Simulations de jeux de pile ou face : distribution de fréquences du nombre maximum de coups consécutifs égaux dans

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1 SIMULATION ET TABLEUR EN CLASSE DE SECONDE Sommaire A Les instructions officielles 1 B Le tableur 2 B.1 Présentation B.2 Prise en mains B.2.1 L environnement de travail B.2.2 Entrée des données B.2.3 Gestion des fichiers B.2.4 Les formules C Statistiques avec Excel 7 C.1 Les fonctions statistiques C.2 Les représentations graphiques C.2.1 Représentation d une série de données C.2.2 Représentation de deux séries de données C.2.3 Représentation d un histogramme D Simulations avec Excel 9 D.1 Les fonctions de simulation D.2 Exemples de simulations D.2.1 Simulation d un lancé de dé D.2.2 Simulation de pile ou face D.2.3 Simulation d un lancé de deux dés D.2.4 Simulation d un tirage de cartes D.2.5 Tirage dans une urne D.3 Fluctuation d échantillonnage E Exercices 12 L objectif de ce stage est d apprendre à utiliser le tableur comme outil de simulation dans le cadre des nouveaux programmes de mathématiques de la classe de seconde. Le tableur choisi est Excel ( Microsoft ), mais on pourra facilement adapter les idées présentées à d autres tableurs. A Les instructions officielles On trouvera ci-dessous quelques extraits de la partie Statistique du nouveau programme de seconde. Contenus Résumé numérique par une ou plusieurs mesures de tendance centrale ( moyenne, médiane, classe modale, moyenne élaguée )... Définition de la distribution des fréquences d une série prenant un petit nombre de valeurs et de la fréquence d un évènement. Simulation et fluctuation d échantillonnage. Capacités attendues Concevoir et mettre en oeuvre des simulations simples à partir d échantillons de chiffres au hasard. Commentaires La touche random d une calculatrice pourra être présentée comme une procédure qui chaque fois qu on l actionne fournit une liste de chiffes ( composant la partie décimale du nombre affiché ). Si on appelle la procédure un très grand nombre de fois, la suite produite sera sans ordre ni périodicité et les fréquences des dix chiffres seront sensiblement égales. Chaque élève produira des simulations de taille ( allant de à suivant les cas ) à partir de sa calculatrice ; ces simulations pourront être regroupées en une simulation ou plusieurs simulations de taille après avoir constaté la Année scolaire 2000/2001 Page 1/12

2 variabilité des résultats de chacune d elle. L enseignant pourra alors éventuellement donner les résultats de simulation de même taille préparées à l avance et obtenues à partir de simulation sur ordinateurs. Thèmes d étude Simulations de jeux de pile ou face : distribution de fréquences du nombre maximum de coups consécutifs égaux dans une simulation de ou lancers de pièce équilibrée ; distribution de fréquences du gain sur un jeu d au plus dix parties où on joue en doublant la mise ( ou en la triplant ) tant qu on n a pas gagné... Simulation du lancer de deux dés identiques et distribution de la somme des faces.. Simulation de promenades aléatoires sur des solides ou des lignes polygonales, fluctuation du temps et estimation du temps moyen mis pour traverser un cube ou pour aller d un sommet donné à un autre sommet donné d une ligne polygonale. Simulation de naissances : distribution du nombre d enfants par famille d au plus quatre enfants lorsqu on s arrête au premier garçon, en admettant que pour chaque naissance, il y a autant de chances que ce soit un garçon ou une fille. B Le tableur B.1 Présentation Un tableur est un logiciel qui permet de créer des documents servant à insérer des données sur lesquelles on veut faire des calculs, ainsi que de gérer une base de données simple. Un tel logiciel possède souvent un module graphique, permettant d effectuer diverses représentations des données étudiées. Excel est le tableur de la société Microsoft, qui est un composant de la suite bureautique Office. Il existe d autres tableurs qui remplissent les mêmes fonctions. Parmi ceux-ci, on pourra citer 123 de la société IBM ( anciennement Lotus ), et le tableur livré avec la suite bureautique Star Office éditée par Sun. Enfin, on trouve des tableurs pour d autres systèmes d exploitation que Windows, comme par exemple Gnuméric sous Linux. Les exemples proposés dans ce document ont été réalisés avec Excel, car c est pour l instant le tableur que l on trouve le plus souvent dans les lycées. B.2 Prise en mains Après l installation du tableur Excel sur un poste de travail, on doit trouver une icône Excel sur le bureau, ou bien une entrée Excel dans le menu Démarrer Programmes. Commencer par double-cliquer sur cette icône. B.2.1 L environnement de travail Il est découpé en plusieurs parties : Année scolaire 2000/2001 Page 2/12

3 1. La fenḙtre de travail : On y entre les données et on y effectue les traitements de ces dernières. 2. La barre titre : Indique le titre du logiciel utilisé et le nom du fichier ouvert. 3. La barre des menus : Il suffit de cliquer sur un des menus pour accéder aux diverses commandes disponibles sous Excel. 4. La barre d outils : Elle permet d accéder plus rapidement à certaines des options qu on retrouve dans la barre des menus. 5. Colonne et ligne : Une feuille de travail est composée de colonnes et de lignes de données. La numération par défaut est du type A1 pour désigner la case se trouvant à la première ligne et première colonne. On peut aussi travailler avec une numérotation du type L1C1. 6. Cellule : Une cellule est l intersection d une colonne et d une rangée. 7. La barre de formules : Elle contient deux sections distinctes, c est-à-dire la zone d adresse et la zone d entrée des données. La zone d adresse indique l endroit où se trouve le curseur dans la feuille de travail (adresse de la cellule). La zone d entrée des données est l endroit où l on inscrit ce qui doit apparaître dans une cellule. 8. Les barres de défilement : Elles permettent le déplacement dans la feuille de calcul. 9. Barre d état : Cette ligne affiche différentes informations. 10. Identificateurs de pages : Ils servent à identifier la feuille de travail qui est active. On peut ainsi travailler sur un maximum de 256 feuilles, regroupées au sein d un classeur Excel. B.2.2 Pour se déplacer dans une feuille de travail, on peut utiliser les touches suivantes : Déplacement d une ligne ou d une colonne Page précédente ou Suivante Déplacement d un écran vers le haut ou vers le bas ( Origine ) Déplacement du curseur dans la colonne A CRTL et Origine simultanément Déplacement dans la cellule A1 ALT et Page précédente ou Suivante Déplacement d un écran vers la gauche ou vers la droite CRTL et Fin simultanément Déplacement dans la dernière cellule utilisée F5 Aller directement à une adresse Entrée des données Types de données Il existe deux types de données : les données numériques et les données texte. Les données numériques seront toujours affichées à la droite de la cellule. Les données texte seront affichés à la gauche de la cellule. Il est possible de changer la position où ces données seront affichées dans une cellule à l aide de la commande Format Cellule Alignement. L appui sur la touche Entrée ou sur les flèches de déplacement permet de valider une entrée. Exercice I : Lancer le tableur Excel. Reproduire le tableau suivant : En cas d erreur de saisie, un double-clic sur une cellule permet d éditer son contenu. Largeur d une cellule Pour agrandir la largeur d une cellule, il suffit de se placer sur la ligne verticale qui délimite la colonne correspondante. Lorsque le pointeur de la souris change de forme, on clique alors sur le bouton gauche de la souris, ce qui fait apparaître une ligne pointillée. Il reste à faire glisser la souris pour agrandir ou diminuer la largeur de la colonne. On peut aussi sélectionner la cellule ( ou les cellules ) dont on veut changer la taille, et utiliser l option Format Colonne, Ajustement automatique. La largeur de la colonne sera ajustée selon la donnée la plus longue de la colonne. Exercice II : Rajouter au tableau précédent l élève VERONIQUE LONGUE, dont les notes sont respectivement 1 et 9, et ajuster la largeur de la première colonne. Année scolaire 2000/2001 Page 3/12

4 Sélection d une cellule Pour sélectionner des données, on dispose des procédés suivants : Si on veut sélectionner une unique cellule, on clique dans cette cellule. Si on veut sélectionner un bloc de cellules adjacentes, on clique sur une des extrémités du bloc, et on déplace la souris sans relâcher le bouton gauche jusqu à l autre extrémité du bloc. Si on veut sélectionner des cellules non adjacentes, on les sélectionne l une après l autre en appuyant simultanément sur la touche CRTL et le bouton gauche de la souris. Alignement Pour aligner des données on sélectionne les cellules voulues et on utilise les icônes pour aligner respectivement à gauche, au milieu ou au centre. Effacement Pour effacer une donnée, on sélectionne la cellule voulue et on appuie sur la touche Suppr. On peut aussi sélectionner la cellule ou la plage de cellules, et cliquer sur le bouton droit de la souris pour obtenir un menu permettant l effacement. Insertion Pour insérer une ligne ou une colonne, on se place sur la cellule située après, et on choisit l option Insertion Lignes ou Insertion colonnes. Formatage Pour régler l apparence d une donnée ( nombre de décimales, type de données ), il suffit de sélectionner la cellule, et de choisir l option Cellule du menu Format. On cliquera ensuite sur l onglet Nombre, et il suffira de choisir l effet voulu dans la liste déroulante. Exercice III : Modifier la feuille Excel précédemment créée pour obtenir : B.2.3 Gestion des fichiers La sauvegarde Pour enregistrer son classeur sur une disquette ou sur le disque dur de l ordinateur, on choisit le menu Fichier, Enregistrer Sous. Il faut alors choisir le dossier ( ou sous-répertoire ) de son disque dur ( boîte Enregistrer dans ), et le nom de son classeur ( boîte Nom de fichier ). Après cette sauvegarde, si l on modifie le contenu du classeur, il suffit de cliquer sur Fichier Enregistrer pour mettre à jour le fichier. La restauration Pour récupérer un classeur Excel précédemment sauvegardé, on utilise le menu Fichier, Ouvrir. Il s agit ensuite de se placer dans le dossier qui contient la sauvegarde, puis de double-cliquer sur le nom du fichier. Signalons que par défaut un classeur Excel a un nom se terminant par xls. Exercice IV : Sauvegarder votre travail, puis fermer Excel, en choisissant le menu Fichier, Quitter. Relancer le tableur, et récupérer votre classeur. Année scolaire 2000/2001 Page 4/12

5 B.2.4 Les formules Introduction La fonction première d Excel est de faire des calculs en utilisant les valeurs entrées dans un tableau. Ces calculs peuvent être de simples additions ou des calculs plus compliqués tels que la valeur future d un placement à terme. Une formule est une fonction située dans une cellule et qui va utiliser en entrée des données situées dans d autres cellules. Une telle formule peut-être composée de valeurs numériques, d opérateurs mathématiques, d adresses de cellules, de noms de champs, d autres formules, de fonctions intégrées ou même, dans certains cas, de texte. Une formule doit toujours débuter par un signe d égalité (=) suivi de l expression explicitant le calcul à faire. Cette expression est constituée d une adresse (exemple : A1) ou d un nombre fixe (exemple : 100). Il est possible d utiliser la valeur inscrite dans une cellule pour effectuer un calcul, mais il est recommandé d utiliser les adresses des valeurs dans les formules, afin que le résultat soit recalculé lors d un changement dans les données de départ. Exercice V : On se propose de calculer la moyenne obtenue par les élèves sur le tableau créé à l exercice précédent. Pour cela, se placer dans la case C11, et entrer la formule :! "#%$&' (*) $ et enfin valider. La moyenne pour la note 1 doit apparaitre. Calculer de même la moyenne pour la note 2, que l on placera dans la case D11. Exercice VI : Remplacer les notes d Aurélien par 8 et 5, et vérifier que la moyenne est automatiquement recalculée. Si jamais Excel ne recalcule pas automatiquement les moyennes, alors il suffit d appuyer sur la touche F9. La fonction de copie Lors de la construction d une feuille de calcul, il arrive assez fréquemment que l on doive utiliser une formule ou des données qui ont déjà été utilisées ailleurs. Excel possède une option qui permet de copier des formules ou des données. Il existe plusieurs façons pour copier une formule ou des données. Avec la barre d outils ou les menus : Sélectionnez le champ de la formule ou des données à copier en cliquant sur ce dernier. Cliquez sur Edition Copier, ou bien sur le bouton copier de la barre d outils. Déplacez le curseur à l endroit où la copie doit se faire. Vous pouvez cliquer sur une cellule ou sur un champ de cellules en utilisant les touches CTRL ou Maj. Cliquez sur Edition Coller, ou bien sur le bouton Coller de la barre d icônes pour reproduire vos données ou votre formule à l endroit sélectionné. Avec la souris (pour une destination adjacente à la cellule qui doit être copiée). Sélectionnez le champ de la formule ou des données à copier en cliquant sur ce dernier. Déplacez votre pointeur sur le coin inférieur droit de la cellule sélectionnée. Remarquez que le curseur change de forme lorsque vous pointez le coin inférieur droit d un champ sélectionné. Cliquez sur le coin inférieur droit de la cellule sélectionnée et maintenez votre doigt enfoncé sur le bouton gauche de votre souris. Déplacez votre curseur pour indiquer à quel endroit vous voulez copier ces données ou cette formule. La cellule qui doit être recopiée de même que les cellules qui vont recevoir la copie sont encadrées de lignes pointillées. Relâchez la souris. On remarquera qu Excel essaye d adapter les références des cellules lors d une copie. Exercice VII : Dans la colonne E3 de notre tableau, rentrons la moyenne des deux notes d Aurélien par la formule : +,-./(0) Copier cette formule dans les cellules E4, E5, E6, E7 E8 et E9. Vérifier la cohérence des résultats. Les fonctions Excel dispose de fonctions permettant d effectuer des calculs plus rapidement. Par exemple, la fonction SOMME( ) permet d additionner le contenu des cellules désignées en argument. Les syntaxes sont les suivantes : =SOMME(A1 ;A3 ;A4) =SOMME(A1 :A4) =SOMME(A1 :A3 ;A7) Additionne les cellules A1, A3 et A4 Aditionne les cellules A1, A2, A3 et A4 Aditionne les cellules A1, A2, A3 et A7 Exercice VIII : On donne le tableau suivant concernant la vente de certains articles : Année scolaire 2000/2001 Page 5/12

6 1. Reproduire et compléter ce tableau. 2. Calculer la somme des prix de tous les articles. 3. Calculer la somme des prix des articles 1, 2, 3, 4, 5 et 10, 11, 12, Calculer la somme des prix des articles de numéro pair. 5. Calculer la somme des prix des articles 1, 11, 12, 13, 14 et 15. Références relatives et absolues Lors de la copie de formules, Excel adapte automatiquement les références des cellules. Pour désigner une cellule fixe, on utilisera son adresse absolue, qui se note $A$11 Lors d une copie, Excel dans ce cas gardera la référence à la cellule située à l intersection de la première ligne et de la première colonne du tableau. Exercice IX : Reproduire et compléter le tableau suivant, en utilisant les fonctions de copie et des références absolues pour désigner les différents taux de tva. Année scolaire 2000/2001 Page 6/12

7 C Statistiques avec Excel C.1 Les fonctions statistiques Excel intègre de très nombreuses fonction statistiques. On retiendra particulièrement : La fonction MOYENNE() Renvoie la moyenne (arithmétique) des arguments. Syntaxe : MOYENNE(nombre1 ;nombre2 ;...) nombre1,nombre2,... représentent les 1 à 30 arguments numériques dont on veut obtenir la moyenne.les cellules vides ne sont pas prises en compte. La fonction MAX() Renvoie le plus grand nombre de la série de valeurs. Syntaxe : MAX(nombre1 ;nombre2 ;...) La fonction MEDIANE() Renvoie la valeur médiane des nombres. La médiane est la valeur qui se trouve au centre d un ensemble de nombres. En d autres termes, les nombres appartenant à la première moitié de l ensemble ont une valeur inférieure à la médiane, tandis que ceux appartenant à l autre moitié ont une valeur supérieure à la médiane. Syntaxe : MEDIANE(nombre1 ;nombre2 ;...) Si l ensemble contient un nombre pair de nombres, la fonction MEDIANE calcule la moyenne des deux nombres du milieu. La fonction MIN() Renvoie le plus petit nombre de la série de valeurs. Syntaxe : MIN(nombre1 ;nombre2 ;...) La fonction MODE() Renvoie la valeur la plus fréquente ou la plus répétitive dans une matrice ou une plage de données. Syntaxe : MODE(nombre1 ;nombre2 ;...) La fonction ECARTYPEP() Calcule l écart-type d une population à partir de la population entière telle que la déterminent les arguments. Syntaxe : ECARTYPEP(nombre1 ;nombre2 ;...) Il ne faut pas confondre la fonction ECARTYPEP avec la fonction ECARTYPE, qui calcule l écart-type d une série de données qui ne représentent qu un échantillon de la population étudiée. La fonction NB() Détermine le nombre de cellules contenant des nombres et les nombres compris dans la liste des arguments. On utilise NB pour obtenir le nombre d entrées numériques d une plage ou d une matrice de nombres. Syntaxe : NB(valeur1 ;valeur2 ;...) valeur1,valeur2,... représentent les 1 à 30 arguments qui peuvent contenir ou référer à différents types de données, mais seuls les nombres sont comptés. Excel dispose d un assistant pour insérer une fonction dans une formule. Pour le lancer, il faut choisir l entrée Insertion Fonction dans les menus, et répondre aux différentes questions posées. Exercice X : On a mesuré le diamètre de 50 noix. Le tableau ci-dessous donne les résultats exprimés en millimètres : Déterminer la valeur maximale et la valeur minimale, le mode et la médiane de cette série. 2. Déterminer la moyenne de cette série. 3. Déterminer l écart-type de cette série. Exercice XI : Lors d un examen, le jury a attribué les notes suivantes : Déterminer la moyenne et l écart-type de cette série. Note Effectif Note Effectif Année scolaire 2000/2001 Page 7/12

8 2 C.2 Les représentations graphiques Excel dispose d un nombre impressionnant de graphiques possibles. Il faudra cependant veiller à utiliser une représentation significative des données. C.2.1 Représentation d une série de données On considère la série de données : Pour représenter cette série de données, on suivra les étapes suivantes : 1. Entrer les données dans Excel sous forme d une colonne. 2. Sélectionner à la souris la série de données à représenter. 3. Choisir dans les menus Insertion Graphique. On peut alors choisir le type de représentation graphique. Dans notre cas, choisissons la catégorie histogramme, et cliquons sur un des sous-types proposés. 4. Cliquer sur le bouton Maintenir appuyé pour visionner afin de voir le graphique au fur et à mesure de sa création. 5. Cliquer sur le bouton Suivant. On obtient un premier aperçu de la représentation graphique. 6. Pour modifier les données, il suffit de cliquer sur l icône représentant un tableau située à droite de la ligne Plage de données...on peut alors sélectionner les données directement dans la feuille de calcul. Il faut ensuite valider en appuyant sur la touche Entrée. 7. Cliquer sur le bouton Suivant. On peut sur cet écran modifier différents paramètres, comme les légendes, le quadrillage, etc Cliquer sur le bouton Fin pour insérer le graphique dans la feuille de calcul. 9. Pour modifier la position du graphique sur la feuille, cliquer sur le graphique qui doit s entourer d un cadre noir, maintenir appuyé le bouton gauche de la souris en cliquant sur le graphique, et déplacer le graphique dans la feuille. On doit obtenir la représentation : C.2.2 Représentation de deux séries de données Il peut être intéressant de juxtaposer les représentations graphiques de deux séries de données, afin de les comparer. Pour cela, il suffit de rentrer les deux séries de données sur deux colonnes, et de sélectionner les deux colonnes simultanément, avant de suivre la procédure précédente. Exercice XII : Représenter sur un même graphique les deux séries : Année scolaire 2000/2001 Page 8/12

9 C.2.3 Représentation d un histogramme Il est possible de prendre en abscisse une des séries et en ordonnée l autre série. Par exemple, considérons la répartition des notes lors d un examen : Note Effectif Note Effectif Rentrer les notes et les effectifs en deux colonnes. 2. Sélectionner les effectifs, puis choisir Menu Insertion Graphique, son type de représentation, cliquer sur Suivant. 3. A l étape 2, il suffit de cliquer sur l onglet Série, puis dans la boîte de dialogue Etiquettes des abscisses x, cliquer sur l icône représentant un tableau en miniature, et choisir la série des notes dans la feuille de calcul. Valider avec la touche Entrée. 4. Cliquer sur Fin et admirer le résultat. D Simulations avec Excel D.1 Les fonctions de simulation Excel intègre de très nombreuses fonction permettant d effectuer des simulations. Parmi celles-ci, on trouve : La fonction ALEA() Renvoie un nombre aléatoire supérieur ou égal à 0 et strictement inférieur à 1. Un nouveau nombre aléatoire est renvoyé chaque fois que la feuille de calcul est modifiée par l introduction d une nouvelle donnée, soit lors de l appui sur la touche F9. Syntaxe : ALEA( ) Remarques : Pour générer un nombre réel aléatoire appartenant à 7 a,b7 utilisez ALEA()*(b-a)+a Si vous voulez utiliser ALEA pour générer un nombre aléatoire qui ne change pas chaque fois que la cellule est recalculée, vous pouvez taper =ALEA() dans la barre de formule, puis appuyer sur F9 pour transformer la formule en nombre aléatoire. La fonction ENT() Arrondit un nombre à l entier immédiatement inférieur. Syntaxe : ENT(nombre) nombre représente le nombre réel que vous souhaitez arrondir au nombre entier immédiatement inférieur. La fonction NB.SI() Compte le nombre de cellules à l intérieur d une plage qui répondent à un critère donné. Syntaxe : NB.SI(plage ;critère) Année scolaire 2000/2001 Page 9/12

10 plage représente la plage de cellules dans laquelle vous voulez compter les cellules. critère représente le critère, exprimé sous forme de nombre, d expression ou de texte, qui détermine les cellules à compter. Par exemple, l argument critère peut être exprimé sous une des formes suivantes : 32, 8 329, 8;: 329 ou 8 pommes9. La fonction FREQUENCE() Calcule la fréquence d apparition des valeurs dans une plage de valeurs, puis renvoie des nombres sous forme de matrice verticale. Dans la mesure où la fonction FREQUENCE renvoie une matrice, elle doit être tapée sous forme de formule matricielle, ce qui signifie concrètement qu il faut appuyer simultanément sur les touches CRTL SHIFT et ENTREE, après avoir sélectionné les cellules qui constitueront la matrice. Syntaxe : FREQUENCE(tableau données ;matrice intervalles) tableau données représente une matrice de valeurs ou une référence à la série de valeurs dont vous souhaitez calculer les fréquences. matrice intervalles représente une matrice d intervalles ou une référence aux intervalles dans lesquels vous voulez regrouper les valeurs de l argument tableau données. La fonction SI() Syntaxe : SI(test logique ;valeur si vrai ;valeur si faux) test logique est toute valeur ou expression dont le résultat peut être VRAI ou FAUX. valeur si vrai est la valeur qui est renvoyée si le test logique est VRAI. Si l argument test logique est VRAI et que l argument valeur si vrai est omis, la fonction renvoie la valeur VRAI. L argument valeur si vrai peut être une autre formule. valeur si faux est la valeur qui est renvoyée si le test logique est FAUX. Si l argument test logique est FAUX et que l argument valeur si faux est omis, la fonction renvoie la valeur FAUX. L argument valeur si faux peut être une autre formule. Exercice XIII : Générer un nombre réel aléatoire entre 0 et 1, puis à l aide de la fonction copie générer un tableau de 100 nombres aléatoires ( de dimension 10 sur 10 ). Exercice XIV : A l aide des fonctions ENT() et ALEA(), générer 10 entiers compris entre 1 et 6. On fera attention à bien obtenir les bornes 1 et 6. Exercice XV : Générer 500 entiers égaux à 0 ou à 1. D.2 Exemples de simulations D.2.1 Simulation d un lancé de dé On se propose de simuler 50 lancés de dé à six faces, et de compter le nombre de fois où chaque face sort. 1. Ouvrir une nouvelle feuille de calcul Excel, et générer 50 entiers compris entre 1 et 6, sur un tableau de 10 lignes sur 5 colonnes, allant de la cellule A1 à la cellule E Rentrer en G1 le nombre 1, en G2 le nombre 2, en G3 le nombre 3, en G4 le nombre 4, en G5 le nombre 5, et en G6 le nombre Sélectionner la zone H1 à H6. 4. Dans la barre de formule, taper : =FREQUENCE(A1 :E10 ;G1 :G6) et valider en appuyant simultanément sur les touches CRTL, SHIFT et ENTREE. 5. Faire la somme des nombres contenus dans les cellules H1 à H6, et vérifier que l on obtient bien Effectuer une représentation sous forme d histogramme, en prenant en abscisse la valeur du dé, et en ordonnée l effectif correspondant. 7. Appuyer sur F9 pour effectuer une nouvelle simulation. 8. Reprenons l exercice précédent en utilisant cette fois la fonction NB.SI() (a) Se placer dans la cellule H1, et entrer la formule : =NB.SI($A$1 :$E$10 ;G1) On utilise des références absolues pour la désignation des numéros des dés, car sinon lors de la copie automatique cette plage de valeurs sera adaptée. (b) Recopier cette formule vers le bas, pour obtenir les effectifs correspondant aux autres valeurs des numéros du dé. Remarque : il est souvent plus facile d utiliser l assistant des fonctions pour insérer une fonction. De plus, pour insérer une plage de cellules, on peut directement sélectionner cette plage à la souris, ce qui écrit automatiquement leur adresse relative dans la zone de saisie. Année scolaire 2000/2001 Page 10/12

11 D.2.2 Simulation de pile ou face Exercice XVI : Dans cet exercice, on se propose de simuler le lancer d une pièce bien équilibrée. Pour cela, on associe pile à 0 et face à Générer 500 nombres entiers égaux à 0 ou à Dénombrer le nombre de piles et le nombre de faces. 3. En déduire les fréquences de l évènement pile et de l évènement face. 4. Comparer avec le résultat fourni par un calcul de probabilités. 5. Refaire cette simulation avec 1000 nombres et comparer avec les résultats précédemment obtenus. D.2.3 Simulation d un lancé de deux dés On reprend la simulation précédente, en remplissant deux colonnes. On peut ensuite introduire la somme des points inscrits sur les faces supérieures ou bien chercher la fréquence d apparition d un double. Exercice XVII : On s intéresse dans cet exercice à la somme des points inscrits sur les faces supérieures lors d un lancé de deux dés. 1. Simuler 100 lancés de deux dés en disposant les résultats pour le premier dé dans une colonne, et les résultats pour le deuxième dé dans une deuxième colonne. 2. Effectuer dans une troisième colonne la somme des points obtenus sur chaque dé. 3. Faire calculer la fréquence d apparition des sommes 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 et Construire un histogramme et le commenter. Exercice XVIII : On s intéresse dans cet exercice à la fréquence d appartion d un double lors d un lancé de deux dés. 1. Simuler 100 lancés de deux dés en disposant les résultats sur deux colonnes, de la cellule A1 à la cellule B Nous allons maintenant repérer les lancés correspondant à un double. Pour cela, rentrer la formule suivante en C1 : =SI(A1=B1 ; D ; S ) Cette formule écrit un D dans la cellule C1 si le lancé correspond à un double, et écrit un S dans le cas contraire. 3. A l aide de la fonction NB.SI(), compter le nombre de D inscrit dans la plage de cellules C1 à C A l aide de la touche F9, recommencer la simulation et observer les résultats. D.2.4 Simulation d un tirage de cartes On associe à toute carte d un jeu de 32 un nombre compris entre 1 et 8 selon la correspondance : Carte Nombre associé Carte Nombre associé As Roi Dame Valet Exercice XIX : Simuler 100 tirages avec remise de quatre cartes choisies parmi un jeu qui en contient 32. Déterminer sur cet échantillon la fréquence d apparition du carré d as. On pourra déterminer le nombre d as sortis avec la formule : =NB.SI(plage ; =1 ) qui compte le nombre de cellules contenant la valeur 1 dans la plage désignée. D.2.5 Tirage dans une urne On considère une urne qui contient 8 boules numérotées de 1 à 8. On veut simuler le tirage de 2 boules avec remise. Il suffit dans ce cas de générer deux colonnes de nombres entiers compris entre 1 et 8. Exercice XX : Générer 100 tirages de deux boules dans une urne qui en contient 8, numérotées de 1 à 8, de manière aléatoire et avec remise. Déterminer la fréquence de l évènement les deux boules portent un numéro distinct. Année scolaire 2000/2001 Page 11/12

12 D.3 Fluctuation d échantillonnage Il s agit de mettre en évidence cette notion sur des exemples simples. On peut par exemple comparer les moyennes de plusieurs échantillons obtenus à partir d une même population. Exercice XXI : Générer une population de 1000 nombres réels appartenant à 7 de 10 colonnes sur 100 lignes. 1. Calculer la moyenne de la population. 2. Calculer les moyennes de chaque échantillon représenté par une colonne. 3. Comparer graphiquement les moyennes des échantillons à celui de la moyenne de la population. 7 en utisant la fonction ALEA(), dans un tableau E Exercices Exercice XXII : Le lièvre et la tortue Une partie du jeu du lièvre et de la tortue se déroule ainsi : On lance un dé. Si le dé tombe sur 1, 2, 3, 4 ou 5, la tortue avance d une case. Elle a 5 cases à franchir avant d atteindre l arrivée qui est située sur la sixièmecase. Si le dé tombe sur 6, le lièvre atteint directement l arrivée. La partie est terminée et le lièvre a gagné. La partie continue jusqu à ce qu il y ait un gagnant. On veut savoir quelle est la situation la plus enviable : celle du lièvre ou celle de la tortue. 1. Effectuer une simulation avec 10 parties. 2. Effectuer une simulation avec 1000 parties. 3. Comparer avec la valeur théorique de la probabilité que le lièvre gagne, qui est de 4. Quelle est la durée moyenne d une partie? =<?> 5. Refaire une simulation en prenant 5 cases pour le parcours, sachant que le premier arrivé sur la cinquième case est gagnant. Cette hypothèse modifie-t-elle le jeu? Indication : On pourra utiliser plusieurs conditions SI imbriquées. Exercice XXIII : Marche aléatoire Un pion situé en 0 est déplacé aléatoirement en lançant cinq fois de suite une pièce de monnaie : Résultat pile : le pion se déplace d un pas vers l Est. Résultat face : le pion se déplace d un pas vers le Nord. Les issues de cette expérience aléatoire sont les points où peuvent s achever les déplacements du pion. Réaliser une simulation de cette marche avec Excel. Indication : Soit C le nombre de déplacements, et D le nombre de piles obtenus. Il suffit de remarquer que le pion se trouve alors au point de coordonnées DE < D ( 1 #A@B Pour tout complément d information, vous pouvez m écrire à l adresse : michel.gosse@ac-poitiers.fr Année scolaire 2000/2001 Page 12/12