Formes Normales non linéaires d observabilités s réduites r D. BOUTAT
Le plan de la présentation Quelques formes d observabilité canoniques Une petite enquête sur le web. L observateur réduit pour les systèmes linéaires. Formes d observabilités réduites non linéaires. La transformation.
Quelques formes canoniques extension dynamique. Krener, Isidori, Repondek, Xia, Gao, Phelps, Nam, Plestan, Glumineau, Hou, Pugh, Boutat, Zheng, Hammouri, Bornard, Gauthier, Fliess, Kupka, Noh, N.H. Jo, J.H. Seo, Back, Y. Kyung T, J.H. Seo.
Confidentiel
Confidentiel
Confidentiel
Confidentiel Un système linéaire d ordre 2
Aucun secret en 1964-1971 redondance
Sans secret
Un excellent cours Jakob Stoustrup http://www.control.aau.dk/~jakob/statefeedback/statefeedback1.pdf
Observateur réduit le cas linéaire On considère le système linéaire suivant : mesures On veut estimer sachant que Nouvelle sortie!! Système est observable si et seulement si satisfait la condition du rang. L intérêt : éviter la redondance des mesures!! Quelques fois on n a pas besoin de entièrement!
Observateur réduit le cas linéaire Proposition le système dynamique suivant : est un observateur réduit En effet, la dynamique de l erreur de l observation réduite est donnée par : Elle est stable sous la condition de observable Sauf qu il y a un problème!
Estimateur algébrique Estimateur la clé dynamique qui ne dépend pas de Observateur
Schéma Système
Le cas non linéaire : au delà de l occurrence des mesures On considère le système linéaire suivant : On peut montrer qu il ne peut se mettre sous la FCON. Indices d observabilité (2,2) Indices d observabilité (3,1) Plusieurs champs ne commutent pas
Exemple Cependant il admet un observateur réduit : En plus du problème de la redondance, l observateur réduit augmente la classe des systèmes non linéaires pour lesquels l «erreur de l observation» est linéaire.
Quelques travaux sur l observateur réduit non linéaire
Quelques travaux sur l observateur réduit non linéaire
Quelques travaux sur l observateur réduit non linéaire
Observateur réduit non linéaire (temps continu) D. Boutat, G. Zheng et H. Hammouri Nolcos 2010. On considère le système non linéaire suivant :
Observateur réduit non linéaire (continu) Proposition La dynamique suivante : est un «observateur» réduit a erreur linéaire. Démonstration On pose : linéaire
L estimateur (algébrique) L estimateur (algébrique) avec
Conditions géométriques de la mise sous forme non linéaire. On considère le système non linéaire suivant : On suppose que la paire est observable
Construction du changement de coordonnées. On considère les dérivées successives de On construit le champ de vecteurs Puis par induction :
Résultat principal cas «mon» sortie Théorème Il existe un changement de coordonnées qui transforme le système sous la forme canonique réduite ssi i) ii) la condition de non «mélange» est satisfaite Esquisse de la démonstration On complète la famille des par
Construction du changement de coordonnées. Puis on considère On pose Condition de non mélange
Exemple : obstruction à Il n existe pas de changement de coordonnées qui inter-change ces deux comportements. Ils ne sont pas topologiquement équivalents (ou conjugués) Et pourtant il existe un isomorphisme qui inter-change les vitesses des deux comportements!!!
Exemple suite : obstruction à On considère le repère suivant : Le crochet de Lie c est-à-dire n est pas fermée : ce diagramme n a pas de solution.
Un peu de géométrie différentielle la dérivée de Lie d une fonction dans la direction de Le crochet de Lie de par L obstruction pour la fermeture
Lemme d intégrabilité Considérer formes linéairement indépendantes C est un isomorphisme sur l espace des champs de vecteurs Considérer un repère tels que : Repère canonique
Lemme d intégrabilité Les assertions suivantes sont équivalente : i) pour ii) pour iii) Il existe un changement de coordonnées (locale) tel que : iv) est un isomorphisme de l algèbre de Lie Démonstration comme et alors
Exemple On considère FCON réduite
Cas multi sorties. On considère le système non linéaire suivant : est une matrice inversible On suppose que la paire est observable Avec la condition supplémentaire (voir diapo 20 pour l existence de l estimateur algébrique) d existence d une fonction telle que : où Condition d integrabilité
Problème 1) Lire le papier 2) Trouver la forme normale correspondante.
Références [1] Boutat D., G. Zheng and Hammouri H. A nonlinear canonical form for reduced order observer design Nolcos 2010 [2] Krener A.J., A. Isidori (1983). Linearization by output injection and nonlinear observer. Systems and Control Letters 3, 47-52. [3] Krener A.J., W. Respondek (1985). Nonlinear observer with linearizable error dynamics. SIAM J. Control and Optimization 30, 197-216. [4] Xia X.H., Gao W.B, Nonlinear observer design by observer error linearization, SIAM Journal on Control an Optimization, v.27 n.1, p.199-216 [5] D.G. Luenberger, Observing the state of a linear system, IEEE Trans. Mil. Electron. 8 (1964) 74.80. [6] M. Darouach, Existence and design of functional observers for linear systems, IEEE Trans. Automat. Control, vol. AC-45, pp. 940-943, 2000. [7] Boutat D., A. Benali H. Hammouri (2007). Geometrical conditions for observer error linearization linearization with a diffeomorphism on the outputs. Nolcos 2007. [8] Boutat D., G. Zheng J.P. Barbot H. Hammouri (2006). Observer error linearization multi-output depending. IEEE CDC 45, 5394-5399. [9] Boutat D., Geometrical conditions for observer error linearization via Nolcos 2007. [10] V. Sundarapandian, Reduced order observer design for discrete-time nonlinear systems, Appl. Math. Lett, vol. 19, pp. 1013-1018, 2006. [11] Boutat D. and Busawon K. Extended Nonlinear Observable Canonical Form for Multi-Output Dynamical Systems IEEE CDC 2009 [13] D. Boutat A. Benali H. Hammouri K. Busawon Newalgorithmfor observer error linearizationwitha di eomorphismon the outputs. Automatica.
Les systèmes : temps discret Boutat, Baddas et Darouach inversible Continu discret