LGL Cours de Mathématiques 00 Division de Polynômes A INTRODUCTION Motivations: * Résoudre des équations d un degré supérieur à * Représenter des fonctions algébriques en se basant et sur des fonctions élémentaires données et sur des translations suivant des multiples des vecteurs unitaires * Etudier la position de courbe par rapport à leurs asymptotes horizontales ou obliques En tant qu introduction, basons-nous sur la première motivation. En classe de 7 e, nous avons appris que les solutions des équations de la sorte: b ax b = a x b 0 = 0 sont données par x =, pour tout a 0 a a En classe de 5 e, nous avons ensuite appris à résoudre des équations du second degré en utilisant la factorisation, en l occurence soit les identités remarquables, soit la méthode par produit et somme. En classe de e, Pour 0: ax + bx + c = a(x x 1)(x x ) où x = x1 et x = xsont les deux racines du trinôme. Cette formule sera généralisée et démontrée en classe de e et nous permettra d étudier des inéquations du second degré. Elle est utilisée pour réduire le degré de l expression du départ à un produit d expressions du premier degré. Pour résoudre des équations et inéquations d un degré supérieur à, l idée fondamentale est la même: Réduire le degré supérieur à à un produit d expressions de degré inférieur à. Ce procédé de factorisation nous permettra de résoudre l équation du départ en nous basant sur un théorème important de l algèbre: Théorème 1: (Sans démonstration) Un produit est nul si au moins un des facteurs est nul : a b = 0 a = 0 ou b = 0 Dans certains exemples, cette factorisation est relativement évidente, mais dans d autres exemples, cette factorisation est plus compliquée. Dans d autres exemples encore, elle est tout simplement impossible à réaliser. Résolution d'une équation à l'aide d'une factorisation évidente: x x 4x+ 4 = 0 La factorisation du membre de gauche se fait de la façon suivante: x x 4x+ 4 = (x x ) 4(x 1) = x (x 1) 4(x 1) méthode par groupement D'où: = (x 1)(x 4) = (x 1)(x + )(x ) x x 4x + 4 = 0 (x 1)(x + )(x ) = 0 x = 1 ou x = ou x = Beran Division de polynômes - 1 -
LGL Cours de Mathématiques 00 Méthodes de résolution d'une équation moins évidente: x 11x + 7x + 0 = 0 Pour résoudre une telle équation, on a à disposition différentes méthodes: Méthode 1. Utilisation d'un programme performant de factorisation mathématique (Derive, Mathematica,..., V00, ) x 11x + 7x+ 0= ( x 5) ( x+ 1) ( x 4) L'utilisation de la règle du produit nul nous donne immédaitement les solutions. ou de résolution d'équations: 5 solve( x 11x + 7x + 0 = 0, x) x = 1 ou x = ou x = 4 Méthode. Utilisation d'un tableur (Excel, Lotus, Quattro-Pro, Works,...) Pour obtenir la colonne y = f(x), on introduit dans la case B, la formule suivante: = *A ^ 11* A ^ + 7 * A + 0 En copiant les cases vers le bas, on arrive à remplir ce tableau, dans lequel on arrive à lire que y s'annule notamment pour x = -1. En complétant le tableau, on peut ainsi trouver les trois solutions de cette équation. Cette méthode n'est pas valable si les solutions sont des nombres irrationnels comme p. ex. 5. Représentations à l'aide de la calculatrice TI V00 et à l'aide de Excel Méthode. Utilisation d'un programme qui permet de représenter graphiquement l'expression y = f(x). En bougeant le curseur sur la courbe, on arrive à lire les abscisses approximatives des points d'intersection de cette courbe avec l'axe des x, valeurs qui sont les solutions recherchées. Les méthodes et, qui utilisent la notion de fonction, vont être expliquées à partir de la classe de e. Jusque-là, nous allons nous borner à rechercher les solutions à l'aide d'une nouvelle méthode de factorisation - valable sous certaines conditions seulement - et qui se base sur la division de polynômes. Dans la partie du cours qui suit, nous allons étudier en premier la division de polynômes proprement dite et puis voir comment rechercher les diviseurs adéquats afin de savoir diviser et factoriser par la suite. Beran Division de polynômes - -
LGL Cours de Mathématiques 00 B. DIVISION PAR UN POLYNÔME Afin de bien pouvoir comprendre le procédé utilisé, il faut revenir en classe de 6 me année scolaire. Nous allons utiliser un exemple historique (dernière division posée dans un examen d admission pour lycée technique au Luxembourg). Pour les besoins de la cause, nous allons toutefois modifier un peu la marche à suivre. Préliminaires: Etudions la structure d un nombre et comparons sa structure à celle d un polynôme. 450 = 10000 + 4 1000 + 5 100 + 0 10 + 1 (idée des ABAKUS) 4 1 0 450 = 10 + 4 10 + 5 10 + 0 10 + 10 Exemple numérique: Nous constatons qu un nombre écrit sous cette forme ressemble étrangement à un polynôme ordonné suivant les puissances décroissantes de x, à condition de remplacer la base 10 par une variable x. On pourrait donc dire que le nombre 450 est un nombre de degré 4. * Pour diviser 997, 957 : 9, 54 =, nous allons en premier évaluer le résultat. Pour ce faire, nous allons diviser 000 par 100 pour obtenir un résultat de 0. Le résultat exact est donc un nombre aux alentours de 0. * Au contraire des classes de l école primaire, nous n allons pas reculer la virgule, mais nous l avançons d une unité et nous effectuerons donc la division suivante: 99, 7957 : 9, 54 = Marche à suivre: 1) Evaluons le résultat de la division de 9 par 9. En effet, il faut considérer le 9 et non le (degré le plus élevé), car le nombre est plus petit que le 9 (degré le plus élevé du diviseur). Nous divisons donc le terme de degré le plus élevé du dividende par le terme de degré le plus élevé du diviseur. Le quotient entier est. Le degré du s obtient en retranchant le degré de 9 au degré du 9: 1-0 = 1. ) Nous remultiplions le par le diviseur exact 9,54. 9 9,7 9 5 7 9,54-8 0 6,05 1 9 1 7 5 = 19 : 9-1 8 7 0 8 4 6 7 7 0 0 = 4:9; - 4 6 7 7 0 5 = 46:9 ) Nous additionnons l opposé de ce produit au dividende (équivaut à retrancher ce produit du dividende). 4) Le reste obtenu nous servira pour recommencer la même manoeuvre. Procédons de la même manière pour diviser des polynômes: x 11x + 7x+ 0 Exemple algébrique: Divisons =... x 5 Comme pour la division de nombres, nous évaluons le résultat en ne considérant que les degrés les plus élevés. Le résultat x x x = = x obtenu est le premier terme du quotient. Ce terme est à x x multiplier par le diviseur complet. L opposé de ce produit est à additionner au dividende. On recommence ensuite suivant le même schéma avec le reste obtenu qui devient dividende. x 11x + 7x+ 0 x 5 x + 5x x x 4 6x + 7x 6 x 15x 8x+ 0 8x 0 En multipliant: opp[ x ( x 5)] = x ( x 5) = x + 5x 6x Pour trouver le deuxième terme du quotient: = x x En multipliant: opp[ x ( x 5)] = x ( x 5) = 6x 15x 8x Pour trouver le troisième terme du quotient: = 4 x En multipliant: opp[ 4 ( x 5)] = 4 ( x 5) = 8x 0 Beran Division de polynômes - -
LGL Cours de Mathématiques 00 Pour diviser un polynôme par un polynôme, on applique la règle suivante: 1. On ordonne le dividende et le diviseur d après les puissances décroissantes d une même lettre. (Il est conseillé de compléter les termes manquants du dividende). On divise le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur; on obtient ainsi le premier terme du quotient.. On multiplie le diviseur par le terme trouvé et on retranche le produit du dividende. (Il est conseillé d additionner l opposé du produit afin d éviter trop de signes - ) 4. On divise le premier terme du premier reste partiel par le premier terme du diviseur et on obtient le deuxième terme du quotient. 5. On multiplie le diviseur par le deuxième terme du quotient et on retranche le produit du premier reste partiel. 6. Les termes suivants du quotient s obtiennnent en opérant sur le deuxième reste partiel et sur les suivants comme on a opéré sur le dividende et le premier reste partiel. Nous nous arrêtons si le degré du diviseur dépasse celui du reste. Retenons les quelques énoncés suivants sans les démontrer pour autant. * Le premier terme du quotient est le quotient du premier terme du dividende par le premier terme du diviseur. * Le dernier terme du quotient est le quotient du dernier terme du dividende par le dernier terme du diviseur. Remarque: Cas spécial: Par division, on réduit le degré de l expression, car les exposants se retranchent Division par un binôme du type (x-α) Dans le cas où le diviseur est un binôme de la forme (x-α), il existe un schéma qui se limite à l'étude des coefficients apparaissant lors de la division formelle: le schéma de Horner Exemple de schéma de Horner: Soit le polynôme P(x) = x + 5x x 6 à diviser par le binôme x-1. La racine du binôme-diviseur est donnée par x =1, valeur que l'on notera dans le schéma (me ligne, 1ere colonne) x + 5x x 6 x 1 x + x x + 7x + 6 7x x 7x + 7x 6x 6 6 x + 6 0 En analysant parallèlement les coefficients, on peut les résumer dans le schéma suivant: 1 5 7 1 7 6 6 6 0 On peut donc lire le polynôme-quotient du second degré P(x) restant: = x + 7x + 6, avec, 7, et 6 les x 1 coefficients de la dernière ligne du schéma de Horner. Le 0 signifie que la division est une division exacte. Remarque: Si jamais le polynôme n'est pas un polynôme complet (p.ex. x x + 1 ), il est impératif de compléter la première ligne avec les coefficients manquants: 1 0-1 1. Beran Division de polynômes - 4 -
LGL Cours de Mathématiques 00 C. RECHERCHE DU DIVISEUR ADEQUAT Définition: On appelle racine d un polynôme P, la valeur a qui annule ce polynôme. a est racine de P ssi P(a) = 0 Propriétés des polynômes entiers en x Un polynôme entier en x représente un nombre déterminé, quelle que soit la valeur qu on attribue à x. Ainsi 4 pour x =, le polynôme P(x) est égal à -, avec P( x)= x 5x + x x 5. La valeur numérique du polynôme P(x) pour x = est représentée par le symbole P(). On a donc: P() = -. Théorème : Le reste de la division d un polynôme entier en x par le binôme x - a est égal à la valeur numérique du polynôme pour x = a. Démonstration: Désignons par P(x) le polynôme dividende, par Q(x) le quotient et par R le reste de la division. Comme le diviseur x-a est du premier degré en x, le reste sera de degré zéro par rapport à x; il ne renferme donc plus la lettre x. Nous pouvons écrire l identité: Px ( ) = ( x a) Qx ( ) + R Les deux membres de cette identité prennent des valeurs numériques égales pour toute valeur de x. En remplaçant x par a, on obtient: P() a = ( a a) Q() a + R P() a = R c.q.f.d. = 0 Conséquence: La condition nécesssaire et suffisante pour qu un polynôme entier en x soit divisible par x - a est sa valeur numérique soit nulle pour x = a. Démonstration: Px ( ) = ( x a) Qx ( ) + R= ( x a) Qx ( ) R= Pa ( ) = 0 c.q.f.d. Un peu de logique: Condition nécessaire: Si un polynôme entier en x est divisible par x - a, le polynôme s annule pour x = a. Condition suffisante: Si un polynôme entier en x s annule pour x = a, il est divisible par x - a. Théorème : (Sans démonstration) Si un polynôme entier en x, de degré m, P(x), s annule pour m valeurs différentes a, b, c,..., m attribuées à x, il est le produit de ( x a) ( x b) ( x c)... ( x m) par le coefficient de x m. m m 1 P() x = a0x + a1x +... + am = a0 ( x a)( x b)( x c)...( x m) Théorème 4: Les racines entières d un polynôme entier en x, de degré m, P(x), sont à trouver parmi les diviseurs du terme constant de ce polynôme. Beran Division de polynômes - 5 -
LGL Cours de Mathématiques 00 Un peu de logique: a est une racine entière de P a est un diviseur du terme constant mais: a est un diviseur du terme constant a est une racine entière de P est faux!! Exemple: x 11x + 7x+ 0= ( x 5) ( x+ 1) ( x 4) 4 est racine entière de P [ P( 4 ) = 0] 4 est un diviseur de 0, mais est un diviseur de 0, mais P( ) = 6 0 n est une racine entière de P Avant de démontrer le théorème 4, résolvons d abord un exercice qui nous illustre ce théorème: Exercice: On considère le polynôme f( x)= x 7x + 10x + 8 et l on cherche, s il en existe, une racine α de f qui soit un entier relatif. On a donc: f( α) = α 7α + 10α+ 8= 0, α élément de Z. a) En écrivant l égalité précédente sous la forme: ( α + 7α 10) α = 8, vérifiez que α est nécessairement un diviseur de 8. b) Quelles sont les valeurs possibles de α? (On n oubliera pas que α peut être négatif) c) Déterminez alors une racine entière α de f. d) Déterminez un polynôme a x bx c tel que: ( x ) = ( x α) ( ax + bx + c ) e) Trouvez alors toutes les racines de f. Solution de l exercice: a) Si f ( x)= x 7x + 10x + 8, alors α est racine de f ssi f( α ) = 0 f( α) = α 7α + 10α+ 8= 0 8= α + 7α 10α 8= α ( α + 7α 10) Rappelons aussi: Le nombre β est un diviseur de 8 8 β Z D où : Pour montrer que α est un diviseur de 8, il faut montrer que 8 α Z. Or, 8 = 7 1 et on a: α + α 0 Si α Z α Z α Z Z α + 7 10 α + 7α 10 Z car l addition et la soustraction sont des opérations internes dans Z. b) Conclusion: Si α Z est racine du polynôme f( x)= x 7x + 10x + 8, alors α est un diviseur de 8. Remarque: Cette conclusion se généralise aisément à tout polynôme P. c) Recherche des diviseurs de 8: D 8 = { ± 1; ± ; ± 4; ± 8} En remplaçant successivement ces valeurs dans l équation de f(x): f( 1) = 1 7+ 10+ 8= 1 0 1 n est pas racine de f f( 1) = 1 7 10 + 8 = 10 0-1 n est pas racine de f f( ) = 8 8+ 0+ 8= 8 0 n est pas racine de f f( ) = 8 8 0 + 8 = 48 0 - n est pas racine de f f( 4) = 64 11 + 40 + 8 = 0 4 est racine entière de f donc α = 4 Il s ensuit que f(x) est divisible par (x - 4) Beran Division de polynômes - 6 -
LGL Cours de Mathématiques 00 d) Par division, on trouve donc que f ( x) = ( x 4)( x x ) (Autre méthode: Mettre sous la forme: f (x) = (x 4)(ax + bx + c) et utiliser la méthode d'identification des coefficients) e) Racines de f: 17 + 17 x = 4 ; x = ; x = Démonstration du théorème 4: Soit le polynôme P(x) de degré m donné suivant. Si ce polynôme admet m racines, il peut s écrire, suivant le théorème précédent, de la façon suivante: m m 1 P() x = a0x + a1x +... + am = a0 ( x a)( x b)( x c)...( x m) Or, en effectuant ces parenthèses, nous trouvons l égalité suivante: am = ± a0 a b c... m. Par conséquent, le terme constant est - au signe près - le produit de toutes les racines du polynôme - en particulier donc des racines entières - par le coefficient a 0. Ceci revient à dire que les racines sont à trouver parmi les diviseurs du quotient du terme constant par le coefficient a 0. Remarque: Comme les diviseurs fractionnaires d un nombre quelconque sont innombrables (il en existe une infinité), nous ne recherchons donc que les diviseurs entiers relatifs qui eux sont dénombrables. D EXERCICES Exercice 1: Diviser le polynôme A(x) par le polynôme B(x) pour chacun des cas suivants et mettre le résultat sous la forme d'une division euclidienne: 1) ) ) A(x) = x A(x) = x A(x) = x 4 + 5x x + 5x + x 1 + x B(x) = x B(x) = x B(x) = x + + x 1 x 1 Exercice : Contrôlons la factorisation de f( x)= x 11x + 7x + 0 en recherchant nous-même le(s) diviseur(s) adéquat(s). Vous constaterez que le diviseur trouvé ne correspondra pas à celui donné dans la partie du cours. Toutefois, la factorisation donnée à la deuxième page de cette partie du cours est toujours valable. Exercice : Comme l exercice résolu illustre bien la marche à suivre, nous allons nous contenter de donner encore quelques exercices: Décomposer en facteurs les polynômes suivants: 1) 4 fx ( ) = 5x + 5x x 5 ) fx ( ) = x x + x ) fx ( ) = x + 9x + 11x 1 4) f( x) = x + x 5x 6 5) 4 fx ( ) = x + x 16x x+ 15 6) 5 4 fx ( ) = x + x 16x 48 7) 4 fx ( ) = 6x + 4x 6x 16x+ 8 8) 4 fx ( ) = x + ax 7ax ax+ 6a 4 Beran Division de polynômes - 7 -
LGL Cours de Mathématiques 00 Schéma de décision de la méthode à choisir pour la division Analyser la donnée Est-ce qu'on ne demande que le reste? oui Est-ce que le diviseur est de la forme (x-α)? oui méthodes au choix: 1) reste = P(α) ) Horner ) Division formelle non non méthodes au choix: 1) reste = P(α) ) Division formelle Est-ce que le diviseur est de la forme (x-α)? non oui méthodes au choix: 1) Horner ) Division formelle 1 seule méthode: Division formelle Exercices supplémentaires: Résoudre dans les équations suivantes: 1) x + 7x + x = 0 ) 5x + 50x x = 0 ) x 15x + 6x = 7 4) 5x + 4x = x Solutions: 1) (x + 1)(x + )(x 1) = 0 ) (x + )(5x + 1)(5x 1) = 0 ) (x ) (x ) = 0 4) (x + 1)(x )(1 x) = 0 Beran Division de polynômes - 8 -