IMAGE ET FILTRES. APP2 : Compresser une image sans dégrader sa qualité visuelle.

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1 IMAGE ET FILTRES APP2 : Compresser une image sans dégrader sa qualité visuelle. La compression de données est l'opération informatique consistant à transformer une suite de bits A en une suite de bits B plus courte pouvant restituer les mêmes informations en utilisant un algorithme particulier. Un algorithme de compression sans perte restitue après les opérations successives de compression et de décompression une suite de bits strictement identique à l'originale. Avec un algorithme de compression avec perte, la suite de bits obtenue après les opérations de compression et de décompression est différente de l'originale, mais l'information restituée est en revanche voisine. 1

2 SOMMAIRE I. Le taux de compression : caractéristique de compression d un fichier II. Des outils statistiques pour réduire l espace de stockage d une image III. Le codage de Huffman : un algorithme de compression sans perte IV. Les contenus fréquentiels d une image V. Le codage par transformation à l aide de la DCT VI. Réduction d information avec paramètre de réglage VII. Compression avec perte : le JPEG En conclusion

3 I. Le taux de compression : caractéristique de compression d un fichier. Afin d évaluer les performances d un type de compression, on définit une caractéristique : le taux de compression. Le taux de compression τ est relié au rapport entre la taille b du fichier comprimé B et la taille a du fichier initial A. Il est généralement exprimé en pourcentage. τ = 1 b a Un taux de 50 % signifie que la taille b du fichier comprimé B est la moitié de a. Nous allons à présent travailler sur les trois images suivantes : Figure 1 : boats.png Figure 2: camera.png Figure 3: Lenna.png 3

4 II. Des outils statistiques pour réduire l espace de stockage d une image. 1. L entropie : L'entropie de Shannon est une fonction mathématique qui correspond à la quantité d'information contenue ou délivrée par une source d'information. Du point de vue d'un récepteur, plus la source émet d'informations différentes, plus l'entropie est grande. L entropie représente quantitativement l'incertitude qui règne sur l'information émanant de la source. Elle indique alors la quantité d'information nécessaire pour que le récepteur puisse déterminer sans ambiguïté ce que la source a transmis. Pour une source, qui est une variable aléatoire discrète X comportant n symboles, chaque symbole xi ayant une probabilité Pi d'apparaître, l'entropie H de la source X est définie en base 2 comme : H 2 (X) = E[log 2 (P(X = x i ))] = P i. log 2 (P i ) Où E est l espérance mathématique. L unité de l entropie est le bit/symbole où les symboles représentent les réalisations possibles de la variable aléatoire X. On peut donc interpréter H(X) comme la quantité d'information en bits que la source doit fournir au récepteur pour que ce dernier puisse déterminer sans ambiguïté la valeur de X. n i=1 2. L histogramme : Un histogramme est un graphique statistique permettant de représenter la distribution des intensités des pixels d'une image, c'est-à-dire le nombre de pixels pour chaque intensité lumineuse. Par convention un histogramme représente le niveau d'intensité en abscisse en allant du plus foncé (à gauche) au plus clair (à droite). Ainsi, l'histogramme d'une image en 256 niveaux de gris sera représenté par un graphique possédant 256 valeurs en abscisses, et le nombre de pixels de l'image en ordonnées. Prenons par exemple l'image suivante composée de niveaux de gris : L'histogramme et la palette associés à cette image sont respectivement les suivants : 4

5 On représente ici les histogrammes des trois images précédentes : Figure 1: histogramme de Lenna.png Figure 2: histogramme de boats.png Figure 3: histogramme de camera.png 5

6 III. Le codage de Huffman : un algorithme de compression sans perte. 1. L idée générale : L'idée du codage de Huffman c est de coder ce qui est fréquent sur peu de place, et coder en revanche sur des séquences plus longues ce qui revient rarement (entropie). On construit l arbre de codage de bas en haut selon les probabilités. Il s agit d un codage pratiquement optimal. Le défaut du codage Huffman est qu'il doit connaître la fréquence des caractères utilisés dans un fichier avant de choisir les codes optimaux. Et il doit donc lire tout le fichier avant de comprimer. Une autre conséquence est que pour décomprimer il faut connaître les codes et donc la table, qui est ajoutée devant le fichier, aussi bien pour transmettre que stocker, ce qui diminue la compression, surtout pour les petits fichiers. Ce problème est éliminé par le codage Huffman adaptatif, qui modifie sa table au fil des choses. Et peut donc démarrer avec une table de base. 2. Le principe de l'algorithme : Création d'un arbre A chaque symbole de la source, on associe sa fréquence. Chaque symbole de fréquence non nulle représente un arbre binaire à un élément. Classer chaque arbre binaire par valeur croissante de racine. Enlever de la liste les 2 arbres binaires de plus faible racine. Rattacher ces 2 arbres à une nouvelle racine qui vaut la somme des racines des 2 arbres précédents. Recommencer jusqu'à ce qu'il ne reste plus qu'un arbre binaire unique. Pour connaître le code de Huffman associé à chaque caractère du code source, il suffit de descre l'arbre, en partant de la racine pour rejoindre le caractère voulu. A chaque embranchement, on compte «0» si on est passé à gauche et «1» si on est passé à droite. IV. Les contenus fréquentiels d une image. On peut analyser une image par son aspect fréquentiel grâce à des outils mathématiques comme la transformée de Fourier. On constate alors par exemple sur le plan de Fourier que les basses fréquences sont au centre et les hautes fréquences autours et dans les coins. Une des solutions pour réduire la taille d une image est d échantillonner par zone afin de supprimer les composantes à plus faible énergie. En général on supprimer les hautes fréquences car elles correspondent aux détails de l image. Ce type de méthode est appelé codage par transformation. 6

7 V. Le codage par transformation à l aide de la DCT. 1. L idée générale : La transformée en cosinus discrète ou DCT est une transformation proche de la transformée de Fourier discrète (DFT). La DCT possède une propriété de «regroupement» de l'énergie : l'information est essentiellement portée par les coefficients basses fréquences. Le gain en termes de compression vient de la suppression des coefficients nuls ou proches de zéro. Ce genre de mécanisme est utilisé dans les standards JPEG et MPEG, qui utilisent une DCT 2D sur des blocs de pixels de taille 8x8 pour des raisons de complexité. En effet les traitements sont rapides et restent relativement discrets tant que la compression n est pas trop sévère. 2. L expression mathématique : F(u, v) = 2 N c(u)c(v) i=0 (2i + 1)uπ (2i + 1)vπ I(i, j) cos ( ) cos ( ) 2N 2N j=0 i=0 P iu = 2 + 1)uπ c(u) cos ((2i ) 2 + 1)vπ c(v) cos ((2i ). I(i, j) N 2N N 2N j=0 I(i,j).P jv = P iu I(i, j). P jv i=0 = P t. I. P avec P ij = 2 N j=0 + 1)jπ c(j) cos ((2i ) 2N Et donc pour la DCT 1 : I = P. F. P t 3. Le codage : function [F]=DCT(I, opt) N=max(size(I)); //dimension de la matrice P=zeros(N,N); for i=1:n for j=1:n if j==1 then P(i,j)=1/sqrt(N); else P(i,j)=sqrt(2/N)*cos((2*(i-1)+1)*(j-1)*%pi/(2*N)); if opt==1 then F=P'*I*P; else F=P*I*P'; function 7

8 VI. Réduction d information avec paramètre de réglage. 1. L idée générale : A présent on connaît la DCT qui adapte le spectre de l image afin de faire apparaître des coefficients proche de 0. Il nous suffit donc de créer une fonction qui prra un paramètre de réglage et qui considèrera à travers toute la matrice de la DCT les valeurs inférieures en valeur absolue à ce paramètre comme des 0. Cette technique est appelée seuillage. Pour finir il nous restera à faire une DCT inverse et on aura notre image de taille réduite. 2. Le code : function [Fs, cmp]=seuillage(dct, zero) N=max(size(dct)); cmp=0; Fs=(abs(dct)>=zero).*dct; for i=1:n for j=1:n if Fs(i,j)==0 then cmp=cmp+1; function De plus cette fonction renvoie le nombre de 0 qu elle aura considérés pour pouvoir analyser l efficacité de cette technique. On constate que pour lenna.png on a le résultat suivant pour un paramètre de 100: Avec un nombre de zéros considérés de : sur

9 On regarde maintenant le codage de Huffman de l image de départ: im1 = imread('lena.png'); H1=imhist(im1); [SB,h,L,QM,entr]=huffman(H1); i=1; somme=0; codemoyen=0; while i<length(sb) somme=somme+h1(sb(i))*l(i); i=i+1; i=1; while i<length(sb) codemoyen=codemoyen+h(1,i)*l(i); i=i+1; ent=0; N=sum(H1); i=1; while i<length(h1) if H1(i)~=0 then ent=ent-h1(i)/n*log(h1(i)/n)/log(2); i=i+1; printf("lena.png\nil faut %d bits pour coder l image.\nla taille de l image d origine est %d la compression est de %d p/c \nle gain est de %f,\n Lentropie est de : %f \n Le code moyen est de %f",somme,(512*512*8),((somme/(512*512*8))*100),1-(somme/(512*512*8)),ent,codemoyen) L image modifiée à bits contre bits pour l image d origine. On trouve donc τ = 93% On retrouve aussi l entropie: 7,44 bits/symbole. On voit bien dans notre codage de Huffman qu au minimum le code est composé de 7 bits et devient de plus en plus lourd en fonction des symboles. Et le nombre de bit moyen : 7,46. 9

10 VII. Compression avec perte : le JPEG. On a précédemment élaboré une méthode de compression avec perte : le seuillage. On va maintenant s intéresser à la compression JPEG. Le processus de compression et de décompression JPEG irréversible comporte six étapes principales représentées ci-dessous : On constate que la grande différence avec les techniques précédentes réside dans la quantification. En effet la caractéristique du JPEG est que cette méthode de compression utilise une matrice de quantification donc la précision de l image dép d un coefficient multiplicatif. La quantification est l étape de l'algorithme de compression JPEG au cours de laquelle se produit la majeure partie de la perte d'information (et donc de la qualité visuelle), mais c'est aussi celle qui permet de gagner le plus de place (contrairement à la DCT, qui ne compresse pas). La quantification consiste à diviser cette matrice par une autre, appelée matrice de quantification, et qui contient des coefficients spécifiquement choisis par le codeur. Le but est ici d atténuer les hautes fréquences, c est-à-dire celles auxquelles l œil humain est très peu sensible. Ces fréquences ont des amplitudes faibles, et elles sont encore plus atténuées par la quantification ; certains coefficients sont même souvent ramenés à 0. Le calcul permettant la quantification est le suivant : Q(u, v) F(u, v) + F (u, v) = E ( 2 ) avec E la partie entière Q(u, v) On a aussi la quantification inverse: F (u, v) = F (u, v). Q(u, v) La quantification ramène beaucoup de coefficients à 0 (surtout en bas à droite dans la matrice, là où se trouvent les hautes fréquences). Seules quelques informations essentielles (concentrées dans le coin en haut à gauche) sont gardées pour représenter le bloc. 10

11 On va ici travailler sur le codage de Huffman de la DCT. On utilise alors le morceau de script envoyé et on l adapte pour qu il fonctionne avec le reste du code. On obtient donc après codage d Huffman de la DCT une taille d'image compressée de bits et donc un taux de compression de 40,15%. La compression a un facteur élevé donc on gagne beaucoup en poids de l image compressée. On affiche maintenant l image compressée afin d analyser son ru visuel : En conclusion : Finalement on s aperçoit que pour la compression d image, le JPEG est efficace. En effet il permet de réduire considérablement le poids de l image tout en conservant un ru de bonne qualité. Cepant ce type de compression n est pas absolument sans perte puisqu on perd de l information lors de la quantification (ou du seuillage). Toutefois cette perte d information est négligeable comparée à d autres techniques de compression à perte. On retient donc que trois grandes notions sont importante dans le domaine de la compression d image : l outil DCT, la quantification ou le seuillage et enfin le codage : Huffman. 11