1 Généralités sur les matrices

1 Généralités sur les matrices Une matrice A de dimension n p est un tableau de nombres comportant n lignes et p colonnes Les nombres de ce tableau sont appelés les éléments ou les coefficients de la matrice L élément se trouvant à l intersection de la ligne i et de la colonne j se note a i,j Lorsque n p, on parle de matrice carrée et n est appelé l ordre de la matrice 2 π 3 Exemple : A est une matrice de dimension 2 3 1 4 5 3 Une matrice carrée d ordre 2 de dimension 2 2 est une matrice de la forme : Vocabulaire Lorsque n 1, on parle de matrice ligne ou vecteur ligne Lorsque p 1, on parle de matrice colonne ou vecteur colonne On appelle matrice nulle la matrice dont tous les éléments sont égaux à 0 On notera 0 n la matrice nulle d ordre n a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2 Egalité de deux matrices Deux matrices A et B sont égales lorsqu elles ont la même dimension et que pour chaque ligne i et chaque colonne j, l élément a i,j de la matrice A est égal à l élément b i,j de la matrice B Addition de deux matrices Soit A et B deux matrices ayant le même nombre de lignes et de colonnes La matrice C A + B est la matrice dont l élément c i,j de la ligne i, colonne j est égal à la somme a i,j + b i,j des éléments respectifs des lignes i et des colonnes j des matrices A et B 2 0 Exemple : A + 1 3 7 8 2 + 7 0 + 8 9 8 9 12 1 + 9 3 + 12 10 15 s 1 Pour deux matrices A et B ayant le même nombre de lignes et de colonnes,on a A + B B + A On dit que l addition de deux matrices est communtative 2 Soit A, B et C des matrices ayant même nombre de lignes et de colonnes, on a A + B + C A + B + C On dit que l addition des matrices est associative Multiplication par un réel Pour un réel k et une matrice A, on note ka la matrice M dont l élément m i,j est égal à k a i,j page 1

1 2 4 Exemple : 3 2 3 1 3 2 3 4 2 1 3 2 3 3 6 12 2 3 1 2 3 2 1 3 3 A noter On définit la différence A - B de deux matrices par : A B A + 1B Vocabulaire La matrice -1B, notée -B est appelée matrice opposée de B s Pour des réels k,k et des matrices A et B, on a : 1 ka + B ka + kb 2 k + k A ka + k A 3 kk A kk A Soit A, B et C trois matrices de même dimension et k un réel L égalité A B est équivalente à l égalité A + kc B + kc En particulier, l égalité A + B C équivaut à B C - A 2 Multiplication de deux matrices b 1 b 2 Soit A a 1 a 2 a p une matrice ligne à p colonnes et B une matrice colonnes à p lignes Le produit A B est une matrice de dimension 1 1 Son unique élément est égal à a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a p b p b p Exemple : 4 2 3 7 2 4 + 3 7 29 Soit A une matrice de dimension n p et X une matrice colonne ayant p lignes La matrice produit A X, notée aussi AX, est une matrice colonnes de n lignes L élément de la ligne i de cette matrice est l unique élément du produit L i X où L i est la ligne i de la matrice A A noter On peut noter cette opération en remarquant l analogie avec un produit scalaire page 2

2 a 1,1 a 1,2 a 1,3 Exemple : Soit A et X la matrice colonne X 3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 4 2 Pour i 1 ou i 2, on a : L i X a 1,1 a 1,2 a 1,3 3 2a 1,1 + 3a 1,2 + 4a 1,3 4 2a 1,1 + 3a 1,2 + 4a 1,3 d où AX 2a 2,1 + 3a 2,2 + 4a 2,3 Soit A une matrice de dimension n p, V et W des matrices colonnes de dimensionp 1 Alors : 1 AV + W AV + AW 2 pour tout réel k: AkV kav Soit A et B deux matrices carrées d ordre n La matrice A B, notée aussi AB, est une matrice carrée d ordre n Si L 1, L 2,, L n sont les n lignes de A et C 1, C 2,, C n les n colonnes de B, l élément p i,j produit AB est égal l unique élément de la matrice L i C j a 1,1 a 1,2 b 1,1 b 1,2 a 1,1 b 1,1 + a 1,2 b 2,1 a 1,1 b 1,2 + a 1,2 b 2,2 Exemple : a 2,1 a 2,2 b 2,1 b 2,2 a 2,1 b 1,1 + a 2,2 b 2,1 a 2,1 b 1,2 + a 2,2 b 2,2 On a par exemple obtenu l élément p 1,2 de la matrice produit avec le calcul : b 1,2 L 1 C 2 a 1,1 a 1,2 a 1,1 b 1,2 + a 1,2 b 2,2 b 2,2 de la matrice s Soit A, B et C des matrices carrées d ordre n et k un réel Alors : 1 ABC ABC associativité de la multiplication 2 kab kab AkB 3 AB + C AB + AC, A + BC AC + BC distributivité 3 Matrice inverse Soit A une matrice carrée d ordre n//[8pt]s il existe une matrice B telle que AB BA I n, alors la matrice A est dite inversible 2 1 0, 8 0, 2 Exemple : Soit A et B 3 4 0, 6 0, 4 1 0 On vérifie que AB BA, donc A est inversible 0 1 Il existe des matrices non nulles non inversibles page 3

2 10 Exemple : Soit A 4 20 1 2 0 2 On a A et A 0 4 0, 2 4 1 0 S il existait une matrice B telle que BA I 2, on aurait BA BA 0 0, 2 1 0 1 0 Soit I 2 I 2, soit 0 0, 2 0 0, 2 Ce qui est impossible, donc A n est pas inversible Soit A une matrice carrée d ordre n Si B est une matrice carrée d ordre n telle que AB I n, alors BA I n Et réciproquement, si BA I n, alors AB I n Ce résultat n a rien d évident car en général, pour deux matrices A et B, on a AB BA Soit A une matrice carrée d ordre n Si B est une matrice carrée d ordre n telle que AB I n, et C une matrice telle CA I n, alors C B En particulier, une matrice inversible A a une unique matrice inverse, notée A 1 : AA 1 A 1 A I n Démonstration Si AB I n, on a CAB CI n en multipliant chaque membre par C, donc CAB C Or CAB CAB I n B, d où l égalité C B 11 2 Exemple : Soit A la matrice définie par et x et y des réels 16 3 Si A alors pour toute matrice B : BA B Si A admet une matrice inverse B, BA I n et on aura donc A B { 11x + 2yu L égalité A s écrit : 16x + 3yv { x 3u 2v En calculant x et y en fonction de u et v, on obtient : y 16u + 11v 3 2 u On pose alors B ; A est donc inversible et la matrice B est son inverse 16 11 v Soit A a c b une matrice carrée d ordre 2 d A est inversible si, et seulement si, le nombre ad - bc est non nul page 4

Démonstration Soit B d c b a Le calcul de AB donne AB δi 2 avec δ ad bc Si δ 0, on a donc A δ 1 B I 2, donc A est inversible d inverse δ 1 B Si δ 0 alors AB 0 2, donc A n est pas inversible En effet, si A étiat inversible d inverse C, on aurait CAB I 2 B Bet CAB C0 2 0 2 B serait donc la matrice nulle 0 2, ce qui n est pas le cas 4 Systèmes linéaires Un système linéaire d inconnues x 1, x 2,, x p est un système d équations pouvant s écrire sous la forme AX B, où A est une matrice de dimension n p, B une matrice colonne de n lignes et x 1 x 2 X x p Un système linéaire peut donc s écrire sous la forme : a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 + + a 1,p x p b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x 2 + + a 2,p x p b 2 a n,1 x 1 + a n,2 x 2 + + a n,p x p b { n x + 2y 6 Exemple : Le système 3x + 2y5 1 2 x 6 s écrit AX B, avec A, X et B 3 2 y 5 Si un système linéaire a pour écriture matricielle AX B, où A est une matrice inversible d ordre n et B une matrice colonne à n lignes, alors ce système possède une solution unique solution est donnée par X A 1 B Cette Démonstration Si AX B alors A 1 AX A 1 B d où X A 1 B : il y a donc au plus une solution A 1 B est donc l unique solution de l équation AX B Logique La contraposée de cette implication permet d établir qu une matrice n est pas inversible : Si un système page 5

linéaire ne possède aucune solution ou en possède plusieurs, alors la matrice associée n est pas inversible Exemples : 1 2 x 6 Reprenons les matrices A, X et B 3 2 y 5 1 2 La matrice A est inversible et A 1 0, 5 0, 5 3 2 0, 75 0, 25 L équation AX B, d inconnue X, est équivalente à A 1 AX A 1 B, c est-à-dire à X A 1 B 0, 5 3, 25 { x + 2y 6 Le système, d inconnue x;y, a donc une unique solution : le couple -0,5 ; 3,25 3x + 2y5 { x + y 4 Le système admet une infinité de solutions : les couples t ; 4-2t avec t réel 6x + 3y12 2 1 quelconque La matrice associée à ce système A n est donc pas inversible 6 3 Si un système linéaire, d écriture matricielle AX B, où A est une matrice carrée, possède une solution unique, alors la matrice A est inversible page 6