L arithmétique L arithmétique est l étude des nombres entiers. Dans cette partie vous allez vous former à des raisonnements fins et ambitieux. Vous développerez votre esprit d analyse, votre capacité à prendre des initiatives. Ces méthodes vous seront très utiles dans vos études post- bac. En arithmétique, nous travaillerons sur les notions de multiples, de diviseurs, de PGCD, de congruences. En dehors de l étude purement mathématique des nombres entiers, l arithmétique est aujourd hui utilisée en cryptologie science du codage et du décodage : les codes- barres, les codes ISBN les RIB se terminent par des clés ayant pour but de détecter certaines erreurs. La division euclidienne et les congruences sont les principaux outils permettant de fabriquer ces clés. chapitre 1 : divisibilité et congruences Introduction On rappelle que est l ensemble des entiers relatifs et est l ensemble des entiers naturels. L ensemble vérifie deux propriétés admises auxquelles nous ferons fréquemment appel dans ce chapitre : Toute partie non vide de admet un plus petit élément ; Toute partie non vide et majorée de admet un plus grand élément. Pouvez- vous donner un exemple de partie non vide de? Puis d une partie non vide et majorée de? On peut remarquer que la deuxième propriété est vraie dans ce qui n est pas le cas de la première. Quelle hypothèse supplémentaire faudrait- il ajouter pour que la première soit vraie dans? I / Divisibilité dans définition Soient a et b deux entier relatifs et b 0. On dit que b divise a et on note b a, s il existe un entier relatif k tel que a = k b. On dit aussi que a est un multiple de b ou que b est un diviseur de a. remarque L égalité a = k b s écrit aussi a = k l égalité a = k b s écrit aussi a = k b donc si b a alors b a. D autre part : b. Ainsi, si b a alors b a. On en déduit la recherche des diviseurs d un entier relatif a dans, revient donc à chercher les diviseurs de a dans.
exemple Déterminons les diviseurs de 36 : On peut écrire : 36 = 1 36 = 2 18 = 3 12 = 4 9 = 6 6 Il en résulte que les diviseurs de 36 sont : On en déduit que : Conséquences! tout entier relatif divise 0 cad : b, b 0 ;! les seuls diviseurs de 1 sont : 1 et 1 ;! 1 et 1 divisent tout entier relatif a cad : 1 a et 1 a ;! Pour tout entier relatif a, a et a sont des diviseurs de a : cad a, a a et a a ;! deux entiers relatifs opposés ont les mêmes diviseurs. Propriétés Soient a, b et c trois entiers relatifs non nuls : démonstration 1/ si c b et b a alors c a transitivité ; 2/ si a b et b a alors a = b ou a = b ; 3/ si a b et b 0 alors a b. Ainsi, tout entier admet un nombre fini de diviseurs ; 4/ si a b et a c alors pour tous entiers relatifs λ et µ, a λb + µc ; 5/ si a b alors a bc 6/ si a b alors ac bc 7/ si a b et a b alors a a b b. En particulier a n b n 1/ si c b alors il existe un entier k tel que b = k c ; pour tout n si b a alors ils existe un entier k tel que a = k b. On a alors : a = k b = k k c Ainsi a = k k c cad : c a. 2/ si a b alors il existe un entier k tel que b = ka ; si b a alors il existe un entier k tel que a = k b. Il en résulte que : a = k k a. Ainsi : k k = 1. Or les seuls diviseurs de 1 sont 1et 1. conclusion : k = k = 1 ou k = k = 1. 3/ si a b alors il existe un entier k tel que b = ka. Il en résulte que b = k a. or b 0, donc k 1 d où a b. 4/ si a b et a c alors il existe deux entiers k et k tels que b = ka et c = k a. Pour tous entiers λ et µ, on a alors : λb + µc = λka + µ k a = λk + µ k 5/ si a b alors il existe un entier k tel que b = ka. Alors bc = kc 6/ si a b alors il existe un entier k tel que b = ka. Alors bc = k ac cad ac bc. a, cad que : a λb + µc. a et a bc. 7/ si a b et a b alors il existe deux entiers k et k tels que b = ka et b = k a. On a alors : b b = k k a a cad a a b b. remarque : en particulier, a 2 b 2 aisément que pour tout n, on a a n b n. et en utilisant un raisonnement par récurrence, on démontre
exercice 1 On veut déterminer tous les couples a ; b d entiers relatifs tels que 4a 2 b 2 = 27 1 Factoriser 4a 2 b 2. 2 Dans cette question, a et b sont des entiers naturels. Déduire de la question précédente que a ; b est si et seulement si : 2a b = 1 2a + b = 27 et 2a b = 3 2a + b = 9 3 Résoudre les deux systèmes ci- dessus et conclure. 1 4a 2 b 2 = 2a 2 b 2 = 2a b 2a + b. 2 On résout 2a b 2a + b = 27 :! on sait d une part que : 27 = 1 27 = 3 9! on sait d autre part que a et b sont des entiers naturels ; on en déduit alors que 2a b < 2a + b 3 puisque b 0 On en déduit que résoudre 2a b 2a b = 1 2a + b = 27 2a + b = 27 revient à résoudre : et 2a b = 3 2a + b = 9 CQFD 2b = 26 2a b = 1 2a + b = 27 a = b +1 b = 13 a = 7 2 et 2b = 6 2a b = 3 2a + b = 9 a = b + 3 b = 3 a = 3 2 conclusion : Dans 2, l ensemble de s de l équation : 4a 2 b 2 = 27 est : S = 3; 3 ; 3;3 ; 3; 3 ; 3;3 ; 7 ; 13 ; 7 ;13 exercice 2 Les questions sont indépendantes. { ; 7 ; 13 ; 7 ;13} 1 Démontrer que la somme de trois entiers consécutifs est divisible par 3. 2 Démontrer que le produit de deux entiers consécutifs est pair. 3 Démontrer qu il n existe pas d entier a et b tels que 26a 54b = 2013 1 Notons n le plus petit de ces trois entiers. Les deux entiers suivants s écrivent donc n +1 et n + 2 Le somme de ces trois entiers s écrit : n + n +1+ n + 2 = 3n + 3 = 3 n +1. D où le résultat. 2 Soit n le plus petit des deux entiers. L entier consécutif est n +1. Le produit de ces deux entiers s écrit : n n +1. 1 er cas : n est pair, alors il existe un entier k tel que n = 2k. Ainsi : n n +1 = 2k n +1 = 2 k n +1 et donc n n +1 est pair. 2 nd cas : n est impair alors n +1 est pair. Il existe alors un réel k tel que n +1 = 2 k. Ainsi : n n +1 k n. D où le résultat. = 2
3 26a 54b = 2 13a 27b. Il en résulte que 26a 54b est pair. Or 2013 est impair. Il n existe donc pas d entier a et b vérifiant 26a 54b = 2013 exercice 3 astuce et méthode à retenir! Soit n un entier différent de 4. 1 Démontrer que si un entier k divise simultanément n + 4 et 5n + 21, alors k { 1;1}. 2 En déduire que, pour tout n { 4}, la fraction 5n + 21 n + 4 est irréductible. 1. On sait aussi que k 5n + 21 2 et 2, on peut déduire que : k 5n + 21 5 n + 4 cad k 5n + 21 5n 20 ou encore k 1. 1 k n + 4 k 5 n + 4 De 1 Ainsi k = 1ou k = 1. CQFD 2 On déduit de les seuls diviseurs communs à n + 4 et 5n + 21 sont 1 et 1. Le résultat est immédiat. théorème II / Division euclidienne A! division euclidienne dans Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul. Il existe un unique couple d entiers q ; r a = bq + r avec 0 r < b Déterminer q et r, c est effectuer la division euclidienne de a par b. On appelle a le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste. exemples tel que : 1/ le cas a est connu! Si l on effectue la division euclidienne de 37 par 3, on cherche le plus grand multiple de 3 inférieur à 37, c est- à- dire dans 37, combien de fois 3? On a donc : 37 = 3 12 +1. Ainsi : q = 12 et r = 1. 2/ Effectuons à présent la division euclidienne de 37 par 3. L erreur vue fréquemment est de considérer que la division euclidienne de 37 par 3 est : 37 = 3 12 1. or ce n est pas le cas puisque 1 < 0. On a le schéma : On en déduit que : la division euclidienne de 37 par 3 est : 37 = 3 13 + 2 ; q = 13 et r = 2 démonstration Commençons par prouver l existence du couple q ; r d entiers vérifiant a = bq + r avec 0 r < b 1 er cas : supposons que a. Notons E l ensemble des multiples de b inférieurs à a. - E est non vide puisque 0 E. En effet : 0 = 0 b, on peut donc affirmer que 0 est multiple de b et 0 a - E est majoré puisque tout élément de E est inférieur à a On en déduit que E admet un plus grand élément noté e. e étant un multiple de b, il existe q tel que e = bq
LFA / Terminale S SPÉCIALITÉ MATHS Mme MAINGUY On pose : r = a bq. Puisque e = bq a alors a bq 0 cad r 0. D autre part, le multiple de b suivant e est b q + 1 : comme b q + 1 > e alors b q + 1 E puisque e est le plus grand élément de E. On a alors : b q + 1 > a cad bq + b > a ou encore a bq < b. On a donc prouvé que : 0 r < b. L existence de q ; r est démontrée dans le cas a 2nd cas : supposons maintenant que a 0, alors a et d après ce qui précède, nous savons qu il existe un couple q ; r d entiers naturels tel que a = bq + r avec 0 r < b. on a donc a = b q r.! si r = 0 alors a = b q et donc q est le quotient ;! si r > 0 alors a = b q 1 + b r Comme 0 r < b alors 0 b r < b. Ainsi a = b q 1 + b r est la division euclidienne de a par b, q 1 est le quotient, b r est le reste. Prouvons maintenant l unicité du couple d entiers b ; q : supposons qu il existe deux couples d entiers b ; q et b ; q tels que : a = bq + r avec 0 r < b et a = bq + r avec 0 r < b. On obtient alors par différence, b q q + r r = 0 avec b < r r < b cad : r r = b q q avec b < r r < b Il en résulte que r r est un multiple de b. Or le seul multiple de b strictement compris entre b et b est 0. D où r = r et q = q. B! Extension à théorème Soient a et b deux entiers relatifs, b étant non nul. Il existe un unique couple d entiers q ; r tel que : a = bq + r avec 0 r < b exercice 4 Les questions sont indépendantes. 1 Dans chacun des cas suivants, déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b : a/ a = 413 et b = 10 b/ a = 100 et b = 19 c/ a = 34 et b = 7 d/ a = 100 et b = 3 e/ a = 654 et b = 13 f/ a = 1001 et b = 31 2 On considère l égalité suivante : 23 51+ 35 = 1208 Sans effectuer de division, répondre aux questions suivantes : a/ Quels sont le quotient et le reste de la division euclidienne de 1208 par 51? b/ Quels sont le quotient et le reste de la division euclidienne de 1208 par 23? 1 a/ 413 = 410 + 3 = 10 41+ 3 1208 = 23 51+ 35 = 23 51+ 23+ 12 = 23 51+ 23+ 12 = 23 52 + 12, d où : q = 41 et r = 3. On peut observer au passage que le reste de la division de euclidienne de tout entier naturel a 10 par 10 est son chiffre des unités. b/ 100 = 5 20 = 5 19 + 1 = 19 5 + 5, d où q = 5 et r = 5 d/ 100 = 33 3 + 1, d où q = 33 et r = 1 e/ avec calculatrice 654 = 13 51 + 9, d où q = 51 et r = 9 f/ avec calculatrice 1001 = 31 33 + 22, d où q = 33 et r = 22 c/ 34 = 7 5 + 1, d où q = 5 et r = 1
2 a/ On observe immédiatement que q = 23 et r = 35. b/ Ne pas écrire trop rapidement que q = 51 et r = 35 car la condition 0 r < b n est pas vérifiée! On a alors : 1208 = 23 51+ 35 = 23 51+ 23+12 On conclut ainsi que : q = 52 et r = 12 = 23 51+ 23+12 = 23 52 +12 Division euclidienne 1 Quotient : intdivnombre1,nombre2 catalogue ; 1 2 Reste : remainnombre1,nombre2 menu ; 2 ; 5 OU modnombre1,nombre2 menu ; 2 ; 8 ; 5 TOUCHES Attention! Ceci n est valable que dans le cas de deux entiers naturels. Dans le cas d un dividende négatif, on entre les deux nombres le premier étant négatif et on ajoute - 1 au quotient trouvé. exemple : division euclidienne de - 5000 par 17 à l aide de la TI n spire intdiv- 5000,17-294 ; on en déduit que : - 5000=17x- 295+15 exemple et remarque Pour tout entier naturel n, on a : n 2 + 2n + 2 = n +1 2 +1. On peut en déduire, que le reste de la division de n 2 + 2n + 2 par n +1 est 1. On a aussi : n 2 + 2n + 2 = n n +1 + n + 2 : on ne peut cependant pas en déduire que le reste de la division euclidienne de n 2 + 2n + 2 par n +1 est n + 2 car le reste r doit vérifier : 0 r < n +1. Il est par conséquent essentiel de retenir la propriété suivante : propriété Le reste de la division euclidienne de a par b ne peut prendre que b valeurs entières comprises entre 0 et b 1. exercice 5 On divise l entier 256 par b!, on trouve alors comme quotient 15 et comme reste r. " Quelles sont les valeurs possibles pour b et r? On peut écrire : 256 = 15b + r et 0 r < b! On a d une part : 256 < 16b b > 256 16! on sait que r 0 alors 256 > 15b cad b < 256 15 De 1 et 2 cad b > 16 1 d où b 17 2, il en résulte que la seule valeur prise par b est 17. 256 = 15 17 +1 III / Congruences A! Définition définition Soit n un entier naturel non nul et soient a et b deux entiers. On dit que a et b sont congrus modulo n, si et seulement si n b a. On note alors : a b mod n. ou a b n
théorème Soit n un entier naturel non nul et soient a et b deux entiers. Alors a b n si et seulement si, a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n. démonstration Supposons d abord que a b n, c est- à- dire que n b a. Il existe donc un entier k tel que b a = kn. Soient q le quotient et r le reste de la division euclidienne de a par n.on a alors : a = qn + r et 0 r < n. on obtient : b = n k + q + r avec 0 r < n. Ainsi r est aussi le reste de la division euclidienne de b par n. CQFD. Réciproquement, supposons que a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n. Il existe donc des entiers r, q et q tels que : a = qn + r et b = q n + r et 0 r < n. On a alors : b a = q qn. Il en résulte que n b a, et donc a b n CQFD. remarque En particulier, on a b a si et seulement si a 0 b et si et seulement si le reste de la division euclidienne de a par b est nul. conséquences 1/ a 0 n équivaut à a est divisible par n. 2/ Si a b n et b c n alors a c n. exercice 6 : démonstration 1/ On sait que a 0 n n a 0 cad n a cqfd 2/ a b n n b a b c n n c b on en déduit que : n c b + b a cad n c a soit a c n théorème B! Congruence et opérations a, b, c et d sont quatre entiers relatifs quelconques et n un entier naturel non nul. Si a b n et c d n alors a + c b + d n et ac bd n On dit que la congruence est compatible avec l addition et la multiplication. conséquences Soit n un entier naturel non nul, a et b deux entiers relatifs quelconques. 1/ Pour tout entier relatif k, si a b n alors a + k b + k n. 2/ Pour tout entier relatif k, si a b n alors ka kb n 3/ Pour tout entier naturel non nul p, si a b n alors a p b p n exercice 7 Soient a et b deux entiers tels que a 3 7 et b 1 7. " Démontrer que 2a + b est un multiple de 7.
a 3 7 2a 6 7 b 1 7 b2 1 7 alors 2a + b 2 7 7 0 7 D où 7 divise 2a + b 2. exercice 8 1 Le nombre A = 1305 1305 + 900 900 est- il divisible par 29? 2 On considère un entier naturel n supérieur ou égal à 2. Calculer le reste de la division euclidienne de 27 2012 par 7. Astuce à retenir! Savez- vous le justifier? On pourra utiliser la propriété : n 1 = 1 n 3 a/ Quel est le reste de la division euclidienne de 1000 par 37? b/ En déduire que pour tout entier naturel n, le reste de la division euclidienne de 10 3n par 37 est égal à 1. c/ Quel est le reste de la division euclidienne du nombre N = 10 10 +10 20 +10 30 par 37? Justifions d abord que n 1 1 n :! On a d une part : n 1= 0 n + n 1! On a d autre part : 1= 1 n + n 1 Il en résulte que n 1 et 1 ont le même reste égal à n 1 dans la division euclidienne par n. D où le résultat. On peut aussi le montrer plus simplement encore! n 1 1 = n et n n. Cela signifie que n 1 1 n. 1 1305 = 45 29 1305 0 29. 1305 1305 0 29 Alors.. 900 = 29 31+1 900 1 29 900 900 1 29. Alors. On a alors A = 13051305 + 900 900 0 +1 29 A 1 29. Conclusion :. A n est pas divisible par 29. 2 27 = 21 3+ 6 27 6 7 1 7. Alors 272012 1 2102 7 cad 27 2012 1 7. Le reste de la division euclidienne de 27 2012 par 7 est 1. 3 a/ 1000 = 37 27 +1. Le reste de la division euclidienne de 1000 par 37 est 1. b/ D après la question précédente, 10 3 1 37 10 3 n 1 n 37 cad 10 3n 1 37. c/ 10 10 = 10 3 3 10. On sait que 10 3 3 1 37 alors 10 10 1 10 37 cad 10 10 10 37 1 10 20 = 10 3 6+2 = 100 10 3 6 ; 10 3 6 1 37 alors 10 20 100 1 37 cad 10 20 100 37 2 10 30 = 10 3 10 1 37 3 On déduit de 1, 2 et 3 que N = 10 10 +10 20 +10 30 10 +100 +1 37 Or 111= 3 37 111 0 37. Il en résulte que N 0 37. Le reste de la division euclidienne de N par 37 est nul. cad N 111 37
IV / Bases de numération A! Introduction Lorsque nous comptons, nous utilisons le système décimal ou base 10. Par exemple, le nombre 3507 est d après ce système de numération : 3 10 3 + 5 10 2 + 0 10 1 + 7 10 0. D autres systèmes de numération sont utilisés dans notre environnement. Les ordinateurs «comptent» en base 2 système binaire, les programmateurs utilisent la base 16 système hexadécimal, dans la marine, on se repère avec des degrés- minutes- secondes, c est- à- dire en base 60 système sexagésimal. théorème admis Soit p un entier naturel supérieur ou égal à 2. Tous entier naturel N peut s écrire de façon unique : n N = a k p k avec : k=0! les «a k sont des entiers naturels tels que 0 a k < p! a n 0 si N 0! a n = 0 si N = 0 La suite a 0, a 1,, a n est appelée développement en base p de N et l écriture de N en base p est : a n a n 1 a 1 a 0 p exemples 1 Déterminons l écriture en base 5 de 121 : 121= 4 5 2 + 4 5 1 +1 5 0 d où 121= 441 5. 2 astuce : pour convertir 134, on effectue des divisions successives par 7. L ordre inverse des restes donne immédiatement l écriture souhaitée. Ainsi : 134 = 251 7 B! Autres systèmes : exemples exercice 9 : le système binaire Pour écrire en base 2, on utilise uniquement les chiffres 0 et 1. 1 Écrire en base 2 les nombres : 19,157, 987. 2 Écrire en base 10 les nombres : 10110 2,11011 2,101011 2 1 19 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 +1 2 1 +1 2 0 = 10011 2 157 = 1 2 7 + 0 2 6 + 0 2 5 +1 2 4 +1 2 3 +1 2 2 + 0 2 1 +1 2 0 = 10011101 2 987 = 1 2 9 +1 2 8 +1 2 7 +1 2 6 + 0 2 5 +1 2 4 +1 2 3 + 0 2 2 +1 2 1 +1 2 0 = 1111011011 2 2 10110 2 = 1 2 4 + 0 2 3 +1 2 2 +1 2 1 + 0 2 0 = 22 = 22 11011 2 = 1 2 4 +1 2 3 + 0 2 2 +1 2 1 +1 2 0 = 27 101011 2 = 1 2 5 + 0 2 4 +1 2 3 + 0 2 2 +1 2 1 +1 2 0 = 43
exercice 10 : le système hexadécimal En base 16, les nombres utilisés sont 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F et A, B, C, D, E, F représentent respectivement les nombres 10,11,12,13,14,15 1 Convertir en base 10 les nombres 16 16,1A 16, BAC 16. 2 Écrire en base 16 les nombres 19,157, 987. s 1 16 16 = 1 16 1 + 6 16 0 = 22 1A 16 = 1 16 1 +10 16 0 = 26 BAC 16 = 11 16 2 +10 16 1 +12 16 0 = 2988 2 19 = 1 16 1 + 3 16 0 = 13 16 157 = 9 16 1 +13 16 0 = 9 16 1 + D 16 0 = 9D 16 987 = 3 16 2 +13 16 1 +11 16 0 = 3 16 2 + D 16 1 + B 16 0 = 3DB 16