NOM : Terminale ES Devoir n vendredi 9 octobre 0 Eercice : sur.5 points Des questions indépendantes. Résoudre l équation ² + 4 = 0. Calculer la dérivée de f dans chacun des cas suivants : a) f ( ) 4 8 b) f ( ) c) f ( ). La suite ( un)a pour terme général un n. Eprimer u n+ en fonction de n. 4. a) La courbe ci-contre représente la fonction dérivée d une fonction f. Donner en justifiant le tableau de variation de f b) On sait de plus que f( )=. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe de f au point d abscisse 0 Cf ' Eercice : sur.5 points répondre sur cette feuille On donne ci-contre la courbe représentative (C) d une fonction f, définie sur R, ainsi que deu tangentes à cette courbe.. Compléter : f () =.. f () =. f (4)=... Le nombre dérivé de f en 0 est égal à. Tracer sur le graphique ci-contre la tangente à (C) au point d abscisse 0. 4. a) Tracer la droite D d équation : = - - 0-4 5 b) Résoudre : f () = S= - (C) -6 (T) 4. Dresser le tableau de variation de f et le tableau de signes de f.
Eercice : sur 5 points Armel verse 000 sur son compte chaque er janvier à partir du er janvier 0. La banque rémunère ce compte au tau annuel de 4%. Les intérêts sont versés chaque année le décembre. Pour tout entier n, on note u n le montant présent sur le compte au er janvier de l année 0+n, en euros. Ainsi u 0 =000.. a) Vérifier que u = 4080 et que u = 64, b) Eprimer u n+ en fonction de u n ( epliquer).. Pour tout entier n, on pose v n = u n +50 000 a) Calculer les trois premiers termes v 0, v, et v. b) Démontrer que la suite (v n ) est géométrique et préciser sa raison. c) Eprimer v n en fonction de n. d) Montrer que pour tout entier n : u n =5 000.04 n 50000. A l aide de la calculatrice, déterminer le nombre d années nécessaires pour qu Armel dispose de plus de 5 000 sur son compte. 4. Compléter l algorithme ci-dessous pour qu il permette de répondre à la question précédente Stocker 0 dans N et 000 dans U Tant que...faire Stocker...dans N Stocker dans U Fin tant que Afficher N. Eercice 4 : sur.5 points On considère la fonction f définie sur R \ {} par f () = ² et on désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère 4. Calculer f () et vérifier que f () =.. Etudier les variations de f.. Déterminer une équation de la tangente à (C) au point d abscisse 4. Eercice 5 : sur 4.5 points Le bénéfice d une entreprise en milliers d euros en fonction de la quantité d objets vendus, en milliers d unités est modélise par : B( ) ² 6 0 pour 0;0. a) Calculer B (), étudier son signe. b) En déduire le tableau de variation de la fonction B sur l intervalle [0 ;0].. a) Justifier que l équation B()=0 a deu solutions et dans [0 ;0] b) Déterminer à l aide de la calculatrice une valeur approchée de ces solutions à 0 près. c) En déduire, à l unité près, la quantité minimale et la quantité maimale que l entreprise doit vendre pour que son activité soit rentable.. Déterminer la quantité d objets à vendre pour que le bénéfice soit maimal.
- - - - 0 4 5 d Corrigé Eercice : sur.5 points Des questions indépendantes. Résoudre l équation ² + 4 = 0 Equation du second degré = 4² ()*(-)=6-=4 b 4 b 4 deu racines : et Conclusion : S= ; a 6 a 6. a) f ( ) 4 8 donc f '( ) 8 u ' b) f ( ) f est de tpe de dérivée donc f '( ) u u² ( )² c) f ( ) donc f '( ) ² un n donc u n ( n ) n 5 4. C est le signe de la fonction f ( attention c est la dérivée qui est représentée ) qui permet de trouver la variation de f + signe de f () 0 + 0 Variation de f b) La tangente à la courbe au point d abscisse a pour équation : = f ( ) ( +)+f( ) On sait que f( )= et on lit que f ( )= d où l équation de la tangente : =(+)+ soit = +7 Eercice : sur.5 points. f () = 4 f () =0 f (4)= 4. Tracé de la tangente au point d abscisse 0. a) Tracé de la droite D d équation : = b) f () = S= { ; 0 ;4} + Variation de f signe de f ( déduit de la variation de f) 0 + 0 +
Eercice : sur 5 points Pour tout entier n, on note u n le montant présent sur le compte au er janvier de l année 0+n, en euros. u 0 =000.. a) u = u 0.04 +000 = 000.04 +000= 4080 et u = 4080.04 +000 = 64, On retrouve bien les résultats donnés dans l énoncé. b) u n le montant présent sur le compte au er janvier de l année 0+n est augmenté de 4% durant l année et Armel rajoute 000 le er janvier suivant donc le montant présent sur le compte au er janvier de l année 0+n+ est : u n+ = u n.04+000. Pour tout entier n, on pose v n = u n +50 000 a) v 0 = u 0 +50000= 000+50000=5000 v =u +50000=4080+50000= 54080 v = u +50000=64. +50000= 564. b) Pour tout entier n v n+ = u n+ + 50000 = u n.04+000+50000=(v n 50000).04+5000=.04 v n 0000.04+5000=.04 v n la suite (v n ) est donc géométrique de raison q=.04 c) on sait d après le cours que v n =v 0 q n donc v n =5000.04 n d) Comme u n = v n 50000 on en déduit que u n =5 000.04 n 50000. D après la calculatrice, le nombre d années nécessaires pour qu Armel dispose de plus de 5 000 sur son compte est 6 4. Compléter l algorithme ci-dessous pour qu il permette de répondre à la question précédente Stocker 0 dans N et 000 dans U Tant que U 5000 faire Stocker N+ dans N Stocker 5000.04 n 50000 dans U Fin tant que Afficher N. remarque : on peut aussi écrire : Stocker.04*U+000 dans U eercice 4 : f définie sur D= R \ {} par f () = ². f est de tpe u v avec u = ²+ et v = - et donc u = et v = On sait que u u ' v uv ' ' v v² ( )( ) ( ² ) ² 4 6 ² 4 On en déduit que f '( ) ( )² ( )² On retrouve bien le résultat donné dans l énoncé. On étudie le signe de f () et on en déduira le sens de variation de f ² 4+ est un trinôme du second degré de discriminant = 6 =4 qui admet donc deu racines b 4 b 4 et Ce trinôme est du signe de a ( égal à ici) à l etérieur a a des racines
- 0 + Signe de ²+ + 0 0 + Signe de (-)² + + + + signe de f ( ) + 0 0 + variations de f. La tangente à (C) au point d abscisse 4 a pour équation f '(4)( 4) f (4) 4² 4*4 4² *4 7 f '(4) etf (4) (4 )² 4 4 7 On en déduit = ( 4) soit soit 4 4 4 Eercice 5 :. a. B'( ) 6. B'( ) est un polnôme du second degré. On a 69. > 0 donc il a deu racines : b 6 et b. Sur l intervalle [ 0 ; 0 ], on a donc le a 4 a 4 tableau de signes suivant : 0 6 0 signe de B () + 0 - b. On a donc le tableau de variation suivant : X 0 6 0 Signe de B () 0 + Variation de B 70 0 0-0 0/. a. J ai complété le tableau de variation de B ci-dessus. J en déduis que l équation B ( ) 0 admet deu solutions : L une appartenant à l intervalle [ 0 ; 6 ] et l autre appartenant à l intervalle [ 6 ; 0 ] b. On a B(,548) 0,005 0 et B (,549) 0,09 0. On en déduit que :,548,549 et donc que,548 ( ou,549 ) De même : On a B(8,88) 0,05 0 et B (8,88) 0,0004 0. On en déduit que : 8,88 8,88 et donc que 8,88 ( ou 8,88 ) c. Pour que l entreprise ait une activité rentable, elle doit vendre au minimum 549 objets (avec 548, le bénéfice est négatif ) et au maimum 888 (avec 888 le bénéfice est négatif ). D après le tableau de variation, le bénéfice est maimal pour = 6 c'est-à-dire pour 6000 objets vendus.