Rapport final (2ème année)

Rapport final (2ème année) Projet C.N.R.S./J.S.P.S. - Repésentation des groupes fondamentaux étales et applications Projet C.N.R.S./J.S.P.S. Titre: Représentations des groupes fondamentaux étales et applications Domaine: Mathématiques et leurs interactions Chef de projet: Melle Anna CADORET Avertissement: Dans ce rapport (et à l exception des paragraphes 1, 2), on se limitera à la description des résultats obtenus par les deux chefs de projet - Anna Cadoret (Univ. Bordeaux 1 puis Ecole Polytechnique) et Akio Tamagawa (RIMS). 1 Bilan du projet - année 2010 Je renvoie au rapport intermédiaire (1ère année) envoyé l an passé et que j ai remis en annexe pour information. 2 Bilan du projet - année 2011 Le montant accordé par le C.N.R.S. pour le projet C.N.R.S./J.S.P.S. Repésentation des groupes fondamentaux étales et applications et l année 2011 était de 15000 euros. Cette somme a permis de supporter quatre missions: 1 Missionnaire: Melle Anna Cadoret (MCF-Univ. Bordeaux 1) Période: 17/07/2010-25/08/2011. 2 Missionnaire: M. Cédric Pépin (Doctorant-Univ. Bordeaux 1 puis Post-doctorant-Univ. Leuven) Période: 21/11/2011-03/12/2011. 3 Missionnaire: M. Emmanuel Lepage (MCF-Univ. Paris 6) Période: 4/12/2011-22/12/2011. 4 Missionnaire: Melle Anna Cadoret (Professeur Associé-Ecole Polytechnique) Période: 03/01/2012-31/01/2012. Lors de ses missions, A. Cadoret a poursuivi (et poursuivra: la deuxième mission n ayant pas encore eu lieu au moment de la rédaction de ce rapport) sa collaboration avec A. Tamagawa. 1

La première mission d A. Cadoret a permis de finaliser et soumettre l article [CT11d]. Elle lui a également permis de préciser (de façon inattendue) avec A. Tamagawa les résultats des articles [CT10a] et [CT10b]. Plus précisément, on établit dans ces articles le théorème d image ouverte uniforme suivant. Soit S une courbe sur un corps k de type fini sur Q et ρ : π 1 (S) GL r (Q l ) une représentation l-adique du groupe fondamental de S. Alors 1. Pour tout entier d, le lieu des points fermés s S de degré résiduel au plus d sur k et où l image galoisienne à la fibre spéciale est de codimension 3 dans l image générique est fini; 2. Si de plus l abélianisé de l algèbre de Lie de ρ(π 1 (S k )) est trivial alors pour tout entier d, le lieu des points fermés s S de degré résiduel au plus d sur k et où l image galoisienne à la fibre spéciale est de codimension 1 (i.e. non-ouverte) dans l image générique est fini et en dehors de ce nombre fini de points, l indice de l image galoisienne à la fibre spéciale dans l image générique est uniformémement borné indépendemment de s. La partie 2. de cet énoncé s applique aux représentations sur la cohomologie l-adique des familles de schémas projectifs lisses paramétrées par des courbes. Elle a des applications remarquables aux problème de la borne uniforme de la torsion l-primaire des variétés abéliennes de dimension supérieure et de la spécialisation des groupes de Galois motiviques. Cependant, elle ne couvre pas le cas des familles de schémas lisses (non nécessairement projectifs) ni celui des représentations l-adiques qui apparaissent comme quotients de représentations extérieures sur la complétion pro-l des groupes fondamentaux géométriques. Cela amène naturellement à tenter de préciser l information sur la codimension qu apporte la partie 1. de l énoncé. En fait, les points fermés s S de degré résiduel au plus d sur k et où l image galoisienne à la fibre spéciale est de codimension 1, 2 proviennent de quotients abéliens de π 1 (S) correspondant à des systèmes projectifs de courbes de genre 0 ou 1 munis de systèmes projectifs de points sur des extensions de degré d de k. On s attend donc à ce que le défaut de codimension - à un nombre fini d exceptions près - se mesure entièrement dans l abélianisé de l image ρ(π 1 (S k )) du groupe fondamental géométrique. Autrement dit, si g désigne l algèbre de Lie de ρ(π 1 (S k )) et g s celle de ρ(π 1 (s)) ρ(π 1 (S k )) on conjecture que pour tout entier d, le lieu des points fermés s S de degré résiduel au plus d sur k où: [g, g] g s est fini. A l issue de la première mission d A. Cadoret, A. Tamagawa et elle ont pu établir le résultat suivant, presque optimal [CT11e]. Theorem 2.1 Pour tout entier d, le lieu des points fermés s S de degré résiduel au plus d sur k où [[g, g], [g, g]] g s est fini. De plus, le lieu des points fermés s S de degré résiduel au plus d sur k où est fini. [g, g] g s et codim g (g s ) 1} Pendant la période entre les deux missions, A. Cadoret a également mis en place une variante arithmétique (un peu plus technique à énoncer) du résultat ci-dessus. La deuxième mission d A. Cadoret devrait donc être consacré en partie à la finalisation de ce travail (vérification détaillée des preuves, rédaction, applications). Un autre aspect devrait être l étude des problématiques de spécialisation de l image galoisienne en caractéristique positive. Lors de cette mission, A. Cadoret présentera un exposé de son travail avec A. Tamagawa [CT11e] au séminaire d algèbre de l Université de Kyushu, le 13 janvier 2012. 2

A noter également que pendant l année 2011 un certain nombre d articles communs ont été définitivement acceptés [CT11c], [CT11a], [CT11b] ainsi que les articles [C11a] et [C11b]. Lors de sa mission, C. Pépin a participé à deux manifestations mathmatiques: - Le séminaire de théorie des nombres de l Université de Kyoto du 25/11 pour un exposé de Kazuya Kato On conjectures of Sharifi ; - la conférence annuelle du RIMS Workshop Algebraic number theory and related topics (28/11-02/12). http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/ kyodo/workshop-en.html où il a présenté un exposé intitulé Néron models of Picard varierties. Pendant son sjour au RIMS, C. Pépin a également travaillé sur un problème de dualité concernant les modèles de Néron des variétés abéliennes, sujet sur lequel il a échangé avec A. Tamagawa. Il a aussi eu plusieurs discussions sur les modèles semi-factoriels avec Noriyuki Suwa et Yuichiro Taguchi. Enfin, au cours de la conférence, il a pu découvrir et discuter des thèmes de recherche de plusieurs mathématiciens, post-docs et thésards japonais: Go Yamashita, Naotake Takao, Yoshiyasu Ozeki, Yoshinori Mishiba, Yoshida Manabu. Lors de sa mission E. Lepage a présenté un exposé intitulé Resolution of non-singularities for Mumford curves lors d un séminaire du RIMS. Son séjour au RIMS lui a permis principalement de discuter avec Shinichi Mochizuki de ses travaux en cours, notamment en collaboration avec Yuichiro Hoshi également membre du RIMS, sur les comportements anabéliens du groupe fondamental tempéré. Il a pu également discuter avec Akio Tamagawa de ses travaux sur la résolution des non-singularités, qui étendent des résultats d Akio Tamagawa pour les courbes de Mumford. Bilan Financier 2011: (En euros) - Mission A. Cadoret (17/07-25/08/2011) = 1312,01 (vol)+3800 (perdiem); - Mission A. Cadoret (03/01-31/01/2012) = 1318,38 (vol)+2965,25 (perdiem); - Mission E. Lepage (04/12-22/12/2011) = 970,31 (vol)+2013 (perdiem); - Mission C. Pépin (21/11-03/12/2011) = 1032,05 (vol)+1589 (perdiem). - Restant: 0. 3 Production scientifique 3.1 Résumé des principaux résultats Le sujet principal du projet C.N.R.S./J.S.P.S. Repésentation des groupes fondamentaux étales et applications est l étude des représentations linéaires des groupes fondamentaux étales des schémas. Ce projet faisait suite à un PHC Sakura (2008-2009), qui avait permis à A. Cadoret et A. Tamagawa de montrer leur théorème d image ouverte uniforme pour les représentations l-adique du groupe fondamental des courbes [CT10a], [CT10b] dont l une des applications est la preuve de la conjecture de torsion l-primaire pour les familles de variétés abéliennes paramétrées par des courbes [CT11a]. Pendant la première année du projet CNRS/JSPS (2010-2011), A. Cadoret et A. Tamagawa se sont intéressés avant tout aux représentations F l -linéaires (l variant). Cet aspect est techniquement plus délicat que celui des représentations l-adiques même si, dans les deux cas, l approche est la même. 3

Soit S un schéma sur un corps k de type fini et ρ = (ρ n : π 1 (S) GL r (F n )) un système projectif de représentations F n -linéaires (de dimension fixée r indépendante de n) du groupe fondamental de S. Ici F n = Z/l n (cas l-adique) ou F n = F l(n), l(n) désignant le n-ième nombre premier (cas F l -linéaire - dans ce cas système projectif veut juste dire suite ). La théorie du groupe fondamental permet d attacher à ρ un système projectif de schémas modulaires S n+1 S n (qui sont de même dimension que S) et de reformuler les problèmes auxquels on s intéressent en termes de points rationnels sur ces schémas modulaires. Essentiellement, on cherche à montrer qu il n y a plus du tout de points rationnels sur S n (resp. qu un nombre fini, resp. que l ensemble des points rationnels n est pas Zariski-dense) pour n 0. Le cas où S est une courbe est plus favorable car on dispose alors de la conjecture de Mordell qui nous dit que dès que (la compactification lisse de) S n est de genre 2, il n y a plus qu un nombre fini de points rationnels. La première difficulté consiste donc à montrer que le genre de S n devient plus grand que 2 pour n 0. Dans cette direction, une forme simplifiée du résultat qu ont obtenu A. Cadoret et A. Tamagawa est le suivant. Soit A un schéma abélien sur S et supposons que ρ n est la représentation naturelle de π 1 (S) sur la l(n)-torsion A η [l(n)] de la fibre générique A η de A. Supposons également que S n soit le coproduit des schémas S v correspondant (via la théorie du groupe fondamental étale) au stabilisateur dans π 1 (S) des points de l(n)-torsion 0 v A η [l(n)]. Alors Theorem 3.1 [CT11b, Thm. 1.3], [CT11d, Thm. 1.1] Le genre de S n tend vers l infini avec n. Lorsque k est de caractéristique 0, en combinant ce résultat et celui de [CT11a], on obtient par exemple qu il existe une suite d entiers n(l) 1 (l: premier) tels que n(l) = 1 pour l 0 et que pour tout l premier, il n existe qu un nombre fini de points k-rationnels s S tels que A s (k) tors soit de cardinal divisible par l n(l). Il s agit là d une forme faible de la conjecture de torsion 1 pour la famille de variétés abéliennes A s, s S(k). Par rapport aux travaux dans le cas l-adique, l idée nouvelle est l exploitation de résultats asymptotiques de M. Nori, sur les sous-groupes de GL r (F l ) (l: premier). Il reste cependant de nombreuses questions ouvertes notamment, la possibilité de remplacer la genre par la gonalité en caractéristique positive (voir [C11c] pour des résultats partiels), les implications arithmétiques en caractéristique positive (la méthode de [CT09] ne s applique plus telle qu elle), l étude de schémas modulaires plus généraux que ceux liés à la torsion (cf. les questions de grosse image galoisienne ) etc. Pendant la deuxième année du projet, A. Cadoret et A. Tamagawa ont finalisé la rédaction de [CT11d] et sont revenus sur les résulats de [CT10a], [CT10b] dans le cas inconditionnel pour les affiner, comme décrit au paragraphe 2. L ingédient nouveaux, ici, est l exploitation des théorèmes de structures pour les algèbres de Lie de dimension finie en caractéristique 0 et le fait que le radical résoluble de l algèbre de Lie g est en fait toujours nilpotent. 3.2 Publications conjointes (liées au projet) 3.2.1 Articles acceptés [CT11a] (Inventiones Math.), [CT11b] (Journal of Algebra), [CT11c] (Séminaires et Congrès). 3.2.2 Articles soumis [CT10a], [CT10b], [CT11d]. 3.3 Articles en préparation [CT11e]. 1 Rappelons que cette conjecture de torsion n a été démontrée, à l heure actuelle, que pour les courbes elliptiques, suite à des travaux de Y. Manin (69), B. Mazur (77), S. Kamienny, L. Merel (96). 4

3.4 Communications du chef de projet français (pendant le et liées au projet) A. Cadoret a présenté ses travaux avec A. Tamagawa dans les conférences internationales suivantes: - Abelian varieties and Galois actions, Adam Mickiewicz University - Poznan (Pologne) (Juin, 2011); - Workshop Algebraic number theory and related topics, R.I.M.S. - Kyoto (Japon) (Décembre 2010); - Mini-workshop on Arithmetic Geometry and Related Topics, Kyoto Univ. - Kyoto (Japon) (July, 2010); - Groupes de Galois Arithmétiques et différentiels - C.I.R.M. - Luminy (Avril 2010); - Workshop PIA2010 - Heidelberg (Allemagne) (Février 2010); - Sakura Workhop Torsion of abelian schemes and rational points on moduli spaces - I.M.B. - Bordeaux (Janvier 2010). Outre ces exposés en conférences, elle a également été invitée dans divers séminaires: I.E.M. - Essen (Juillet 2011), Paris 13 (Avril 2011), Caen (Avril 2011), Toulouse (Mars 2011), Padoue (Mai 2010) et Montpellier (Mars 2010). Elle devrait également exposer début 2012 aux séminaires d algèbre de l université de Kyushu, au séminaire variétés rationnelles de l ENS Paris, au séminaire de théorie des nombres de l UCBL-ENS Lyon et au séminaire de théorie des nombres de l IMJ. 4 Projets Pour continuer de financer notre projet, nous avons candidaté pour une reconduction d un an (PRC0634 Représentations des groupes fondamentaux étales et applications ). A plus long terme, nous envisageons de candidater sur un projet ANR blanc France-Japon (portant sur une thématique de géométrie arithmétique plus large que celle de l actuel projet) et, dans l entre-deux, d utiliser les ressources propres des divers établissements partenaires du projet (notamment les mois de professeurs invités). References [C11a] A. Cadoret, The l-primary torsion conjecture for abelian surfaces with real multiplication. A paraitre dans R.I.M.S. Kokyuroku Bessatsu (Proceedings of the R.I.M.S.) B? Algebraic Number Theory and Related Topics - 2010, M. Kida, S. Kobayashi, N. Suwa eds., 2011. [C11b] A. Cadoret, Motivated cycles under specialization. A paraitre dans Groupes de Galois Géométriques et differentiels, P. Boalch et J.-M. Couveignes eds., Séminaires et Congrès 25, p. 25-55, S.M.F., 2011. [C11c] A. Cadoret, Note on the gonality of abstract modular curves. A paraître dans MATCH-HGS C.M.S.2, PIA 2010 - the arithmetic of fundamental groups, J. Stix ed, Springer, 2011. [CT09] A. Cadoret and A. Tamagawa, Torsion of abelian schemes and rational points on moduli spaces, R.I.M.S. Kokyuroku Bessatsu (Proceedings of the R.I.M.S.) B12 Algebraic Number Theory and Related Topics, eds. M. Asada, H. Nakamura and H. Takahashi, 2009. [CT10a] A. Cadoret et A. Tamagawa, A uniform open image theorem for l-adic representations of the etale fundamental group of curves - I, preprint 2010 (soumis). [CT10b] A. Cadoret et A. Tamagawa, A uniform open image theorem for l-adic representations of the etale fundamental group of curves - II, preprint 2010 (soumis). [CT11a] A. Cadoret et A. Tamagawa, Uniform boundedness of p-primary torsion of abelian schemes. A paraitre dans Inventiones Math. 5

[CT11b] A. Cadoret et A. Tamagawa, On a weak variant of the geometric torsion conjecture, Journal of Algebra 346, p. 227-247, 2011. [CT11c] A. Cadoret et A. Tamagawa, A note on torsion conjecture. Dans Groupes de Galois Géométriques et differentiels, P. Boalch et J.-M. Couveignes eds., Séminaires et Congrès 25, p. 57-68, S.M.F., 2011. [CT11d] A. Cadoret et A. Tamagawa, On a weak variant of the geometric torsion conjecture II, preprint, 2011 (soumis). [CT11e] A. Cadoret et A. Tamagawa, Subgroup constraints for l-adic representations of the etale fundamental groups of curves, preprint, 2011 (en préparation). 6