CH. PII.2 : TD -CICUITS LINEAIES DU 1 E ODE SOUMIS A UN ECHELON DE TENSION CAPACITES EXIGIBLES C1. Caractéristiques des capacités et inductances (connaître leurs équations caractéristiques, savoir les associer, Exprimer l énergie stockée dans un condensateur ou une bobine). C2. Interpréter et utiliser les continuités de la tension aux bornes d un condensateur ou de l intensité dans une bobine. Interpréter et utiliser le comportement des bobines et condensateurs au bout d un temps infini (régime continu). C3. Établir l équation différentielle du premier ordre vérifiée par une grandeur électrique dans un circuit comportant une ou deux mailles. C4. Déterminer analytiquement la réponse temporelle dans le cas d un régime libre ou d un échelon. Déterminer un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire. C5. Définir, analyser et déterminer expérimentalement ou par le calcul le temps caractéristique d un circuit du premier ordre. C6. Etablir et analyser des portraits de phase pour des circuits du premier ordre. C7. éaliser des bilans énergétiques. QUESTIONS DE COUS COLLES 1. Caractéristiques générales des condensateurs : condensateur réel et condensateur idéal, équation caractéristique, comportement au bout d un temps infini, loi de continuité, caractéristiques énergétiques ; énoncer et démontrer les lois d association des capacités. 2. Caractéristiques générales des bobines : bobine réelle et inductance pure, équation caractéristique, comportement au bout d un temps infini, loi de continuité, caractéristiques énergétiques ; énoncer et démontrer les lois d association des inductances. 3. Dans les circuits ci-dessous, juste avant la fermeture des interrupteurs, tous les courants traversant les bobines sont nuls et tous les condensateurs sont déchargés. Déterminer les expressions de i(0), i (0), i (0), u(0), u (0) (suivant les cas) juste après la fermeture de l interrupteur. 4. Etude d un circuit C en régime libre (tension aux bornes de C, courant de décharge). 5. Bilan énergétique de la décharge de C (Donnée : et C étant étudiés en convention récepteur, avec une tension initiale u c (t = 0) = E, on a montré que u c (t) t τ = Ee et i(t) = E e t τ). 6. Etude de la charge d un circuit C (tension aux bornes de C, courant de décharge). 7. Bilan énergétique de la charge de C (Donnée : et C étant étudiés en convention récepteur, avec une tension initiale u c (t = 0) = 0, on a montré que u c (t) t τ = E(1 e ) et i(t) = E e t τ. 8. Portrait de phase de la charge et de la décharge de C dans un circuit C série. 9. Temps caractéristique : définition et signification. Illustrer de manière quantitative sur l exemple de la charge de C dans un circuit C série. Application à la visualisation à l oscilloscope des charges et décharges d un condensateur dans un circuit C. PII. Electricité Chapitre 2. : TD Circuits linéaires du 1 er ordre en régime transitoire Sonia Najid Lycée Corneille MPSI 2017-2018 1
CONSEILS A SUIVE ; EEUS A EVITE 1. Comme en régime continu, il faut être vigilant quant aux signes, bien représenter le sens de l intensité et des flèches de tension, essayer d orienter ces grandeurs selon le sens physique, minimiser le nombre d inconnues introduites en exploitant directement les lois de irchhoff et les équations caractéristiques des dipôles, vérifier le nombre d inconnues et le nombre d équations indépendantes exploitées, etc. 2. Les constantes d intégration d une équation différentielle se trouvent souvent par continuité de la charge ou de la tension aux bornes d un condensateur, ou de l intensité du courant à travers une bobine (et non l inverse!). Elles doivent impérativement être déterminées à partir de la solution générale de l équation complète (SGEC), et non de la solution générale de l équation homogène!!! 3. Pour les circuits stables, la solution particulière de l équation complète (SPEC) correspond au régime permanent atteint lorsque le régime transitoire s est atténué, régime permanent en général forcé par un générateur, avec le même type de comportement que ce générateur. D un point de vue mathématique, on peut donc retenir que la SPEC aura la même forme que le second membre de l équation différentielle : elle sera recherchée sous forme d une constante pour un second membre constant, sous une forme affine at + b pour un second membre t, etc APPLICATIONS DE COUS Application 1 : Etude de circuits en régime continu * ou ** [C1] ; [C2] 1) Dans les différents circuits proposés ci-contre, on suppose que le régime permanent continu est établi. Exprimer pratiquement sans calcul les différentes intensités et les différentes tensions indiquées sur les schémas. 2) On considère que le régime continu est atteint dans les 3 circuits ci-dessous. Déterminer alors les expressions des intensités des courants I et des tensions U et U. PII. Electricité Chapitre 2. : TD Circuits linéaires du 1 er ordre en régime transitoire Sonia Najid Lycée Corneille MPSI 2017-2018 2
Application 2 : Etude de circuits à l instant initial * [C1] ; [C2] Dans les quatre circuits ci-contre et ci-dessous, juste avant la fermeture des interrupteurs, tous les courants traversant les bobines sont nuls et tous les condensateurs sont déchargés. Déterminer les expressions de i(0), i (0), i (0), u(0), u (0) (suivant les cas) juste après la fermeture de l interrupteur. Application 3 : Temps caractéristiques d un circuit du premier ordre en régime transitoire * ou ** [C5] Au cours de la charge d un condensateur initialement déchargé (circuit C série alimenté par une source de tension E), la tension u c (t) aux bornes du condensateur varie selon u c (t) = E (1 e t ). 1) Déterminer la valeur u c, de la tension u c (t) à la fin de la charge (pour t + ). 2) Déterminer la valeur de la tension u c ( ) à l instant t =, ainsi que la valeur du rapport u c ( ) u c,. 3) Calculer le temps de réponse à 1% t r1% du système (durée au bout de laquelle la tension étudiée ne diffère que de 1% de sa valeur finale à l équilibre). Application 4 : Circuit C parallèle ** [C1] ; [C2] ; [C3] ; [C4] Un circuit, C parallèle est alimenté par une source de courant de cém I. A t = 0 -, le condensateur est déchargé et l interrupteur reliant la source de courant au circuit est ouvert; il est ensuite fermé à t = 0 +. Établir l équation différentielle régissant les variations du courant dans ou dans C. En déduire i (t) et i C(t). EXECICES I) Vrai ou Faux? * 1) La solution de l équation sans second membre d un système linéaire du 1 er ordre à coefficients constants a toujours la même forme. 2) La solution particulière d un système linéaire du 1 er ordre à coefficients constants a toujours la même forme. PII. Electricité Chapitre 2. : TD Circuits linéaires du 1 er ordre en régime transitoire Sonia Najid Lycée Corneille MPSI 2017-2018 3
3) La solution particulière d un système linéaire du 1 er ordre à coefficients constants est aussi la solution du régime permanent. 4) L intensité du courant dans un système linéaire du 1 er ordre à coefficients constants ne peut pas subir de discontinuité. 5) La charge d un condensateur peut subir une discontinuité. 6) En régime établi, une capacité et une inductance sont équivalentes à des interrupteurs ouverts. 7) Dans un circuit C série, la résistance et le condensateur se comportent toujours comme des récepteurs électriques. 8) Dans un circuit C série, le temps caractéristique associé à la charge ou à la décharge d un condensateur est C. 9) Dans un circuit L série, le temps caractéristique associé à l établissement du courant est L. 10) Le temps caractéristique est le temps nécessaire pour atteindre le régime permanent. 11) Au cours de la décharge d un condensateur dans, les électrons se déplacent de l armature chargée négativement vers l armature chargée positivement. 12) L équation de la trajectoire de phase en réponse à un échelon de tension est du c dt = 1 τ u c + E. 13) Le temps caractéristique d un système linéaire du premier ordre s écrit toujours sous la forme dy dt + y τ = y 0. II) Circuit C avec résistances * ou ** [C1] ; [C2] ; [C3] ; [C4] 1) Dans le circuit suivant, E = 12 V ; = 100 ; C = 0,1 µf. Initialement l interrupteur est ouvert et le condensateur déchargé. On ferme à t = 0. a) Déterminer les expressions littérales et les valeurs numériques de i 1 et i 2 à t = 0 + et à t. E C i 1 i 2 b) Déterminer l équation différentielle à laquelle obéit i 1(t), la résoudre et vérifier les résultats précédents. 2) On rajoute une résistance /2 comme indiqué sur le schéma suivant : a) Déterminer à nouveau les expressions littérales et les valeurs numériques de i 1, i 2 et u c (t) à t = 0 + et à t (on reprend l état initial précédent). b) Déterminer l équation différentielle à laquelle obéit u C(t), tension aux bornes du condensateur et la résoudre. /2 E C i1 i2 ép. : 1) b) i1(t) = E/exp(-t/ ) 2) b) d(uc)/dt + 3/(4C)Uc = E/2C III) Etude expérimentale d un circuit de type L * ou ** (oraux agro 2004) [C1] ; [C2] ; [C3] ; [C4] On étudie le circuit représenté sur le schéma ci-contre. A t = 0, on bascule l interrupteur en position (2). 1) Que vaut u r (0 + )? 2) Trouver l équation différentielle dont u r est solution pour t > 0 et exprimer la constante de temps de ce circuit. 3) On obtient expérimentalement le tableau de valeurs suivant : t (ms) 0 0,1 0,2 0,5 1 2 5 10 20 ur (V) 40 38 36,2 31,1 24,3 14,7 3,3 0,3 0 Quelle courbe doit-on tracer pour trouver la valeur de? Déterminer sa valeur numérique. 4) On donne = 40. Peut-on alors calculer L? Quel montage peut-on réaliser pour déterminer r? ép. : 3) = 2 ms. IV) Etude d un oscillogramme (d après Minettes 2002) ** [C1] ; [C2] ; [C3] ; [C4] Un dipôle comporte entre ses bornes un résistor de résistance et un condensateur de capacité C placés en série. PII. Electricité Chapitre 2. : TD Circuits linéaires du 1 er ordre en régime transitoire Sonia Najid Lycée Corneille MPSI 2017-2018 4
On le place aux bornes d'un générateur de force électromotrice E et de résistance interne en série avec un interrupteur. Initialement, le g circuit est ouvert et le condensateur déchargé. Soit u c, la tension aux bornes du condensateur. A l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur. g E Voie A C Voie B i uc ( t) Générateur 1) Etablir l'expression de u c(t) et déterminer la constante de temps du circuit, en donner une interprétation physique. 2) Déterminer l'expression de t 1 pour que u c = 0,9E. Dans l'étude expérimentale du circuit C, on observe l'oscillogramme ci-dessous en utilisant un générateur délivrant des signaux créneaux. Les sensibilités sont : 1V/carreau vertical ; 0,1 ms/carreau horizontal. On néglige les caractéristiques de l'oscilloscope. 3) Identifier les courbes (1) et (2) aux voies A et B en justifiant votre choix. 4) Préciser l'expression de la tension au point P. Sachant que =100, déterminer, et en déduire la valeur de C et E. 5) Estimer une majoration de la fréquence du signal carré utilisé. g 6) Comment pourrait-on observer l'intensité? ép. : 1) uc(t) = E(1-exp(-t/ ) 2) t 1 = ln(10) 4) g = 50, C = 1,2 F 5) f < 625 Hz V) Circuit avec bobine et résistances ** Dans le circuit ci-contre, l interrupteur est fermé à l instant t = 0. Les intensités sont toutes nulles pour t < 0. 1) Que valent i, i 1 et i 2 pour t = 0 + et pour t =? 2) Quelle est l équation différentielle vérifiée par i 2? 3) Calculer i, i 1 et i 2 VI) Etincelle de rupture ** ou *** 1) Une bobine d inductance L et de résistance r est alimentée par un générateur idéal de tension continue, de force électromotrice E. Un interrupteur fermé est placé en série, et une résistance est disposée en parallèle à ses bornes. Que vaut l intensité dans la bobine, sachant que le courant est établi depuis longtemps? E 2) À t = 0, on ouvre. Déterminer i(t). Qu obtient-on si est très grande? 3) Déterminer u(t), tension aux bornes de. Que se passe-t-il lorsque est très grande? Pourquoi parle-t-on d «étincelle de rupture»? VII) Equilibre entre deux condensateurs en série ** L, r PII. Electricité Chapitre 2. : TD Circuits linéaires du 1 er ordre en régime transitoire Sonia Najid Lycée Corneille MPSI 2017-2018 5
A t = 0 -, C est chargé avec q = q 0, et C est déchargé. On ferme l interrupteur à t = 0. Préciser les valeurs de q, q et i à t = 0 +. 1) Etablir la relation entre q et q à tout instant. q q 2) Prévoir les valeurs de q, q et i en régime permanent continu. C C 3) Etablir les équations différentielles vérifiées par q, q et i. 4) Déterminer i(t), q (t), q (t). 5) etrouver les valeurs des charges des deux condensateurs à l état final. 6) Tracer les courbes. 7) Exprimer l énergie dissipée par effet Joule par un calcul direct puis par un bilan énergétique. A SAVOI L essentiel 1. Donner, après avoir représenter le sens de l intensité et la flèche de tension, la relation entre tension et intensité pour une bobine idéale et un condensateur idéal en convention récepteur puis en convention générateur. À quoi la bobine idéale sont-ils équivalents en régime continu? 2. En quelle unité s exprime L? et C? quels sont leurs ordres de grandeur? 3. Indiquer et justifier les conditions de continuité associées à u ou i pour une bobine ou un condensateur idéaux. Comment en déduira-t-on les constantes d intégration? 4. Connaître les équivalents de groupements de condensateurs ou de bobines idéaux en série ou en parallèle. 5. Donner (et retrouver) l expression de l énergie emmagasinée à t par une bobine idéale en convention récepteur. 6. Idem pour l énergie emmagasinée à t par un condensateur idéal en convention récepteur. 7. Pour le circuit série C, retrouver rapidement les caractéristiques de la réponse libre et de la réponse à un échelon de tension aux bornes de ou C : conditions initiales, comportement en régime établi, expressions des tensions aux bornes des deux composants, allure des fonctions associées, bilan énergétique. 8. Portrait de phase associé à la charge te à la décharge du condensateur dans un circuit C série. 9. Qu est-ce que la constante de temps caractéristique d un circuit de ce type? quelle est son interprétation physique? comment la déterminer par lecture d un oscillogramme? comment les graphes i(t) et u(t) sont-ils modifiés lorsque la constante de temps du circuit augmente? Le reste 1. Une bobine fonctionne-t-elle toujours en récepteur? Justifier votre réponse. Que prend-on en compte dans un modèle plus précis des bobines réelles? 2. Un condensateur fonctionne-t-il toujours en récepteur? Justifier. Que prend-on en compte dans un modèle plus précis? 3. Qu est-ce qu une étincelle de rupture? PII. Electricité Chapitre 2. : TD Circuits linéaires du 1 er ordre en régime transitoire Sonia Najid Lycée Corneille MPSI 2017-2018 6