Séance1 Voici un premier sujet proposé au concours en 2006. Comme vous pourrez le constater en le traitant, ce n est pas des connaissances nouvelles qui sont convoquées mais plutôt une certaine habileté. La figure ci-contre représente un cube en bois ABCDHEFG dont les faces opposées sont décorées avec le même motif : hachures, points ou uni. Le volume de ce cube est de 216 cm 3. 1. Nommer chaque face cachée de ce cube et indiquer son motif. 2. Parmi les patrons suivants quels sont ceux qui correspondent au cube ABCDHEFG? Justifier la réponse. Figure 1 Figure 1 Figure 2 Figure 3 Figure 4 3. Le cube ABCDHEFG est scié en petits cubes identiques dont les arêtes sont 3 fois plus petites que celles du cube ABCDHEFG (voir figure 2 ci-dessous). (a) Combien de petits cubes obtient-on? (b) Déterminer le volume d un petit cube. (c) En déduire la longueur des arêtes d un petit cube et du grand cube ABCDHEFG. (d) Ces petits cubes n ont pas tous le même nombre de faces décorées. complétez le tableau ci-dessous : Figure 2 Nombre de faces colorées 0 1 2 3 4 5 6 Nombre de cubes (e) Quel est le nombre total de petites faces décorées? 4. Par assemblage et collage, on reconstitue le gros cube initial auquel on retire un petit cube à chacun de ses 8 sommets ; on obtient ainsi un nouveau solide. (a) Calculer le volume de ce solide. (b) Calculer son aire. 0.1 Polyèdres et solides Définition Polyèdres et solides Parmi les objets de l espace, on distingue les polyèdres dont les faces sont composées de polygones (un cube par exemple) et les solides qui sont des objets plus généraux et qui n ont pas forcément que des faces planes ou polygonales (un cylindre par exemple). Activité Arêtes, sommets... Dans le texte ci-dessous, replacer les mots à la bonne place. Tous les mots ne doivent pas forcément apparaitre et certains peuvent apparaître deux fois : 1
arêtes, sommets, faces, polyèdres, base, perpendiculaire, pyramide, tétraèdre. Une formule ancienne aperçue et démontrée la première fois par le Mathématicien Léonard Euler lie le nombre de faces, noté F, le nombre de sommets, noté S et le nombre d arêtes, noté A, d un... En effet, dans un cube, par exemple, il y a 6..., 8... et 12..., or quand on calcule la formule F + S A, on trouve 2. Ce résultat ne dépend pas du... choisi. Dans une... ABCDE, de... ABCD, pour prendre un autre exemple, le nombre de faces est 5, le nombre de sommets est 5 et le nombre d arêtes est 8, la formule d Euler donne alors : S + F A = 5 + 5 8 = 2. On peut vérifier cette formule sur d autres polyèdres simples comme le... caractérisé par ses 4 faces. 0.2 Intersection, parallèles et perpendiculaires Activité Incidence Il y a trois cas possibles d intersection d une droite et d un plan : l ensemble vide, un point, une droite si la droite est incluse dans le plan. Pour chacun des autres cas proposés ci-dessous, donner les intersections possibles des deux objets et faire un dessin à main levée illustrant la situation. 1. Deux droites. 2. Deux plans. 3. Une droite et une sphère. 4. Un plan et une sphère. Définition Droites perpendiculaires et orthogonales On dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles sont dans un même plan et que l angle entre ces deux droites est droit. On dit que deux droites (D 1 ) et (D 2 ) sont orthogonales s il existe une parallèle à (D 1 ) perpendiculaire à (D 2 ). Exemple Dans le cube ABCDEFGH, les droites (AB) et (AE) sont perpendiculaires et les droites (AB) et (CG) sont orthogonales. Définition Droite et plan On dit qu une droite est 1. orthogonale à un plan si elle est orthogonale à toutes les droites du plan. 2. parallèle à un plan si elle est parallèle à une droite du plan. Propriété Droite orthogonale à un plan Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. Cette propriété et les deux définitions qui précèdent permettent de remarquer l existence d angles droits dans l espace pour pouvoir utiliser le théorème de Pythagore. Activité Parallèles et perpendiculaires 2
Voici un cube tronqué. Répondez aux questions. 1. Donner une droite perpendiculaire à la droite (EG). 2. Donner une droite orthogonale et non perpendiculaire à la droite (AD). 3. Donner une droite parallèle à la droite (HC). 4. Donner une droite orthogonale au plan (ADE). 5. Donner un plan parallèle au plan (CGB). 6. La droite (HI) est-elle orthogonale au plan (EDH)? 7. Donner une droite orthogonale au plan (EGB). Un premier patron. La pyramide représentée ci-dessous est telle que les angles ĈDE, BAE, ÂES, DES, ÂED sont droits. De plus les longueurs des segments [AE], [ED] et [ES] sont toutes égales et valent 5 cm. Les longueurs des segments [AB] et [CD] sont égales et respectivement de 2 cm et 3 cm. 1. Tracer à plat et en vraie grandeur la base de votre pyramide. Calculer la longueur BC. 2. Faire le patron de ce solide. 3. Sur le dessin de l énoncé, dessiner les intersections suivantes : Dessiner l intersection des droites (AB) et (CD). Dessiner l intersection des plans (ABS) et (CDS). Donner un plan parallèle à la droite (ED). 3
Séance 2 Activité Pavé droit Voici une série de patrons qui prétendent être équivalents au patron en haut à gauche. Eliminer les imposteurs dans les deux cas suivants : 1. Si l on ne tient pas compte des numéros des faces. 2. Si l on tient compte des numéros des faces afin qu ils soient écrits de manière identique sur toutes les faces du solide. Activité Un patron Voici représenté en perspective cavalière un solide ayant les propriétés suivantes. Les triangles ABC et EDF sont équilatéraux. La base ABDE est un rectangle de longueur 4 cm et de largeur 2 cm. La droite (CF) est parallèle au plan (ABD) et la longueur du segment [CF] est de deux centimètres. Le point G est le milieu du segment [AD]. 1. Faire un patron un patron de ce solide. 2. Représenter ce solide en perspective cavalière quand il est posé sur sa face BDCF. Activité Perspectives cavalières La pyramide suivante est posée sur le cube. 1. Reprendre en pointillé les segments cachés. 2. Représenter en vraie grandeur, le côté du cube et la base de la pyramide. 3. Tracer les segments [AG] et [HB]. Que peut-on en déduire pour le sommet de la pyramide? 4. On a fait pivoter le cube et la pyramide. Dans les autres dessins, on a effacé la pyramide. La redessiner. 5. Quelles sont les propriétés de la perspective cavalière? 4
Activité Vues d un solide Voici quatre vues d un solide inscrit dans un cube. Représenter en perspective cavalière un solide qui correspond à ces vues dans le cube. Vue de dessous Vue de face Vue de droite Vue de dessus Perspective cavalière Activité Patron d un bougeoir Voici un bougeoir. Réaliser un patron de ce bougeoir 5
Séance 3 1.1 Le calcul des volumes On distinguera essentiellement les formules de calcul valables pour les solides engendrés à partir de deux surfaces superposables et parallèles et les solides engendrés à partir d une surface et d un point. Dans la première catégorie, on peut ranger les pavés droits (aussi appelés parallélépipèdes rectangles), les cubes, les cylindres, les prismes. Dans la seconde catégorie, on peut ranger les pyramides et les cônes. Propriété Formules de calcul des volumes On appelle h la hauteur et B l aire de la base de la famille de solides précédents, alors, la formule du volume est donnée par : V = B h pour les solides engendrés par deux surfaces superposables (bases) et parallèles ; V = 1 B h pour les solides engendrés par une surface (base) et un point. 3 Activité Calcul de volumes Pour chacun des cas énoncés ci-dessous, calculer le volume du solide en litres. 1. Un pavé droit dont les longueurs sont respectivement 3 cm, 4 cm et 5 cm. 2. Un cylindre dont le rayon de la base est 3 dm et la hauteur est 5 dm. 3. Une pyramide de base rectangulaire telle que la largeur et la longueur de ce rectangle soient 5 mm et 4 mm, et dont la hauteur mesure 15 mm. 4. Un cube de coté 5 cm. 5. Un cône dont le diamètre de la base est 5 m et la hauteur 3 m. 6. Un solide engendré à partir d une hexagone régulier de côté 4 cm ABCDEFG et un point S situé à la verticale de A et tel que AS = 3 cm. Sujet du concours 2007. Un horticulteur envisage la construction d une serre ayant la forme d un parallélépipède rectangle surmonté d une pyramide comme l indique la figure ci-après. On désigne par x la mesure de la hauteur SK (exprimée en mètres) de la pyramide SABCD. 1. Montrer que la mesure V du volume (en m 3 ) de la serre est donnée par la formule : V = 144 + 16x. 2. Calculer ce volume pour x = 1.5. 3. Pour quelle valeur de x la serre a-t-elle un volume de 200 m 3? On s intéresse maintenant à la surface vitrée de la serre (surface constituée des quatre faces latérales et du toit). Le graphique ci-après donne l aire de la surface vitrée en fonction de la hauteur x de la pyramide. 6
4. Par lecture graphique, donner l aire de la surface vitrée correspondant à x = 4, 2. 5. Pour des raisons de coût, l horticulteur souhaite limiter l aire de la surface vitrée à 150 m 2. Quelle est, dans ce cas, la hauteur maximum de la pyramide indiquée par le graphique? 6. Dans le cas où x = 0, préciser la forme de la serre. Quelle aire de la surface vitrée le graphique indique-t-il? Retrouver ce résultat par le calcul. Pour toutes les questions suivantes, on prendra SK = 3 m (c est-à-dire x = 3). 7. Calculer la hauteur issue de S du triangle SDC. 8. (a) En utilisant le quadrillage de la feuille de copie, reproduire le triangle SDC à l échelle 1 200. (b) En utilisant le côté [SD] de la figure précédente, construire à la règle et au compas une reproduction à l échelle 1 200 du triangle SAD. Laisser apparents les traits de construction. 7