1 INF1130 SESSION A08 EXAMEN INTRA SOLUTIONS dimanche 26 octobre 2008 Question 1 sur la logique propositionnelle (12 points, 3 pour chaque partie). Supposons que les quatre propositions suivantes sont toutes vraies: A " B, C " D, A #C, D. Partie a: Quelle est la valeur de vérité de la proposition D? Justifiez. Solution. Faux. Puisque D est vrai, D doit être faux. Justification alternative: D D 1 0, d'où D ne peut pas être vrai. 0 1, d'où D peut être faux. Partie b: Quelle est la valeur de vérité de la proposition C? Justifiez. Solution. Faux. On a établi que D est faux. Si C était vrai, alors l'implication C "D serait fausse, donc puisque cette implication est vraie, C doit être faux. Justification alternative: D C C "D 0 1 0, d'où C ne peut pas être vrai. 0 0 1, d'où C peut être faux. Partie c: Quelle est la valeur de vérité de la proposition A? Justifiez. Solution. Vrai. On a établi que C est faux. Si A était faux aussi, alors la disjonction A"C serait fausse, donc puisque cette disjonction est vraie, A doit être vrai. Justification alternative: C A A"C 0 1 1, d'où A peut être vrai. 0 0 0, d'où A ne peut pas être faux. Partie d: Quelle est la valeur de vérité de la proposition B? Justifiez. Solution. Vrai. On a établi que A est vrai. Si B était faux, alors l'implication A "B serait fausse, donc puisque cette implication est vraie, B doit être vrai. Justification alternative: A B A "B 1 1 1, d'où B peut être vrai. 1 0 0, d'où B ne peut pas être faux. Où bien on peut écrire une table de vérité avec 16 lignes pour A, B, C et D (travail de cheval).
Question 2 sur les preuves et la logique des prédicats (18 points) Un groupe d'étudiants comporte les personnes suivantes: { Anne, Benoit, Claude, Daniel, Emilie, Fabien, Gaston, Hassan, Igor, Jian }. On sait que Anne, Benoit, Claude, Daniel, Emilie et Fabien étudient en mathématiques et que Emilie, Fabien, Gaston, Hassan, Igor et Jian étudient en informatique. [Oui, certaines personnes peuvent étudier les deux sujets]. Considérons les trois prédicats suivants: M(x) : x étudie en mathématiques. I(x) : x étudie en informatique. P(x,y) : x précède strictement y dans l'ordre alphabétique. Pour chacun des énoncés suivants. Dites s'il est vrai ou faux. Dans chaque cas, donnez tous les arguments nécessaires pour démontrer votre résultat. 2 Partie a (2 points): "x M(x)# I(x) Solution. Faux. Soit x = Anne. Alors I(x) est faux, donc la conjonction M(x) "I(x) est faux. Il y a 8 contre-exemples à cette proposition universelle (tout étudiant sauf Emilie et Fabien); il suffit d'en donner un. Partie b (2 points): "x M(x)# I(x) Solution. Vrai. Soit x = Emilie. Alors M(x) est vrai et I(x) est vrai, d'où M(x) "I(x) est vrai. Il y a encore un exemple (Fabien); il suffit de donner l'un ou l'autre. Partie c (4 points): "x #y P(x,y) Solution. Faux. Soit x = Jian. Alors pour tout y dans l'univers du discours (ce groupe de dix étudiants) P(x,y) est faux puisque Jian ne précède strictement aucun de ces dix noms dans l'ordre alphabétique. Partie d (5 points): "x ( I(x) # ( $y P(x,y) )) Solution. Faux. Soit x = Jian. Alors I(x) est vrai mais "y P(x,y) est faux puisque Jian ne précède aucun des noms y dans l'univers du discours, d'où l'implication est fausse. Partie e (5 points): "y #x ( M(x) $ P(x,y) ) Solution. Vrai. Soit y = Jian. Alors pour tout x, si M(x) est vrai, alors x est un des étudiants Anne, Benoit, Claude, Daniel, Emilie, Fabien et tous ces noms précèdent Jian. Il y a 4 exemples (Gaston, Hassan, Igor, Jian) mais il suffit d'en donner un.
Question 3 sur les ensembles (20 points, 2 points pour chaque partie) Soit l'univers du discours N, l'ensemble des nombres naturels. Considérons les familles d'ensembles suivants: A k = {n 0 " n " k}, B k = {n n # k}. 3 Sachant que i< j, donnez la cardinalité de chacun des ensembles suivants en termes de i et j. Si l'ensemble est infini, écrivez 'infinie'. a) A j " B i : Solution. j-i+1. Cet ensemble est {i, i+1, i+2,..., j}. b) A i " B j : Solution. 0. Un élément x dans cet ensemble devrait satisfaire jxi, ce qui contredit i<j. c) A i " A j : Solution. i+1. Cet ensemble est A i = {0,1, 2,..., i} puisque A i " A j. d) B i " B j : Solution. Infinie. Cet ensemble est B j = {j, j+1,... } puisque B j " B i. e) A j " B i : Solution. Infinie. Cet ensemble est un sur-ensemble de B i, qui est infini. f) A i " B j : Solution. Infinie. Cet ensemble est un sur-ensemble de B j, qui est infini. g) A i " A j : Solution. j+1. Cet ensemble est A j = {0, 1,..., j} puisque A i " A j. h) B i " B j : Solution. Infinie. Cet ensemble est un sur-ensemble de B i, qui est infini. i) B i \ B j : Solution. j-i. Cet ensemble est {i, i+1,..., j-1}. j) A j \ A i : Solution. j-i. Cet ensemble est {i+1, i+2,...,j}.
4 Question 4 sur les fonctions et la division des entiers ( points). Partie a (10 points). Soit f : {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} "{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} la fonction définie par f(n)=(3n) mod 10. Remplissez ce tableau: n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Solution. f(n) 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7 f est-elle injective? Solution. Oui. f est-elle surjective? Solution. Oui. Quelle est la portée (l'étendue, l'image) de f? Solution. {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. f est-elle bijective? Solution. Oui. Si f est bijective, remplissez le tableau de valeurs de la fonction réciproque formule pour f "1 ; autrement laissez le reste de la partie vide. f "1 et donnez une n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Solution. f "1 (n) 0 7 4 1 8 5 2 9 6 3 Formule pour f "1 (n): Solution. (7n) mod 10. On peut remplacer 7 par -3 ou -13 ou 17 ou 27 ou n'importe quel autre entier qui est congru à 7 mod 10.
5 Question 4 (suite). Partie b (10 points). Soit g :{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} "{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} la fonction définie par g(n)=(4n) mod 10. Remplissez ce tableau: n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Solution. g(n) 0 4 8 2 6 0 4 8 2 6 g est-elle injective? Solution. Non. Par exemple, g(1) = g(6) = 4. g est-elle surjective? Solution. Non. Par exemple, 1 n'est jamais atteint par g. Quelle est la portée (l'étendue, l'image) de g? Solution. {0,2,4,6,8}. g est-elle bijective? Solution. Non. Si g est bijective, remplissez le tableau de valeurs de la fonction réciproque formule pour g "1 ; autrement laissez le reste de la partie vide. g "1 et donnez une n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 g "1 (n) Formule pour g "1 (n): Pour les intéressés: La fonction (mn) mod d avec domaine et codomaine {0,1,2,...,d-1} est bijective si et seulement si PGCD(m,d)=1 et dans ce cas-la sa réciproque est la fonction (in) mod d, où i est le seul entier dans {0,1,2,...,d-1} tel que (mi) mod d = 1.
6 Question 5 sur la somme des suites (10 points). Donnez la valeur numérique de chacune des sommes suivantes. Partie a (5 points). La suite arithmétique 3 + 7 + 11 + 15 +... + 2003. Solution. La formule la plus facile à utiliser est somme = nombre de termes * (premier terme + dernier terme)/2. Alors (premier terme + dernier terme)/2 = (3+2003)/2 = 2006/2 = 1003. Pour trouver le nombre de termes, on utilise la formule dernier terme = a + (n-1)d, où a est le premier terme, d est (deuxième terme - premier terme) et n est le nombre de termes. Ici a = 3, d = 4 et dernier terme = 2003, donc on a 2003 = 3 + (n-1)4, d'où 2000 = 4(n-1), d'où n-1=500, d'où n=501. La somme de cette suite est donc 1003*501 = 501000+1503 = 502503.
Question 5 sur la somme des suites (suite). Donnez la valeur numérique de chacune des sommes suivantes. Partie b (5 points). La suite géométrique 6144, 3072, 1536,..., 0,375 (0,375 est le dernier terme de la suite). Solution. La formule la plus facile d'utiliser est Somme = (dernier terme * r - a)/(r-1), où a = premier terme et r = deuxième terme / a. Il est aussi plus facile de supposer que le premier terme est le plus petit terme et le dernier terme est le plus grand terme. Avec cette supposition, a = 0,375, r = 2 et le dernier terme est 6144. La somme est donc (6144*2-0,375)/(2-1) = 12288-0,375 = 12287,625. 7
Question 6 sur le comportement asymptotique des fonctions (20 points). Considérez les fonctions suivantes avec domaine N (l'ensemble des nombres naturels) et codomaine R (l'ensemble des nombres réels). 8 n f 1 (n) = "(2i + 3), i=1 f 2 (n) = 3n(log n) 2 + n 1,5 (log(n 2 )), f 3 (n) = 3n4 + 2n 3 +1 n 2, + 2 f 4 (n) = 2 n, n f 5 (n) = " 2 i, f 6 (n) = 2 2n+2. i=0 Partie a (12 points). Trouvez pour chacune de ces fonctions f i une fonction aussi simple que possible qui est l'estimé grand-o le plus précis possible pour la fonction f i. Solution. f 1 (n) " O( n 2 ), f 2 (n) " O( n 1,5 log n ), f 3 (n) " O( n 2 ), f 4 (n) " O( 2 n ), f 5 (n) " O( 2 n ), f 6 (n) " O( 4 n ). Partie b (8 points). On dit que la fonction f croît moins rapidement que la fonction g si f est dans O(g) et g n'est pas dans O(f). On dit que les fonctions f et g croissent à la même vitesse si f est dans O(g) et g est dans O(f). Ordonnez les fonctions f 1, f 2, f 3, f 4, f 5, f 6 de gauche à droite selon leur taux de croissance (grand-o). Si des fonctions croissent à la même vitesse, insérez leurs numéros sur la même ligne horizontale dessinée ci-dessous. 1 4 2 3 5 6 Numéro de la fonction qui croît le moins rapidement Numéro de la fonction qui croît le plus rapidement