Arbres Binaires de Recherche : Introduction

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Raoul Lafleur
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1 Arbres Binaires de Recherche : Introduction I. Guessarian cours ISN 11 janvier 2012 LIAFA, CNRS and University Paris Diderot 1/13

2 Arbre Binaire de Recherche Un Arbre Binaire de Recherche (ABR) est un arbre binaire étiqueté par des éléments d un ensemble A totalement ordonné et tel que si a est l étiquette d un nœud n, tous les nœuds du sous-arbre gauche de n sont étiquetés par des éléments b tels que b a, ET tous les nœuds du sous-arbre droit de n sont étiquetés par des éléments b tels que b > a LIAFA, CNRS and University Paris Diderot 2/13

du sous-arbre gauche de n sont étiquetés par des éléments b tels que b a, ET tous les nœuds du

3 Exemple b. un arbre binaire a. un arbre binaire de recherche Exemple LIAFA, CNRS and University Paris Diderot 3/13

4 Parcours dans les arbres parcours en largeur parcours en profondeur parcours infixe parcours préfixe parcours postfixe (ou suffixe) Le parcours infixe d un arbre binaire de recherche donne la suite des étiquettes en ordre croissant. Exemple LIAFA, CNRS and University Paris Diderot 4/13

parcours infixe d un arbre binaire de recherche donne la suite des

5 Algorithmes simples sur les arbres binaires (de recherche) parcours infixe recherche d un élément recherche du maximum (minimum) construction d un ABR (insérer un élément dans un ABR) Algorithmes sur les Arbres LIAFA, CNRS and University Paris Diderot 5/13

(minimum) construction d un ABR (insérer un élément dans un

6 parcours infixe PARCOURS-IN (arbre T ) Var liste d entiers L, L 1, L 2 if (T == ) then L = else L 1 =PARCOURS-IN(sous-arbre-gauche(T )) L 2 =PARCOURS-IN(sous-arbre-droit(T )) L = L 1 label T (racine(t )) L 2 retourner L Algorithmes sur les Arbres LIAFA, CNRS and University Paris Diderot 6/13

=PARCOURS-IN(sous-arbre-droit(T )) L = L 1 label T (racine(t )) L 2

7 Maximum MAX (arbre T ) Var nœud n n = racine(t ) while (T (filsdroit(n)) NIL) do n = filsdroit(n) retourner T (n) Notation On note T (n) l étiquette du nœud n ( label T (n)) Algorithmes sur les Arbres LIAFA, CNRS and University Paris Diderot 7/13

8 Recherche d un élément RECHERCHER (arbre T, entier k) Var nœud n n = racine(t ) while ((T (n) NIL) (T (n) k)) do if (k < T (n)) then n = filsgauche(n) else n = filsdroit(n) if (T (n) NIL) then afficher k est dans T else afficher k n est pas dans T Algorithmes sur les Arbres LIAFA, CNRS and University Paris Diderot 8/13

filsdroit(n) if (T (n) NIL) then afficher k est dans T else afficher k n est

9 INSERER (arbre T, entier v) // Algorithme récursif Var nœud x x = racine(t ) if (T == ) then T = (v,, ) else if (v < T (x)) then INSERER(sous-arbre-gauche(T),v) else if (v > T (x)) then INSERER(sous-arbre-droit(T),v) Algorithmes sur les Arbres LIAFA, CNRS and University Paris Diderot 9/13

10 INSERER (arbre T, entier v) // Algorithme itératif Var nœud x, y Var arbre T T = T y = NIL x = racine(t ) while (x NIL) do y = x if (v < T (x)) then T = sous-arbre-gauche(t ) if (v > T (x)) then T = sous-arbre-droit(t ) x = racine(t ) Algorithmes sur les Arbres LIAFA, CNRS and University Paris Diderot 10/13

sous-arbre-gauche(t ) if (v > T (x)) then T = sous-arbre-droit(t ) x =

11 /* suite de INSERER */ parent(x) = y; if (T == ) then T = (v,, ) else if (v < T (y)) then sous-arbre-gauche(y) = (v,, ) /* le sous-arbre gauche vide de y est remplacé par (v,, ) */ if (v > T (y)) then sous-arbre-droit(y) = (v,, ) /* le sous-arbre droit vide de y est remplacé par (v,, ) */ Algorithmes sur les Arbres LIAFA, CNRS and University Paris Diderot 11/13

if (v > T (y)) then sous-arbre-droit(y) = (v,, ) /* le sous-arbre droit vide de y est

12 Exercices Exercice 1 Ecrire un algorithme récursif qui cherche le maximum d un arbre binaire de recherche, puis le programme Javascool correspondant (à ajouter comme méthode dans la classe abr.jvs). Exercice 2 Ecrire un algorithme récursif qui cherche un élément dans un arbre binaire de recherche, puis le programme Javascool correspondant (à ajouter comme méthode dans la classe abr.jvs). Algorithmes sur les Arbres LIAFA, CNRS and University Paris Diderot 12/13

Exercice 2 Ecrire un algorithme récursif qui cherche un élément dans un arbre binaire de recherche, puis le

13 Exercices (suite) Exercice 3 Ecrire le programme Javascool correspondant à l agorithme TRI-FUSION vu en cours. Pour implémenter la version avec sentinelle du cours, on pourrait au préalable définir une méthode JAVA qui calcule le maximum d un tableau. Algorithmes sur les Arbres LIAFA, CNRS and University Paris Diderot 13/13

Pour implémenter la version avec sentinelle du cours, on pourrait au préalable

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