Quelle sécurité? Cryptographie à clé publique. Fonction à sens unique. Clés publiques. ! Notion de trappe. Repose sur la sécurité calculatoire.

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1 Quelle sécurité? Repose sur la sécurité calculatoire. Signification : cryptanalyste déploie plus d efforts de calcul pour retrouver le clair (ou la clé) à partir du chiffré que la durée de vie du clair. Cryptographie à clé publique Défis pour casser des clés : de 155 chiffres (512 bits en 1999) (768 bits en 2010) Clés publiques Fonction à sens unique Invention récente de Diffie et Hellman [2]. Nous nous trouvons aujourd hui à l aube d une révolution en cryptographie. Idée géniale : asymétrique ; chiffrement 6= déchiffrement. Chiffrement par clé de chiffrement publique. Déchiffrement par clé de déchiffrement privée. Utile pour résoudre le problème de la distribution des clés! Principe de Kerckhoff (1883) d autant plus d actualité La sécurité d un chiffre ne doit pas dépendre du secret de l algorithme mais seulement du secret de la clé. Soit M et C deux ensembles et f : M! C et f (M) image de M par f. f est à sens unique si 1. 8x 2 M, il est facile de calculer f (x) (f calculable en temps polynomial) et 2. difficile de trouver, pour la plupart des y 2 f (M) un x 2 M tel que f (x) =y (ce problème doit être «difficile» [3, 4, 1]). Avec seulement 2., déchiffrer aussi difficile que cryptanalyser. Ajouter une notion qui permet de déchiffrer et rendre la cryptanalyse difficile.! Notion de trappe.

2 Fonction à sens unique à trappe Rivest, Shamir, Adleman (1978) f : M! C à sens unique est à trappe si le calcul dans le sens inverse est efficace en disposant d une information secrète -la trappe- qui permet de construire g tq. g f = Id. Facile de calculer l image par f mais calculatoirement difficile d inverser f sans connaître g. Construire des couples (f, g) doit être facile. Publier f ne doit rien révéler sur g. Repose sur la difficulté calculatoire de factoriser un nombre et sur la difficulté calculatoire de décider la primalité. Par exemple, 1829 est-il premier? Non : on vous donne 31 et 59, on vérifie en les multipliant que 1829 est leur produit, mais les trouver est beaucoup plus difficile. Surtout qu on ne connait pas a priori le nombre de facteurs premiers de Ou bien, 7919 est-il composé? Non, mais le certificat de primalité est plus «difficile» à exhiber. Idée : utiliser 2 algos 6=, f pour chiffrer et g pour déchiffrer. 1 er chiffre à clé publique Rappels mathématiques 1978 : Rivest Shamir et Adleman. cherchaient une contradiction dans le concept de clé publique. parviennent au résultat inverse et obtiennent le Turing Award 2002! Indicatrice d Euler de n 2 N : '(n) : nombre d entiers de [[1, n]] premiers avec n. '(1) =1 et si p premier, '(p) =p 1. '(n) =card{j 2 {1,...,n} : gcd(j, n) =1} Calcul : décomposer n en n = Q p n,p premier p p alors, '(n) = Q p n,p premier (p p p p 1 )=n Q p n (1 1 p ). 1 Exemple : '(12) =(4 2)(3 1) =12(1 2 )(1 1 3 )=4 Théorème (Fermat-Euler) m '(n) 1 mod n si gcd(m, n) =1

3 Calculer a b mod n Chiffre RSA hb k, b k 1,...b 0 i représentation binaire de b : b = P k i=0 b i2 i. Exponentiation modulaire (a, b, n) c, d 0, 1; Soit hb k, b k Pour i fpour renvoie d 1,...b 0 i la représentation binaire de b k jusqu à 0 pas -1 faire c 2.c ; d (d.d) mod n ; si b i = 1 alors c c + 1;d (d.a) mod n ; fsi 1. choisir p, q premiers assez grands de l ordre de fixer n = pq et publier n 3. calculer '(n) =(p 1)(q 1) 4. publier e tq gcd(e, '(n)) = 1 (clé publique, encipher) 5. calculer d tq d.e 1 mod '(n) (clé privée, decipher) Chiffrer : E : M 7! M e mod n. Déchiffrer : D : C 7! C d mod n (d est la trappe). Implémentations : logicielles, matérielles et même mixtes. Sur des cartes dédiées, RSA environ 1000 fois plus lent que DES. À la main mod = h i i b i 17 2i 17 2i mod 100 valeur mod mod mod mod mod mod mod et mod 100 = = mod 100 = 37. Attaque sur les paramètres Cycles : Fred voit c = m e mod n et essaye de trouver t.q. c e c mod n, e 1 mod '(n) Ce qui permet de trouver m c e 1 mod n En effet c e c mod n, c e 1 1 mod n et, par le théorème d Euler, on a e 1 0 mod '(n), e 1 mod '(n). Comme c = m e mod n et de 1 mod '(n), on peut prendre d = e 1 pour déchiffrer. Exemple : Alice publie ses paramètres publics e et n, 17 et 143. Fred intercepte c = 19. Il calcule i c ei Il ne lui reste plus qu à «lire» m pour i = 3, soit 28.

4 Attaque à '(n) connu Connaître (n, '(n)) revient à connaître la factorisation de n [3]. n = pq En posant : et q = n '(n) =(p 1)(q 1) p : n '(n) (p 1) p 1 = 0, p 2 + p ('(n) n 1)+n = 0 équation du second degré de solutions p et q. Calculer '(n) aussi difficile que factoriser n. Exemple n = p.q = 133 et '(n) =108. '(n) (p 1) n p 1 = 0, p 2 + p ('(n) n 1)+n = p 2 + p( )+133 = 0, p 2 26.p = 0 avec =( 26) 2 (4.133) =144 = 12 2 et de solutions p = 26±12 2 = {19, 7}. Sûreté RSA est aussi sûr que la factorisation de n est difficile. Complexité de quelques «bons» algorithmes de factorisation : crible quadratique O(e ((1+o(1))p log n log log n) ) courbes elliptiques O(e ((1+o(1))p 2 log p log log p) ) crible algébrique O(e ((1,92+o(1))(log n)1/3 (log log n) 2/3) ) (p : plus petit facteur premier de n). Crible d Eratosthène On divise n par tous les impairs compris entre 3 et b p nc. méthode efficace pour n < et connue depuis l antiquité. Crible d Eratosthène en O( p n). Pas polynomial! En effet, sa complexité en temps n est pas polynomiale en la longueur de l entrée, qui est log(n). Il est pseudo polynomial. De plus, dans le cas de RSA, le module n n a pas de «petits» facteurs premiers. Man in the middle Porte sur la communication des clés. Bob (client) demande ses paramètres publics à Alice (serveur) Alice envoie e S, n S à Bob Melchior intercepte e S, n S et envoie ses paramètres e M, n M Bob chiffre en utilisant à son insu e M, n M et envoie c Melchior intercepte le message c et le déchiffre en secret Melchior rechiffre secret avec e S, n S et le transmet à Alice... Serveur e S,n S e S,n S Client Melchior e M,n M Serveur e M,n M Client secret e S mod n S secret e M mod n M Ah! si Bob avait pu s assurer que les données venaient d Alice.

5 Autres objectifs des systèmes à clé publique confidentialité authentification garantie de l authenticité de l origine identification : preuve de son identité de manière électronique intégrité : garantie qu il n y a pas eu de modification non répudiation : émission/réception message irréfutable Autres techniques cryptographiques nécessaires : signature : moyen d associer l expéditeur à un message tiers de confiance : l autorité qui délivre les certificats certificat : attestation (d un tiers) qui confirme une identité estampillage : ajout de dates garantes de l unicité du message Cahier des charges de sig(m) facile à calculer par le signataire pour tout message M ; le destinataire doit pouvoir vérifier la signature ; un tiers doit pouvoir vérifier la signature ; elle doit être impossible à falsifier ; l expéditeur ne doit pas pouvoir affirmer que sa signature a été imitée. Signatures Mécanisme général de signature Utilisation légale depuis le 29 février 2000, ( Art.3 :L écrit sur support électronique a la même force probante que l écrit sur support papier. Notion de signature introduite par Diffie et Hellman dans [2]. Le but des signatures est de faire la preuve de l identité de l expéditeur et de l intégrité du message. Une signature dépend de l identité du signataire et du contenu du message. Doivent empécher deux types de fraudes : la falsification du message ; la non-reconnaissance du message par l expéditeur. algorithme de signature (privé) noté sig qui, pour une clé fixée SK, retourne une signature S pour un clair M ; sig SK (M) =S algorithme de vérification noté ver qui, à une clé fixée PK et pour tout couple clair/signature (M, S) va vérifier si la signature correspond bien au clair. ver PK (M, S) = vrai si S = sigsk (M) faux si S 6= sig SK (M)

6 Signer avec RSA Problème du log. discret Bob désire envoyer un message M signé à Alice. Ils disposent pour cela de leurs paramètres RSA respectifs : Privés Publics Alice d A n A, e A Bob d B n B, e B Le procédé de signature est alors : sig SK (M) =M d B mod n B = S Problème du logarithme discret de y en base g : Instance : g, y éléments d un groupe fini G. Question : trouver x tel que g x y dans G ou, pour p un grand nombre premier, g un générateur de G = Z? p, g x y mod p et x = log g (y) mod p 1. Celui de vérification : ver PK (M, S) =vrai, S e B mod n B M Envoi d un message secret signé Exemple Comment Bob envoie à Alice un message secret signé? Secrets Publics Alice D A (C) =C d A mod n A E A (M) =M e A mod n A Bob D B (C) =C d B mod n B E B (M) =M e B mod n B Bob envoie le message Et Alice le déchiffre en C = E A (D B (M)) E B (D A (C)) Soit G = Z? 7 un groupe. En base g = 2, seuls 1, 2 et 4 possèdent un logarithme discret. En base g = 3, on obtient : nombre y logarithme Par exemple pour nombre = 1 et log = 6. Cela signifie que log 3 1 = 6, ce qu on vérifie par 3 6 mod 7 = 1. Pour cela, il faut que M < n B < n A.

7 Calcul du log. discret devient très difficile quand le cardinal de G croît. Algo de calcul du logarithme discret : Shanks s applique à tout groupe fini G. De complexité en temps O( p G log G ) et O( p G ) en espace. Idée : construire deux listes de puissances de g : une liste de petits pas {gi : i = 0..d p ne 1} avec n = G ny une liste de pas de géant g dp nej : j = 0..d p o ne. Puis trouver un terme commun aux 2 listes. Ainsi, g i 0 = y(g j 0d p ne ) et x = i 0 + j 0 d p ne Exemple On travaille dans Z 113 =< 3 > d ordre n = 112 ; p n = r = 11. On cherche le logarithme discret de y = 57 en base g = 3: Liste (non ordonnée) des petits pas, forme (exposant, valeur) : B = {(0, 1), (1, 3), (2, 9), (3, 27), (4, 81), (5, 17), (6, 51), (7, 40), (8, 7), (9, 21), (10, 63)} Liste (non ordonnée) des pas de géant, forme (exposant, valeur) : L = {(0, 57), (1, 29), (2, 100), (3, 37), (4, 112), (5, 55), (6, 26), (7, 39), (8, 2), (9, 3), (10, 61), (11, 35)} 3 est commun aux petits pas et aux grands pas, il a été engendré pour i 0 = 1 dans la liste B et pour j 0 = 9 dans la liste L. Le logarithme discret que l on cherchait est x = i 0 + r.j 0 = 100. Vérification : on calcule g x mod 113 = 57. Log. discret de y = 4 dans Z 7, g = 3 On a r = d p 7e = 3 Petits pas : Table[Mod[g i, 7], {i, 0, r - 1}] {1, 3, 2} s inverse de g mod 7 : {d, {s, t}} = ExtendedGCD[g, 7] Grands pas : Table[Mod[y s (r j), 7], {j, 0, r}] {4, 3, 4, 3} 3 commun aux deux listes i 0 = 1, j 0 = 1:x = i 0 + r j 0 = 4 Signature par El Gamal Soit p un nombre premier pour lequel le problème du logarithme discret est difficile dans Z? p et soit un générateur de Z? p. Le message M 2 Z? p et sa signature est constituée du couple (M, S) 2 Z? p (Z? p Z p 1 ). L ensemble des clés est K = {(p,, a, ): = a mod p} Privé Publics a p,, On choisit k 2 Z? p 1 aléatoire et secret qui vérifie gcd(k, p 1) =1. On définit une signature comme : sig K (M, k) =(, ) pour = k mod p /a + k M mod (p 1)

8 Exemple Soit p = 467 et a = 127. On a bien que gcd(a, p = 2 un élément primitif de Z p. On calcule 1) =1. Soit G. Brassard. Cryptologie contemporaine. Logique, mathématiques, informatique. Masson, W. Diffie and M.E. Hellman. New directions in cryptography. IEEE Trans. on Inform. Theory, 22(6) : , = a mod p = mod 467 = 132 Si Bob veut signer le message M = 100 pour la valeur aléatoire k = 213 qui vérifie bien gcd(k, p 1) =1, il calcule l inverse de k 1 mod p 1 par Euclide étendu qui donne k 1 = 431 alors, N. Koblitz. A course in number theory and cryptography. Graduate texts in mathematics. Springer Verlag, A. Salomaa. Public Key Cryptography. EATCS monographs. Springer Verlag, = k mod p = mod 467 = 29 et =(M a )k 1 mod (p 1) =( ).431 mod 466 = 51 Vérification Pour M, 2 Z? p et 2 Z p 1, on définit vér K (M,, )=vrai, M mod p Si la signature est construite correctement, la vérification authentifie la signature car : a k mod p M mod p en utilisant le fait que a + k M mod (p 1). Exemple : On authentifie la signature de (100, 29, 51) par : vér K (M,, )=vrai, M (p), (p) 189 qui valide la signature précédente.

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