Finance, Navier-Stokes, et la calibration

Finance, Navier-Stokes, et la calibration non linéarités en finance 1 1 www.crimere.com/blog Juin 2013

Lignes directrices Transport Optimal - Rappels 1 Transport Optimal - Rappels 2 3 4

Transport Optimal - Rappels d >> 1. R d, Observables. Λ := [ 1 2, 1 2 ]d cube unité. Mesures de probabilité : µ P() : µ() = 1, µ 0. Quantiles de µ (not. S # m = µ ). S : Λ ϕµ = (ϕ S) m, (µ S) det S = 1. Λ Répartition de µ (not. S 1,# m = µ) : S 1 : Λ. ( ϕm = ϕ S 1) µ, µ = det S 1. Λ Factorisation polaire - Y. Brennier - 1990 : S L 2 (Λ, ). conservatif S = ( h) T, h W 1,2 (Λ) convexe. T : Λ Λ, T # m = m (m mesure Lebesgue). entropique S + = ( h + ) T +, h + W 1,2 (Λ) convexe.

Transport Optimal - Rappels d >> 1. R d, Observables. Λ := [ 1 2, 1 2 ]d cube unité. Mesures de probabilité : µ P() : µ() = 1, µ 0. Quantiles de µ (not. S # m = µ ). S : Λ ϕµ = (ϕ S) m, (µ S) det S = 1. Λ Répartition de µ (not. S 1,# m = µ) : S 1 : Λ. ( ϕm = ϕ S 1) µ, µ = det S 1. Λ Factorisation polaire - Y. Brennier - 1990 : S L 2 (Λ, ). conservatif S = ( h) T, h W 1,2 (Λ) convexe. T : Λ Λ, T # m = m (m mesure Lebesgue). entropique S + = ( h + ) T +, h + W 1,2 (Λ) convexe.

Transport Optimal - Rappels d >> 1. R d, Observables. Λ := [ 1 2, 1 2 ]d cube unité. Mesures de probabilité : µ P() : µ() = 1, µ 0. Quantiles de µ (not. S # m = µ ). S : Λ ϕµ = (ϕ S) m, (µ S) det S = 1. Λ Répartition de µ (not. S 1,# m = µ) : S 1 : Λ. ( ϕm = ϕ S 1) µ, µ = det S 1. Λ Factorisation polaire - Y. Brennier - 1990 : S L 2 (Λ, ). conservatif S = ( h) T, h W 1,2 (Λ) convexe. T : Λ Λ, T # m = m (m mesure Lebesgue). entropique S + = ( h + ) T +, h + W 1,2 (Λ) convexe.

Transport Optimal - Rappels d >> 1. R d, Observables. Λ := [ 1 2, 1 2 ]d cube unité. Mesures de probabilité : µ P() : µ() = 1, µ 0. Quantiles de µ (not. S # m = µ ). S : Λ ϕµ = (ϕ S) m, (µ S) det S = 1. Λ Répartition de µ (not. S 1,# m = µ) : S 1 : Λ. ( ϕm = ϕ S 1) µ, µ = det S 1. Λ Factorisation polaire - Y. Brennier - 1990 : S L 2 (Λ, ). conservatif S = ( h) T, h W 1,2 (Λ) convexe. T : Λ Λ, T # m = m (m mesure Lebesgue). entropique S + = ( h + ) T +, h + W 1,2 (Λ) convexe.

Transport Optimal - Rappels d >> 1. R d, Observables. Λ := [ 1 2, 1 2 ]d cube unité. Mesures de probabilité : µ P() : µ() = 1, µ 0. Quantiles de µ (not. S # m = µ ). S : Λ ϕµ = (ϕ S) m, (µ S) det S = 1. Λ Répartition de µ (not. S 1,# m = µ) : S 1 : Λ. ( ϕm = ϕ S 1) µ, µ = det S 1. Λ Factorisation polaire - Y. Brennier - 1990 : S L 2 (Λ, ). conservatif S = ( h) T, h W 1,2 (Λ) convexe. T : Λ Λ, T # m = m (m mesure Lebesgue). entropique S + = ( h + ) T +, h + W 1,2 (Λ) convexe.

Transport Optimal - Rappels d >> 1. R d, Observables. Λ := [ 1 2, 1 2 ]d cube unité. Mesures de probabilité : µ P() : µ() = 1, µ 0. Quantiles de µ (not. S # m = µ ). S : Λ ϕµ = (ϕ S) m, (µ S) det S = 1. Λ Répartition de µ (not. S 1,# m = µ) : S 1 : Λ. ( ϕm = ϕ S 1) µ, µ = det S 1. Λ Factorisation polaire - Y. Brennier - 1990 : S L 2 (Λ, ). conservatif S = ( h) T, h W 1,2 (Λ) convexe. T : Λ Λ, T # m = m (m mesure Lebesgue). entropique S + = ( h + ) T +, h + W 1,2 (Λ) convexe.

. (équation de Navier-Stokes, partie irrotationnellle) On cherche µ(t, ) C 0 (R +, P()) satisfaisant Proposition t µ (S 1 µ ) = ɛ µ, Conservation de la masse t S 1 1 2 S 1 2 2 = ɛ S 1, Conservation du moment. (1) Interprétation : µ(t, x) probabilité d avoir un ordre d achat ou de vente au temps t au prix x. ( S, S 1 ) (t, ) quantile, fonction de répartition de µ(t, ).

. (équation de Navier-Stokes, partie irrotationnellle) On cherche µ(t, ) C 0 (R +, P()) satisfaisant Proposition t µ (S 1 µ ) = ɛ µ, Conservation de la masse t S 1 1 2 S 1 2 2 = ɛ S 1, Conservation du moment. (1) Interprétation : µ(t, x) probabilité d avoir un ordre d achat ou de vente au temps t au prix x. ( S, S 1 ) (t, ) quantile, fonction de répartition de µ(t, ).

. (équation de Navier-Stokes, partie irrotationnellle) On cherche µ(t, ) C 0 (R +, P()) satisfaisant Proposition t µ (S 1 µ ) = ɛ µ, Conservation de la masse t S 1 1 2 S 1 2 2 = ɛ S 1, Conservation du moment. (1) Interprétation : µ(t, x) probabilité d avoir un ordre d achat ou de vente au temps t au prix x. ( S, S 1 ) (t, ) quantile, fonction de répartition de µ(t, ).

Construction du système Incentive : Invariance des Profils de carnets d ordre. t P t R d prix des actifs, P(t, ) : Λ quantile Hypothèse 1 : S 1 P(t, ) S 1 P(0, ) (a) action liquide (b) action moins liquide FIGURE : S 1 (t, x P t ), statistiques de carnet d ordre. Profils de chocs entropiques (Méca flu, eq. Burger). Hypothèse 2 : d dt P t = S 1 (t, P t ) t P = S 1 P marché non liquide

Construction du système Incentive : Invariance des Profils de carnets d ordre. t P t R d prix des actifs, P(t, ) : Λ quantile Hypothèse 1 : S 1 P(t, ) S 1 P(0, ) (a) action liquide (b) action moins liquide FIGURE : S 1 (t, x P t ), statistiques de carnet d ordre. Profils de chocs entropiques (Méca flu, eq. Burger). Hypothèse 2 : d dt P t = S 1 (t, P t ) t P = S 1 P marché non liquide

Cas non visqueux ɛ = 0 : Equations d Euler Solutions conservatives, Solutions entropiques, Modèle de retour à l équilibre. P.G. Lefloch - - A Geometric approach for multidimensional hyperbolic conservation laws - En cours de rédaction. S(t, ) := S(0, y) ty méthode des caractéristiques. Solution conservative - "non physique" : µ = ( h) # m, S := ( h) T factorisation polaire de Y. Brennier. Solution entropique - "physique" : µ = h + #m, avec h + enveloppe convexe de S(t, ) La solution entropique converge vers un Dirac µ(t, ) := S(t, ) # m δ S(0), quand t.

Cas non visqueux ɛ = 0 : Equations d Euler Solutions conservatives, Solutions entropiques, Modèle de retour à l équilibre. P.G. Lefloch - - A Geometric approach for multidimensional hyperbolic conservation laws - En cours de rédaction. S(t, ) := S(0, y) ty méthode des caractéristiques. Solution conservative - "non physique" : µ = ( h) # m, S := ( h) T factorisation polaire de Y. Brennier. Solution entropique - "physique" : µ = h + #m, avec h + enveloppe convexe de S(t, ) La solution entropique converge vers un Dirac µ(t, ) := S(t, ) # m δ S(0), quand t.

Cas non visqueux ɛ = 0 : Equations d Euler Solutions conservatives, Solutions entropiques, Modèle de retour à l équilibre. P.G. Lefloch - - A Geometric approach for multidimensional hyperbolic conservation laws - En cours de rédaction. S(t, ) := S(0, y) ty méthode des caractéristiques. Solution conservative - "non physique" : µ = ( h) # m, S := ( h) T factorisation polaire de Y. Brennier. Solution entropique - "physique" : µ = h + #m, avec h + enveloppe convexe de S(t, ) La solution entropique converge vers un Dirac µ(t, ) := S(t, ) # m δ S(0), quand t.

Cas non visqueux ɛ = 0 : Equations d Euler Solutions conservatives, Solutions entropiques, Modèle de retour à l équilibre. P.G. Lefloch - - A Geometric approach for multidimensional hyperbolic conservation laws - En cours de rédaction. S(t, ) := S(0, y) ty méthode des caractéristiques. Solution conservative - "non physique" : µ = ( h) # m, S := ( h) T factorisation polaire de Y. Brennier. Solution entropique - "physique" : µ = h + #m, avec h + enveloppe convexe de S(t, ) La solution entropique converge vers un Dirac µ(t, ) := S(t, ) # m δ S(0), quand t.

Propriétés du système. Et extension du modèle Propriétés : Un observateur "stochastique" concluerait : La volatilité locale est toujours smilée Mais les tics sont corrélés (un achat suit une vente) Extension du modèle : Ajoutez la partie rotationnelle, et vous obtiendrez des turbulences (de marché)!. Ajoutez un terme source, et vous pourrez calibrer.

Propriétés du système. Et extension du modèle Propriétés : Un observateur "stochastique" concluerait : La volatilité locale est toujours smilée Mais les tics sont corrélés (un achat suit une vente) Extension du modèle : Ajoutez la partie rotationnelle, et vous obtiendrez des turbulences (de marché)!. Ajoutez un terme source, et vous pourrez calibrer.

Propriétés du système. Et extension du modèle Propriétés : Un observateur "stochastique" concluerait : La volatilité locale est toujours smilée Mais les tics sont corrélés (un achat suit une vente) Extension du modèle : Ajoutez la partie rotationnelle, et vous obtiendrez des turbulences (de marché)!. Ajoutez un terme source, et vous pourrez calibrer.

Propriétés du système. Et extension du modèle Propriétés : Un observateur "stochastique" concluerait : La volatilité locale est toujours smilée Mais les tics sont corrélés (un achat suit une vente) Extension du modèle : Ajoutez la partie rotationnelle, et vous obtiendrez des turbulences (de marché)!. Ajoutez un terme source, et vous pourrez calibrer.

Propriétés du système. Et extension du modèle Propriétés : Un observateur "stochastique" concluerait : La volatilité locale est toujours smilée Mais les tics sont corrélés (un achat suit une vente) Extension du modèle : Ajoutez la partie rotationnelle, et vous obtiendrez des turbulences (de marché)!. Ajoutez un terme source, et vous pourrez calibrer.

Calibration avec contraintes formations de singularités Calibration par contraintes : µ 0 (t, ) est le "prior" historique inf d( µ 0 (t m ), ), µ 1, contr. Pj m µ 1 = Cj m µ 1 P() Avellaneda (1998) : d ( ) µ 0, µ 1 Kullback-Leibler d ( ) ( µ 0, µ 1 := ln µ ) 0 µ 1 µ 1 Remarque : Ne marche pas (il faut ajouter de la viscosité). d ( ) µ 0, µ 1 distance de Wasserstein d ( ) ) µ 0, µ 1 := W2 (µ 0, µ 1 = inf x S(x) 2 µ 0 S # µ 1 =µ 0

Calibration avec contraintes formations de singularités Calibration par contraintes : µ 0 (t, ) est le "prior" historique inf d( µ 0 (t m ), ), µ 1, contr. Pj m µ 1 = Cj m µ 1 P() Avellaneda (1998) : d ( ) µ 0, µ 1 Kullback-Leibler d ( ) ( µ 0, µ 1 := ln µ ) 0 µ 1 µ 1 Remarque : Ne marche pas (il faut ajouter de la viscosité). d ( ) µ 0, µ 1 distance de Wasserstein d ( ) ) µ 0, µ 1 := W2 (µ 0, µ 1 = inf x S(x) 2 µ 0 S # µ 1 =µ 0

Calibration avec contraintes formations de singularités Calibration par contraintes : µ 0 (t, ) est le "prior" historique inf d( µ 0 (t m ), ), µ 1, contr. Pj m µ 1 = Cj m µ 1 P() Avellaneda (1998) : d ( ) µ 0, µ 1 Kullback-Leibler d ( ) ( µ 0, µ 1 := ln µ ) 0 µ 1 µ 1 Remarque : Ne marche pas (il faut ajouter de la viscosité). d ( ) µ 0, µ 1 distance de Wasserstein d ( ) ) µ 0, µ 1 := W2 (µ 0, µ 1 = inf x S(x) 2 µ 0 S # µ 1 =µ 0

Calibration avec Wasserstein Solutions conservative, solution entropique, formations de singularités On obtient une expression explicite de la fonction de répartition ( S 1 1 := S 1 0 λ i P i ), λ i multiplicateurs Lagrange. i Calcul du quantile S 1 quand S 1 1 n est pas un difféomorphisme? Infinité de solutions : Une solution est conservative : S 1 = h, h convexe ( h) 1 factorisation polaire de S 1 1 ( Y. Brennier) Une solution est entropique : S 1 = h +, h + convexe ( h + ) 1 enveloppe convexe de S 1 1

Calibration avec Wasserstein Solutions conservative, solution entropique, formations de singularités On obtient une expression explicite de la fonction de répartition ( S 1 1 := S 1 0 λ i P i ), λ i multiplicateurs Lagrange. i Calcul du quantile S 1 quand S 1 1 n est pas un difféomorphisme? Infinité de solutions : Une solution est conservative : S 1 = h, h convexe ( h) 1 factorisation polaire de S 1 1 ( Y. Brennier) Une solution est entropique : S 1 = h +, h + convexe ( h + ) 1 enveloppe convexe de S 1 1

Au final : Une méthode de Monte-Carlo calibrée rapide, equi-probable, multi-dimensionnelle minimisation discrète : (S 0 i ) i "quantile" historique. 1 inf S i =( h) i N S i Si 0 2, contr. 1 P j S i = C j N i Illustration sur une liste de put / call i (a) quantile historique (b) conservatif (c) entropique FIGURE : Calibration Monte-Carlo sur BoA.

Au final : Une méthode de Monte-Carlo calibrée rapide, equi-probable, multi-dimensionnelle minimisation discrète : (S 0 i ) i "quantile" historique. 1 inf S i =( h) i N S i Si 0 2, contr. 1 P j S i = C j N i Illustration sur une liste de put / call i (a) quantile historique (b) conservatif (c) entropique FIGURE : Calibration Monte-Carlo sur BoA.

Et une économétrie unifiée Soit S 1 (t n, ) n 0 calibré. Soit X t L 2 (Λ, ) et t n t s t n+1 S(t, s, X t, ) := s t ( ) t n+1 t n S 1 (t n+1, ) S 1 (t n, ) + X t ( ). On note π(t, s, X t, ) := S(t, s, X t, ) # m, qu on peut interpréter comme une probabilité de transition π(t, s, X t, ) P(X(t) = X t X(s) = ) retropropagation sur les trajectoires Monte-Carlo.

Et une économétrie unifiée Soit S 1 (t n, ) n 0 calibré. Soit X t L 2 (Λ, ) et t n t s t n+1 S(t, s, X t, ) := s t ( ) t n+1 t n S 1 (t n+1, ) S 1 (t n, ) + X t ( ). On note π(t, s, X t, ) := S(t, s, X t, ) # m, qu on peut interpréter comme une probabilité de transition π(t, s, X t, ) P(X(t) = X t X(s) = ) retropropagation sur les trajectoires Monte-Carlo.

Et une économétrie unifiée Soit S 1 (t n, ) n 0 calibré. Soit X t L 2 (Λ, ) et t n t s t n+1 S(t, s, X t, ) := s t ( ) t n+1 t n S 1 (t n+1, ) S 1 (t n, ) + X t ( ). On note π(t, s, X t, ) := S(t, s, X t, ) # m, qu on peut interpréter comme une probabilité de transition π(t, s, X t, ) P(X(t) = X t X(s) = ) retropropagation sur les trajectoires Monte-Carlo.

Chaine de Markov - Propriétés de martingale On se donne une c.i. µ(0, ) P(), et on calcule µ(t, ) t µ (V µ ) = 0, Masse (MARKOV) V µ = 0, Moment (Martingale). avec dans nos exemples (2) t V 1 2 V 2 2 = ɛ V, V = S 1, (Navier-Stokes). V (t, ) = (ts 1 + (1 t)s 0 ) S 1, (Calibration) Question : sous quelles conditions le système (2) définit-il un processus martingale??

Exemple : Browniens et Fokker-Planck Données de marché : taux, forex, actions, commodités, etc.. : R d, d >> 1, t S t suivent un brownien ds t = r(t, S t )dt + σ(t, S t ) dw t, S t := ( S i,t )i=1..d σ(t, ) L (, M(R d 2 )) est la volatilitée locale. Fokker-Planck : µ(t, ) densité de proba de S t suit l équation t µ + (V µ) = 0, avec V (t, ) = r ξ ξ ln µ, ξ := 1 ( ) 2 σσt, ξ := j ξ i,j i.e. V µ = Λ r(t, S) (S est martingale sous Q) j i=1..d

Exemple : Browniens et Fokker-Planck Données de marché : taux, forex, actions, commodités, etc.. : R d, d >> 1, t S t suivent un brownien ds t = r(t, S t )dt + σ(t, S t ) dw t, S t := ( S i,t )i=1..d σ(t, ) L (, M(R d 2 )) est la volatilitée locale. Fokker-Planck : µ(t, ) densité de proba de S t suit l équation t µ + (V µ) = 0, avec V (t, ) = r ξ ξ ln µ, ξ := 1 ( ) 2 σσt, ξ := j ξ i,j i.e. V µ = Λ r(t, S) (S est martingale sous Q) j i=1..d

Calibration de volatilité locale - Dupire. σ(t, ) : (a) Bonnans - Cognet - Volle. INRIA 2002. Estimation de la volatilité locale... zones de volatilité négatives (bleues)??

Calibration de volatilité locale - Dupire. σ(t, ) : (a) Bonnans - Cognet - Volle. INRIA 2002. Estimation de la volatilité locale... zones de volatilité négatives (bleues)??

Annexe Lectures complementaires Lectures complementaires I Peter Tankov. Surface de volatilié, Calibration de Modèles et Couverture de Produits Dérivés www.math.jussieu.fr/tankov/ma/ M Avellaneda. Minimum-relative-entropy calibration of asset pricing models, International Journal of Theoretical and Applied Finance, (1998). Optimally Transported Schemes - Applications in Finance, www.crimere.com/blog, (2008).