BACCALAURÉAT BLANC 2015 Série S Durée de l épreuve : 4 h L utilisation d une calculatrice est autorisée. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants ; les trois premiers sont communs aux spécialistes et non-spécialistes. Exercice 1 Dans cet exercice, la partie C pourra être traitée indépendamment des deux autres. Une urne contient des jetons de trois couleurs (blanc, vert et jaune) et de deux formes différentes (rond et carré). La moitié des jetons sont blancs. Le tiers des jetons sont verts. Tous les autres jetons sont jaunes. Parmi les jetons blancs, la moitié sont ronds. Parmi les jetons verts, les trois dixièmes sont ronds. Parmi les jetons jaunes, les deux cinquièmes sont ronds. Tous les autres jetons sont carrés. On tire au hasard un jeton de l urne. On considère que chacun des jetons a la même probabilité d être tiré. On note : B l événement «le jeton est blanc», V l événement «le jeton est vert», J l événement «le jeton est jaune», R l événement «le jeton est rond», C l événement «le jeton est carré». Partie A On donnera les probabilités sous la forme de fractions irréductibles. 1. Déterminer la probabilité pour que le jeton tiré soit jaune. 2. Donner un arbre de probabilités correspondant à la situation décrite par l énoncé.. À l aide de cet arbre, déterminer la probabilité : février 2015
BAC BLANC 2015 / SÉRIE S page 2/6 (a) que le jeton tiré soit rond, (b) que le jeton tiré ne soit ni blanc, ni carré. 4. Sachant que le jeton tiré est rond, quelle est la probabilité qu il soit jaune? Partie B On gagne 1AC si le jeton est vert, on perd 1AC si le jeton est jaune et rien s il est blanc. En plus, on gagne également 1AC si le jeton est rond et on perd 1e s il est carré. Soit G la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur. 1. Quelles sont les valeurs possibles de G? 2. Déterminer la loi de G.. Calculer l espérance de G. Le jeu et-il équitable? Partie C On admet ici que la probabilité de tirer un jeton vert et rond est égale à p = 1 10. Un joueur recommence ce jeu 10 fois de suite. Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de jetons verts et ronds qu obtient le joueur. Dans cette partie les probabilités seront données en valeur approchées arrondies au millième. 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2. Quelle est la probabilité de tirer exactement une fois un jeton vert et rond?. Quelle est la probabilité de tirer au moins deux fois un jeton vert et rond? Exercice 2 Pour tout réel k strictement positif, on désigne par f k la fonction définie et dérivable sur l ensemble des nombres réels R telle que f k (x) = kxe kx. On note C k sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthogonal (O, ı, j ). Partie A : Question de cours On admet que la fonction exponentielle, notée exp, est définie et dérivable sur R et vérifie exp = exp et exp(0) = 1. On souhaite démontrer que c est l unique fonction vérifiant ces propriétés. On admettra en outre que l exponentielle ne s annule jamais sur R.
BAC BLANC 2015 / SÉRIE S page /6 1. Soit g une fonction dérivable sur R telle que g = g et g(0) = 1. On pose, pour tout x réel, ϕ(x) = g(x) exp x. Montrer que ϕ (x) = 0 pour tout réel x. 2. En déduire que, pour tout x réel, g(x) = exp x et conclure. Partie B : Étude du cas k = 1 On considère donc la fonction f 1 définie sur R par f 1 (x) = xe x. 1. Déterminer les limites de la fonction f 1 en et en +. En déduire que la courbe C 1 admet une asymptote que l on précisera. 2. Étudier les variations de f 1 sur R puis dresser son tableau de variation sur R. Partie C : Propriétés graphiques On a représenté sur le graphique ci-dessous les courbes C 2, C a et C b où a et b sont des réels strictement positifs fixés et T la tangente à C b au point O origine du repère. 0,4 T C 2 0,2 C a C b 0,2 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1. Montrer que, pour tout réel k strictement positif, les courbes C k passent par un même point. 2. (a) Montrer que, pour tout réel k strictement positif et tout réel x, on a f k(x) = k(1 kx)e kx.
BAC BLANC 2015 / SÉRIE S page 4/6 (b) Justifier que, pour tout réel k strictement positif, f k admet un maximum et calculer ce maximum. (c) En observant les courbes C a et C 2 ci-dessus, comparer les réels a et 2 associés. Expliquer la démarche. (d) Écrire une équation de la tangente à C k au point O origine du repère. (e) En déduire, à l aide du graphique, une valeur approchée de b. Exercice Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes. Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si chacune d elles est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée ; une réponse non justifiée ne rapporte aucun point ; une absence de réponse n est pas pénalisée. Le plan est rapporté au repère orthonormé direct (O, u, v). Affirmation 1. Le point d affixe ( 1 + i) 10 est situé sur l axe imaginaire. Affirmation 2. Dans l ensemble des nombres complexes, l équation admet une solution unique. z z + 2 4i = 0 Affirmation. L ensemble des points M dont l affixe z vérifie l égalité est une droite. z i = z + 1 Dans les deux questions suivantes, on considère les points A, B, C, D et E d affixes respectives : a = 2 + 2i, b = + i, c = 1 + i (, d = 1 + 2 i et e = 1 + 2 + ) i. Affirmation 4. Les points A, B et C sont alignés. Affirmation 5. Les points B, C et D appartiennent à un même cercle de centre E. Exercice 4 On étudie l évolution dans le temps du nombre de jeunes et d adultes dans une population d animaux. Pour tout entier naturel n, on note j n le nombre d animaux jeunes après n années d observation et a n le nombre d animaux adultes après n années d observation. Il y a, au début de la première année de l étude, 200 animaux jeunes et 500 animaux adultes.
BAC BLANC 2015 / SÉRIE S page 5/6 Ainsi j 0 = 200 et a 0 = 500. On pose et, pour tout entier naturel n, A = U n = ( 0,6 ) 0,4 0,2 0,8 ( ) jn On admet que, pour tout entier naturel n, on a U n+1 = AU n. On introduit les matrices suivantes : ( ) 1 0 D =, P = 1 ( ) ( ) 1 2 1 2 et Q =. 0 0,4 1 1 1 1 1. On considère l algorithme suivant. a n variables : u, v, w de type réel N, k de type entier début algorithme initialisation : u prend la valeur 200 v prend la valeur 500 entrer la valeur de N pour k variant de 1 à N faire w prend la valeur u 6w + 4v u prend la valeur v prend la valeur fin pour afficher u afficher v fin algorithme. 10 2w + 8v 10 On exécute cet algorithme en saisissant N = 2. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l état des variables au cours de l exécution de l algorithme. Pour un nombre N donné, à quoi correspondent les valeurs affichées par l algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice? k w u v 1 2 2. Calculer sans calculatrice la matrice DQ puis la matrice PDQ.
BAC BLANC 2015 / SÉRIE S page 6/6. Vérifier que QP = I. Que peut-on en déduire pour la matrice P? 4. Montrer par récurrence sur n que, pour tout entier naturel n non nul, A n = PD n Q. 5. Pour tout entier naturel n non nul, déterminer D n en fonction de n. Soit n un entier naturel, on admet que A n = 1+2 0,4 n 1 0,4 n 2(1 0,4 n ) 2+0,4 n et U n = A n U 0. 6. Déterminer les coefficients de la matrice U n en détaillant les calculs. 7. En déduire les expressions de j n et a n en fonction de n et déterminer les limites de ces deux suites. Que peut-on en conclure pour l évolution de la population d animaux étudiée?