Correction devoir de mathématiques n 3

Page1 Correction devoir de mathématiques n 3 Exercice 1 (4,5 points) On donne ci-dessous les courbes C 1, C 2 et C 3 représentant trois fonctions définies et dérivables sur R, Ainsi que Γ 1, Γ 2 et Γ 3 représentant leur dérivée. Associer, en justifiant (par des tableaux), les courbes par binôme. Courbe de la fonction Courbe de la dérivée associée Justification x 1 2 + Γ 1 0 + 0 C 1 Γ 1 x 1 2 + C 1 x 1 2 + Γ 3 + 0 0 + C 2 Γ 3 x 1 2 + C 1 x 1 + Γ 2 + 0 + C 3 Γ 2 x 1 + Γ 2

Page2 Exercice 2 (7 points) Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer l ensemble de définition ainsi que le ou les intervalles sur le(s)quel(s) la fonction est dérivable puis exprimer la fonction dérivée : f(x) = 5x2 3x + 2 2x 2 x 1 g(x) = ( 1 x) (2 x 1) x 1/ Etude de f Il ne faut pas que 2x 2 x 1 = 0 = b² 4ac = ( 1)² 4 2 ( 1) = 9 > 0 donc l équation admet 2 solutions f est définie et dérivable sur R\ { 1 ; 1} 2 x 1 = b x 1 = 1 2 x 2 = b + x 2 = 1 u(x) = 5x² 3x + 2 u (x) = 10x 3 v(x) = 2x 2 x 1 v (x) = 4x 1 2/ Etude de g f (x) = (10x 3)(2x2 x 1) (5x² 3x + 2)(4x 1) (2x 2 x 1)² f (x) = 20x3 10x 2 10x 6x 2 + 3x + 3 (20x 3 5x 2 12x 2 + 3x + 8x 2) (2x 2 x 1)² f est définie et dérivable sur R + f (x) = x² 18x + 5 (2x 2 x 1)² u(x) = 1 x x u (x) = 1 x 2 1 v(x) = 2 x 1 v (x) = 2 1 2 x = 1 g (x) = ( 1 x 2 1) (2 x 1) + (1 x x) ( 1 x ) = 2 x x 2 2 x + 1 x 2 + 1 + 1 x x x x x = 2 x 2x2 x + 1 + x 2 + x x 2 x x 2 = x 3x2 x + 1 + x 2 x 2

Page3 Exercice 3 (7 points) On considère une certaine fonction f pour laquelle : f (x) = x 4 x 2 Entourer la ou les bonne(s) réponse(s) en justifiant : (Un résultat non justifié sera compté faux, une réponse fausse retirera 0,5 pts) 1/ Alors f (x) est : a/ de même signe que x 2 1 Justification : Or x R, x² 0 Donc f est du signe de x 2 1 b/ de signe contraire à x 2 1 f (x) = x 4 x 2 = x²(x 2 1) c/ toujours positive d/ toujours négative 2/ La fonction f admet un extremum local en : a/ 1 b/ 0 c/ n admet pas d/ 1 d extremum local Justification : On a : f (x) = x 4 x 2 = x 2 (x 2 1) = x²(x 1)(x + 1) D où le tableau de signes : x 1 0 1 + x² + 0 + x 1 0 + x + 1 0 + f + 0 0 0 + f ( 1) = 0 avec un changement de signes en 1, donc f admet un extremum en x = 1. f (1) = 0 avec un changement de signes en 1, donc f admet un extremum en x = 1. 3/ La fonction f est croissante sur : a/ ] ; 1] b/ [ 1; 0] c/ [0; 1] d/ [1; + [ Justification : x 1 0 1 + f + 0 0 0 + f 4/ En 0, la fonction f admet : a/ un maximum local b/ un minimum local c/ ni l un ni l autre Justification : f (0) = 0 mais sans changement de signes en 0, donc f n admet pas d extremum en x = 0

Page4 Exercice 4 (7,5 points) On considère la fonction f définie par : f(x) = x x 2 + 1 On appelle C f sa courbe représentative dans un repère orthogonal. 1/ Démontrer que cette fonction est définie sur R. Il ne faut pas que x 2 + 1 = 0 x² = 1 Or un carré n est jamais négatif, donc x² = 1 n admet pas de solutions. Le dénominateur ne s annulant jamais, f est définie sur R. 2/ Déterminer l équation réduite de la tangente (T) à C f au point d abscisse 0. f est définie et dérivable sur R. u(x) = x u (x) = 1 v(x) = x² + 1 v (x) = 2x On a donc : f (x) = 1(x² + 1) x 2x (x² + 1)² = x² + 1 2x² (x² + 1)² = x2 + 1 (x² + 1)² f (0) = 02 + 1 (0² + 1)² = 1 f(0) = 0 0 2 + 1 = 0 L équation réduite de la tangente (T) à C f au point d abscisse 0, est donc : y = f (0)(x 0) + f(0) y = 1(x 0) + 0 = x y = x est l équation réduite de la tangente (T). 3/ Démontrer que les tangentes à C f aux points d abscisses 3 et 3 sont parallèles. Soit (T 3 ) la tangente à C f au point d abscisse 3 et (T 3 ) la tangente à C f au point d abscisse -3. L équation réduite de la tangente (T 3 ) à C f au point d abscisse 3, est : y = f (3)(x 3) + f(3) L équation réduite de la tangente (T 3 ) à C f au point d abscisse -3, est : y = f ( 3)(x + 3) + f( 3) f (3) et f ( 3) sont donc les coefficients directeurs de ces droites. (T 3 ) (T 3 ) leurs coefficients directeurs sont égaux f (3) = f ( 3) Vérifions donc que : f (3) = f ( 3) f (3) = 32 + 1 (3² + 1)² = 2 25 Donc : f (3) = f ( 3) Donc : les tangentes à C f aux points d abscisses 3 et 3 sont parallèles. f ( 3) = ( 3)2 + 1 (( 3)² + 1)² = 2 25 4/ Démontrer que si l on trace les tangentes à C f en deux points d abscisses opposées, ces tangentes sont parallèles. Soit A et B deux points de C f d abscisses opposées : a et a. Soit (T A ) la tangente à C f au point d abscisse a et (T B ) la tangente à C f au point d abscisse a. L équation réduite de la tangente (T A ) à C f au point d abscisse a, est :

Page5 y = f (a)(x a) + f(a) L équation réduite de la tangente (T B ) à C f au point d abscisse a, est : y = f ( a)(x + a) + f( a) f (a) et f ( a) sont donc les coefficients directeurs de ces droites. (T A ) (T B ) leurs coefficients directeurs sont égaux f (a) = f ( a) Vérifions donc que : f (a) = f ( a) f (a) = a2 + 1 (a² + 1)² f ( a) = ( a)2 + 1 (( a)² + 1)² = a2 + 1 (a² + 1)² Car ( a) 2 = a² Donc : f (a) = f ( a) Donc : les tangentes à C f aux points d abscisses a et a sont parallèles. Donc si l on trace les tangentes à C f en deux points d abscisses opposées, ces tangentes sont parallèles. Exercice 5 (3,5 points) La trajectoire d un mobile est portée par la courbe d équation : y = 1 t dans un repère orthonormé, ci-joint. On admet que lorsqu il quitte sa trajectoire en M, le mobile poursuit son mouvement en ligne droite sur la tangente en M. A quel endroit doit-il quitter sa trajectoire pour passer par le point A(4 ; 0)? Indication : On notera a l abscisse de M. Soit f, la fonction définie sur R + par : f(t) = 1 t M est un point de C f, d abscisse a, donc : M(a; f(a)) i.e. M (a; 1 a ) f est définie et dérivable sur R + et on a : Donc : f (t) = 1 t² f (a) = 1 a² L équation réduite de la tangente (T M ) à C f au point d abscisse a, est : y = f (a)(x a) + f(a) i.e. : y = 1 a 2 (x a) + 1 x + a = a a 2 + a x + = a2 a 2

Page6 Or A(4 ; 0) (T M ), donc ses coordonnées vérifient l équation de la tangente, d où : 4 + a 2 = 0 4 + = 0 a = 2 Le mobile doit donc quitter sa trajectoire au point M (2; 1 ) pour passer par le point A(4 ; 0). 2 Exercice 6 Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = 4x + 8 x 2 4x + 5 (10,5 points) 1/ Étudier les variations de f. Ensemble de définition de f : Il ne faut pas que x 2 4x + 5 = 0 = b² 4ac = ( 4) 2 4 1 5 = 4 < 0 donc l équation x 2 4x + 5 = 0 n admet pas de solutions f est définie et dérivable sur R. u(x) = 4x + 8 u (x) = 4 v(x) = x 2 4x + 5 v (x) = 2x 4 f (x) = 4(x2 4x + 5) ( 4x + 8)(2x 4) (x 2 4x + 5)² f (x) = 4x2 + 16x 20 ( 8x 2 + 16x + 16x 32) (x 2 4x + 5)² f (x) = 4x² 16x + 12 (x 2 4x + 5)² Signe de la dérivée : f (x) est du signe de 4x² 16x + 12 car le dénominateur, étant un carré, est toujours positif : = b² 4ac = ( 16)² 4 4 12 = 64 > 0 donc l équation admet 2 solutions x 1 = b x 1 = 1 x 2 = b + x 2 = 3 On obtient donc, comme a > 0 : x 1 3 + 4x² 16x + 12 + 0 0 + x 2 4x + 5 + f (x) + 0 0 + D où le tableau de variations de la fonction f : x 1 3 + f (x) + 0 0 + f 2 2 f(1) = 4 1 + 8 1 2 4 1 + 5 = 2 f(3) = 4 3 + 8 3 2 4 3 + 5 = 2

Page7 2/ Déterminer les extremums de la fonction sur l intervalle [0; 4]. x 0 1 3 4 f (x) + 0 0 + f 2 8 8 5 2 5 4 0 + 8 f(0) = 0 2 4 0 + 5 = 8 5 < 2 f(4) = 4 4 + 8 4 2 4 4 + 5 = 8 5 > 2 f (1) = 0 avec un changement de signes en 1, donc f admet un extremum en x = 1. Il s agit d un maximum et ce maximum vaut 2. f (3) = 0 avec un changement de signes en 3, donc f admet un extremum en x = 3. Il s agit d un minimum et ce minimum vaut -2. 3/ Déterminer les coordonnées du point A, intersection entre la courbe C f et l axe des abscisses. Chercher l abscisse du point d intersection entre la courbe C f et l axe des abscisses revient à résoudre l équation : 4x + 8 f(x) = 0 x 2 = 0 4x + 8 = 0 x = 2 4x + 5 Donc, les coordonnées du point A, intersection entre la courbe C f et l axe des abscisses sont : (2; 0) 4/ Montrer que la tangente (T) à C f au point A a pour équation : y = 4x + 8 L équation réduite de la tangente (T) à C f au point A, est : y = f (2)(x 2) + f(2) Or : f(2) = 0 f 4 2² 16 2 + 12 (2) = (2 2 4 2 + 5)² = 4 Donc, y = f (2)(x 2) + f(2) = 4(x 2) + 0 = 4x + 8 L équation réduite de la tangente (T) à C f au point A, est bien : y = 4x + 8 5/ Etudier le signe de : f(x) ( 4x + 8) En déduire la position de la courbe C f par rapport à la tangente (T). f(x) ( 4x + 8) = 4x + 8 4x + 8 x 2 ( 4x + 8) = 4x + 5 x 2 4x + 5 ( 4x + 8)(x2 4x + 5) x 2 4x + 5 Signe de x 2 + 4x 4 = ( 4x + 8)(1 x2 + 4x 5) x 2 4x + 5 = b² 4ac = 4² 4 ( 1) ( 4) = 0 Donc une seule racine Comme a < 0, x 2 + 4x 4 est toujours négatif sauf en x = 2. = ( 4x + 8)( x2 + 4x 4) x 2 4x + 5 α = b 4 α = 2 ( 1) α = 2

Page8 On obtient donc le tableau de signes suivant : x 2 + 4x + 8 + 0 x 2 + 4x 4 0 x 2 4x + 5 + f(x) ( 4x + 8) 0 + f(x) ( 4x + 8) 0 sur [2 ; + [, donc C f est au dessus de (T) sur [2 ; + [. f(x) ( 4x + 8) 0 sur ] ; 2], donc C f est en dessous de (T) sur ] ; 2]