 12, x = 4.
Application : croissance bactérienne On utilise les fonctions exponentielles pour décrire la croissance de certaines populations. Supposons qu on ait observé expérimentalement que le nombre de bactéries dans une culture double chaque jour. S il y a, au départ, 1000 bactéries, nous obtenons t (temps en jours) 0 1 2 3 4 f (t) (nombre de bactéries) 1000 2000 4000 8000 16000 On voit que f (t) = (1000) 2 t. Avec cette formule, nous pouvons prévoir le nombre de bactéries présentes à un temps t quelconque. Par exemple en t = 1.5 = 3 2, f (t) = (1000) 2 3 2 2828. f(t) (nombre de bactéries) 15000 10000 5000 t (jours) 1 2 3 4
fonction exponentielle naturelle Soit f : R R, x e x. Cette fonction est appelée fonction exponentielle naturelle, ou encore fonction exponentielle de base e où e 2.71828 Puisque 2 < e < 3, le graphique de y = e x est situé entre les graphiques y = 2 x et y = 3 x. y y = 3 x y = e x y = 2 x x
Les fonctions logarithmes La fonction exponentielle donnée par f (x) = a x pour 0 < a < 1 ou a > 1 est bijective. La fonction f a donc une fonction réciproque f 1. y = f 1 (x) si et seulement si x = f (y), Cette fonction réciproque de la fonction exponentielle de base a est appelée fonction logarithme de base a et est notée log a. Définition de log a Soit a un nombre réel positif différent de 1. La fonction log a : R + 0 R, x y = log a x est définie par y = log a x si et seulement si x = a y. Cette fonction est appelée fonction logarithme de base a.
Notons que les deux équations dans la définition sont équivalentes. Nous appelons la première équation la forme logarithmique et la seconde la forme exponentielle. On passe facilement d une forme à l autre. Le diagramme ci-après peut y aider. exposant log a x = y a y = x base Exemple 1 : formes équivalentes Forme logarithmique Forme exponentielle log 5 u = 2 5 2 = u log b 8 = 3 b 3 = 8 r = log p q p r = q w = log 4 (2t + 3) 4 w = 2t + 3 log 3 x = 5 + 2z 3 5+2z = x
Exemple 2 : calcul de logarithmes 1) log 10 100 2) log 2 1 32 3) log 9 3 4) log 7 1 5) log 3 ( 2) Solution : dans chaque cas, nous avons log a x et nous devons déterminer l exposant y tel que a y = x.
Exemple 2 : calcul de logarithmes 1) log 10 100 2) log 2 1 32 3) log 9 3 4) log 7 1 5) log 3 ( 2) Solution : dans chaque cas, nous avons log a x et nous devons déterminer l exposant y tel que a y = x. Nous obtenons ce qui suit : 1 log 10 100 = 2 car 10 2 = 100. 2 log 2 1 32 = 5 car 2 5 = 1 32. 3 log 9 3 = 1 2 car 9 1 2 = 3. 4 log 7 1 = 0 car 7 0 = 1. 5 log 3 ( 2) n est pas possible car 3 y 2 pour tout nombre réel y.
Propriétés des fonctions logarithmes ( a > 0, a 1 ) 1 log a 1 = 0. 2 log a a = 1. 3 log a a x = x, x R. 4 a log a x = x, x R + 0. 5 x > 0, y > 0 : log a (x y) = log a x + log a y ; log a ( x y ) = log a x log a y ; log a (x c ) = c log a x, c R. 6 La fonction f (x) = log a x est bijective et continue sur ]0, + [. 7 Si a > 1, la fonction y = log a est croissante sur ]0, + [ ; Si 0 < a < 1, la fonction y = log a est décroissante sur ]0, + [ ;
Graphes des fonctions logarithmes La fonction logarithme de base a est la réciproque de la fonction exponentielle de base a ; ainsi, le graphique de y = log a x peut être obtenu par symétrie du graphe de y = a x par rapport à la droite y = x. Faire le graphique pour a > 1 et pour 0 < a < 1 Remarque : l intersection du graphique de y = log a x avec 0x est en x = 1, le domaine de définition de la définition log a x est l ensemble des nombres réels positifs, l ensemble image est R et l axe des y est une asymptote verticale.
Résolution d équations logarithmiques Une équation logarithmique est une équation faisant intervenir le logarithme d une expression qui contient une variable. Exemple 3 : résolution d une équation logarithmique Résoudre l équation log 6 (4x 5) = log 6 (2x + 1). Solution : log 6 (4x 5) = log 6 (2x + 1) 4x 5 = 2x + 1 x = 3 Contrôle : x = 3 membre de gauche : log 6 (4 3 5) = log 6 7 membre de droite : log 6 (2 3 + 1) = log 6 7 Puisque log 6 7 = log 6 7 est une identité, x = 3 est une solution.
Exemple 4 : résolution d une équation logarithmique Résoudre l équation log 4 (5 + x) = 3. Solution : log 4 (5 + x) = 3 5 + x = 4 3 x = 59 Contrôle : x = 59 membre de gauche : log 4 (5 + 59) = log 4 64 = log 4 4 3 = 3 membre de droite : 3 Puisque 3 = 3 est une identité, x = 59 est une solution.
Cas particuliers : les logarithmes décimaux Les logarithmes de base 10 sont appelés logarithmes décimaux. Le symbole log x est utilisé en abréviation de log 10 x, comme est utilisé pour 2. Définition du logarithme décimal La fonction log 10 : R + 0 R, x y = log 10 x est appelée fonction logarithme décimal. La fonction logarithme népérien La fonction exponentielle naturelle est donnée par f (x) = e x. La fonction logarithme de base e est appelée fonction logarithme népérien. Le symbole ln x est une abréviation pour log e x. Ainsi, la fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle naturelle sont réciproques l une de l autre. La fonction ln : R + 0 R, x y = log e x est appelée fonction logarithme népérien.
Dérivée des fonctions exponentielles et logarithmes La fonction f (x) = log a x est dérivable sur ]0, + [ et f (x) = 1 x ln a. La fonction f (x) = a x est dérivable sur R et f (x) = a x ln a. Conséquence : x R + 0, (ln x) = 1 x. x R, (e x ) = e x. Formule de changement de base log a x = log b x log b a, x R+ 0, a R + 0, a 1, b R + 0, b 1. log a b = 1 log b a, a R+ 0, a 1, b R + 0, b 1.
Faire l étude de fonction de f (x) = ln x f (x) = ln x x 1 f (x) = ex x