Le problème de l existence de breathers dans une chaîne de particules en interaction non linéaire

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2 Le problème de l existence de breathers dans une chaîne de particules en interaction non linéaire Guillaume James Lab. Mathématiques pour l Industrie et la Physique (MIP) INSA Toulouse 135 avenue de Rangueil 31077 Toulouse Cedex 4 2

Chaînes de particules en interaction 3 1 Chaînes de particules en interaction 3

Chaînes de particules en interaction 4 Modèle de Fermi-Pasta-Ulam (FPU) (E.Fermi J.Pasta et S.Ulam 1955) : Potentiel d interaction anharmonique :. Analogie : système masses-ressorts U n Système Hamiltonien de dimension infinie : 4

5 A.J. Sievers et J.B. Page Dynamical properties of solids (95) Fig. droite : 5 Fig. gauche : mode normal

lorsque Chaînes de particules en interaction 6 Implications en physique du solide : Dolgov 1986 Sievers et Takeno 1988 FPU : modèle jouet pour un cristal. Modes non linéaires spatialement localisés dans un cristal non linéaire périodique. Breather :. Expériences récentes : génération et détection de breathers dans des systèmes atomiques réels Cristaux d uranium à haute température : Manley et al 2006 mode Amide I d un cristal d acetanilide : Edler et Hamm 2002 Rôle possible de cette localisation d énergie dans différents mécanismes physiques : Mise en mouvement ou blocage de défauts dans des cristaux : Cuevas et al 2003 Manley et al 2006 Dénaturation thermique de l ADN : Peyrard et Bishop 1989 Campbell et Peyrard 1990 Dauxois et al 1992-93 Kalosakas et al 2004. 6

Chaînes de particules en interaction 7 Modèle de Peyrard-Bishop pour la dénaturation thermique de l ADN : 14/12/2005 file:/home/james/habilitation/expose/dna2.gif #1 : étirement des liaisons H paire de bases Interactions transverses : potentiel de Morse W(u) 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 u 7

Chaînes de particules en interaction 8 Densité d énergie :. Niveaux de gris : (blanc) valeur maximale (noir). Condition initiale : onde plane faiblement modulée (bruit gaussien). Extrait de : I. Daumont T. Dauxois et M. Peyrard Nonlinearity 10 (1997). Lorsque le système est en contact avec un bain thermique (thermostat de Nosé-Hoover) dont on augmente la température les régions d ouverture s étendent et forment des bulles de dénaturation (Dauxois et al 1993). Elles recouvrent tout le réseau au dessus d une température critique. 8

Chaînes de particules en interaction 9 Réseau de Klein-Gordon :. Potentiel local anharmonique :. Couplage linéaire avec les premiers voisins Système Hamiltonien : 9

Limite de l équation de Schrödinger non linéaire 10 2 Limite de l équation de Schrödinger non linéaire 10

Limite de l équation de Schrödinger non linéaire 11 Dérivation formelle de l équation de Schrödinger non linéaire (NLS) Cas Linéaire : relation de dispersion Cas faiblement non linéaire : ondes plane modulées Limite NLS : solutions approchées Remoissenet (86) Konotop (96) 11

Limite de l équation de Schrödinger non linéaire 12 Variables lentes : Equation de NLS pour l enveloppe jusqu à l ordre 4. en et des dérivées de dépend de 12

Limite de l équation de Schrödinger non linéaire 13 Cas du modèle FPU : Tsurui (72) Mêmes échelles : un degré de liberté de translation : jusqu à l ordre 4. en et des dérivées de dépend de équation de NLS pour l enveloppe : 13

Limite de l équation de Schrödinger non linéaire 14 Giannoulis et Mielke (20042006) :. validité de NLS sur un intervalle de temps de longueur suffisamment réguliers et une solution de (NLS) avec THM : Soit assez petit si Pour alors tout pour 14

Limite de l équation de Schrödinger non linéaire 15 Existence formelle d oscillations spatialement localisées (1) : Cas focalisant breather onde solitaire pulsatoire (travelling breather) 15

équation différentielle avec avance et retard pour Limite de l équation de Schrödinger non linéaire 16 Solutions approchées dans la limite NLS : Solutions exactes de la chaîne d atomes dans la limite NLS? Pas évident Contre-exemple de l équation des ondes semi-linéaire posée sur pas de breathers en général (Kichenassamy 91 Birnir 94) : Ondes solitaires : Iooss et Kirchgässner (00) Ondes solitaires pulsatoires : système de équations différentielles avec avance et retard pour G.J. et Sire (05) Iooss et G.J. (05) Sire (05) 16

Limite de l équation de Schrödinger non linéaire 17 2.5 0.5 2 1.5 1 0.5 0-0.5 0 0.5 1 1.5-1 -1.5 2-2 2.5-2.5-3 -10-8 -6-4 -2 0 2 4 6 8 10 3 20 15 10 5 0 5 10 15 20 FIG. 1: Calcul numérique d une onde solitaire pulsatoire pour ). Sire et G.J. (2005). harmonique (constante de raideur et 17

Limite de l équation de Schrödinger non linéaire 18 0.008 0.01 0.006 0.005 0.004 0.002 0 0 0.005 0.01-0.002 0.015-0.004-0.006 0.02-0.008-10 -9-8 -7-6 -5 0.025 20 15 10 5 FIG. 2: En général : oscillations périodiques de petite amplitude superposées à l onde principale Ondes solitaires généralisées Breathers cas discret G.J. (200103) 18

Mappings quasilinéaires et applications 19 3 Mappings quasilinéaires et applications Autres approches pour l étude des breathers : MacKay et Aubry (94) Arioli et al (95-98) Aubry et al (01) Pankov (05) 19

Mappings quasilinéaires et applications 20 3.1 Breathers dans le modèle FPU. I : formulation et cas linéaire G.J. C. R. Acad. Sci. Paris série I 332 (2001). 20

Mappings quasilinéaires et applications 21 ) ( Invariances : Breather : Nouvelle variable : = paramètre de bifurcation fréquence Reformulation de FPU : 21

Mappings quasilinéaires et applications 22 ) -périodiques de (fonctions Mapping pour dans est pair est au voisinage de commutent et solution Réversibilité : solution 22

Mappings quasilinéaires et applications 23 : Opérateur linéarisé en fermé non borné ) : ( Nombre infini de valeurs propres 1 σ 1 σ 1 σ : 1 1 σ 1 1 Spectre près du cercle unité pour : spectre sur le cercle unité = valeur propre double non semi-simple Pour Vect Vect espace propre généralisé 23

Mappings quasilinéaires et applications 24 3.2 Variétés centrales pour des itérations d opérateurs non bornés G.J. J. Nonlinear Science 13 2003 24

Mappings quasilinéaires et applications 25 Variétés centrales locales pour des itérations d application est invariant par Dynamique locale : variété centrale : Valeurs propres est espace de Banach Cas plus général : Marsden et MacCracken (76) Iooss (79) 25

Mappings quasilinéaires et applications 26 espaces de Hilbert opérateur linéaire fermé non borné est ) ( Terme non linéaire :.. Paramètre Cas defpu : 26

Mappings quasilinéaires et applications 27 SPECTRE DE : C(R) C(r) Inf SEPARATION SPECTRALE : Sup projections spectrales sous-espaces stable / central (régularisant) : 27

pour Mappings quasilinéaires et applications 28 THEOREME 1 : Hypothèse de séparation spectrale sur Alors il existe des voisinages de : une variété centrale locale de classe ( ) : a même dimension que est tangent à en estlocalement invariant par (E) invariant par une isométrie linéaire invariant par cette isométrie (E) mapping réversible (+ hypothèses techniques) de réversibilité. invariant par la symétrie 28

pour tout Mappings quasilinéaires et applications 29 THEOREME 1 : (suite) Hypothèse de séparation spectrale sur Réduction locale de (E) : solution de pour tout Si dim : problème local de dimension infinie mapping en dimension finie sur 29

Mappings quasilinéaires et applications 30 Principe de la preuve Troncature extérieure des non-linéarités : si est si Problème localement équivalent : Décomposition suivant les sous-espaces central / hyperbolique : Etape 1 : équations affines correspondantes 30

Mappings quasilinéaires et applications 31 : Equation affine sur le problème aux valeurs initiales admet la solution unique : si si si. Espaces appropriés : : Divergence possible de car * ( ) ' & & % Sup $ # 31

si Mappings quasilinéaires et applications 32 on résout : pour tout Equation affine sur $% (. : bornée solution Unique borné. non si a) Existence : Notations :. ( borné non & %& & $ & #Séparation spectrale 32

Mappings quasilinéaires et applications 33 non nulles les solutions pour #b) Unicité : séparation spectrale ) ( ). ou $divergent exponentiellement lorsque Etape 2 : équation non-locale ( (. & fixé avec et pour tout Résolution pour solution unique # Point fixe de Banach dans : $. En fixant Par unicité % est continu ( plus technique). ' pour 33

Mappings quasilinéaires et applications 34 3.3 Breathers dans le modèle FPU. II : étude non linéaire G.J. C. R. Acad. Sci. Paris série I 332 (2001). 34

Mappings quasilinéaires et applications 35 ( $% * pair # est THEOREME 2 : ) $Relation de récurrence réduite : invariances (valeur propre double et Réduction au voisinage de assez petit ( & & (E) de solution Si est ( alors (h.o.t. ( $et # (h.o.t. ( ( ( 35

( ( h.o.t. 0.2 vn 0 1 U0. 2 Orbites pour 36 : # Etude d un mapping re versible dans Mappings quasiline aires et applications U1 0.2 : 0.5 0 u 0.5 # orbites homoclines a 36 breathers # # ( $ Selon cette approximation : Passage au continu : n

( ( h.o.t. 0.2. vn 0 1 U0 2 Orbites pour 37 : # Etude d un mapping re versible dans Mappings quasiline aires et applications U1 0.2 : 0.5 0 u 0.5 breathers #. ) et (axe 37 involution : orbites re versibles homoclines a points fixes de : Courbes en pointille s syme trie n

38 ( ( : 0.1 3 4 n v 0 * ( u0) : 38 # (axe # 0.2 # # ) et dark breathers 0 un (ligne # # ' orbites he te roclines : 0.2 involution points fixes de : Lignes en pointille s 0.1 syme trie * (u0) #. ' ' Orbites pour U1 U0 h.o.t. Mapping re versible dans Mappings quasiline aires et applications ).

Mappings quasilinéaires et applications 39 amplitude fréquence ' ). THEOREME 3 : existence de solutions ( breathers ) ou dark breathers ( : breathers # a) Si # : dark breathers # b) Si homoclines à une onde progressive périodique # # 39

Mappings quasilinéaires et applications 40 linéarisé : Partie principale de modulation spatiale lente d une onde stationnaire du problème 0.2 0.12 0.1 0.06 y (0) n 0 y (0) n 0-0.1-0.06-0.2-40 -30-20 -10 0 10 20 30 40 n FIG. 3: Breather -0.12-20 -10 0 10 20 FIG. 4: Dark breather n Profils pour : solutions calculées numériquement pour des potentiels polynomiaux (cercles) approximations analytiques obtenues à partir du mapping réduit (pointillés) 40

Mappings quasilinéaires et applications 41 Déplacements relatifs et forces d interaction : Solutions exactes de type breather : h.o.t. Passage au continu : # solution exacte proche de l approximation NLS. # 41

Mappings quasilinéaires et applications 42 3.4 Autres applications et problèmes intéressants 42

Mappings quasilinéaires et applications 43 I - Résultat de réduction applicable à des systèmes plus généraux Réseaux 1D spatialement non homogènes et périodiques. Ex : breathers dans des réseaux diatomiques. G.J. et P. Noble (2004). Réseaux 1D d oscillateurs ayant plus d un degré de liberté. Ex : breathers dans une chaîne de spins en interaction. P. Noble (2004). Réseaux cylindriques de dim. supérieure (seulement une direction non bornée). Ex : nanotube de carbone. Réseaux 1D spatialement non homogènes apériodiques inhomogénéités petites #mapping non-autonome. Explication géométrique de bifurcations de modes localisés dans des cristaux avec défaut ponctuel non-linéarités G.J. B. Sànchez-Rey et J. Cuevas en préparation. 43

II - Résultat de réduction Mappings quasilinéaires et applications 44 Equations dépendant du temps dont les paramètres sont périodiques en Ex : potentiel local dépendant de linéaire.. étude locale autour d une onde stationnaire non nouvelles applications pour l étude des mappings itérations dans Applications de Poincaré Dynamique au voisinage d une orbite périodique Réd. mappings quasilinéaires orbites périodiques de réseaux infinis Ex. : Bifurcations réversible G.J. et M. Kastner (2006). couplage de modes réseaux diatomiques. 44

Mappings quasilinéaires et applications 45 III - Et au-delà du cas cylindrique? Réduction de type Lyapunov-Schmidt hors du cadre de la théorie de Fredholm. Breathers dans des réseaux bidimensionnels G.J. et R. MacKay en préparation.. Ondes progressives dans des réseaux 1D avec interactions à longue portée. 45