Chap.3 Lentilles minces sphériques 1. Les différents types de lentilles minces sphériques 1.1. Les différentes formes de lentilles sphériques 1.2. Lentilles minces Centre optique 1.3. Lentille convergente ou divergente 2. Stigmatisme et aplanétisme dans les conditions de Gauss 3. Foyers et plans focaux d une lentille 3.1. Les deux foyers principaux 3.2. Distances focales - Vergence 3.3. Les foyers secondaires - Plan focal 4. Constructions géométriques 4.1. Construction de l image d un point hors de l axe 4.2. Construction de l image d un point sur l axe 4.3. Construction d un rayon transmis 5. Relations de conjugaison - Grandissement 5.1. Relation de conjugaison - Formule de Newton 5.2. Relation de conjugaison - Formule de Descartes 5.3. et expression du grandissement 5.4. Comment se souvenir de toutes ces formules? 6. Méthodes pour étudier un instrument d optique 7. Associations de deux lentilles 7.1. d un doublet 7.2. Doublet non accolé 7.3. Doublet afocal 7.4. Doublet accolé 8. Aberrations géométriques et chromatiques Intro : Les lentilles sont très utilisées dans les instruments d optique : lunette astronomique, microscope, verre de lunette, appareil photo. On va définir les caractéristiques et établir les propriétés des lentilles sphériques minces. Sauf mention contraire, on ne les étudiera que dans les conditions de Gauss. Les lentilles sont alors stigmatiques et aplanétiques, et peuvent donc être utilisées pour former des images de qualité. L objectif principal de ce chapitre est de savoir manier les constructions graphiques, ainsi que les relations de conjugaison pour expliquer et comprendre le fonctionnement de systèmes optiques constitués de lentilles. 1
1. Les différents types de lentilles minces sphériques 1.1. Les différentes formes de lentilles sphériques : Une lentille sphérique est un milieu transparent homogène et isotrope limité par deux dioptres sphériques, ou un dioptre sphérique et un dioptre plan. On peut distinguer 6 formes courantes de lentille sphérique, regroupées en deux catégories : o lentilles à bord minces : o biconvexe (deux dioptres sphériques, centres des sphères situés de part et d autre de la lentille) o ménisque convergent (deux dioptres sphériques, centres situés du même côté) o plan - convexe (un dioptre sphérique, un dioptre plan) o lentilles à bord épais : o biconcave (deux dioptres sphériques, centres situés de part et d autre de la lentille) o ménisque divergent (deux dioptres sphériques, centres situés du même côté) o plan-concave (un dioptre sphérique, un dioptre plan) Les lentilles que nous étudierons sont toutes des systèmes optiques centrés. 1.2. Lentilles minces Centre optique La géométrie d une lentille sphérique peut être caractérisée par ses deux sommets S 1 et S 2, et les deux centres C 1 et C 2 des dioptres sphériques qui la constituent. : Une lentille sphérique est dite mince lorsque son épaisseur e = S 1 S 2 est très petite, i.e. : e C 1 S 1 e C 2 S 2 e C 1 C2 On peut alors considérer que son épaisseur est nulle, et les deux points S 1 et S 2 sont confondus. On appelle alors ce point, noté O, le centre optique de la lentille. Propriété (admise) : Tout rayon lumineux passant par O n est pas dévié par la lentille mince. Dans toute la suite du cours d optique, les lentilles sont supposées sphériques et minces, sauf mention contraire. On retiendra les notations symboliques représentant les lentilles minces à bords minces, et les lentilles minces à bord épais. 1.3. Lentille convergente ou divergente Par un tracé qualitatif du chemin suivi par les rayons lumineux lors de la traversée de lentilles biconvexe et biconcave, on comprend que : o une lentille à bords minces est une lentille convergente o une lentille à bords épais est une lentille divergente 2
2. Stigmatisme et aplanétisme dans les conditions de Gauss Dans les conditions de Gauss, les lentilles minces sphériques sont approximativement stigmatiques et aplanétiques : o l image d un point est un point o l image d un plan orthogonal à l axe optique est un plan orthogonal à l axe optique On admettra ces propriétés ; une lentille étant un système centré, elles sont une conséquence directe de l approximation de Gauss. On les vérifiera par ailleurs en travaux pratiques, puisque l on formera des images nettes non déformées à l aide de lentilles. On notera que ces propriétés peuvent être démontrées théoriquement à l aide des lois de Descartes de la réfraction. On peut vérifier leur validité en examinant les figures présentées en fin de polycopié, et obtenues à l aide d un logiciel de tracé des rayons lumineux «OptGéo», librement accessible sur le web. A tout point objet situé sur l axe optique correspond un point image situé sur l axe optique 3. Foyers et plans focaux d une lentille 3.1. Les deux foyers principaux Une lentille est un système stigmatique, et tout point objet situé sur l axe donne une image ponctuelle située sur l axe. On s intéresse ici à l image d un point objet situé à l infini sur l axe. L expérience montre que cette image se trouve à une distance finie de la lentille. Par définition, ce point image s appelle le foyer principal image de la lentille. Que peut-on dire des RL émis par un objet ponctuel situé sur l axe à l infini, lorsqu ils arrivent sur la lentille? Le foyer principal image est le point F de l axe optique où se forme l image du point objet à l infini sur l axe. Propriété Tout rayon incident parallèle à l axe optique ressort en passant par F. Par tracé qualitatif du trajet des rayons lumineux, on montre que le foyer image est : o réel pour une lentille convergente o virtuel pour une lentille divergente Le foyer principal objet est le point F de l axe dont l image se situe à l infini sur l axe. Propriété Tout rayon lumineux incident passant par F ressort parallèle à l axe. Par tracé qualitatif du trajet des rayons lumineux, on montre que le foyer objet est : o réel pour une lentille convergente o virtuel pour une lentille divergente 3
3.2. Distances focales - Vergence Après avoir orienté l axe optique, on peut définir deux distances focales : o la distance focale objet (CV : f < 0 ; DV : f > 0) o la distance focale image (CV : f > 0 ; DV : f < 0) En invoquant le principe du retour inverse de la lumière, on montre que les positions de F et F sont symétriques par rapport à O. Par conséquent : f = -f. On définit aussi la vergence V d une lentille par la relation : Elle est positive pour les lentilles CV, et négative pour les DV. Elle s exprime en dioptrie (ou m -1 ). 3.3. Les foyers secondaires - Plan focal On considère un plan objet orthogonal à l axe et situé à l infini. D après la propriété d aplanétisme, l image de ce plan est un plan orthogonal à l axe incluant le foyer principal image de la lentille : c est le plan focal image. En définitive, chaque point du plan objet situé à l infini a pour image un point du plan focal : chacune de ces images est un foyer image secondaire. Le plan focal est donc constitué de l ensemble des foyers images secondaires. Que peut-on dire des RL émis par un objet ponctuel situé à l infini, hors de l axe, lorsqu ils arrivent sur la lentille? Le plan focal image est l image du plan objet orthogonal à l axe et situé à l infini. Le plan focal image est donc le plan passant par F et orthogonal à l axe. Tout point du plan focal image est un foyer image secondaire. Propriété Des RL incidents parallèles entre eux (mais pas à l axe) passent tous par le même foyer image secondaire. En inversant les rôles d objet et d image, on peut aussi définir un plan focal objet, constitué par l ensemble des foyers objets secondaires. Le plan focal objet est le plan dont l image est un plan orthogonal à l axe et situé à l infini. Le plan focal objet est donc le plan passant par F et orthogonal à l axe. Tout point du plan focal objet est un foyer objet secondaire. Propriété Des RL incidents passant par un foyer objet secondaire ressortent parallèles entre eux (mais pas à l axe). 4
4. Constructions géométriques 4.1. Construction de l image d un point hors de l axe On considère un point objet B situé hors de l axe optique. On souhaite construire graphiquement son image B à travers une lentille. La méthode consiste à tirer parti des propriétés des points particuliers : O, F et F. On rappelle que le tracé de deux rayons lumineux est suffisant, l image se trouvant à l intersection de ces rayons. En général, on en tracera plutôt trois, de manière à s assurer de la qualité de la construction graphique. Dans le cas d une lentille CV (resp. DV), construire l image d un objet réel, puis d un objet virtuel. 4.2. Construction de l image d un point sur l axe On considère un point objet A situé sur l axe optique. On souhaite construire graphiquement son image A à travers une lentille. La méthode consiste à se ramener à la construction précédente en définissant au préalable un point objet B situé dans le plan orthogonal à l axe passant par A. Après avoir construit l image B, on en déduit la position de A, qui se situe sur l axe et dans le plan orthogonal à l axe passant par B. 4.3. Construction d un rayon transmis On considère un rayon lumineux quelconque incident sur la lentille. On souhaite construire le rayon lumineux transmis à travers la lentille. On peut utiliser de nombreuses méthodes. Trouvez-en au moins trois sur l exemple d une lentille convergente. Lors d une construction graphique, on utilise toujours les propriétés des points particuliers O, F et F (et éventuellement d un foyer secondaire) 5. Relations de conjugaison - Grandissement Les lentilles sont approximativement stigmatiques dans les conditions de Gauss. Ainsi, tout point objet situé sur l axe est associé à une image ponctuelle située sur l axe : ce sont des points conjugués. On va établir les formules qui relient les positions de deux points conjugués situés sur l axe : ces sont les relations de conjugaison. 5.1. Relation de conjugaison - Formule de Newton L existence des foyers principaux a été mise en évidence expérimentalement. On va pouvoir en déduire la relation de conjugaison «avec origine aux foyers», dite formule de Newton. A et A objet et image situés sur l axe, et repérés à partir des foyers (formule de Newton) : FA F' A' OF OF' 5.2. Relation de conjugaison - Formule de Descartes De la formule de Newton, on peut déduire la relation de conjugaison «avec origine au centre», dite formule de Descartes. A et A objet et image situés sur l axe, et repérés à partir du centre optique (formule de Descartes) : 1 1 1 OA' OA OF' 5
5.3. et expression du grandissement Le grandissement est le rapport entre la taille de l image et celle de l objet : Son signe renseigne sur l éventuel renversement de l image où A est un point objet de l axe, A son image, B un point objet hors axe situé dans le plan orthogonal passant par A, et B son image. Si le grandissement est positif, l objet AB et son image A B sont dans le même sens. S il est négatif, AB et A B sont dans des sens opposés. On retiendra les différentes expressions du grandissement (avec origine aux foyers, et origine au centre) : F' A' OF OF' FA OA' OA 5.4. Comment se souvenir de toutes ces formules? Il faut les «classer» dans sa tête, et notamment tirer parti de leurs similitudes. Toutefois, inverser deux lettres ou oublier un signe est vite arrivé, surtout dans 1 an et 6 mois... Il est donc important de toujours vérifier que la formule que l on croit juste «marche» pour des points particuliers (objet A sur F, image A sur F ), en vérifiant par exemple sur un schéma que «ça colle». Vérifier sur des exemples simples que les relations de conjugaison, et les formules du grandissement, données dans le cours sont correctes. 6. Méthodes pour étudier un instrument d optique Un instrument d optique est une association de plusieurs lentilles et/ou miroirs. A notre niveau, on souhaitera généralement savoir une ou plusieurs des choses suivantes : où se situe une image, connaissant la position de l objet et les caractéristiques de l instrument où doit se situer l objet, connaissant l instrument et la position où doit se former l image comment dimensionner l instrument, connaissant les positions de l objet et de l image la taille (ou le diamètre angulaire) de l image connaissant celle de l objet, ou inversement Si l énoncé demande explicitement de résoudre le problème graphiquement, il faut alors tracer des RL. Sinon, il faut résoudre le problème par le calcul (cf. formules math précédentes), sans tracés compliqués de RL. On s appuiera sur un tracé de RL bien choisis s il faut relier des longueurs à des angles. La méthode suivante est donnée pour une association de lentilles, mais elle est valable pour un instrument d optique quelconque. Méthode des images intermédiaires L étude d une association de lentilles se fait par la méthode des images intermédiaires. Dans le cas d un doublet, on résumera toujours la situation à l aide de la notation suivante : 1, 2 A L L L1 L2 A A A1 A2 2 où A est l objet du doublet, A 2 l image de A par le doublet, et A 1 est l image intermédiaire formée par la première lentille. 6
7. Associations de deux lentilles 7.1. d un doublet Un doublet est un système optique constitué de deux lentilles. Si l on peut confondre les centres optiques des deux lentilles, le doublet est dit accolé. Sinon, le doublet est dit non accolé. 7.2. Doublet non accolé On ne cherche pas ici à établir des résultats généraux à propos des doublets non accolés. Il s agit seulement d appliquer la méthode d étude des instruments d optique. Soit un doublet constitué de deux lentilles CV. Les centres optiques sont séparés d une distance d, supérieure à la somme des distances focales f 1 et f 2 des deux lentilles. Déterminer graphiquement les positions des foyers objet et image du doublet. Puis déterminer leur position par le calcul. 7.3. Doublet afocal Un doublet afocal est un système constitué de deux lentilles, et dont les foyers objet et image sont rejetés à l infini. En considérant deux lentilles CV, donner la condition permettant de réaliser un doublet afocal, graphiquement puis par le calcul. 7.4. Doublet accolé Pour former un doublet accolé en travaux pratiques, il suffit de coller les deux lentilles l une contre l autre. On peut alors estimer que les deux centres optiques sont approximativement confondus. On retiendra que le doublet est alors équivalent à une lentille mince dont la vergence équivalente est égale à la somme des vergences des deux lentilles. 8. Aberrations géométriques et chromatiques Les figures ci-dessous ont été obtenues à l aide du logiciel de simulation OptGéo. C est un logiciel de tracé des rayons lumineux. Ces figures permettent d illustrer les effets des aberrations géométriques et des aberrations chromatiques. o o o o Une lentille CV est stigmatique et aplanétique dans les conditions de Gauss (première figure) Hors de conditions de Gauss (impact des rayons éloigné de l axe, et inclinaison trop grande des rayons), on voit clairement qu une lentille n est plus stigmatique : l image d un point est un tâche de dimension non négligeable (deuxième figure) La troisième figure présente l effet d une trop grande inclinaison des rayons lumineux sur le stigmatisme, dans le cas d un faisceau parallèle émis par une source situé à l infini hors de l axe. La dernière figure présente l effet de la dispersion du verre constitutif de la lentille sur le stigmatisme. L indice du verre dépend ici fortement de la longueur d onde, et l on voit que le bleu converge «plus vite» que le vert, qui converge lui-même «plus vite» que le rouge. Si l on place un écran au niveau de la section minimale du faisceau émergent, on observe une tâche blanche (mélange des différentes couleurs) entourée d une auréole rougeâtre. 7
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Notions clefs Savoirs : centre optique, foyers principaux, foyers secondaires, plans focaux Propriétés des foyers (principaux et secondaires) vis-à-vis des rayons lumineux distances focales, vergence Les lentilles sont stigmatiques et aplanétiques dans les conditions de Gauss Formules de conjugaison (Newton et Descartes) et expressions du grandissement Savoirs faire : Construire une image d un objet hors de l axe, d un objet sur l axe Construire un rayon transmis à travers une lentille pour un rayon incident quelconque Déterminer, à l aide des formules de conjugaison, la position d un point à partir de celle de son conjugué Déterminer graphiquement la position des foyers principaux d un doublet non accolé Vérifier la validité d une formule (relation de conjugaison, grandissement) à l aide d un schéma (les signes notamment) 9