Modélisation de rations par programmation linéaire : quelle utilité pour la nutrition et la santé publique?

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1 Modélisation de rations par programmation linéaire : quelle utilité pour la nutrition et la santé publique? nicole.darmon@univ-amu.fr UMR NORT, Nutrition Obésité et Risque Thrombotique Faculté de Médecine de la Timone, Marseille

2 La modélisation de rations pour concevoir des paniers nutritionnellement équilibrés

3 Habituellement 1. Combinaison d aliments (repas, recette ) 2. Table de composition etc => 3. Calcul de la teneur en nutriments de la combinaison Teneurs inadéquates en certains nutriments => 4. Modification manuelle de la combinaison initiale

4 Comment faire en sens inverse? 1. Table de composition 2. Liste d exigences nutritionnelles => ANC Energie => ANC Macronutriments Protéines > 50 g jour (F) ou 60 g jour (F) Lipides < 35%; AGS < 10% ; AGPI > 12 g (LA=10, ALA=2, DHA=0.12) Glucides > 50%; Glucides simples ajoutés < 10 %; Fibres > 30 g => ANC Micronutriments : vitamines et minéraux => 3. Combinaison d aliments ou d ingrédients respectant les exigences

5 Principe de la modélisation de rations par PL 1. DONNEES = variables Liste d'aliments Composition nutritionnelle, prix Autres caractéristiques des aliments EXIGENCES = contraintes Sur les nutriments : - Recommandations de type ANC, BNM Sur les aliments : - Recommandations basées sur les aliments - Habitudes alimentaires individuelles ou collectives (quantités max, taille des portions, équilibre entre groupes d'aliments ) 4. OPTIMISATION sélection des aliments à introduire dans le panier optimisé, et de leurs poids : Autres : - Prix, poids, énergie 3. QUESTION POSEE = fonction objectif Prix, poids, énergie, écart avec un panier existant ou avec des "habitudes" identifiées Parfois, l'optimisation est impossible

6 Principe de la programmation linéaire Résoudre plusieurs inéquations à plusieurs inconnues. Plus spécifiquement : optimiser une fonction linéaire tout en respectant un ensemble de contraintes linéaires. La fonction optimisée est appelée fonction objective : y = ax 1 + bx 2 + cx 3 optimiser y, c'est trouver les valeurs des variables x i qui permettent d'atteindre la valeur de y la plus faible (minimisation) ou la plus élevée (maximisation)... tout en respectant des contraintes sur ces variables, du type : x 1 > A x 2 < B... ou ax 1 + bx 2 + gx 3... < C

7 En nutrition : les variables x i sont des quantités d'aliments Optimiser y = ax 1 + bx 2 + cx 3, c'est : => trouver LA combinaison d'aliments x i qui permet d'atteindre la valeur optimale de y, par ex. prix mini ou kcal mini... => tout en respectant l'ensemble des contraintes imposées Le panier, ou la ration, optimisée doit respecter => des contraintes sur les aliments : x 1 > A x 2 < B x 1 + x 2 < C qui vont assurer le réalisme et le respect des habitudes alimentaires => des contraintes sur les nutriments : ax 1 + bx 2 + cx 3... > D ax 1 + bx 2 + gx 3... < D qui vont assurer la qualité nutritionnelle + autres contraintes sur le prix, l'énergie, le poids, etc

8 Consiste à résoudre un système d inéquations multiples à plusieurs inconnues dont le nombre augmente rapidement avec le nombre d aliments disponibles et avec le nombre de contraintes prises en compte En pratique, solution impossible à trouver sans l aide d un ordinateur Actuellement, très facile à utiliser car une fonction de programmation linéaire (fonction solveur) est disponible sur des logiciels usuels tels que Excel

9 Exemple : Identifier des mélanges d'huiles végétales respectant des critères nutritionnels (Darmon, J Hum Nutr Diet, 2006) Données - Liste des huiles végétales vendues dans le commerce - Composition nutritionnelle - Prix => Contraintes de "palatabilité" Quantité totale de mélange par jour < 33 g => Contraintes nutritionnelles Standard nutritionnel attendu pour un mélange d'huiles : - apport journalier désiré en ac. a-linolénique : ALA > 1,6 g - apport journalier désiré en vitamine E > 9 mg - ratio ac.linoléique/ac. a-linolénique : LA/ALA < 4 => Optimisation - Par exemple : Quel est le mélange d'huiles qui respecte toutes les contraintes au plus bas prix? Quel est le mélange...le plus riche en huile d'olive? Quel est le mélange...le plus riche en vitamine E? => Résultats Différents mélanges d'huiles selon la fonction objective et les contraintes retenues

10 Exemple simplifié de problème avec 2 variables seulement Question Est-il possible de faire un mélange colza/tournesol qui respecte toutes les contraintes, et si oui, quel est le mélange le moins cher? Système de 5 équations à 2 inconnues : Xcolza et Xtournesol variable Xc = quantité d'huile de colza dans le mélange optimisé variable Xt = quantité d'huile de tournesol dans le mélange optimisé Contraintes 1. Xc + Xt < 33 g 2. [ALA c] Xc + [ALA t] Xt > 1,6 g (avec [ALA c] = g d'ala dans 1g d'huile de colza) 3. [VitE c] Xc + [VitE t] Xt > 9 mg (avec [VitE c] = mg de Vit E dans 1g d'huile de colza) 4. ([LA c] Xc + [LA t] Xt) / ([ALA c] Xc + [ALA t] Xt) < 4 qu'on doit linéariser en : ([LA c] Xc + [LA t] Xt) < 4 * ([ALA c] Xc + [ALA t] Xt) Optimisation 5. Minimiser Y = [Prix c] Xc + [Prix t] Xt (avec [Prix c] = prix d'1g d'huile de colza)

11 Xt = g huile tournesol Exemple de résolution graphique avec 2 aliments mélanges d'huile de colza et d'huile de tournesol 35 Darmon N, et alj Hum Nutr Diet, 2006; 19:59-69 Q < 33 g de mélange ALA > 1,6 g Vit E > 9 mg LA < 4 ALA Domaine des solutions possibles La moins chère Xc = g huile colza Oui, c'est possible, et le mélange le moins cher = 80% colza + 20% tournesol Parfois pas de solution, par ex aucun mélange colza/olive ne peut respecter ces contraintes Pour plus de 2 variables, il faut un logiciel : solver excel, frontline system, proc OR SAS...

12 Exemples d application en nutrition humaine Tester la faisabilité d un ensemble de contraintes nutritionnelles, leur coût, et leur implications en termes de choix alimentaires (USA : Thrifty Food Plan, France : ANC 2001) Modéliser l impact d une contrainte de coût sur les choix alimentaires et la qualité nutritionnelle de l alimentation (Darmon, J Nutr, 2002 & Appetite 2003) Déterminer s il est possible de couvrir les besoins nutritionnels d une population donnée avec les aliments disponibles localement (Malawi jeunes enfants : Darmon, AJCN, 2002, Briend, J.Pediatr.Gastroenterol Nutr, 2003) Tester l intérêt, nutritionnel et économique, dans un contexte donné, de nouveaux aliments ou de suppléments (Briend,Food Nutr Bull 2001 ; Darmon J Am Coll Nutr, 2009)

13 Exemples d application en nutrition humaine Développer des recommandations basées sur les aliments (Alimentation infantile pays pauvres: Ferguson, Darmon et al, J Nutr 2004 et 2006 ) Chiffrer le coût du respect de recommandations nutritionnelles (Darmon, J Nutr Educ Behav, 2006; Maillot, Pub Health Nutr 2010; Wilson, PlosOne 2013) Tester la compatibilité entre contraintes : - nutritionnelles (K et Na : Maillot, Am J Prev Med, 2012) - nutritionnelles et alimentaires (RDA vs nouvelle version de la Pyramide américaine : Tucker, J Nutr, 2006, Ca et produits laitiers : Gao, J Am Diet Assoc 2006) - toxicologiques et nutritionnelles (Katz, Food Chem Toxicol 2011; Sirot Br J Nutr, 2011) - environnementales et nutritionnelles (MacDiarmid, Am J Clin Nutr 2012) ET AUSSI : - Valider le concept de profil nutritionnel des aliments, - Identifier des aliments de bon rapport qualité nutritionnelle/prix - Identifier des solutions réalistes pour une aide alimentaire équilibrée, - Tester l impact, sur les productions agricoles, du respect de recommandations nutritionnelles

14 Un caddy hebdomadaire équilibré à 3,5 /j (Darmon, Soins, 2010) Limite de la modélisation populationnelle : UNE SEULE SOLUTION EST PROPOSEE (souvent extrême, pas de statistiques possibles)

15 => Modélisation de rations individuelles (thèse M. Maillot) Traduction des recommandations nutritionnelles en choix alimentaires individuels Variables Répertoire alimentaire de l individu Fonction objectif Minimisation de la somme des écarts à l observé Ration observée (consommations d un individu) Contraintes Isoénergie, Poids<115% observé Nutritionnelles, Acceptabilité Adaptées à chaque individu Ration modélisée (consommations modifiées) => Répétition de la modélisation pour chaque individu d une population

16 => Modélisation de rations individuelles (thèse M. Maillot) Maillot, J Nutr 2009 Pour 78% des français, il est nécessaire d augmenter la diversité Il existe 1001 façons de respecter les ANC Maillot, AJCN 2010 Maillot, BJN 2011 Tous les aliments peuvent s intégrer dans une alimentation nutr. adéquate Mais certains aliments sont incontournables Maillot, AJCN 2011

17 Maillot, J Nutr Les variables : les aliments déclarés par chaque individu (le répertoire) 2. Les contraintes nutritionnelles : Adaptation aux apports observés (OI) : Si BNM<OI<EAR, alors apport modélisé < OI 3. Les contraintes d acceptabilité : Maximum = 95 ième percentile de la consommation (en grammes) de chaque groupe (n=7), sous-groupe (n=18), et categorie (n=41) d'aliments (chez les consommateurs) NB : quand consommation observée (OI) > 95 ième percentile, maximum = OI 4. La fonction objectif :

18 Maillot, J Nutr 2009 Déterminants de la faisabilité => Meilleure faisabilité si apports énergétiques élevés, forte variété alimentaire, faible densité énergétique, fort coût d énergie

19 Maillot, J Nutr 2009 Force des contraintes nutritionnelles => Recommandations nutritionnelles les plus contraignantes : Vitamine D, Sodium, Magnésium, Acides Gras Saturés

20 Maillot, AJCN Les variables : TOUS les aliments 2. Les contraintes nutritionnelles : Idem précédent 3. Les contraintes d acceptabilité : Idem précédent 4. La fonction objectif : i. preferentially choosing foods already declared as consumed by each individual in the 7-d food record, ii. iii. iv. minimizing the reduction of foods already consumed, introducing (in the lowest quantity possible) foods that were not declared as consumed (only if necessary to fulfill the constraints) preferentially selecting foods most frequently eaten by the French population to favor acceptability.

21 Maillot, BJN rations observées Adultes étude nationale INCA (% poids total ration) 1171 rations optimisées Respect des recommandations nutritionnelles et des habitudes individuelles 32% C4 22% C4 9% C3 C2 8% Classe 1 51% 115% 7% 10% C3 C2 Classe 1 61% Tous les aliments peuvent s intégrer dans une alimentation équilibrée Cependant, pour augmenter la probabilité d adéquation aux recommandations nutritionnelles, il faut augmenter la part des aliments de meilleur profil de façon à ce qu ils atteignent près de 2/3 du poids total consommé en moyenne

22 Conclusion sur la PL La programmation linéaire est un outil puissant pour résoudre de façon rigoureuse de nombreuses questions de nutrition humaine : analyse de situations alimentaires et proposition de solutions adaptées aux contraintes développement de nouveaux aliments recherche sur les déterminants des choix alimentaires développement d'approches diététiques nouvelles, quantitatives et personnalisées...

23 MERCI DE VOTRE ATTENTION