École de technologie supérieure Service des enseignements généraux Responsable(s) du cours : Beaudin, Michel Crédits : 4 MAT165 ALGÈBRE LINÉAIRE ET ANALYSE VECTORIELLE Préalable(s) : MAT145 PLAN DE COURS SESSION ÉTÉ 2014 1. Coordonnées de l enseignant Groupe 01 Roberto Persechino, R. Persechino bureau B-2304 Groupe 02 Karima Amoura, K. Amoura bureau B-2540 Groupe 03, 06 Maurice Morel, M. Morel bureau B-2626 Groupe 04, 05 et 07 Stéphane Lafrance, S. Lafrance bureau B-2626 Groupe 08 et 09 Ismaïla Ndiaye, I. Ndiaye bureau B-2540 2. Descriptif officiel du cours Comprendre et maîtriser les notions fondamentales d'algèbre matricielle et d'analyse vectorielle. Vecteurs, algèbre et géométrie vectorielle, produits scalaires, vectoriels et mixtes, fonctions vectorielles à une variable et applications. Transformations linéaires, matrices, déterminants, inversion de matrices, systèmes d'équations linéaires, valeurs propres et vecteurs propres. Fonctions à plusieurs variables, dérivées partielles, dérivées directionnelles, gradient; applications géométriques : courbes de niveaux, optimisation, plans tangents. Intégrales doubles et triples; applications : calcul de surfaces, volumes, centres de gravité, moments d'inertie. Champ vectoriel, divergence et rotationnel, intégrales de lignes et de surfaces; théorèmes de Green, Stokes et de la divergence. Séances de travaux pratiques composées d'exercices choisis pour illustrer et compléter la théorie vue en classe. 3. Objectifs spécifiques du cours Se doter de puissantes lunettes 3D pour partir à l exploration de l espace : points, vecteurs, trajectoires, droites, plans, surfaces, courbes de niveau et plus encore! Session ÉTÉ 2014 MAT165 ALGÈBRE LINÉAIRE ET ANALYSE VECTORIELLE 1
Voir les notions de base de géométrie vectorielle, de calcul différentiel et intégral à plusieurs variables et de calcul vectoriel. Utiliser ces outils afin de résoudre divers problèmes. Apprendre à résoudre des systèmes d équations linéaires en utilisant différentes techniques matricielles. 4. Stratégies pédagogiques utilisées Trois heures et demie de cours magistral par semaine. Théorie accompagnée d exemples ou d exercices. Trois heures de travail pratique par semaine. Sous la supervision de l enseignant ou de la personne responsable des travaux pratiques, ces périodes permettront de faire des exercices ou de compléter les notions vues au cours. 5. Contenu du cours COURS MATIÈRE RÉFÉRENCE 1 et 2 Vecteurs et géométrie Vecteurs dans le plan et dans l espace. Opérations sur les vecteurs (somme, multiplication par un scalaire, produit scalaire, produit vectoriel et produit mixte). Éléments de géométrie dans l espace : droites, plans et surfaces (cylindriques et quadriques). 2 et 3 Fonctions vectorielles Fonctions vectorielles. Courbes dans le plan et dans l espace. Dérivées et intégrales. Tangentes et longueur d arc. Courbes et surfaces paramétriques. 4 à 6 Champs scalaires et optimisation Fonctions de plusieurs variables. Dérivées partielles. Plans tangents et approximations linéaires. Dérivation des fonctions composées. Dérivées dans une direction et vecteur gradient. Valeurs extrêmes. Multiplicateurs de Lagrange. Chapitre 9 Chapitre 10 Chapitre 11 7 Examen intra Session ÉTÉ 2014 MAT165 ALGÈBRE LINÉAIRE ET ANALYSE VECTORIELLE 2
COURS MATIÈRE RÉFÉRENCE 8 à 10 Intégrales multiples Intégrales doubles en coordonnées cartésiennes et en coordonnées polaires. Intégrales triples en coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques. Applications : calculs d aire, de volume, de masse, de centre de masse et de moments d inertie. 10 et 11 Analyse vectorielle Champs vectoriels. Intégrales curvilignes. Champs conservatifs. Théorème fondamental des intégrales curvilignes. Théorème de Green. 12 et 13 Algèbre matricielle Définitions et opérations sur les matrices. Inversion de matrices, déterminants. Solutions de systèmes d équations linéaires : algorithme de Gauss-Jordan et règle de Cramer. Applications diverses. Chapitre 12 Chapitre 13 Sections 13.1 à 13.4 Notes en vente à la COOP (à partir de la mi-session) Examen final (durant la période d examens). 6. Laboratoires ou travaux pratiques Trois heures de travail pratique par semaine. Sous la supervision de l enseignant ou de la personne responsable des travaux pratiques, ces périodes permettront de faire des exercices ou de compléter les notions vues au cours. 7. Utilisation d outils d ingénierie La calculatrice symbolique sera utilisée de façon continue, tout au long de la session pour illustrer des concepts mathématiques, pour effectuer des calculs algébriques, pour résoudre numériquement des problèmes appliqués où la solution ne peut être obtenue algébriquement et pour visualiser graphiquement des solutions à des problèmes concrets en mathématiques et sciences du génie. L utilisation efficace de cet outil sera vérifiée lors des examens. Pour de l aide sur l utilisation de cette calculatrice symbolique, visitez le site : http://seg-apps.etsmtl.ca/nspire/ Voici des objectifs spécifiques d apprentissage concernant l utilisation de la calculatrice TI- Nspire CAS CX (avec TI Voyage 200, il n y a pas de graphisme paramétrique 3D) : 1. Savoir mettre en mémoire une expression numérique ou algébrique. 2. Savoir définir une fonction d une variable et en tracer le graphique 2D (en mode Fonction ou Polaire). Session ÉTÉ 2014 MAT165 ALGÈBRE LINÉAIRE ET ANALYSE VECTORIELLE 3
3. Savoir définir une fonction vectorielle, la dériver, l intégrer et en tracer la courbe correspondante (en mode Paramétrique 2D ou 3D). 4. Savoir définir une fonction de plusieurs variables, la dériver, l intégrer et, dans le cas d une fonction de 2 variables, en tracer le graphique 3D z = f(x, y). Savoir tracer une surface paramétrique (OS 3.2 ou plus sur Nspire CAS). 5. Savoir utiliser les différentes commandes relatives aux vecteurs : addition, soustraction, produit d'un vecteur par un scalaire, produit scalaire, produit vectoriel, norme d un vecteur. 6. Savoir créer des fonctions ou des procédures permettant d automatiser certains calculs, par exemple pour faciliter l analyse des points critiques d une fonction de 2 variables ou pour utiliser la méthode des multiplicateurs de Lagrange. 7. Savoir utiliser la calculatrice pour effectuer différentes opérations matricielles. 8. Évaluation L enseignant confirmera les dates d évaluation en classe. Gr. 01 et 05 Gr. 02 et 08 Gr. 03, 06 et 07, Gr. 04 Gr. 09 Examen intra : 35 % Examen final : 35 % 09 juin 18 juin 10 juin 9 juin 13 juin Période d examens finaux Devoirs ou quiz, ou les deux : 30 % (selon les directives de l enseignant) Les deux examens sont de trois heures chacun. Matériel autorisé pour l examen final : Calculatrice symbolique TI Résumé de 2 feuilles 8 ½ X 11 (recto verso) Retard de remise d un travail Consultez votre enseignant. Utilisation d appareils électroniques Consultez votre enseignant. Session ÉTÉ 2014 MAT165 ALGÈBRE LINÉAIRE ET ANALYSE VECTORIELLE 4
9. Documentation obligatoire PINEAU, K. et R. MICHAUD. Notes de cours, Éléments d algèbre matricielle, Édition révisée en avril 2010. STEWART, J. Analyse, concepts et contextes, Fonctions de plusieurs variables, 3 ième édition (2011), De Boeck. 432 pages. 10. Ouvrages de référence LOPEZ, R. J. Advanced Engineering Mathematics, Addison-Wesley, 2001. MC CULLUM, W. G. et al. Fonctions de plusieurs variables, Chenelière McGraw-Hill, 1999. Site pour les utilisateurs de la calculatrice TI-Nspire CX CAS : http://www.seg.etsmtl.ca/nspire/ (le lien pour V200 s y trouve). Session ÉTÉ 2014 MAT165 ALGÈBRE LINÉAIRE ET ANALYSE VECTORIELLE 5
MAT165 ALGÈBRE LINÉAIRE ET ANALYSE VECTORIELLE ANNEXE I 1. Caractéristiques du cours Responsable(s) du cours : Beaudin, Miche et Michaud, Robert Coordonnées de l enseignant : Groupe 01 Roberto Persechino, R. Persechino bureau B-2304 Groupe 02 Karima Amoura, K. Amoura bureau B-2540 Groupe 03, 06 Maurice Morel, M. Morel bureau B-2626 Groupe 04, 05 et 07 Stéphane Lafrance, S. Lafrance bureau B-2626 Groupe 08 et 09 Ismaïla Ndiaye, I. Ndiaye bureau B-2540 Préalables : MAT145 Crédits : 4 2. Descriptif officiel du cours Comprendre et maîtriser les notions fondamentales d'algèbre matricielle et d'analyse vectorielle. Vecteurs, algèbre et géométrie vectorielle, produits scalaires, vectoriels et mixtes, fonctions vectorielles à une variable et applications. Transformations linéaires, matrices, déterminants, inversion de matrices, systèmes d'équations linéaires, valeurs propres et vecteurs propres. Fonctions à plusieurs variables, dérivées partielles, dérivées directionnelles, gradient; applications géométriques : courbes de niveaux, optimisation, plans tangents. Intégrales doubles et triples; applications : calcul de surfaces, volumes, centres de gravité, moments d'inertie. Champ vectoriel, divergence et rotationnel, intégrales de lignes et de surfaces; théorèmes de Green, Stokes et de la divergence. Séances de travaux pratiques composées d'exercices choisis pour illustrer et compléter la théorie vue en classe. 3. Répartition des unités d agrément du BCAPG Maths Sciences naturelles Études complémentaires Science du génie Conception en ingénierie Total 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 4. Qualités (Qx) et compétences (Cy) enseignées et ou évaluées Session ÉTÉ 2014 MAT165 ALGÈBRE LINÉAIRE ET ANALYSE VECTORIELLE 6
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5. Évaluation Absence à un examen Dans les cinq (5) jours ouvrables suivant la tenue de son examen, l étudiant devra justifier son absence d un examen durant le trimestre auprès de son enseignant. Pour un examen final, l étudiant devra justifier son absence auprès du Bureau du registraire. Toute absence non justifiée par un motif majeur (maladie certifiée par un billet de médecin, décès d un parent immédiat ou autre) à un examen entraînera l attribution de la note zéro (0). Plagiat et fraude Les clauses du «Chapitre 10 : Plagiat et fraude» du «Règlement des études de 1 er cycle» s appliquent dans ce cours ainsi que dans tous les cours du département. Afin de se sensibiliser au respect de la propriété intellectuelle, tous les étudiants doivent consulter la page Citer, pas plagier! Session ÉTÉ 2014 MAT165 ALGÈBRE LINÉAIRE ET ANALYSE VECTORIELLE 8