Probabilite s-statistiques avec la ClassPad

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1 Probabilite s-statistiques avec la ClassPad Ou comment ne pas trop se fatiguer au BAC Présentation des fonctionnalités des calculatrices ClassPad 300 et 330 dans la résolution des questions relatives aux lois de probabilités ainsi qu aux problèmes d échantillonnage 20/11/2012

2 Probabilite s-statistiques avec la ClassPad 300 Si les menus contextuels sont indisponibles, il faut utiliser les instructions en ligne de commande. Deux possibilités : 1. Dans le menu «programme» On donne un nom au programme (autre que réservé) exp : LoiNorm On écrit l instruction de la commande suivie des valeurs des paramètres, on exécute puis on écrit l instruction «DispStat», sans quoi le résultat ne sera pas affiché On sauvegarde On va sur l écran pour exécuter On exécute Si l on souhaite faire un autre calcul, il suffit de retourner au menu programme puis d éditer le programme et d effectuer les modifications des paramètres. 2. Dans le menu principal On inscrit la commande souhaitée suivie d un espace et des paramètres correspondants séparés par une virgule, par exemple : normcd -15, 0, 1, 0 La syntaxe : normcd( -15, 0, 1, 0) ne marche pas, le caractère «(» étant considéré comme un argument.

3 Soit «exécute», puis on termine par l instruction «DispStat». Soit on ouvre la rubrique «calc» du menu «statistiques», puis on choisit «AffStat». Sans «DispStat», Le résultat est stocké dans la variable aucun résultat retourné «prob» accessible par le menu «stat» Syntaxe-error! ça marche! Syntaxe-error! ça marche! Question : Comment expliquez-vous ceci?

4 3. Commandes pour une loi binomiale «BinomialPD» pour calculer P(X = k) «BinomialCD» pour calculer P(X k)

5 4. Commandes pour une loi normale «NormCD» pour calculer P(X b), P(a X), P(a X b). «InvNormCD» Pour calculer u tel que p(x u) = α, p(u X)=α, p(u 1 X u 2 )=α μ étant au centre de l intervalle [u 1, u 2 ]

6 5. Détermination d intervalle de confiance au niveau de confiance 1 α Détermination d intervalle de fluctuation au seuil 1 α La ClassPad détermine les bornes de l intervalle x n u α comme intervalle de confiance ou de fluctuation. x n 1 x n ; x n + u α x n 1 x n p(1 p) p(1 p) Cela correspond à l intervalle p u α ; p + u α de fluctuation asymptotique au seuil 1 α d une proportion connue p de la population mère, dans un échantillon quelconque de taille n avec n 30, n p 5 et n (1 p) 5. Si la fréquence observée f obs appartient à cet intervalle, l échantillon sera dit représentatif de la population mère. f (1 f) f (1 f) Cela correspond à l intervalle f 1.96 ; f de confiance au niveau de confiance de 0.95 % (α = 0.95) d une proportion inconnue p de la population mère, f étant la fréquence obtenue dans l échantillon considéré. Sur un grand nombre d échantillons, on peut affirmer qu il y en aura au moins 95% qui contiendront la proportion p de la population mère, cette proportion demeurant inconnue. Attention : la ClassPad utilise des effectifs et non des proportions! o Dans le cas d un intervalle de fluctuation, si la fréquence connue de la population mère est p, pour un échantillon de taille n il faudra saisir «x = p n» o Dans le cas d un intervalle de confiance, si la fréquence obtenue dans un échantillon de taille n est f obs il faudra saisir «x = f obs n»

7 Loi Normale Terminales S et ES ClassPad 330 Loi normale : détermination de P( a X b), P(X b) et P( a X). Menu Statistiques dans l écran de démarrage. Menu Calc puis Répartition Menu DC normale En utilisant la touche «Resize» on peut ne garder que la fenêtre inférieure. On entre les valeurs : Inférieur exemple -0.5 Supérieur exemple 0.5 σ l écart type, exemple par défaut 1 μ l espérance, exemple par défaut 0 On obtient le résultat dans le cadre prob Ce qui se lit : p( -0.5 X 0.5)= On peut faire afficher la représentation géométrique du résultat à l aide de cette touche Dans le cas où il n y a qu une seule borne, on peut renseigner l autre par -100 ou 100 par exemple On obtient dans notre exemple p(x 0)=0.5 On peut saisir un nouvel exemple en revenant en arrière à l aide de la touche << Préc. Mêmes manipulations dans le cadre d une loi normale quelconque, dans notre exemple σ = 2 et μ = 1 Le menu Répartition propose également la fonctionnalité DP normale, qui correspond aux valeurs prises par la fonction de densité de la loi normale considérée. Il ne faut pas confondre les deux instructions.

8 Loi Normale Terminales S et ES ClassPad 330 Détermination de u tel que p(x u) = α, p( X u) = α, et p(u X v) = α u et v symétriques par rapport à μ, α réel entre 0 et 1 Menu Statistiques dans l écran de démarrage. Menu Calc puis Répart. Inverse Menu Normale cum. inverse En utilisant la touche «Resize» on peut ne garder que la fenêtre inférieure. Pour un intervalle centré on choisit dans le menu «Spéc. Borne» l item Centre On entre la valeur : Prob exemple 0.95 σ l écart type, exemple par défaut 1 μ l espérance, exemple par défaut 0 On obtient le résultat dans les cadres x 1 InvN x 2 InvN Ce qui se lit : p( X )=0.95 On peut également faire afficher la représentation graphique correspondante. Si l on souhaite déterminer u tel que p(x u) = α, On choisit Gauche Dans le menu déroulant, et Droit si l on souhaite déterminer u tel que p(u X) = α. On obtient le résultat dans le cadre x 1 InvN Ce qui se lit p(x ) = 0.05 p(x ) = 0.05 On peut saisir un nouvel exemple en revenant en arrière à l aide de la touche << Préc. Mêmes manipulations dans le cadre d une loi normale quelconque.

9 Loi binomiale Terminales S et ES ClassPad 330 Détermination de p(x= k), p( X a), p(x b) et p(a X b). Où k, a et b sont des entiers naturels Menu Statistiques dans l écran de démarrage. Menu Calc puis Répartition Menu DP binomial En utilisant la touche «Aide» on peut faire afficher un descriptif des cases qu il faut remplir, Les indications changent selon la position du curseur. On entre les valeurs : x nombre de succès attendu (k) exemple 5 Nb Essais nombre d essais (n), exemple 10 pos probabilité du succès (p), exemple 0.2 On obtient le résultat dans le cadre prob Ce qui se lit : p(x = 5)= On peut également faire afficher la représentation graphique sous forme d histogramme. Si l on souhaite déterminer les probabilités du type p( X a) On choisit DC Binomiale On entre les valeurs : Inférieur nombre de succès minimum exemple 310 Supérieur nombre de succès maximum exemple 400 Nb Essais nombre d essais (n), exemple 400 pos probabilité du succè (p), exemple 2/3 On obtient le résultat dans le cadre prob E-6 Ce qui se lit : p(x 310)= Même méthode pour les probabilités p(a X b), ainsi que p(x b)

10 Loi binomiale Terminales S et ES ClassPad 330 Détermination du plus petit entier n 0 tel que p(x n 0 ) α où α est un réel compris entre 0 et 1 Menu Statistiques dans l écran de démarrage. Menu Calc puis Répart. Inverse Menu Binomiale cum. inverse En utilisant la touche «Aide» on peut faire afficher un descriptif des cases qu il faut remplir, Les indications changent selon la position du curseur. On entre les valeurs : prob probabilité souhaitée (α) exemple 0.95 Nb Essais nombre d essais (n), exemple 25 pos probabilité du succè (p), exemple 0.5 On obtient le résultat dans le cadre xinv 17 Ce qui se lit : Si n 17 alors p(x n) 0.95 n 0 devant être un entier naturel (ici 17) la machine est amenée à procéder à certains arrondis. La ClassPad retournera alors également le résultat obtenu en utilisant la probabilité inférieure la plus proche du chiffre le moins significatif. Le résultat de ce calcul n est indiqué que s il est différent du calcul original. Dans notre exemple, la ClassPad retourne n=16, pour une probabilité α au moins égale à Vérification de ces deux calculs : On obtient P(X 16)=0.946 et P(X 17)=0.978 Ce qui explique les deux valeurs retournées par la calculatrice.

11 Intervalles de Confiance pour la Loi normale Terminales S et ES ClassPad 330 Détermination d un intervalle de fluctuation asymptotique d une proportion p au seuil 1 α, où α est un réel compris entre 0 et 1 Détermination d un intervalle de confiance d une proportion p au niveau de confiance 95% Remarques : La ClassPad utilise l intervalle x n u α x n 1 x n ; x n + u α x n 1 x n comme intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 1 α, x étant l effectif de la population totale ; et également comme intervalle de confiance au niveau de confiance 1 α, x étant l effectif de l échantillon. Menu Statistiques dans l écran de démarrage. Menu Calc puis Intervalle Menu Zint à 1 prop On entre les valeurs : Confiance niveau souhaitée (1 α) exemple 0.95 x effectif du caractère observé exemple 500 n effectif total (population ou l échantillon) exemple 1000 On obtient le résultat dans les cadres Inférieur borne inférieure de l intervalle Supérieur borne supérieure de l intervalle p estimation ponctuelle de la proportion (H.P de TS-TES) On remarquera qu il faut toujours rentrer un effectif observé et non une proportion. Dans le cas de la détermination d un intervalle de confiance, le programme considère uniquement le cas 1 α = 0.95, et utilise l intervalle simplifié de bornes x 1 et x + 1, avec n n les notations de la ClassPad. Sur notre exemple, nous obtenons pour cet intervalle, les bornes : borne inférieure de l intervalle borne supérieure de l intervalle On constate que ce second intervalle contient le premier.