Mobile autoporteur et plan incliné

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1 Mobile autoporteur et plan incliné Exercice : Un mobile autoporteur, de masse m = 400 g, est abandonné avec une vitesse initiale de 394 mm/s sur une table inclinée d un angle α = 12 par rapport à l horizontale. On donne g = 9,8 m/s 2. On enregistre les mouvements toutes les 60 ms. 1) L ordinateur établie la vitesse V du mobile à la date t et on a pu obtenir les résultats suivants : Temps (ms) V (m/s) 0,394 0,410 0,430 0,450 0,462 0,480 0,498 a) Construire le graphique, à l aide de la Casio FX-CG20, de la vitesse en fonction du temps. En déduire la nature du mouvement. b) Calculer l accélération du mouvement de ce mobile autoporteur à l aide de la Casio puis vérifiez votre résultat par le calcul. 2) Appliquer le théorème du centre d inertie à ce mobile autoporteur et en déduire l accélération qu il aurait si on supposait qu il n y avait pas de frottement. 3) Montrer alors qu il y a eu frottement lors du mouvement du mobile autoporteur et calculer alors la valeur de cette force de frottement que l on supposera constante au cours du mouvement. 1

2 Solution : Un mobile autoporteur, de masse m = 400 g, est abandonné sans vitesse initiale sur une table inclinée d un angle α = 12 par rapport à l horizontale. On donne g = 9,8 m/s 2. On enregistre les mouvements toutes les 60 ms. 1) a) Graphe v = f(t) et nature du mouvement : On allume la Casio FX-CG20 puis on sélectionne, à l aide du bouton rond, le mode Statistics (Fig.1). On voit apparaitre, à ce moment, un nouvel écran visualisant une liste de données (Fig.2) Fig.1 Fig.2 On doit effacer les données qui sont déjà enregistrées dans le mode statistique, pour chacune des listes. Pour cela on appuie sur F6, ce qui change la liste des possibilités se trouvent en bas de l écran (Fig. 3). Ensuite on tape sur la touche F4 (DEL-ALL) et un écran apparait nous demandant d effacer la liste sélectionnée, ici la List 1 (Fig.4). Fig.3 Fig.4 2

3 On appuie sur F1 pour effacer la List 1 (Fig.5) et on réitère la même méthode pour supprimer les données de la List 2. On sélectionne cette liste en utilisant le bouton rond de la Casio (Fig.6 et 7). Fig.5 Fig.6 Fig.7 A présent, on peut mettre les données de l exercice dans chaque liste (Fig.8 et 9). La List 1 sera réservée pour le temps et la List 2 pour la vitesse. Fig.8 Fig.9 3

4 On doit maintenant tracer le graphique de v = f(t), on tape sur F6 afin d obtenir la liste au bas de l écran permettant de pouvoir construire ce graphique (Fig.10) Fig.10 On sélectionne F1 (GRAPH1) et un nouvel écran apparait (Fig.11) Fig.11 En tapant sur F6 (SET) on va définir le type de graphique que l on souhaite tracer. A l aide des flèches, on choisit Graph Type, puis F1 (Scatter) afin d avoir un amas de points dans le cas où cette option n était pas choisie par défaut (Fig.12). Fig.12 4

5 Après cette étape on tape EXE afin de sortir de la fenêtre, ce qui nous permet de revenir à la précédente fenêtre (Fig.11). Dès à présent on est en mesure de tracer les points. Pour cela on doit appuyer sur F1 (GRAPH1) et une nouvelle fenêtre apparait avec le tracé des points de v = f(t) (Fig. 13) Fig.13 Ensuite on appuie sur la touche F1 (CALC) afin de pouvoir tracer la droite de régression linéaire associée à ces points (Fig.14). Fig.14 On sélectionne, à l aide de la touche F2 (X), la droite que l on souhaite tracer (Fig.15) puis on tape sur la touche F1 pour choisir la droite de régression linéaire du type ax+b (Fig. 16). On voit alors les valeurs de chacun des coefficients de cette droite. 5

6 Fig.15 Fig.16 Il ne reste plus qu à tracer cette droite sur le graphique. On appuie donc sur la touche F6 (DRAW) afin de la construire sur le graphique (Fig.17). Fig.17 b) Calcul de l accélération du mouvement du mobile autoporteur : A l aide du graphique de la Casio FX-CG20, le coefficient directeur représente l accélération. On lit alors que a = 2, m.ms -2 donc a = 2, m.s -2. Par le calcul, la droite passe par deux points, le 1 er et le 7 ème. Sachant que l accélération représente le coefficient directeur de la droite alors on déduit : Δv v v a = = Δt t t ,498 0,394 a = (360 0) alors a = 2, m.s -2. Au nombre de chiffres significatifs près, les valeurs trouvées de l accélération sont pratiquement identiques. Dans la suite on prendra la valeur trouvée expérimentalement donc a = 2, m.s -2. 6

7 2) Détermination de l accélération s il n y avait pas de frottement : On applique la deuxième loi de Newton : Fext r = m.a r dans le repère (O, r i, r j ), voir schéma cidessous : R ur r j P ur P ur est le poids et R ur la réaction du mobile sur le support. ur ur ur P+ R = m.a, en projetant cette relation vectorielle sur l axe des x, on déduit alors que : m.a = P.sin α m.a = m.g.sin α donc a = g.sin α. Sachant que g = 9,8 m/s 2 et α = 12 alors a = 2,04 m.s -2. α r i 3) Etude de la force de frottement supposée constante : ur ur r ur D après la deuxième loi de Newton, on déduit que P+ R+ f = m.a, où f est la force de frottement opposée au mouvement. La force de frottement étant sur l axe des x, en utilisant la même projection qu à, la question précédente on déduit que : P f = m.a m.g.sin α f = m.a Finalement f = m(g.sin α a). Sachant que g = 9,8 m/s 2 ; α = 12 et a = 2, m.s -2 alors f = 7, N. 7