Séquence 1 : Arithmétique Plan de la séquence : I- Les nombres entiers 1) Déterminer les diviseurs d un nombre entier a) Division Euclidienne b) Diviseurs et Multiples c) Propriété : Critères de divisibilité 2) Reconnaitre un nombre premier 3) Décomposer un entier en produit de facteurs premiers II- Les différents ensembles de nombres 1
Séquence 3 : Arithmétique I- Les nombres entiers. (Activité centurion) 1) Déterminer les diviseurs d un nombre entier a) Division Euclidienne : Définition : La division euclidienne d un entier positif ou nul m par un entier n > 0, c est de trouver les entiers positifs appelés quotients q et le reste R tel que m = q n + R avec 0 R n. Dividende = quotient diviseur + reste avec reste < diviseur b) Diviseurs et multiples Définition : Soient m, n deux entiers naturels avec n 0, on dit que : n est un diviseur de m ou que m est un multiple de n S il existe un entier naturel q tel que : m = q n. Conséquence : q est alors un autre diviseur de m 2
Exemple : 48 = 4 12 donc 4 est un diviseur de 48 (4 divise 48) 48 est un multiple de 4 (48 est divisible par 4) 12 est un diviseur de 48 48 est un multiple de 12. Remarque : Si n est un diviseur de m, alors le reste de la division euclidienne de m par n est nul. Le nombre 1 n a qu un seul diviseur : lui-même. Tout nombre entier est divisible par 1 et par lui-même. c) Critères de divisibilité Un nombre est divisible par : 0 : Jamais! 1 : Toujours! 2 : si et seulement si le chiffre des unités est pair 3 : si et seulement si la somme de ses chiffres est un multiple de 3 9 : si et seulement si la somme de ses chiffres est un multiple de 9 : si et seulement si le chiffre des unités est 0 ou 10 : si et seulement si le chiffre des unités est 0 6 : si et seulement si il est divisible par 2 et par 3 4 : si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4 Ex : 00 ; 04 ; 08 ; 12 ; ; 80 ; 84 ; 88 ; 92 ; 96 Pour déterminer tous les diviseurs d un nombre entier N, on teste la divisibilité de N par tous les nombres entiers N. Exemple : Pour trouver les diviseurs de 18, on calcule 18 : 18 4,2 : il faut donc tester la divisibilité par 1, par 2, par 3 et par 4. 18 = 1 18 = 2 9 = 3 6 : les diviseurs de 18 sont donc 1, 2, 3, 6, 9 et 18. Séries d exercices : voir dossier TD section exercices page 24 exercices 9/11/12 (oralement en classe) 18/19/24 (au tableau) 3
2) Reconnaître un nombre premier Définition : on dit qu un nombre est premier quand il a exactement 2 diviseurs, 1 et luimême (distincts). Exemple : 13 est un nombre premier, ses seuls diviseurs sont 13 et 1. Il existe une infinité de nombres premiers : 2, 3,, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41 Attention: 1 n est pas un nombre premier car il admet un seul diviseur, lui même Séries d exercices : voir dossier TD section exercices page 2 exercices 31/32/33 (oralement) 3 au tableau) 3) Décomposer un entier en produits de facteurs premiers Propriété : un nombre entier 2 se décompose en un unique produit de facteurs premiers. (Si l on ne tient pas compte de l ordre de ces facteurs) Méthode : Pour décomposer un nombre N en produits de facteurs premiers, on cherche le plus petit nombre premier qui divise le nombre N. On divise N par ce nombre premier et si le quotient obtenu est différent de 1, on recommence jusqu à obtenir pour quotient 1. Exemple : La décomposition en produit de facteurs premiers de 2088 est : 2 2 2 3 3 29 = 2 3 3 2 29 4
Application : Fractions irréductibles Trouver la fraction irréductible de 84 30 : 84 = 22 3 7 = 2 2 3 7 30 2 3 2 3 = 2 7 = 14 Séries d exercices : voir dossier TD section exercices page 2 exercices 38/39 (oralement) et 46(au tableau) Faire le problème 78 page 31 II- Les différents ensembles de nombres Ensemble des... Définition Notation Exemple Entiers naturels Ensemble des entiers positifs N 0 ; 1 ; 2 ou 4 ; 16 Entiers relatifs Ensemble des entiers positifs et négatifs Z 4 Nombres décimaux Nombres rationnels Nombres réels Ensemble des nombres positifs ou négatifs possédant un nombre fini de décimales Ensemble des nombres pouvant s'écrire sous forme d'une fraction d'entiers relatifs Ensemble de tous les nombres que vous connaissez. D 2 ; -0,123 ; 9,12 ; Q 2 ; -0,123 ; 9,12 ; R Compléter le tableau ci-dessous : Cocher la ou les bonnes cases : Entier Naturel Décimal Rationnel Irrationnel 3, 7 7 3 1 2 230 π 2 100