Projet. Cadran solaire

Projet Cadran solaire Version 1. - 1-12.1.9

1 SOMMAIRE 1 Sommaire...2 1.1 Versions...2 2 Thème...3 2.1 Cahier des charges...3 3 Bases astronomiques...4 3.1 Numéro du jour dans l'année...4 3.2 Modélisation...5 3.3 Les coordonnées équatoriales...6 3.3.1 Déclinaison...6 3.3.2 Heure solaire locale...7 3.3.3 Effet de l'orbite en ellipse...7 3.3.4 Effet de l'obliquité de l'axe terrestre...8 3.3.5 L'équation du temps...8 3.3.6 Mesure du temps...8 3.3.7 L'heure et l'angle solaire...9 3.4 Coordonnées horizontales...1 3.4.1 Hauteur du soleil γ...1 3.4.2 L'azimut du soleil α...1 3.5 Levé et couché du soleil...11 4 catalogue des cadrans solaires...12 4.1 Cadrans non ajustables...12 4.1.1 Mesure de la hauteur du soleil (déclinaison)...12 4.1.2 Mesure de l'azimut du soleil...12 4.1.3 Mesure de la hauteur et de l'azimut...12 4.2 Cadrans ajustables...12 5 Choix de la solution...13 5.1 Discussion...13 5.2 Concept...13 6 CAlcul et construction...15 6.1 Tabelle 1_Données...15 6.2 Tabelle 2_ND...15 6.3 Tabelle 3_Analème...15 6.4 Tabelle 4_Simulation...15 6.5 Tabelle 5_Construction...15 6.5.1 Donnée...15 6.5.2 Dessin...15 6.5.3 L'échelle...16 7 Bibliographie...17 7.1 Livre...17 7.2 Sites internet...17 1.1 Versions Version Date Changements 1. 11.8.9 Original - 2-12.1.9

2 THEME 2.1 Cahier des charges En vue de l'aménagement de la surface de repos du futur campus de l'école à Brugg- Windisch, on aimerai y installer un cadran solaire. La réalisation et le choix des matériaux sont libres. L'heure moyenne européenne (HME) doit pouvoir se lire directement sur deux échelles (pour heure d'été et d'hiver) au maximum. L'erreur de lecture maximum est +/- 5 minutes. Le cadran solaire sera installé en extérieur et devra résister aux intempéries ou être protégé contre l'humidité et la température. Son fonctionnement devra être testé par une simulation d'après un model mathématique. Un échantillon ou une maquette n'est pas exigé. - 3-12.1.9

3 BASES ASTRONOMIQUES Les coordonnées horizontales (angles): α = l'azimut par rapport au sud γ = la hauteur du soleil sur l'horizon sont calculées sur la base de: Date: jour, mois, année heure: heure d'horloge et heure d'été (oui/non) fuseau horaire coordonnées du lieu: longitude, latitude φ données astronomiques 3.1 Numéro du jour dans l'année Comme la position sidérale du soleil est chaque année à la même époque identique, elle est dépendante du jour compté à partir du 1er janvier. L'année est bissextile: quand elle est divisible par 1 et 4 quand elle est divisible par 4 mais pas par 1 Nombre de jour jusqu'au mois M Si M <3 si année bissextile 62 NM = INT (( M 1) ) 2 sinon 63 NM = INT (( M 1) ) 2 Si M>=3 si année bissextile NM = INT (( M + 1)3.6) 62 sinon NM = INT (( M + 1)3.6) 63 Nombre de jours: ND= jour + NM Datum ND 2.6 171 1.7 182 1.7 191 2.7 21 1.8 213 1.8 222 2.8 232 1.9 244 1.9 253 2.9 263 1.1 274 1.1 283 2.1 293 1.11 35 1.11 314-4 - 12.1.9

2.11 324 1.12 335 1.12 344 2.12 354 3.2 Modélisation Pour le calcul des coordonnées du soleil on utilise le modèle suivant: 1) Le soleil tourne autour de la terre 2) Les calculs se font dans le plan de l'équateur au lieu de celui de l'écliptique 3) Le soleil se déplace sur un cercle au lieu d'une ellipse. zeclip zequat = Pole Nordpol nord yeclip γ lon RA Decl oblecl yequat xeclip = xequat Figure 1: Plan équatorial Les axes de coordonnées xeclip et xequat sont identiques. Il y a donc deux points communs (nœuds) sur l'orbite du soleil. L'un d'eux et le nœuds de printemps γ. Il sert de référence pour le calcul du chemin du soleil dans le ciel. Le soleil se déplace dans le plan de l'écliptique. A un certain moment il fait un angle lon par rapport au nœud γ. Cela correspond à un angle RA et une hauteur Decl dans le plan de l'équateur. - 5-12.1.9

3.3 Les coordonnées équatoriales Position de la terre lors du solstice d'été Figure 2: Déclinaison au long de l'année 3.3.1 Déclinaison Au lieu de calculer la position du soleil exactement à partir de ses coordonnées écliptiques et équatoriales (lon. RA Decl) on utilise une approximation. La déclinaison δ est calculée selon Bourges (1985) au jour ( ND 79.346) w = 2π 365.25 de la façon suivante: δ =.3723 + 23.2567 sin( w) 758 cos( w) +.1149 sin(2w) +.3656 cos(2w).1712 sin(3w) +.21cos(3w) - 6-12.1.9

3.3.2 Heure solaire locale L'heure locale vraie (HLV) est l'heure solaire vraie à l'endroit d'observation. A HLV =12: le soleil est au zénith. Par rapport à un mouvement régulier d'un soleil hypothétique idéal, le vrai soleil est parfois en avance, parfois en retard. L'heure locale moyenne (HLM) est l'heure solaire du soleil régulier. Le soleil moyen imaginaire est à HML = HLV - E au zénith. E = équation du temps (voir 3.3.3 et 3.3.4) soit E = HLV HLM (> si le soleil est en avance) 3.3.3 Effet de l'orbite en ellipse Le vrai soleil se déplace sur une ellipse, le soleil moyen sur un cercle. soleil vrai avance 2 janvier = perihèlie terre aphélie= 3 juillet soleil vrai retarde Figure 3: Orbite elliptique L'erreur correspond à la courbe verte dans la figure suivante: soleil vrai en avance soleil vrai en retard Figure 4:équation du temps - 7-12.1.9

3.3.4 Effet de l'obliquité de l'axe terrestre Rotation de la sphère céleste soleil vrai retarde soleil vrai terre méridien soleil vrai avance soleil moyen Figure 5: Obliquité de l'axe terrestre Le fait que le soleil vrai se déplace sur l'écliptique et non sur l'équateur une erreur est introduite correspondant à la courbe rouge de la.figure 4 3.3.5 L'équation du temps L'équation du temps est la somme des deux effets cités ci-dessus. (courbe noire dans la.figure 4): E [Min] = HLV HLM Elle peut être approximée par une série de Fourier d'après Spencer en minutes: 72 E := (.75 +.1868 cos( B).3277 sin( B).14615 cos( 2 B).489 sin( 2 B) ) π avec B = 2π ND 365 3.3.6 Mesure du temps Le temps universel UT C'est le temps régulier (horloge) sur le méridien de Greenwich en ne tenant pas compte de l'heure d'été. L'heure moyenne européenne MET C'est l'heure régulière (horloge) en Europe (sur le méridien de Görlitz = 15 à l'est de Greenwich) Avec la vitesse du Soleil (vitesse de rotation de la terre) de 4min/degré et considérant l'heure d'été (1h ou ) UT = MET - 4min*15 - heure d'été = MET - 1[h] - heure d'été - 8-12.1.9

UT MET Figure 6: Fuseaux horaires Relation MET = f( HLM ) Par définition les positions géographiques à l'est de Greenwich sont comptées positives. à l'ouest de 15 (longitude < 15 ) les événements astronomiques se produisent Δt=4*(15-longitude) plus tard que HLM (Dt>) à l'est de 15 (longitude > 15 ) les événements astronomiques se produisent Δt=4*(15-longitude) plus tôt que HLM (Dt<) Donc MET = HLM + Δt = HLM - 4min*(15 - longitude[ ]) 3.3.7 L'heure et l'angle solaire MET = HLM + 4min*(15 - longitude[ ]) avec HLM = HLV - E (équation du temps) et tenant compte de l'heure d'été MET heure d'été = HLV E + 4min*(15 longitude) HLV = MET + E + 4min*(15 - longitude) - heure d'été Le temps solaire ts est l'angle horaire de la vrai position du soleil (HLV = Heure locale vraie) à l'ouest de 12: à l'endroit d'observation (à l'ouest ts >, à l'est ts < ) ts = HLV 12 L'angle solaire correspondant ω [degré] par rapport à 12: soit le sud (ω> à l'ouest, ω< à l' est) est: 36 ϖ = ts 24-9 - 12.1.9

3.4 Coordonnées horizontales plan équatorial Figure 7: Transformation des coordonnées ω = angle solaire δ = déclinaison Φ = latitude de l'observateur γ = hauteur cherchée du soleil au dessus de l'horizon 3.4.1 Hauteur du soleil γ Le théorème du cosinus est appliqué au triangle en jau ne (Figure 7) cos(9 - γ ) = cos(9 - Φ)cos(9 - δ ) + sin(9 - Φ)sin(9 -δ )cosϖ sin γ = sin Φ sinδ + cos Φ cosδ cosϖ γ = arcsin(sin Φ sin δ + cos Φ cosδ cosϖ ) 3.4.2 L'azimut du soleil α Le théorème du cosinus est appliqué au triangle en jaune (Figure 7) cos(9 δ ) = cos(9 φ)cos(9 γ ) + sin(9 φ)sin(9 γ )cos(9 α) sinδ = sinφ sin γ cosφ cosγ cosα sinφ sin γ sinδ cosα = cosφcoxγ 18 sinφ sinγ sinδ α = arccos si ϖ < π cosφ cosγ 18 sinφ sinγ sinδ α = arccos sin on π cosφ cosγ - 1-12.1.9

3.5 Levé et couché du soleil Lors du levé et du couché du soleil la hauteur γ est nulle. Le soleil se trouve à l'horizon. L'azimut α est alors: 18 sinδ α = arccos π cosφ 18 sinδ α = arccos π cosφ si ϖ < sin on Pour pouvoir les représenter on a besoin de ω: De 3.4.1 on déduit: sinγ = sin Φsinδ + cosφ cosδ cosϖ = sin Φ sinδ cosω = cosφ cosδ ω = ± arccos( tgφtgδ ) 24* ω ts = 36 WOZ = 12 ts WOZ = 12 + ts E[min] + 4[min]*(15 Länge) MEZ = WOZ + heured' été 6 E[min] + 4[min]*(15 Länge) MEZ = WOZ + heured' été 6 Il est seulement possible de représenter le levé et le couché du soleil à un endroit déterminé. Le design du cadran sera donc dépendant de sa position. - 11-12.1.9

4 CATALOGUE DES CADRANS SOLAIRES 4.1 Cadrans non ajustables 4.1.1 Mesure de la hauteur du soleil (déclinaison) Le gnomon peut être horizontal ou vertical, le cadran vertical resp. horizontal. Avantages: simple Désavantages: à midi très imprécis, puisque la hauteur du soleil est constante pendant env. 2 heures. Le soir également imprécis à cause de la réfraction de l'air qui fausse la mesure de la hauteur. valable que pour une position géographique. 4.1.2 Mesure de l'azimut du soleil Le gnomon est parallèle à l'axe de rotation terrestre. Le cadran est soit vertical, soit perpendiculaire au gnomon soit horizontal. Le gnomon peut également être horizontal resp. vertical. Le cadran est alors vertical resp. horizontal. Avantages: simple lorsque le cadran est perpendiculaire au gnomon dirigé vers le nord, l'échelle des heures est régulière. Désavantages: valable que pour une position géographique précision médiocre 4.1.3 Mesure de la hauteur et de l'azimut Pour augmenter la précision on mesure en plus de l'azimut aussi la hauteur du soleil. Avantages: Il est possible d'afficher la date. La mesure du temps est précise La correction due à l'équation du temps peut être intégrée dans le cadran ou dans le gnomon. Désavantages: Lecture de l'heure est compliquée, parce qu'il faut choisir la courbe correspondante au jour de l'année valable que pour une position géographique 4.2 Cadrans ajustables Pour augmenter encore la précision le cadran peut être rendu ajustable. Pour pouvoir l'utiliser dans le monde entier le cadran ou le gnomon doit être ajusté une fois pour toutes en fonction de la latitude et du fuseau horaire En ajustant l'échelle des heures ou le gnomon on peut prendre en considération la date. Pour ne pas rendre le cadran trop compliqué on peut y intégrer mécaniquement la correction due à l'équation du temps à un jour donné. - 12-12.1.9

5 CHOIX DE LA SOLUTION 5.1 Discussion La précision demandée et une lecture simple de l'heure ne peuvent être garanties qu'avec un cadran ajustable. La correction due à l'équation du temps (analème) doit être intégrée dans la construction. De plus un gnomon dirigé parallèlement à l'axe terrestre et un cadran qui lui est perpendiculaire (cadran équatorial) offre une lecture plus agréable de l'heure. Deux échelles régulières pour l'heure d'été et l'heure d'hiver évitent de devoir faire un calcul lors de la lecture, 5.2 Concept Le type de cadran répondant à ses conditions est représenté ci-dessous. gnomon à trou rayon de soleil surface de projection plan équatorial surface horizontale Figure 8: Concept Il s'agit d'un cadran équatorial: Le gnomon (ici à trou) est parallèle à l'axe terrestre. Le cadran est perpendiculaire au gnomon donc dans le plan de l'équateur. L'échelle est de ce fait régulière. Le cadran doit être orienté exactement dans l'axe nord-sud. La latitude ϕ est prise en considération par l'inclinaison du cadran par rapport à l'horizon (ajusté une fois pour toutes). La position géographique et le fuseau horaire sont pris en considération par la rotation de l'échelle des heures (ajusté une fois pour toutes). - 13-12.1.9

Pour tenir compte de l'équation du temps il faut faire tourner le système gnomon à trou et surface de projection jusqu'à ce que le rayon du soleil rencontre une courbe sur celle-ci. Cette courbe (analème) est identique à l'équation du temps en fonction de la hauteur du soleil. Δω = f(-δ) Le signe moins vient du fait qu'il s'agit d'une projection. Tout est inversé. 25 cadran équatorial analème 2 15 1 hiver e automn hauteur du soleil δ [ ] 5-5 -1-15 -2 été printemps -25-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5 ω [ ] soleil retarde avance Figure 9: Analème - 14-12.1.9

6 CALCUL ET CONSTRUCTION Tous les calculs et la construction sont réalisés dans un fichier Excel. 6.1 Tabelle 1_Données Le programme a besoin des données suivantes (champs jaunes): longitude latitude faisceau horaire en degré:15 degré = 1 heure à l'est / -15 degré = 1 heure à l'ouest de Greenwich Jour, mois, année en tant que date de test. Heure et minute comme test. L'heure doit être choisie entre le levé et le couché du soleil. On calcule: ND = le nombre de jour depuis le 1er janvier Le coordonnées horizontales γ et α 6.2 Tabelle 2_ND On y calcule: L'heure d'hiver () ou d'été (1) La date du changement d'heure été-hiver et hiver-été 6.3 Tabelle 3_Analème On y calcule: L'analème comme elle doit être sur la surface de projection. Le point de projection du soleil après ajustement du système gnomonique. L'échelle des levés et couché de soleil l'heure du levé et du couché de soleil pour la date test. 6.4 Tabelle 4_Simulation On y calcule et représente: Le rayon de soleil (jaune) La position du système gnomonique (rouge) L'échelle des heures avec graduation de 5 minutes La position de l'échelle sur l'axe nord-sud (prise en compte de la position géographique et du fuseau horaire) par l'affichage de l'heure corrigée lorsque le soleil est exactement au sud. L'heure lue par l'utilisateur du cadran De plus il est possible de représenter: L'échelle des levés et couché de soleil mais seulement pour une position géographique fixée. 6.5 Tabelle 5_Construction 6.5.1 Donnée Il est nécessaire de fournir une donnée représentant la grandeur du cadran. La hauteur de l'analème est choisie comme base. Toutes les autres dimensions sont dérivées de celle-ci 6.5.2 Dessin Une coupe nord-sud du cadran est représentée. - 15-12.1.9

Pour ajuster le cadran dans l'axe nord-sud on peut utiliser l'étoile polaire (Polaris). Comme le pole est légèrement décalé (.76 = 3MIn) il faut attendre que la ligne Polarismontre exactement Kochab soit verticale. Dans cette position le décalage est nul et la ligne la direction du nord. Une esquisse montre le trou du gnomon et la pénombre. Pour une netteté optimale la théorie de la caméra obscure donne la formule: d [ mm] = Champ C8[ m ] Le champ C8 = la distance (focale) entre le trou et la surface de projection. Le trou résultant est trop petit. On choisi le trou pour un spot d'un diamètre de 1 minute de l'échelle de l'analème. 6.5.3 L'échelle Deux échelles sont prévues afin d'éviter des erreurs de calcul pour l'heure d'hiver et l'heure d'été. 11 1 12 11 13 12 14 13 15 14 15 16 9 1 17 16 8 9 17 18 7 8 18 19 7 6 19 2 6 5 2 21 5 4 21 22 L'échelle est ajustée (tournée) d'après les données du chapitre 6.4. - 16-12.1.9

7 BIBLIOGRAPHIE 7.1 Livre Zenkert Arnold: Faszination Sonnenuhren 4.Auflage. Frankfurt am Main. Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch Gmbh 7.2 Sites internet http://www.zum.de/faecher/materialien/gebhardt/astronomie/zeitglei.html http://www.mysundial.ca/tsp/tsp_index.html http://www.infraroth.de/cgi -bin/slinks.pl http://w ww.hartrao.ac.za/other/sundial/sundial.html - 17-12.1.9