1 - LYCÉE LOUIS PAYEN - BTS CGO Mathématiques Ch. 1 : Suites arithmétiques et géométriques Cours J-L NEULAT 1 Généralités sur les suites 1.1 Les différents modes de génération d une suite Un suite peut définir une suite par plusieurs procédés : 1.1.1 Par une formule explicite : Exemple 1 Une entreprise fabrique des piles électriques. Elle a des frais fixes égaux à 100epar jour, des frais de matières premières évalués à 0,6epar pile. On appelle s n le coût de fabrication de n piles dans une journée et c n le coût de fabrication d une pile lorsqu on en a fabriqué n dans la journée. On a : s n = 100+0,6n et c n = 100 n + 0,6 110 100 D1 E1 D D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D1 D13 D14 D15 D16 D17 90 80 70 60 50 E 40 30 0 10 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11 E1 E13 E14 E15 E16 E17 10 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 Voir graphique sur GeoGebra : Exemple 1.ggb. Remarques : les points D n (n, s n ) sont alignés sur la droite D d équation y = 0,6x+ 100 ;
1 GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES les points E n (n,c n ) sont la courbe représentative C de la fonction définie sur [1;+ [ par f (x)=0,6+ 100 x ; la suite (s n ) semble croissante, la suite (c n ) semble décroissante. 1.1. Par une formule de récurrence : Exemple Le salaire mensuel d un employé augmente chaque année de la façon suivante : son salaire mensuel de l année précédente est augmenté de 3% et on lui verse une prime supplémentaire de 0e. Celui de son épouse, qui travaille dans une autre entreprise, augmente chaque année d une somme fixe égale à 100 e. En 013, leurs salaires mensuels étaient respectivement de 1 400eet 1 600e. On appelle h n le salaire de l époux l année 013+n et f n le salaire de l épouse l année 013 + n. On a : h0 = 1400 h n+1 = 1,05h n + 0 et f0 = 1600 f n+1 = f n + 100 A l aide d un tableur représenter les deux suites et déterminer quels seront leurs salaires respectifs en 03. En quelle année, le salaire de l époux va-t-il dépasser celui de son épouse? 300 3000 800 600 400 00 000 1800 1600 1400 100 1 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 Voir fichier GeoGebra : Exemple.ggb : h 10 = 39,39 ; f 10 = 500 ; c est à partir de la 13 e année, en 06, que le salaire de l époux va dépasser celui de son épouse. 1.1.3 A partir d autres suites : Exemple 3 On reprend l exemple 1 : on a par exemple : c n = s n. Si chaque pile est vendue 5eet si n on appelle b n le bénéfice en euros pour n piles vendues, on a : b n = 5n s n
1. Suites monotones 3 On reprend l exemple : le salaire mensuel du foyer est t n = h n + f n ; le salaire moyen des deux époux est u n = t n = h n+ f n. 1. Suites monotones Concrètement, une suite croissante est une suite dont les termes sont de plus en plus grands (lorsque n augmente) et une suite décroissante est une suite dont les termes sont de plus en plus petits (lorsque n augmente). Dans ce cas, on dit que la suite est monotone. Définition 1 Soit (u n ) une suite (u n ) est dite croissante si pour tout entier n : u n u n+1 (u n ) est dite décroissante si pour tout entier n : u n+1 u n (u n ) est dite strictement croissante si pour tout entier n : u n < u n+1 (u n ) est dite strictement décroissante si pour tout entier n : u n+1 u n (u n ) est dite constante si pour tout entier n : u n+1 = u n Une suite croissante ou décroissante est dite monotone. Une suite strictement croissante ou strictement décroissante est dite strictement monotone. Suites arithmétiques.1 Dèfinition Définition On appelle suite arithmétique une suite récurrente de la forme : Le nombre réel r est appelé raison de la suite. u0 u n+1 = u n + r Un capital de 10000eest placée sur un compte à intérêt simple mensuel de 0,4%. Si on appelle u n le capital disponible au bout de n mois, on a : uo = 10000 u n+1 = u n + 4 (u n ) est donc une suite arithmétique de premier terme u o = 10000 et de raison 4.
4 SUITES ARITHMÉTIQUES Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : u n = 4 3n On a : u n+1 = 4 3(n+ 1) = 4 3n 3 = u n 3 (u n ) est donc une suite arithmétique de raison 3 et de premier terme u 0 = 4.. Calcul du terme de rang n Théorème 1 Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r. On a : u n = u o + nr u n = u 1 + (n 1)r u n = u + (n )r etc... Le terme de rang 0 d une suite arithmétique de premier terme u o = 10000 et de raison 4 est : u 0 = 10000+0 4= 10480 Le terme de rang 0 d une suite arithmétique de premier terme u 1 = 3 et de raison est : u 0 = 3+19 = 35 Le terme de rang 0 d une suite arithmétique telle que u 6 = et de raison 1 est : u 0= +14 1 = 9.3 Somme de termes consécutifs Théorème La somme de termes consécutifs d une suite arithmétique est égale à la demi-somme du premier terme et du dernier terme multipliée par le nombre de termes. n(1+n 1) 1+3+5+7+9+ + (n 1)= = n 11+15+19+3+ + 99= 3 (11+99) = 165 car u n = 11+4n, 99= 11+ 4 est le terme de rang, 11 est le terme de rang 0. Il y a donc 3 termes dans la somme.
5 3 Suites géométriques 3.1 Dèfinition Définition 3 On appelle suite géométrique toute suite récurrente de la forme : u0 Le nombre réel q est appelé raison de la suite. u n+1 = qu n Un capital de 10000eest placée sur un compte à intérêt composé mensuel de 0,%. Si on appelle u n le capital disponible au bout de n mois, on a : uo = 10000 u n+1 = u n + 0,00 u n = 1,00 u n (u n ) est donc une suite géométrique de premier terme u o = 10000 et de raison 1,00. Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : u n = 4 3 n On a : u n+1 = 4 3 n+1 = 4 3 3 n = 3 u n = 3u n (u n ) est donc une suite géométrique de raison 3 et de premier terme u 0 = 4. 3. Calcul du terme de rang n en fonction de u no, q et n Théorème 3 Soit (u n ) une suite géométrique de raison q. On a : u n = q n u o u n = q n 1 u 1 u n = q n u etc... Le terme de rang 0 d une suite géométrique de premier terme u o = 10000 et de raison 1,00 est : u 0 = (1,00) 0 10000 10407,69
6 3 SUITES GÉOMÉTRIQUES Le terme de rang 0 d une suite géométrique de premier terme u 1 = 10 et de raison est : u 0 = 19 10=54880 Le terme de rang 0 d une suite géométrique telle que u 9 = et de raison 1 est : u 0= ( ) 1 11 = 1 104 3.3 Somme de termes consécutifs Théorème 4 La somme de termes consécutifs d une suite géométrique non constante est égale au premier terme moins celui qui suivrait le dernier sur un moins la raison. 1++ + 3 + 4 + + n = 1 n+1 1 3 10 + 3 11 + 3 1 + +3 0 = 310 3 1 1 3 = n+1 1 = 310 (3 11 1) = 5 30 147 077