ING3 PHYSIQUE (TD) ELECTROMAGNETISME

ING3 PHYSIQUE (TD) ELECTROMAGNETISME 27-28

Exercice 1 Soit le champ vectoriel A = 1 r B 2, où B est un champ uniforme parallèle à Oz. Calculer le rotationnel de A. Exercice 2 r Soit le champ vectoriel A = avec r = OM. 3 Calculer la divergence de A en coordonnées cartésiennes et sphériques. Exercice 3 2

Exercice 4 3

Exercice 5 Exercice 6 Résistance de fuite. Conductivité au sol Calculer la résistance de fuite entre les armatures d un condensateur sphérique constitué de deux électrodes sphériques concentriques, de rayons r 1 et r 2 (r 2 > r 1 ), séparées par un mauvais isolant de conductivité γ. Application : une prise de terre est constituée par une électrode sphérique métallique, de rayon r 1 = 5 cm, enfouie profondément dans le sol (mauvais isolant). On mesure entre l électrode et le sol une résistance «d isolement» : R = 1 Ω. En déduire la conductivité γ du sol. 4

Exercice 7 Conductivité d un métal La conductivité électrique dans un fil métallique de diamètre d = 1mm est assurée par des électrons libres de masse m, de charge -e, en nombre n par unité de volume. On donne : m = 9,1.1-31 kg ; e = 1,6.1-19 C ; Nombre d Avogadro N = 6.1 23 ; masse volumique du cuivre : m V = 8,9 g/cm 3 ; masse atomique du cuivre A = 63,6 g. 1) Déterminer la vitesse moyenne v m des électrons libres lorsque le fil est parcouru par un courant I = 3A. On admettra que chaque atome de cuivre libère un électron en moyenne. 2) Les électrons sont soumis à l action d un champ électrique E uniforme permanent et les chocs avec le reste du réseau sont équivalents, en moyenne, à une force de frottement visqueux m f '= v τ (τ = durée moyenne entre deux chocs). Etablir la loi de variation de la vitesse moyenne v(t) des électrons libres, sachant que cette vitesse est nulle à l instant t =. 3) On étudie maintenant le régime permanent. Montrer que ce modèle de conduction permet de retrouver la loi d Ohm j = γe en régime permanent. Exprimer la conductivité γ du métal et la mobilité µ des électrons en fonction de e, m, n et τ. Calculer la durée τ et la mobilité dans le cas du cuivre. On donne la conductivité du cuivre : γ = 5,9.1 7 Ω -1 m -1. Montrer que l énergie cinétique acquise par l électron (grâce au champ E ) entre deux chocs est intégralement dissipée en chaleur ; vérifier ainsi que la puissance dissipée par unité de volume du conducteur est P = γe 2. Exercice 8 Le dipôle Soit deux charges ponctuelles (-q) et (+q) placées dans le vide aux points A 1 (x = -a, y = ) et A 2 (x = a, y = ) du plan xoy. Un point M éloigné des charges est repéré par ses coordonnées polaires r = OM et θ = (Ox, OM ). On désignera par u le vecteur unitaire dans la direction r. 1. Exprimer le potentiel en M. On écrira le potentiel en fonction du moment dipolaire. 2. En déduire le module et l orientation du champ électrique module du champ dans la direction θ =. E en M(r, θ). On appellera E le Exercice 9 Dans le cadre de la magnétostatique, la relation de Maxwell- Ampère s'écrit :. 1. On charge un condensateur avec un courant variable dans le temps. En se référant à l'équation cidessus, on appliquera le théorème d Ampère et déterminera la circulation du champ magnétique B sur le contour C pris entre armatures. a. Déterminer le flux de la densité volumique de courant de conduction à travers la surface S tendue sur le contour C. 5

b. Déterminer le flux de la densité volumique de courant de conduction à travers la surface ouverte S qui s'appuie sur C et qui coupe le fil électrique. c. Comme à priori, le choix de la surface ouverte s'appuyant sur le contour C peut être quelconque, que peut-on en conclure? 2. On utilise maintenant l'équation de Maxwell - Ampère " généralisée ": a. Appliquer le théorème d'ampère en considérant les surfaces S et S s'appuyant sur le contour C. b. En considérant le théorème de Maxwell - Gauss, montrer que les deux équations trouvées sont compatibles. c. Comment appelle-t-on le terme : 6

Exercice 1 On considère un champ de vecteurs s = s i( t k. r) e ω dans lequel : x r = y est le vecteur position, et z stationnaires. 1. Montrer que : a. divs = jk. s b. rots = jk s c. s = k². s s d. = jω. s t s x s = sy s z et k k x = ky kz sont des vecteurs uniformes et 2. Que peut-on conclure quant à l action des opérateurs précédents sur une onde du type de s 3. Quelle est l action des divers opérateurs sur un champ de vecteurs 4. Quelle est l action des divers opérateurs sur un champ de vecteurs s = s s = s e e i( k. r ωt) i( k. r +ωt)?? Exercice 11 Une onde électromagnétique se propage dans le vide. On la caractérise par les composantes de son champ électrique : 1. L'onde est-elle plane? 2. De quelle manière l'onde est-elle polarisée? 3. Calculer la période, la pulsation et la fréquence de cette onde. 4. Calculer sa vitesse de phase et sa longueur d'onde. 5. Déterminer l'expression du champ magnétique associé. 7

Exercice 12 Soit une onde d expression réelle E E cos(ωt kz) x = qui pénètre dans un milieu considéré comme un très bon isolant. Ce milieu est caractérisé par une constante diélectrique relative ε r réelle. De plus le milieu est non magnétique (effets du magnétisme négligés : µ =µ ) et neutre. 1. Ecrire dans ce cas les quatre équations de Maxwell. 2. Déterminer l équation de propagation pour le champ électrique en fonction de ε r et de c (vitesse de propagation d une onde dans le vide). 3. En déduire l équation de dispersion en fonction de ε r, ω et c. 4. Que peut-on en conclure en terme de propagation de l onde dans ce milieu? Exercice 13 On considère le champ E dans le vide. Les composantes de E en coordonnées cartésiennes sont : πy πy E x = ; Ey= E cos( )cos( ωt kx) ; Ez = E sin( )cos( ωt kx) a a avec a un réel. 1. De quel type d onde s agit-il? 2. Déterminer alors l expression du champ magnétique. 3. En déduire l expression littérale du vecteur de Poynting et de sa moyenne temporelle. Exercice 14 Une onde monochromatique plane, dont le champ électrique est suivant Ox, se propage dans le vide suivant la direction des z croissants. L amplitude du champ électrique est Em =.3 V/m et sa fréquence est υ = 15 MHz. 1. Donner l expression littérale de la longueur d onde en fonction de la fréquence. Calculer la valeur de la longueur d onde. 2. Donner l expression littérale du champ magnétique en fonction du champ électrique pour une onde plane progressive. En déduire l expression de l amplitude du champ magnétique. Calculer sa valeur. 3. Trouver les expressions des champs électriques et magnétiques sachant que la valeur maximale de E est atteinte au point z = 25 cm à l instant pris comme origine. 4. Déterminer la puissance moyenne reçue par unité de surface pour une surface placée normalement au vecteur de Poynting. 5. En déduire l éclairement (en watt) d un écran de surface égale à 4 cm 2 Exercice 15 Soit une onde électromagnétique se propageant dans le vide à la vitesse c. 1. Rappeler les expressions des 4 équations de Maxwell dans le vide et en régime variable 2. En déduire l équation de propagation de E dans le vide L onde électromagnétique de champ électrique E a pour composantes en coordonnées cartésiennes : 8

Ex ( x + 3y ) 3 = E cos ω t 2 2c ; E y ( x + 3y ) -E = cos ω t 2 2c ; E z = 3. Montrer que cette expression de E vérifie l équation de propagation 4. Déterminer l expression du vecteur d onde k correspondant à la direction de propagation de l onde 5. L onde est-elle plane, progressive? (à justifier) 6. Déterminer l expression du champ magnétique B associé 7. Montrer que l onde correspondante est une onde TEM (transverse électrique magnétique) 8. Déterminer l expression du vecteur de Poynting puis calculer la moyenne temporelle du vecteur de Poynting sur une période Exercice 16 Soit une onde plane électromagnétique de pulsation ω de champ électrique E 1, d amplitude constante E qui se propage dans le vide. E 1 a pour expression E 1 = E cos( ωt k 1 r)) y où k est le vecteur d onde et r = OM = xx + yy + zz. 1 k (cos( ) sin( ) ) 1 = k α x + α z avec k ω = et α une constante différente de nπ (n entier). c Une deuxième onde plane électromagnétique de pulsation ω de champ électrique constante E est superposée à la première. E a pour expression: 2 E 2 = E cos( ωt k 2 r) y où k est le vecteur d onde. 2 E 2 d amplitude k (cos( ) sin( ) ) 2 = k α x α z avec k ω = et α une constante différente de nπ (n entier). c 1. Calculer le champ E résultant de la superposition des deux ondes en mettant l expression sous la forme d un produit de deux termes 2. A quoi correspondent ces deux termes? (à justifier) 3. En déduire l expression du vecteur d onde pour cette onde résultant de la superposition des deux ondes planes. Pour quelles valeurs de α il n y a plus de propagation. 4. L onde résultante est-elle plane? (à justifier) 5. Calculer le champ magnétique B résultant de la superposition des deux ondes 6. l onde correspondante est-elle une onde TEM? (à justifier) P + Q P Q Rappel : cos( P) + cos( Q) = 2cos( )cos( ) 2 2 9

Exercice 17 On souhaite étudier certaines propriétés d une onde plane sinusoïdale, monochromatique de fréquence de la forme 9 2, 5.1 Hz f = utilisée dans les fours à micro-ondes. Cette onde a un champ électrique = j( ωt kz) E E e u x avec k réel positif. 1. Déterminer la longueur d onde de cette vibration dans le vide. 2. Déterminer le champ magnétique associé à cette onde 3. Déterminer le vecteur de Poynting Π. En déduire l énergie moyenne traversant une surface d aire unité normale à la direction de propagation, par unité de temps. On étudie maintenant la propagation de cette onde dans un milieu ε de permittivité réelle et de perméabilité µ = µ égale à celle du vide. Ce milieu est électriquement neutre et sa conductivité γ est faible, quoique non nulle. 4. Ecrire les équations de Maxwell pour ce milieu, en précisant la signification de chaque terme 5. Déterminer l équation de propagation du champ E 6. A quelles conditions (sur β ) un champ électrique de la forme dans ce milieu en fonction de ε,ω et µ j( ωt β z) Em = E e u complexe peut-il être solution de l équation précédente dans ce milieu? m x avec β On définit Q γ = et on suppose Q << 1 εω 7. Calculer β au premier ordre en Q 8. Exprimer β en fonction de ε,ω, Q et µ et justifier le choix des signes 9. Calculer la distance δ à laquelle l amplitude du champ est réduite d un facteur e. 1. Exprimer cette distance δ en fonction e ε,ω, Q et µ 11. Calculer δ dans le cas de l eau et le verre On donne 1 πε 4 = 9 7 3 9.1 usi µ ; 1 ; verre 6 ; 6.1 ; eau 8 ;, 2 4 usi ε ε π Q = = = ε = ε Q = β = β jβ On pose 1 2 12. Déterminer l expression du champ magnétique Bm et β 2 dans ce milieu en fonction de E, ω, β m 1 13. Calculer le vecteur de Poynting. En déduire l énergie moyenne traversant par seconde une surface d aire normale à la direction de propagation et située en z= puis en z=δ. Qu est devenue l énergie manquante? Exercice 18 L onde électromagnétique de champ électrique E a pour expression en coordonnées cartésiennes : 1

E(, ) = E i( ω t + kx) x t e e y ; A- L onde électromagnétique se propage dans l air. A-1 Rappeler l équation de propagation de E dans l air. A-2 L onde est-elle plane? (à justifier) A-3 Déterminer l expression du champ magnétique B. A-4 L onde correspondante est-elle une onde TEM? (à justifier) B- Cette onde électromagnétique, dont la fréquence est dans le visible, pénètre dans un milieu considéré comme un très bon isolant à cette fréquence. La constante diélectrique relative ε r du milieu est un réel supérieur à 1 et sa perméabilité magnétique µ = µ est égal à celle du vide. Le milieu est parfaitement neutre. B-1 Déterminer l équation de propagation pour l onde dans ce milieu parfaitement isolant et neutre. B-2 En déduire l équation de dispersion k = f(ω). Que peut-on en conclure pour la propagation de l onde dans ce milieu? C- L onde électromagnétique émet maintenant à une fréquence de l ordre de quelques dizaines de Hertz. Elle pénètre dans le même matériau qui devient très bon conducteur à cette fréquence. La conductivité du matériau γ est réelle et sa perméabilité magnétique Le milieu est parfaitement neutre. µ = µ est égal à celle du vide. C-1 Déterminer l équation de propagation pour l onde dans ce milieu parfaitement conducteur et neutre. C-2 En déduire l équation de dispersion k = f(ω). Que peut-on en conclure pour la propagation de l onde dans ce milieu? Exercice 19 Soit une onde de champ électrique E se propageant dans le vide. Les composantes de E en coordonnées cartésiennes sont : z E = E f(y) sin(ω(t + )) ;E x c y = ; E z = avec f(y) une fonction qui ne dépend que de y et E une constante. 1. Préciser de quel type d onde s agit-il? (à justifier) 2. Calculer alors l expression du champ magnétique. 3. Déterminer si l onde est TEM, TE ou TM? 4. Déterminer l expression littérale du vecteur de Poynting ainsi que sa moyenne temporelle. Exercice 2 La propagation d un faisceau laser peut-être modélisée à l aide d un champ électrique gaussien tel que : x2 + y2 2 d2 i( ωt kz) E(r,t) = E e e ex (1) où E est l amplitude du champ électrique et d la taille caractéristique du faisceau. 1- L onde est-elle plane? (à justifier) 11

2 - Déterminer l expression du champ magnétique B 3 l onde correspondante est-elle une onde TEM? (à justifier) 4 - Déterminer l expression du vecteur de Poynting π associée à cette onde électromagnétique. Quelle est la dimension du vecteur de Poynting? 5- Déterminer l expression de la valeur moyenne dans le temps π du vecteur de Poynting. 6- Calculer enfin la puissance moyenne P (en W) traversant une surface infinie, perpendiculaire à la direction de propagation du faisceau laser décrit par l équation (1). On donne + u e 2 du = π (2) Exercice 21 On donne pour tout le problème µ o = 4π 1-7 usi ; ε o = 8,85 1-12 usi ; c=3 1 8 ms -1 On se propose d'établir des communications avec un sous-marin, susceptible d'atteindre une certaine profondeur sous la surface de la mer, par le moyen d'ondes électromagnétiques (OEM). L'eau de mer dans lequel baigne le sous-marin est un milieu linéaire, homogène et isotrope. C'est aussi un milieu globalement neutre. C'est un milieu non magnétique, la perméabilité magnétique µ de l'eau de mer est donc égale à celle µ du vide. C'est enfin un milieu à la fois conducteur (la conductivité est associée au déplacement à grande distance des charges libres) et polarisable (la polarisabilité est associée au déplacement limité des charges liées). La conductivité de l eau de mer est due aux ions (essentiellement Na + et Cl -, solvatés par l'eau) qui sont assez peu efficaces pour le transport de charge ; la conductivité de l eau de mer reste donc faible devant celle des conducteurs métalliques. De plus elle décroît fortement aux hautes fréquences à cause de l'importante inertie de ces ions. La polarisabilité de l eau de mer est due au caractère fortement anisotrope (et dipolaire) des molécules d'eau du milieu, orientables par un champ électrique, ce qui communique une polarisation P au milieu. En conséquence de la polarisabilité, le milieu doit être globalement décrit avec une permittivité électrique ε qui peut s'écrire ε = ε r ε o où ε o est la permittivité du vide et ε r la constante diélectrique (encore appelée permittivité relative). On constate que polarisation, polarisabilité et constante diélectrique décroissent avec la fréquence, la décroissance est cette fois due au moment d'inertie qu'opposent les molécules d'eau à leur réorientation trop rapide. Des graphes (en échelles logarithmiques, où les unités sont celles du système international SI) explicitent ces propriétés de conductivité et de polarisabilité : 12

1 conductivité 1 constante diélectrique 1 1-1 1-2 1 1-3 1-4 1-5 1 4 1 6 1 8 1 1 1 12 1 14 1 16 ω 1 1 4 1 6 1 8 1 1 1 12 1 14 ω 1 16 Quelques valeurs remarquables, utilisées par la suite dans les parties 2 à 4, sont regroupées dans le tableau 1 : pulsation ω (rad/s) 1 6 1 1 1 15 domaine électromagnétique ondes radio micro-ondes visible conductivité γ (Ω -1 m -1 ) 5 5 5 1-4 constante diélectrique ε r 8 24 1,8 Tableau : conductivité γ et constante diélectrique ε r de l'eau de mer Pour trois pulsations ω particulières, appartenant à trois domaines différents. Première Partie : Propriétés générales de la propagation dans l eau de mer 1. Écrire les quatre équations de MAXWELL, en tenant compte des propriétés du milieu. j est la somme de la densité de courant de conduction On souligne que la densité de courant totale jcond = γ E (asociée au déplacement des charges libres) et de la densité de courant de polarisation P j pol = (associée au déplacement limité des charges liées). On indique que le vecteur polarisation t P s écrit P = ε o (ε r -1) E. 2. En déduire l'équation de propagation du champ électrique E dans l'eau de mer. On admet que le champ électrique de l OEM est de la forme E = E o e i(kz- ωt) u x, où l'axe Z est vertical et orienté dans le sens des profondeurs croissantes. 3. Donner les directions de propagation et de polarisation de cette onde. Est-elle plane? Est-elle progressive, harmonique? 4. Établir, dans le cas général, la relation de dispersion k 2 = f(ω) dans l'eau de mer. 5. Rappeler les conséquences pour l'onde d'un nombre d'onde complexe k, s écrivant k = k' + ik" (on ne calculera ni k' ni k"). 13

6. Dans quel(s) cas pourra-t-on considérer que k 2 est approximativement un réel pur? que k 2 est approximativement un imaginaire pur? 7. Pour chacune des trois pulsations données dans le tableau 1, et compte tenu des valeurs numériques que celui-ci contient, indiquer si k 2 est approximativement réel, approximativement imaginaire, ou devra être traité comme un complexe sans approximation possible. Indiquer dans chacun des cas si on peut considérer l'eau de mer plutôt comme un diélectrique ou plutôt comme un bon conducteur. Deuxième Partie : Propagation d ondes radio dans l'eau de mer On choisit pour commencer la pulsation ω = 1 6 rad/s, appartenant au domaine électromagnétique des ondes radio. 8. Donner la relation de dispersion de l'oem pour ces ondes radio. 9. Réexprimer le champ électrique E(z,t). Troisième Partie : Propagation de micro-ondes dans l eau de mer On utilise maintenant la pulsation ω = 1 1 rad/s, appartenant au domaine électromagnétique des micro-ondes. 1. Ecrire l'expression du champ électrique E(z,t) dans le cas de ces micro-ondes. En déduire l'expression du champ magnétique B(z,t). Ecrire leurs expressions réelles. 11. Donner l'expression < Π > de la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting. Quatrième Partie : Propagation de lumière visible dans l eau de mer On utilise enfin la pulsation ω = 1 15 rad/s, appartenant au domaine électromagnétique des ondes lumineuses visibles. 12. Préciser l'expression de k 2 en fonction de ω. Calculer les parties réelle et imaginaire de k 2, compte tenu des valeurs numériques du tableau 1. On constate, ce qui était attendu, que la partie imaginaire est très inférieure à la partie réelle. Nous ne négligerons toutefois pas la partie imaginaire, car ceci reviendrait à négliger l'atténuation de l'onde lors de sa propagation, atténuation qui est justement le phénomène qui limite la propagation, auquel nous nous intéressons. 13. Calculer le module et l'argument de k 2. En utilisant quelques règles simples de calcul sur les complexes, déduire le module et l'argument de k, puis les parties réelle k' et imaginaire k" de k. 14. Écrire les expressions de E(z,t), puis B(z,t). 15. Déterminer la profondeur δ à laquelle les champs auront décru d'un facteur e. Ces ondes visibles permettront-elles la communication avec le sous-marin? 14

Exercice 22 Le plasma interstellaire est constitué d électrons de masse m, de charge électrique e, de nombre volumique n et d ions supposés fixes. Il est localement neutre et le reste au passage d ondes planes progressives monochromatiques de vecteur d onde k et de pulsation ω : E(r,t) = E e i(kr ωt) et B(r,t) = B e i(kr ωt) perméabilité du plasma sont celles du vide. On donne ( E ) Rappel : εµ c2 = 1 avec c la vitesse de la lumière dans le vide. avec E et B constantes. La permittivité et la k k = k² E. 1. Montrer que de telles solutions supposent que la densité de courant soit elle-même une onde plane progressive monochromatique du type : j = j e i(kr ωt) avec k B j = i + εωe µ 2. Quelle hypothèse permet d en déduire que j est orthogonal à k? 3. Exprimer le champ magnétique B en fonction du champ électrique E, de k et ω. Quelle est la structure de cette onde? 4. Montrer que les vecteurs j et E sont colinéaires et déterminer la conductivité γ du plasma définie par j = γ E On supposera pour la suite que l effet du champ magnétique sur le mouvement de l électron est 2 i ne négligeable. On a alors une nouvelle expression pour j : j = γ E avec γ = (avec i mω 2 = -1) 5. En égalisant cette expression avec celle obtenue dans la question précédente, déterminer la relation de dispersion ω(k) que doivent satisfaire ω et k. On introduira la constante 2 µ ne α =. Que peut-on en conclure sur la propagation? m 6. Déterminer l expression de la vitesse de phase Vϕ et de la vitesse de groupe Vg en fonction de k et ω. Que peux-t-on en conclure pour la vitesse de phase et la vitesse de groupe? 7. Deux trains d onde de longueurs d onde respectives λ 1 et λ 2 (avec λ 2 > λ 1 ) sont émis au même instant par un objet stellaire situé à une distance L. En supposant α λ <<1 et α λ <<1, déterminer l expression du terme principal de la différence 2 2 1 2 t= t2-t1 des temps de réception des deux signaux. 15

Exercice 23 Une onde électromagnétique de pulsation ω se propage dans le vide dans la direction (Ox) entre deux plans métalliques parallèles placés en y = et y = a (voir figure ci-dessous). Le champ électrique E électrique peut donc s écrire sous la forme : est polarisé suivant (Oz) et son amplitude dépend uniquement de y. Le champ ( ) ( ) i ω E E y e t = kx z Les composantes du champ magnétique B ne dépendent que de y y a z Métal parfait 1. A partir des relations de Maxwell exprimées dans le vide, établir l expression des composantes du champ magnétique B en fonction de celles de E. 2. Déduire des équations de Maxwell l équation différentielle vérifiée par E(y). On posera ω² α ² = k² c² 3. Rappeler les conditions de passage entre deux milieux pour le champ électrique E. En déduire les expressions du champ électrique en y = et y = a On prendra comme solution pour E(y) une expression du type : E(y)=Acos( αy) + Bsin( α y) avec A, B et α des constantes. 4. Déterminer en utilisant les conditions de passage en y = et y = a les valeurs de A et α. 5. En déduire l équation de dispersion k = f(ω) en fonction en particulier de ω, c et a. 6. Caractériser la pulsation ω c, dite de coupure, au-dessous de laquelle aucune propagation n est possible. 7. Déterminer l expression de la vitesse de phase en fonction en particulier de ω, ω c et c. 8. Déterminer l expression de la vitesse de groupe en fonction en particulier de ω, ω c et c. 16

Exercice 24 On considère le conducteur métallique formé de deux plaques planes parallèles au plan XZ, supposées infinies. Ces deux plaques, formées d un conducteur métallique parfait de perméabilité égale à celle du vide, sont distantes de a et séparées par du vide. Le but de cet exercice est d établir à quelles conditions des ondes électromagnétiques harmoniques, de pulsation ω, polarisées suivant l'axe X, peuvent se propager suivant l'axe Z. i( kgz ωt ) 1. Pourquoi une onde électromagnétique de champ E( z, t) = E e ex, avec Eo constante, ne convient-elle pas? On cherche alors une solution plus complexe de la forme i( k z ωt) (, ) x avec f(y) g E z t = f ( y) e e une fonction de y seul et k g une constante, toutes deux a priori complexes à déterminer. 2. Trouver l'équation différentielle que satisfait f(y) On posera ω² 2 α ² = kg et on prendra comme solution pour f(y) une expression du type : c² f(y)=acos( αy) + Bsin( α y) avec A, B et α des constantes à déterminer. 3. Déterminer la fonction f(y) 4. Montrer qu'aucune onde ne peut se propager dans l'espace entre les plans si ω est inférieur à une valeur limite ω c que l'on déterminera 5. Tracer l allure de la courbe de dispersion k g (ω) pour ω > ω c Calculer la vitesse de phase v ϕ et la vitesse de groupe v G de l'onde. Pourquoi une des deux vitesses est-elle nécessairement inférieure à c et laquelle? 17

Exercice 25 Quatre plans métalliques parfaitement conducteurs en x =,x = a, y =, y = b sur la figure cidessous délimitent un guide d ondes de longueur infinie suivant Oz, de section droite rectangulaire dans lequel règne le vide. x a z b y On se propose d étudier la propagation dans ce guide suivant la direction Oz d une onde électromagnétique monochromatique de pulsation ω, dont le champ électrique s écrit : E = f(y) cos( ωt k z) x, où f(y) désigne une fonction réelle de la variable y et g g k est une constante positive. On pose k = 2π = ω et λ c k g 2 λ π = avec λ g la longueur d onde dans le guide. g 1. Rappeler sans la démontrer l expression de l équation de propagation pour le champ électrique 2. En déduire l équation différentielle à laquelle satisfait la fonction f(y). 3. On supposera que f(y) a pour solution une expression du type : f(y)=asin(αy + ϕ) a. En déduire α. b. En utilisant les conditions que doit vérifier le champ électrique sur les plans conducteurs en y = et en y = b, déterminer l expression de ϕ. Pour la suite de l exercice on prendra l expression la plus simple pour ϕ c est à dire ϕ =. c. Utilisez à nouveau les conditions aux limites en y = et en y = b pour montrer que dans l expression de f(y) il intervient un nombre entier n non nul (supposé positif). Décrire le type d onde auquel on aboutit. d. Que laisse prévoir les conditions aux limites du champ électrique sur les plans conducteurs en x = et en x = a? 4. Exprimer kg en fonction de ω, c, n et b. En déduire λ g en fonction de λ, b et n. 5. Montrer qu il existe une fréquence de coupure ν c en dessous de laquelle il n y a plus de propagation. A.N. : calculer b sachant que ν c = 2,5 GHz et pour n = 1. 18

6. Exprimer les vitesses de phase et de groupe de l onde en fonction de c et du rapport ν/ν c (ν est la fréquence de l onde). Exercice 26 Soit un guide d onde rectangulaire métallique creux de côtés a = 2 cm et b = 1 cm. Une onde électromagnétique sinusoïdale se propage dans le guide. La composante magnétique suivant Oz du champ électromagnétique a pour expression : i( ωt-k z) x y g B z(x,y,z,t) = B cos(pπ )cos(nπ )e avec k g le vecteur d onde dans le guide. p et a b n sont des entiers supérieurs ou égaux à zéro. B est une constante. 1. Comment s effectue la propagation dans le guide? 2. Pourquoi ne peut-on pas avoir dans un guide d onde métallique creux rectangulaire p = n =? 3. Donner l équation de propagation de B z en fonction de k 2 c, où k 2 c = k 2 - k 2 g et k est le vecteur d onde dans le vide. 4. Retrouver l expression de k c en fonction de p et de n. 5. En déduire l expression de la fréquence de coupure pour une onde TE en fonction en particulier de a, de b et de la vitesse de la lumière c dans le cas où le guide est rempli d air (la constante diélectrique et la perméabilité sont celles du vide). 6. Calculer les fréquences de coupure pour les modes TE 1, TE 1 et TE 2. 7. Le guide est maintenant rempli de polyéthylène de constante diélectrique relative ε r. La perméabilité magnétique est celle du vide. a. Quelle est la nouvelle expression de la fréquence de coupure pour une onde TE en fonction en particulier de a, de b, de la vitesse de la lumière c et de la constante diélectrique relative ε r? b. Déterminer les fréquences de coupure pour les modes TE 1, TE 1 et TE 2. Rappel : c = 3 1 8 m/s. 19