CLASSES DE PCSI, et 3 - COIGÉ DS N 6 DE PHYSIQUE Exercice : Principe d un sismographe Oscillations libres Le solide S est soumis à son poids et à la force de rappel! F exercée par le ressort, qui est donnée par! F - k (l l 0 )! u x avec l, la longueur du ressort et! u x le vecteur unitaire de Ox La condition d équilibre de S dans le référentiel terrestre () galiléen s écrit donc, en projection sur Ox : - k(l e l 0 ) + mg 0 La longueur du ressort à l équilibre est donc : l e l 0 + mg k La ème loi de Newton appliquée à S dans () donne : m! a M / m! g +! F +! F f On obtient en projection sur Ox: mɺɺx mg - k(l e l 0 + x) - hɺx - kx - hɺx, c'est à dire mɺɺx + hɺx + kx 0 Cette équation différentielle se met sous la forme canonique ɺɺx+ ω 0 Q ɺx+ω 0x0 en posant ω 0 h m ω 0 Q Le facteur de qualité de l'oscillateur est donc Q mω 0 h mk h k m et D'après les données ω 0 8,9 s - La période propre des oscillations non amorties vaut alors: T 0 π ω 0 0,7 s 3 L équation caractéristique associée à l équation différentielle a pour discriminant ω 0 ( Q 4) Dans le cas d un régime pseudo-sinusoïdal ( < 0), cette équation admet les solutions complexes λ±iω, avec λ ω 0 Q et Ω ω 0 4Q 3 Sur l'enregistrement on mesure pour quatre pseudopériodes une durée 4T,85 s On obtient donc T 0,7 s A la précision des calculs, cette valeur est identique à la valeur de la période propre T 0 calculée question L'oscillateur est faiblement amorti et on a donc << La pseudopériode T se confond alors avec la 4Q période propre T 0 de l'oscillateur non amorti λt x(t) 4 La fonction cos( Ωt + ψ) étant de période T, on a : x(t+nt) e e λ(t+nt) enλt D où le décrément logarithmique : δ λt ω 0T Q π Q /4 Si Q >>, dans le cas d un oscillateur très faiblement amorti, cette dernière relation peut se simplifier en δ π Q 4 Le rapport du premier et du quatrième maximum de l'enregistrement donne 3δ ln5, soit δ 0,54 D'après la question précédente, on en tire Q 5,8 Le coefficient h est alors donné par h mk Q 8 kgs- CLASSES DE PCSI 07/08 - COIGÉ DS N 6 DE PHYSIQUE
5 Si l'on veut régler l amortissement à sa valeur critique, on doit réaliser Q On a alors h mk Numériquement on obtient: h,0 kgs - 5 Le régime critique est celui pour lequel le régime transitoire est le plus court Le réglage de l'amortissement à sa valeur critique permet donc une stabilisation rapide du système à sa position d'équilibre Oscillations forcées!!!!"!!!"!!!"!!!!" 6 On a A 0 M A0 A +AM Par définition du déplacement x, ce vecteur s'écrit donc: A0 M ( le + x + y) u! x Le vecteur accélération de S dans () est donc:! a S/ (ɺɺx+ɺɺy)! u x 6 Le bilan des forces est inchangé par rapport à celui de la question La ème loi de Newton appliquée à S dans () donne donc maintenant, en projection sur Ox: m(ɺɺx+ɺɺy) - kx - hɺx, c'est à dire: mɺɺx + hɺx + kx - mɺɺy Sous forme canonique, on obtient donc l'équation demandée: ɺɺx+ ω 0 Q ɺx+ω 0x ɺɺy 7 En formalisme complexe l'équation différentielle précédente devient: ω + j ωω 0 Q +ω 0 x(t)ω y(t) La fonction de transfert du sismographe est alors: H x(t) y(t) ω ω 0 ω + j ωω 0 Q 7 En posant θ ω ω 0, la fonction de transfert s'écrit: H θ θ + j θ Q On a X 0 H Il vient donc: X 0 θ ( θ ) + θ Q 8 D'après l'expression de H obtenue précédemment, on a X 0 0 pour ω 0 et X 0 pour ω, ce qui est conforme à l'allure des courbes observées sur le graphe 8 Pour que l amplitude X 0 des oscillations de S reproduise fidèlement l amplitude des vibrations du boîtier, on doit avoir X 0 Il faut donc que la pulsation ω des vibrations enregistrées soit très supérieure à la pulsation propre ω 0 du sismographe Il n'est donc pas souhaitable que le sismographe présente un phénomène de résonance afin que le domaine de pulsations où X 0 est proche de soit le plus large possible 83 On remarque d'après le graphe que la valeur de Q, pour laquelle la condition 0,99 X 0,0 est réalisée dans le domaine de pulsation le plus étendu, est Q 0,76 (On observe que pour cette valeur de Q, le sismographe présente en fait une très légère résonance La valeur optimale de Q permettant d'obtenir le domaine de validité du critère des % le plus large, est celle pour laquelle se produit une résonance à peine perceptible telle que le rapport X 0 de,0) prenne une valeur maximale Graphiquement, pour Q 0,76, on détermine une valeur minimale de θ telle que H 0,99: θ min,7 Ce sismographe permet donc d'enregistrer correctement des ondes sismiques de fréquence f,4 Hz CLASSES DE PCSI 07/08 - COIGÉ DS N 6 DE PHYSIQUE
Exercice : Etude d une bobine Mesures à l aide d un multimètre La bobine et la résistance étant associées en série, on a : U B eff U eff Z B Z, ce qui donne Z B 08 Ω Si l'on modélise la bobine par une inductance pure, Z B Lω On en déduit L 6,850 - H Si la bobine est parfaite, la tension à ses bornes est en avance de phase de π par rapport à l'intensité On obtient donc le diagramme de Fresnel des tensions représenté ci-contre 3 D'après la construction précédente, la tension efficace aux bornes du générateur vaut alors : U Geff U eff +U Beff 8,6 V Le déphasage de la tension u G par rapport à l intensité est donné par tanϕ ug /i U B eff U eff,69 On en tire ϕ ug /i, rad 69,6 En reprenant le calcul de la question avec les nouvelles valeurs des tensions, on trouve à la fréquence f : Z B 50,7 Ω Z B Dans l'hypothèse d'une bobine parfaite, on obtient maintenant L 8,060 - H πf L'écart relatif entre les deux valeurs de L obtenues est de 5% Le modèle de la bobine parfaite dans les conditions de l'expérience est donc très approximatif, il ne permet d'obtenir qu'une valeur peu précise de l'inductance En tenant compte de la résistance r, l impédance de la bobine est donnée par: Z B r+ jlω r +(Lω) On a donc Z B Z B (Lω ) (Lω ), qui donne: L π Z B Z B f f 3 CLASSES DE PCSI 07/08 - COIGÉ DS N 6 DE PHYSIQUE
Numériquement: L 6,60 - H et r Détermination de r et L à partir d'un oscillogramme 3 D après l oscillogramme on a U m,5 V Z B (πlf ) 9,0 Ω L intensité du courant a donc pour amplitude: I m U m 63 ma 3 D après les valeurs lues sur l'oscillogramme, Z U G m 80 Ω I m 33 La tension u G (t) passe par son maximum avant u (t) u G (t) est donc en avance de phase par rapport à u (t) On relève sur l oscillogramme une avance temporelle pour u G (t) de 0,33 ms, alors que la période est de 4 ms Le déphasage entre u G (t) et u (t) vaut donc: ϕ π 0,33 4 π 6 34 Le déphasage entre la tension u G (t) et l'intensité dans le circuit, c'est à dire le déphasage entre les tensions u G (t) et u (t) est ϕ arg Z On a donc Z Zcosϕ + jzsinϕ avec Z + r + j Lω Cω Par identification de ces deux expressions on obtient: r Zcosϕ - et L Zsinϕ+ πf πfc 35 AN : r 9 Ω et L 66 mh Les valeurs obtenues sont bien conformes aux résultats trouvés dans à la question Exercice 3: ésonances dans un circuit -L-C Tension aux bornes de la résistance A cette fréquence f, les impédances de la bobine et du condensateur sont égales On a donc Lω Cω, d où: ω LC,004 rads - et f,6 khz L impédance complexe de l association série de la bobine et du condensateur est: Z L + Z C j(lω Cω ) 0 La tension efficace mesurée aux bornes de l ensemble bobine-condensateur est donc nulle 3 Comme u L + u C 0, u u Ces deux tensions sont donc en phase et ont même valeur efficace Cette valeur efficace est donnée par: U eff U eff I eff Lω U L eff 3,0 V 4 La fréquence à laquelle a été réglée le générateur est celle pour laquelle l'impédance complexe du circuit Z + j(lω ) prend sa valeur minimum en module C'est donc la fréquence à laquelle se produit la Cω résonance d intensité, qui s'identifie à la fréquence propre du circuit -L-C Le générateur étant initialement réglé à la fréquence de résonance en intensité, si l on augmente f sans modifier l'amplitude de la tension délivrée, l intensité efficace et la tension efficace U eff vont décroître La tension délivrée par le générateur est en avance de π 4 radians par rapport à l intensité On a donc : arg Z arg + j Lω π Cω 4, d où Lω - Cω La pulsation ω est alors solution de l équation LCω Cω 0 avec ω > LC 4 CLASSES DE PCSI 07/08 - COIGÉ DS N 6 DE PHYSIQUE
D où : ω C+ ( C) +4LC LC et f ω,8 khz π On a d'autre part: I eff U eff Z U eff, c'est à dire U eff U eff Numériquement: U eff, V Tension aux bornes du condensateur 3 En très basse fréquence, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert et l inductance comme un court-circuit ; en très haute fréquence, c est l inductance qui se comporte comme un interrupteur ouvert et le condensateur comme un court-circuit On obtient donc les schémas équivalents ci-dessous On a donc H pour ω 0 et H 0 pour ω 3 D'après la loi du diviseur de tension: H U C U 33 D après l'expression de ω 0, on a LCω ω voulue: H x + j x Q 4 On en déduit H H, avec, par identification, Q ( x ) + x Q Z C +Z L +Z C LCω + jcω ω 0 x et en posant Cω Cω 0 x, H se met sous la forme Cω 0 L C +x Q +x 4 H passe par un maximum lorsque la fréquence varie, à condition que le polynôme P(x) +x Q +x 4 possède un minimum sur l intervalle ]0, + [ Ceci se produit si Q < 0, c est à dire pour Q > La valeur x de x pour laquelle se produit la résonance vérifie : P(x) x Q +x 0 On obtient donc : x - Q et une pulsation de résonance ω ω 0 Q La valeur maximale de U Ceff est alors : U CeffMax Q U eff + Q Q 4 Q U eff Q 4 4 Pour le circuit étudié, on trouve Q 3,3 Il y a donc une résonance aux bornes du condensateur pour une pulsation ω 9,80 3 rads -, c'est à dire pour une fréquence f,6 khz La tension efficace aux bornes du condensateur vaut alors U Ceff 0 V 5 CLASSES DE PCSI 07/08 - COIGÉ DS N 6 DE PHYSIQUE
5 D après l expression obtenue pour H, on a φ arg H arg( x - j x Q ) j On en déduit φ arg(- Q ) π pour x, c'est à dire f f 0 On peut donc déterminer la fréquence propre f 0 du circuit en recherchant sur le graphe représentant les variations de φ en fonction de la fréquence, la valeur de f pour laquelle φ π Graphiquement on lit f 0,6 khz, ce qui est conforme à la valeur calculée question 5 On a H Q pour f f 0 Sur la courbe représentant les variations de H, on lit : H(f f 0 ) Q 0,8 D après l expression de Q, on a Q L C On obtient donc comme nouvelle valeur de la résistance: 5 Ω,30 Ω 53 Pour la fréquence propre f 0, la tension efficace aux bornes du condensateur est U Ceff QU eff,4 V 6 CLASSES DE PCSI 07/08 - COIGÉ DS N 6 DE PHYSIQUE
Exercice 4 Mais que fait la charge? Le condensateur se comporte comme un fil en haute fréquence, d où u(t) e(t) Il se comporte au contraire comme un coupe-circuit en basse fréquence : u(t) 0 Nous pouvons déduire de cette analyse qualitative que le filtre est probablement un filtre passe-haut La notion de diviseur de tension nous permet d écrire H a + jcω jcω +jcω Il s agit d un filtre passe-haut du premier ordre, de pulsation de coupure ω ca La fréquence de C coupure associée est donc f ca πc 7, 0 Hz 3 On introduit la résistance équivalente e c + c En appliquant la formule du diviseur de tension, on aboutit alors à : H b e e + jcω ejcω Il s agit d un filtre passe-haut du premier ordre, de nouvelle fréquence + e jcω de coupure f cb π e C + c π c C > f ca 4 Les diagrammes asymptotiques en gain sont bien de pente nulle à haute fréquence et de pente égale à 0dB/dcade à basse fréquence, et la phase varie bien entre π/ à basse fréquence et 0 à haute fréquence : il s agit donc bien de filtres passe-haut du premier ordre avec un gain à haute fréquence égal à l unité Dans le diagramme de gain en l absence de charge, les deux asymptotes se coupent en f ca 7, 0 Hz et la phase vaut alors π/4 en ce point, ce qui correspond bien à l étude théorique En présence de charge, l intersection des asymptotes a lieu en f cb 8,6 0 Hz > f ca, ce qui correspond à l étude théorique menée On peut écrire f cb f ca e + c d où c 5 On veut que f cb f ca f ca Exercice 5 A f cb f ca 5, 0 3 Ω aux erreurs de pointés près e c < 0,0 Il faut donc choisir c telle que c > 00 0,0MΩ Étude et production du vide L air et sa pression A L air correspond à la composition moyenne : N : 78% ; O : % ; gaz nobles (Ar) : % A La pression cinétique est due aux mouvements désordonnés des molécules et aux collisions qui en résultent A3 La pression atmosphérique normale est P atm,030 5 Pa,03 bar 760 mmhg A4 Pour les faibles pressions, les distances intermoléculaires deviennent très grande et on peut négliger les forces d interactions moléculaires et considérer que les molécules sont ponctuelles A5 D après l équation d état des gaz parfaits, on a : PV nt N N A T, on en déduit : N NA PV T,706 molcules pour V mm 3 0 9 m 3 Lorsque la pression est divisée par 0 6 il en est de même pour N d où N,70 0 molcules Le volume disponible pour une molécule de gaz est V V N 3,70 0 m 3 Ce volume est énorme comparé au volume propre d une molécule, donc chaque molécule n a plus d interactions avec les molécules voisines L hypothèse des gaz parfaits est vérifiée B Pompe à condensation B La surface totale de l enceinte est : S 4π πd La surface froide correspond à 0, 00 S 0 3 πd Le nombre de molécules dn qui frappent la surface s pendant le temps dt et qui disparaissent du milieu s écrit : dn N N sdt 4 n N v N sdt et la densité moléculaire s exprime par n N NN V 6NN πd, on a 3 alors : dnn N N 3 v N s πd 3 dt dt τ Par intégration, on a N N N 0 N exp( t τ τ πd3 3v N s 03 D 3v N L application numérique donne τ 0,9 s ) et la constante de temps vaut