Sur la réflexion de la lumière sur des verres supportant des couches minces multiples

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1 Sur la réflexion de la lumière sur des verres supportant des couches minces multiples Antonin Vasicek To cite this version: Antonin Vasicek. Sur la réflexion de la lumière sur des verres supportant des couches minces multiples. J. Phys. Radium, 1950, 11 (7), pp < /jphysrad: >. <jpa > HAL Id: jpa Submitted on 1 Jan 1950 HAL is a multidisciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

2 Stepbystep LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. TOME i1, JUILLET 1950, PACE 34~. SUR LA RÉFLEXION DE LA LUMIÈRE SUR DES VERRES SUPPORTANT DES COUCHES MINCES MULTIPLES Par ANTONIN VASICEK. Université Technique Benès, à Brno (Tchécoslovaquie). Summary. calculations can be made by an extension of a method used by P. Rouard (starting from the last layer and working back to the first), or by the author s alternative method (starting from the first layer and progressing to the last, making use of an auxiliary phase angle). The calculations are rather simple with the first method. One important application is that to non homogeneous film, which can be thought of as divided in a number of parallel homogeneous layers (say 5), and treated as a multiple film. On a publié de nombreux articles sur le problème de la réflexion de la lumière par des verres supportant deux, trois, ou plusieurs couches minces homogènes [1]. L auteur du présent travail en a, lui aussi, proposé une solution [2]. Sa méthode, fondée sur l hypothèse d amplitudes de base et dans laquelle on calcule l intensité réfléchie par un nombre quelconque de milieux réfringents, peut donner des résultats corrects quant aux amplitudes, mais ne tient pas compte en général des phases : les formules obtenues ainsi sont donc en général approchées, mais se trouvent exactes pour les cas particuliers intéressants en optique pratique, où les différences de marche sont xl = X2. = X3 (m entier). Plus récemment Crook, a traité la question sous sa forme la plus générale et a établi par récurrence les formules exactes pour la réflexion et la transmission de la lumière dans le cas d un nombre quelconque de couches minces parallèles et isotropes, portées par une surface de verre [3]. Abelès a également mentionné ce problème, et a fait remarquer que la solution exacte pour deux couches minces fut donnée par Rouard il y a plus de dix ans [4, 5]. La méthode de Rouard peut être étendue au cas d un nombre quelconque de couches minces isotropes. Sous la forme que leur a donnée Crook, les formules se prêtent mal au calcul effectif des amplitudes et des phases, car elles deviennent de plus en plus compliquées lorsque le nombre de couches croît. ~ Nous avons, de notre côté, tenté de compléter > notre théorie de manière à la rendre exacte; nous > devons avouer que nos résultats ne sont pas aussi ceux de Rouard. simples que Dans ce qui suit, les notations sont les mêmes que dans notre travail précédent [6]. Les formules se présentant de la même façon pour les deux compo santes de la lumière réfléchie, nous omettrons les indices p et s qui y sont relatifs. 1. Méthode de Rouard Rouard considère, dans le cas de la réflexion sur deux couches minces déposés sur du verre, les trois coefficients de Fresnel r, r", r" et les différences de marche x, et x2. Il commence par calculer l expression puis, en la portant dans la formule il arrive à la formule finale en accord avec les résultats de Crook. On peut étendre cette méthode à un nombre quelconque de couches minces sur support de verre. Dans le cas de l~ couches minces homogènes, on a aff aire à k ~ ~ surfaces de séparation, avec les amplitudes : r, rfl, r ",..., et les différences de marche : xi, X2 x3,.., rgi, Xk. Les calculs commençant par les deux dernières surfaces de séparation, nous pouvons écrire schématiquement : Article published online by EDP Sciences and available at

3 Le 343 Pour les deux dernières surfaces de séparation, auxquelles correspondent les amplitudes et r (k) et la diff érence de marche x, on a et pour la phase où les angles E1, et Y)1 sont donnés par les expressions Multiplions (4) par l expression imaginaire conjuguée, il vient pour l amplitude rk : Les amplitudes sont toujours prises > o. Pour calculer la phase 6k, introduisons les angles et nk définis comme suit : Ainsi, ce problème de la réflexion sur couches minces multiples, très compliqué à première vue, lorsqu on considère les réflexions multiples, peut être résolu par des moyens mathématiques relativement simples. alors Les angles /,, et sont donnés par les relation: 2. Méthode de l auteur. procédé consiste à calculer la réflexion de la lumière sur la première couche, puis à ajouter la seconde, etc. Schématiquement, et la phase est Ok Ajoutons maintenant la couche de rang l~ 1, c estàdire l amplitude rkl et la différence de marche Xk1, il vient Pour la réflexion sur la première couche, on a et l amplitude r, est donnée par 1> et comme précédemment La phase 1 se calcule en introduisant les angles (i et r~1 comme suit : où la phase Ok1 est donnée par Nous définirons aussi une phase auxiliaire s, par on tiendra ainsi compte successivement de toutes les couches, et finalement à la première surface de séparation (amplitude r, différence de marche x,). alors et l on trouve les relations d où pour l amplitude finale Non seulement le calcul de la phase ô1 est ainsi simplifié, mais encore on a calculé, en même temps, la valeur de la phase auxiliaire E,, qui sert à la

4 .. Les, 344 détermination de la réflexion dans le cas de deux couches minces : Pour la réflexion sur deux couches minces on a liaire E2, on pose avec pour l amplitude r, : moyennant quoi : On passe de même aux troisième, quatrième, cinquième,..., couches; pour la dernière, on a les expressions analogues aux précédentes : Pour le calcul de la phase a, et de la phase auxiet en introduisant les angles Ek, et nk comme suit : Nous obtenons pour la phase finale et les différences de marche sont La comparaison des deux mèthodes exposées pour le calcul de l amplitude et de la phase montre que celle de Rouard est la plus simple, car elle évite l introduction de la phase auxiliaire. 3. Couche mince non homogène considérée méthodes ci comme couche multiple. dessus peuvent être très utiles pour l étude de la réflexion par une couche mince non homogène sur support de verre, lorsque l indice de réfraction varie avec l épaisseur de la couche. On peut diviser la couche hétérogène et un certain nombre de couches homogènes équivalentes. C est ainsi que nous avons calculé la réflexion pour l incidence normale (Cf? == oo) sur une couche hétérogène en la subdivisant en deux, cinq, dix couches homogènes d égale épaisseur. L indice de réfraction de la couche en contact avec l air était ml =1, ; celui de la couche au contact du verre : na = i,48o et celui du verre n 1,7393. L indice de la couche hétérogène croît proportionnellement à = l épaisseur, depuis n~==i,38o jusqu à n~== 1,~80; l épaisseur totale de la couche était d = Les calculs ont été faits par la méthode de l auteur, la lumière pour l incidence normale (cp oo) et = pour jaune A 5893 À. On = a alors Les résultats des calculs de l amplitude r, facteur de réflexion p r2, de la phase à et de la = phase auxiliaire E sont donnés dans le tableau I, où On obtient finalement, pour l amplitude r, facteur de réflexion p et la phase 6. Avec une seule couche fictive : avec deux couches fictives : avec cinq couches fictives : avec dix couches fictives : On voit que les valeurs r, p, ô, tendent vers des limites lorsque le nombre de couches fictives croît indéfiniment : ces limites correspondent au cas de la réflexion sur une couche hétérogène. La détermination de la formule générale donnant cette limite est plus difficile; il est évident d après le tableau I qu il suffit, pour les applications pratiques, de prendre cinq couches fictives. Une division du le

5 J. Revue Ann. Loc. 345 en dix couches donne des résultats encore meilleurs. La théorie de la réflexion sur des couches homogènes multiples est ainsi applicable au cas d une couche hétérogène unique : les calculs numériques sont relativement simples, exacts pour la pratique. et très suffisamment BIBLIOGRAPHIE. [1] Pour la bibliographie des couches minces multiples, voir: CROOK A. W. J. Opt. Soc. Amer, 1948, 38, 954. [2] VASICEK A. Opt. Soc. Amer., 1947, 37, 623. [3] CROOK, A. W. Loc. cit. [4] ABELÈS F. [5] ROUARD P. [6] VASICEK A. d optique, 1949, 28, 1 1 Physique, 1937, 7, 291. cit.