statique J. Bertrand To cite this version: HAL Id: jpa

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1 Quelques théorèmes généraux relatifs à l électricité statique J. Bertrand To cite this version: J. Bertrand. Quelques théorèmes généraux relatifs à l électricité statique. J. Phys. Theor. Appl., 1874, 3 (1), pp < /jphystap: >. <jpa > HAL Id: jpa Submitted on 1 Jan 1874 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

2 73 QUELQUES THÉORÈMES GÉNÉRAUX RELATIFS A L ÉLECTRICITÉ STATIQUE; PAR M. J. BERTRAND. Les théorèmes suivants sont connus, mais il m a paru intéres- les rattache à un très-aisé lui-même à établir. sant d en donner une démonstration simple qui principe commun, Si l on considère deux systèmes de masses électriques, supposées chacune concentrée en un point mathématique, m désignant celles du premier système et m celles du second, V le potentiel du premier système relatif à un point de l espace et V celui du second, on aura, identiquement, c est-à-dire que la somme des masses élémentaires du premier systèlne, respectivement multipliées par le potentiel du second systèlne au point qu elles occupent, est égale à la somme analogue relative aux masses du second système : les sommes, bien entendu, se changeant en intégrales lorsque les masses occupent et remplissent un espace d étendue finie. Cette proposition, dont Gauss a fait un si remarquable usage, est une pure identité. Si l on remplace les potentiels par les expressions que fournit la définition, les deux membres de (1) se réduisent l un et l autre à la somme des produits obtenus en multipliant deux masses m et ln l une par l autre et divisant le produit par la distance qui les sépare. Si les deux systèmes considérés sont des corps conducteurs A 1, A2,..., An recouverts d électricité, et si l équilibre est établi de telle sorte que, dans le premier système, le corps An soit recouverte d une couche dont la masse totale est E1, et que pour tous les points de ce corps le potentiel soit -1 si enfin E t et V1 sont, dans le second système, la masse électrique répandue sur A1 et le potentiel relatif aux points de ce corps, on aura, d après le théorème de Gauss, De là résultent plusieurs corollaires. Article published online by EDP Sciences and available at

3 Un 74 TRÉORÈME I Si IITt corps A1, en communication avec le sol, est soumis à l influence d une masse électrique égale à l unité concentrée en zcn point extérieur M, il en résultera une distribution dont le potentiel sur un point quelconque M est une fonction S) métrique des coordonnees de M et de M. Supposons, en eflet, les deux points M et M entourés chacun d une sphère conductrice infiniment petite, et considérons les deux états d équilibre suivants : Le théorème précèdent donnera c est-à-dirc te potentiel en M dans le second système est donc égal au potentiel en I dans le premier. La présence des sphères infiniment petites qui entourent les points M et M, et qui dans les systèmes considérés ont des charges nulles, ne peut évidemment altérer en rien V et yt, car le potentiel de ces sphères sur leur centre est égal à zéro. L équation (a) exprime le théorème énoncé. THÉORÈME Il corps A étant à l état neutre, on suppose une masse électrique égale à l unité concentrée en un point extét-i piii- 1 1; le potentiel de A, ainsi électrisé, sur un point extérieur est une fonction symétrique des coordonnées des points M et M. Après avoir imaginé les deux sphères 31 et 31 déjà employées

4 dans la démonstration du théorème I, considérons les deux états d équilibre suivants : 75 L équation (I) appliquée à ces deux systèmes donnera ce qui est l expression du théorème énoncé. THÉORÈME III. - Si un corps A, en communication avec le réservoir conimun, est soumis à l influence d une masse électrique égale à l unité concentrée en un point LVI, il se chargera d une quantité E d électricité. Le lieu des points pour lesquels E a la méme valeur est une surface de niveau relatif à l attraction de la couche en équilibre qui peut recouvrir la surface A. Considérons, en eflct, deux états d équilibre du corps A et d unc sphère infiniment petite située en Le premier est l état supposé dans l énoncé du théorème, et le second est celui qui se produirait si, A étant isolé ainsi que 1B1, une quantité E d électricité était répandue sur A. Nous aurons, pour ces deux états : donc L équation (i) donnera

5 76 Or V et V1 sont les potentiels relatifs à l action d une masse E distribuée sur A. et qui n est aucunement troublée par la présence de la sphère infiniment petite M, sur laquelle la charge électrique est nulle. Le rapport V V1 est donc constant pour les points d une surface de niveau relatif à l attraction de la couche qui recouvre A. THÉORÈME IV. Soient deux corps conducteurs A, et A2;.Ai étant en communication avec le sol, A2 est isolé et chargé d électricité (le manière à atteindre le potentiel V. Soit El la quantité d électricité accumulée par influence sur A1; A! étant mis en communication avec le sol, A1 est isolé et chargé de telle sorte gzce le niveau potentiel devienne égal à V. Soit E2 la charge acetintulée par influence sur A2, on aura Pour le démontrer, considérons deux états d équilibre définis dans l énoncé, nous aurons L équation (i) donne et, par conséquent, 2013 THÉOREME V. Si l oiz considère uiz nombrer quelconque de conducteurs isolés A1, A2,..., An, soient E1, E2,..., En leurs charges respectives, et N-1, V 2.,..., Vn les potentiels correspondants. Ces potentiels s expriment linéairement Cil fonction des charges, et l on a ap. Xp.:7. étant, pour un sj stènle donne de conducteurs, des

6 constantes indépendantes de E1, E2,..., En. On a de plus 77 La première partie du théorème résulte du principe évident de la superposition possible des états d équilibre. Si l on considère successivement les états dans lesquels toutes les charges sont nulles excepté une, les potentiels sont éi-ideniment proportionncls à celle-là, et l état dans lequel les charges sont Ei, E2,..., En est la superposition de ces états partiels. Cela posé, si nous considérons deux états d équilibre dans le premier desquels toutes les charges soient nulles, à l exception de Ep, et toutes nulles, dans le second, à l exception de Eq; si les potentiels, dans la première hypothèse, sont V1, V2,..., Vn, et, dans la seconde, V 1, V 2,..., Vn, on aura et l équation (i) donne, en remarquant que E1= o, E2= o,..., En=0, c est-à-dire ou enfin Si les équations (a) étaient résolues par rapport à E1, E2... En, on aurait et Cette équation est une conséquence algébrique de la précédente, et pourrait d ailleurs être établie directement d une manière toute semblable.