T.P. 1 Modélisation d une pale d éolienne 1.1 Rappel sur Matlab 1. création d une matrice d un vecteur ligne, colonne 2. opération sur les matrices 3. fonctions matricielles 4. résolution de système linéaire A.X = B 5. calcul des valeurs propres et vecteurs propres d une matrice 1.2 Modélisation On se propose de modéliser la déformation en traction d une pale d éolienne en rotation. On assimile la pale à une poutre homogène de masse M, de longueur L et de section équivalente S (i.e. section du matériau et non de la pale) tournant autour d un point fixe O avec un taux de rotation ω. On découpe la poutre en N tronçons de longueur l = L/N, et de masse m = M/N. Chacun des tronçons est modélisé par un modèle masse ressort. 1
M S M/2 L M/2 u1 k u2 Pour un élément de poutre de longueur dl et de masse dm = ρsdl, la raideur du ressort k est fonction du module Young E : k = E S dl et la masse dm est répartie uniformement aux 2 extrémités 1.2.1 Discrétisation m7 k6 m6 k5 m5 k4 m4 k3 m3 k2 k1 m2 m1 1. modèle continu : ( ES u ) = ρsω 2 r +C.L. u(r = 0) = 0, ES u (r = R) = 0 r r r 2
2. modèle discret : [ k k k k ][ u1 u 2 1 0 0 0 0 k 1 + k 2 k 2 0 0 k 2 k 2 + k 3 k 3 0 0 k 3 k 3 ] = [ f1 f 2 u 1 u 2 u 3 u 4 ] = 1.3 Etude en statique : programme MATLAB 0 f 2 f 3 f 4 (1.1) (1.2) 1. Ecrire deux fonctions Matlab pour calculer la matrice de raideur K et la matrice de masse M pour une poutre découper en N segments de sections équivalentes variables S(r) 2. Ecrire le programme Matlab pour calculer la déformation d une pâle de section variables 3. Applications valeurs des paramètres L=20 m, ω= 60 tr/min, ρ= 1600 kg/m 3, E=21300MPa (verre epoxy) section S(r) équivalente variable de 0.12m 2 à 0.04m 2 pour r = 20m 4. Etudiez la précision en fonction du nbre d éléments N 5. Calculer la contrainte en r=0 1.4 Etude en dynamique On veux maintenant déterminer les modes de vibrations en traction compression de la pâle. Si on considère un système de N masse/ressort, l équilibre statique est obtenu par résolution du système linéaire suivant : K{U} = {} où K est la matrice de raideur (de dimension (N +1) 2 ), {U} le vecteur des déplacements aux noeuds (de dimension N) et {} le vecteur des forces appliquées aux noeuds (de dimension N). 3
Si on écarte le système de sa position d équilibre, il se met à osciller. Le vecteur des déplacements aux noeuds {U(t)} dépend du temps et est solution de : M { d2 U } = {} K {U} dt2 soit en introduisant le vecteur des oscillations {u} autour de la position d équilibre statique : M { d2 u } = K {u} (1.3) dt2 C est un système de N + 1 équations différentielles linéaires du second ordre. En se donnant l amplitude du déplacement par rapport à l équilibre à l instant initial (on lâche le système sans vitesse initiale) {u(t = 0)} i=1,n+1 = {u 0 }, { du dt } i=1,n+1 = {0} le système (1.3) admet alors une solution unique. Cette solution est une combinaison linéaire des modes de vibrations propres, qui sont des solutions élémentaires de l équation (1.3). L équation (1.3) peut se réécrire sous la forme : { d2 u dt 2 } = A {u} avec A = M 1 K (1.4) où A est une matrice symétrique définie positive 1. Cette matrice est donc diagonalisable et possède (N + 1) valeurs propres positives {λ k } k=1,n+1. Chacune des valeurs propres λ k est associée à un vecteur propre Λ k, vérifiant : A {Λ k } = λ k {Λ k } Une solution élémentaire de (1.4) s écrit : puisque : {u k } = {Λ k }e j λ k t A {u k } = (A {Λ k })e j λ k t = λ k {Λ k }e j λ k t = λ k {u k } 1 A est définie positive si X t A X > 0 X 0 4
{ d2 u k dt 2 } = {Λk } d2 e j λk t dt 2 = j 2 λ k {Λ k }e j λ k t = λ k {u k } Ces solutions élémentaires sont indépendantes et forment une base de solutions de (1.4). La solution générale de (1.4) est donc la combinaison linéaire de ces solutions élémentaires qui vérifie la condition initiale : {u} = N+1 α k {Λ k }e j λ k t k=1 Ces solutions élémentaires u k sont les modes de vibrations propres du système, λk associés aux fréquence propres f k = 2π. ATTENTION à cause des conditions aux limites, on retrouve parmi les modes propres, des modes propres (dit mode propre rigide de translation) associés à la condition aux limites : U 1 = 0statique, d2 u 1 dt 2 = u 1 dynamique et donc à une valeur propre λ = 1. Ces modes sont évidement à éliminer. 1.4.1 Programme Matlab 1. A partir des programmes Matlab précédents, écrire un programme pour calculer les valeurs propres et les modes propres de vibration de la pale 2. Effectuer une étude de précision 5