Expérimenter et manipuler pour apprendre en mathématiques

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1 Les mathématiques sont d abord une science qui nous apprend des choses sur le monde. Expérimenter dans le monde, c est traduire le réel par des signes. Traiter ces signes, c est faire des mathématiques. Expérimenter et manipuler pour apprendre en mathématiques Thierry DIAS, HEP Lausanne thierry.dias@hepl.ch 1

2 Expérimenter en mathématiques? 1. Pourquoi L individu entre en contact avec le monde par une activité globale, d abord confuse, puis progressivement organisée et structurée. Ovide Decroly «La fonction du milieu n'est pas de former l'enfant mais de lui permettre de se révéler.» Maria Montessori 2

3 «Il faut insister sur l'aspect ludique de la mathématique, montrer que c'est un objet en évolution permanente et étroitement lié avec le monde qui nous entoure ; les mathématiques sont partout : ordinateurs, GPS, téléphones, vol de la chauve-souris, répartition des tâches du pelage d'un léopard» Cédric Villani Préambule quelques maximes personnelles : enseigner apprendre Tous les élèves ont un potentiel pour apprendre en mathématiques. Faire des mathématiques c'est aussi agir, discuter, penser. Les mathématiques sont une science expérimentale. Il est souvent plus difficile d'enseigner les mathématiques que de les apprendre. 3

4 Expérimenter nécessite : observation des idées, des questions, des objets, des instruments, et des connaissances! manipulation question réflexion alors pourquoi pas en mathématiques? De la croix au carré? Découper cette croix en 5 parties. Assembler ces 5 morceaux sans les chevaucher et sans laisser de trous pour former un carré. ce carré Indice aura la même aire mathématique la croix!? des idées, des questions, des objets, des instruments, et des connaissances! 4

5 un brin d'histoire, Instructions Officielles, France, janvier 1957 "N'est-il pas indispensable de faire bien saisir à l'enfant, puis à l'adolescent, les liens étroits qui unissent les mathématiques au monde sensible. N'est-ce pas là un moyen pour mettre en confiance le débutant, pour éviter qu'il ne se sente très vite rebuté par une étude où il pourrait ne voir qu'une sorte de jonglerie, souvent purement verbale et sans signification apparente.» L'enseignement des mathématiques et l éducation scientifique 53 ans plus tard... Déclin du nombre d étudiants pour les études scientifiques (hors secteur santé) Stabilisation des acquis des élèves en culture scientifique à un niveau moyen (PISA 2009) 5

6 Mathématiques PISA mesure la capacité des élèves d'analyser, de raisonner et de communiquer des idées de façon efficace en sachant poser, formuler et résoudre des problèmes mathématiques dans une grande diversité de contextes. La définition élaborée par PISA et l'ocde pour ce domaine est la suivante: "La culture mathématique est l'aptitude d'un individu à identifier et à comprendre le rôle joué par les mathématiques dans le monde, à porter des jugements fondés à leur propos, et à s'engager dans des activités mathématiques, en fonction des exigences de sa vie en tant que citoyen constructif, impliqué et réfléchi." 6

7 Des représentations bien différentes pour les mêmes données numériques! Bon alors que faut-il faire?? Des mathématiques créatives, re-créatives, différenciées, adaptées, 7

8 apprendre en mathématiques construire une culture scientifique des connaissances des attitudes des capacités référence : socle commun construire des capacités des méthodes, des techniques savoirs faire une culture scientifique à l'école savoirs être savoirs acquérir des connaissances développer des attitudes raisonnement, recherche pensée critique des concepts, des objets, des relations 8

9 construire des connaissances à l école primaire, on ne vise pas l'acquisition de connaissances formelles, mais principalement des connaissances fonctionnelles utiles pour résoudre des problèmes construire des connaissances savoirs faire savoirs Olfa veut creuser un bassin dans son jardin. Elle a fait quatre dessins différents parmi lesquels elle doit maintenant choisir celui qui a la plus petite aire. Quel est le bassin qui a la plus petite aire? 9

10 Expérimenter, manipuler 2. COMMENT Expérimenter c'est : agir expliquer convaincre dire prouver 10

11 Expérimenter et/ou Manipuler? une dialectique plus qu une opposition activités faire manipuler: déplacer, manier, toucher, palper, actionner, utiliser expérimenter: contrôler, essayer, tester, vérifier, éprouver situations d apprentissages raisonner Expérimenter / Manipuler selon une intention action grâce à une organisation but en appui sur un raisonnement 11

12 Un raisonnement de type expérimental Démarche qui comprend plusieurs étapes : l'observation de faits, le recueil d'informations, le questionnement, la mise en place d'investigations, l'élaboration d'hypothèses, la déduction de conséquences à partir des hypothèses, la confrontation des prévisions déduites des hypothèses avec les faits observés (vérification) Une élaboration didactique possible pour faire la part belle à l'expérimentation : La théorie des situations didactiques. Guy BROUSSEAU laboratoire DAEST, Bordeaux médaille Felix Klein,

13 agir ACTION dire expériences et manipulations prouver FORMULATION mettre en mots décrire VALIDATION argumenter prouver retenir INSTITUTIONALISATION stabilisation du savoir Expérimenter, manipuler 3. OÙ, QUAND, avec QUOI 13

14 Expérimenter, manipuler quelques idées reçues à "combattre" ça prend beaucoup de temps ça demande beaucoup de matériel ça ne profite qu'à peu d'élèves Expérimenter, manipuler?? ça prend beaucoup de temps? Dessiner rapidement un carré. Partager le en 4 carrés juxtaposés? Est-ce possible en 6? Et en 7? 14

15 Expérimenter, manipuler?? Liste possible : ça demande beaucoup de matériel? matériel à manipuler : jetons, cartes, pions, cubes, buchettes, planche de bois + clous + élastiques, les jeux de la classe, Tangrams, matériel fabriqué sur demande des élèves supports : calques, feuilles A4, A3, quadrillages, feuilles cartonnées, brouillon, calendrier, grands tableaux, schémas (ou ébauches de schémas), agrandissements outils : feutres, surligneurs, ciseaux, règles, crayons, colle instruments : instruments pour tracer, pour mesurer, calculatrices, tables de multiplication, ordinateur Expérimenter, manipuler?? ça ne profite qu'à peu d'élèves? "Les bons n'en ont pas besoin." "Les faibles n'arrivent plus à s'en passer." La mise en actes et en mots des connaissances est un facteur important de leur appropriation et de leur consolidation. Compter avec ses doigts ou ne pas compter du tout that is the question L'abstraction est un processus au long terme. 15

16 Quelques situations mobilisant l expérimentation en mathématiques compétence/connaissance situation problème tâche pour chaque situation, le mieux serait de 1. faire une analyse didactique - compétences visées (lien avec les programmes) - variables d'adaptation et de différenciation (car tout le monde n'apprend pas à la même vitesse ) 2. prévoir les dispositifs pédagogiques de travail - travail individuel - binômes - groupes 3. programmer les activités - nombre de séance - lien avec les autres apprentissages 4. prévoir le matériel nécessaire : la trousse du laboratoire de mathématiques 16

17 expérimenter dans l'espace et le plan le plus court chemin en touchant le mur? arrivée départ 17

18 En déplaçant toutes les pièces de ce puzzle, peut-on trouver une autre façon de les agencer dans un carré de même dimension? Le tapis magique 20 verts 15 blancs Est-il possible de créer un tapis avec autant de carrés verts sur le bord que de carrés blancs à l intérieur? 18

19 Une histoire de cube tronqué des cyber-expériences avec un logiciel de géométrie dynamique 19

20 expérimenter sur (et avec) les nombres de l activité/jeu à la résolution de problème nécessitant une phase expérimentale : faire beaucoup avec peu! Qui prendra le 20 ème jeton? Jeu à deux : chacun à son tour prend 1 ou 2 jetons. Le joueur qui prend le n 20 gagne la partie. 20

21 Placer les six nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 dans les cases pour que la somme des trois nombres soit égale à 10 sur chacun des côtés du triangle En ajoutant trois jetons à vos six précédents, pouvez-vous construire un carré magique? a + b a b - c a + c a b + c a a + b - c a - c a + b + c a - b 21

22 FUBUKI facile utilise les jetons pour compléter les additions : FUBUKI plus difficile utilise les jetons pour compléter les additions : 22

23 La mathématique du chat, Geluck des expériences pour apprendre à raisonner Deux ronds sont jaunes. Il y a une forme verte en haut. Il y a un carré. Il y a une forme rouge en bas. 23

24 - Les deux ronds sont bleus. - Le triangle est vert. - I l y a une forme rouge à gauche d'une forme bleue. Apprendre à poser des problèmes. 24

25 Simon le dompteur fait marcher ses sept oiseaux bien en rang les uns derrières les autres. Range les animaux dans l ordre en lisant attentivement les renseignements : Niveau 1 Le coq n'a personne derrière lui. L'oie n'a personne devant elle. Le canard est entre le cygne et le hibou. Le cygne n'est pas devant le hibou. 25

26 Niveau 2 Le cygne suit le canard. Le coq suit le cygne. La cigogne est juste devant le canard. Le coq est avant dernier. L'oie n'est pas première. Niveau 3 Le hibou n'est pas derrière le cygne. L'autruche est suivie par 4 oiseaux. L'oie est juste devant le coq. Le canard n'a personne devant lui. 26

27 Apprendre à poser des problèmes et les programmes dans tout ça??? rien de contradictoire, bien au contraire ;o) 27

28 extraits des programmes 2008 L apprentissage des mathématiques développe l imagination, la rigueur et la précision ainsi que le goût du raisonnement. La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s exerce à tous les stades des apprentissages. CONCLUSION 3 atouts pour mieux apprendre 28

29 3 atouts pour mieux apprendre des situations d'apprentissage avec : du matériel pour agir, des questions à expérimenter, des situations qui ont du sens. connaissances en actes 3 atouts pour mieux apprendre de la place pour les activités langagières : mettre en mots, décrire, faire des hypothèses, confronter des idées anticiper les faits. connaissances en mots 29

30 3 atouts pour mieux apprendre s'entraîner pour : "roder son moteur" (faire et refaire) travailler à son rythme, à son niveau de compétence se dépasser, défier utilisation des connaissances "Continuez à faire pétiller les cerveaux à travers les mathématiques, à susciter les intelligences des êtres et des choses en donnant aux élèves le goût de savoir et d apprendre." merci de votre attention 30

31 Thierry DIAS, HEP Lausanne 31

32 Aire de la croix? 1 5 unités

33 5 unités d'aire Existe-t-il un carré dont la surface est 5? Quelle est la valeur de son côté? Comment trouver la longueur 5 dans la croix?

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