Exercice 1 QCM. 4 i. e π ou. e π, ou : 4 ( i) 1 /4. e π. e π Réponse d. 1. Le carré de z est : ce qui donne : soit : , soit 4i

Transcription

1 TSTI2D - Bac Polynésie STI2D Corrigé.doc - Page /5 Terminale STI2D - Bac Polynésie - Corrigé. TSTI2D - Bac Polynésie STI2D Corrigé.doc - Page 2/5 Exercice QCM. Le carré de z est : ce qui donne : soit : 4 2 i /4 e π ou i π /4 i /4 e π 2e 2 4 i /4 /4 4e iπ iπ /2 e π, ou : 4 ( i), soit 4i Réponse a. On peut demander à la calculatrice de donner la réponse...! 2. L'inverse de z est : soit : ou encore : 2 /4 2e iπ 2 i /4 e π Réponse d. i /4 e π

2 TSTI2D - Bac Polynésie STI2D Corrigé.doc - Page 3/5 TSTI2D - Bac Polynésie STI2D Corrigé.doc - Page 4/5 On sait que l'équation y + 4y = 0, qui s'écrit y = 4y ou y = 2 y, a des solutions de la forme : f ( x) = λ cos(2 x) + µ sin(2 x) où λ et µ sont des constantes quelconques. On voit que le coefficient de x dans les cos(2 x ) et sin(2 x ) est 2. π La seule réponse où on a la même chose est la réponse b : f ( x) = 5sin 2x + 3 Vérifions donc que la fonction f de la réponse b vérifie l'équation différentielle. On a : On constate que : C'est à dire : Autrement dit, f vérifie l'équation : Réponse b. π f ( x) = 5sin 2x + 3 π f ( x) = 5cos 2x π f ( x) = 5sin 2x f ( x) = 4 f ( x) f ( x) + 4 f ( x) = 0 y + 4y = 0. 2 Il faut calculer p( X 8). Calculons plutôt : p( X < 8) (probabilité de l'événement contraire.) On sait que : 8 0 0,2x λx p( X < 8) = 0,2e dx (densité: f ( x) = λe ) λx Une primitive de f ( x) = λe est F( x) = e λx. D'où : 8 0 0,2e dx = e 0,2x 0,2x soit : ( 0,2 8 0 ) (, 2 e e 0 ) On obtient ainsi : 8 0 ou,6 e,6 =. p( X < 8) e + 0,798 Et aussi : p( X 8) = p( X < 8) 0, 209 Réponse b. +

3 TSTI2D - Bac Polynésie STI2D Corrigé.doc - Page 5/5 Exercice 2 Suites numériques et algorithmes TSTI2D - Bac Polynésie STI2D Corrigé.doc - Page 6/5 On a : u = 0,4 u0 + 3 soit : u = 0, et : u = 6,2. Et aussi : u2 = 0,4 u + 3 soit : u 2 = 0, 4 6, et : u 2 = 5,48. On obtient : u = 6,2 et u 2 = 5,48. La formule est : = B2 * 0,4 + 3 On peut conjecturer que la limite de cette suite est 5.

4 TSTI2D - Bac Polynésie STI2D Corrigé.doc - Page 7/5 TSTI2D - Bac Polynésie STI2D Corrigé.doc - Page 8/5 c. On sait que vn = un 5 et que v n tend vers 0. On en déduit que u n, qui est égal à v n + 5, tend vers 5. Ceci permet de valider la conjecture faite à la question 3. Exercice 3 Equations différentielles La variable U contient les termes successifs de la suite. La variable N contient les rangs successifs de ces termes. Le calcul des termes continue tant que U 5 > 0,0, c'est à dire tant que la distance entre U et 5 est supérieure à 0,0. L'algorithme affiche le premier rang n pour lequel la distance entre u n et 5 est inférieure ou égale à 0,0. n a. On a : vn = v 0 0,4, puisque cette suite est géométrique, de raison 0,4. n Ceci donne : v n = 3 0,4 b. La raison de la suite ( v n) est entre 0 et. On en déduit que la limite de ( v n) est 0. On sait que l'équation différentielle y + ay = b a pour solution générale : ax b f ( x) = ke +, où k est une constante quelconque. a L'équation y + 0, 04y = 0,8 a pour solution générale : 0,04x 0,8 f ( x) = ke +, où k est une constante quelconque. 0,04 Soit : 0,04x f ( x) = ke La fonction g est définie par : g( t) = ke ,04 0 L'égalité g (0) = 00 s'écrit : ke + 20 = 00 soit: k + 20 = 00 donc : k = 80. On a alors : g( t) = 80e + 20

5 TSTI2D - Bac Polynésie STI2D Corrigé.doc - Page 9/5 TSTI2D - Bac Polynésie STI2D Corrigé.doc - Page 0/5 a. Au bout de 30 minutes, la température du plat est : 0,04 30 g(30) = 80e + 20 ce qui donne : g(30) 44,. Le temps nécessaire pour atteindre 37 C n'est pas correctement évalué. Au bout de 30 minutes, le plat est à 44,096 Il faut entre 38 et 39 minutes pour qu'il descende en dessous de 37 : b. On résout l'équation : g( t ) = 37. Elle s'écrit : 80e + 20 = 37 soit : 80e = 7 e = 7 / 80 En appliquant la fonction ln : ln e = ln 7 / 80 ( ) ( ) ( ) = ln 7 / 80 t = ln 7 / 80 0,04 ( ) On calcule les valeurs de g entre 38 et 39 minutes : Ceci donne : t 38,72 minutes, 38 minutes et 43 secondes environ. On peut aussi faire des tableaux de valeurs successifs à la calculatrice :

6 TSTI2D - Bac Polynésie STI2D Corrigé.doc - Page /5 TSTI2D - Bac Polynésie STI2D Corrigé.doc - Page 2/5 Puis entre 38,7 et 38,8 minutes : On obtient ainsi : g(38, 72) 37 Exercice 4 Lois de probabilité, fluctuation.

7 TSTI2D - Bac Polynésie STI2D Corrigé.doc - Page 3/5 TSTI2D - Bac Polynésie STI2D Corrigé.doc - Page 4/5 On sait que P( X = 0) est la probabilité d'avoir 20 "échecs" consécutifs. 20 Cette probabilité est égale à : 0,98 0,98 0, ,98 soit 0,98, puisque la probabilité d'un "échec" est p = 0, 02 = 0, On obtient : 0, 98 0,668.. A l'aide de la calculatrice, on obtient : p(74, 4 L 75, 6) 0,984 (La calculatrice donne : 0, ) 2. Pour une variable aléatoire suivant une loi normale d'espérance µet d'écart-type σ, on sait que la probabilité d'être entre µ 2σ et µ + 2σ est d'environ 95%. Il suffit de donner à h la valeur 2σ, soit h = 0,5 D'où : p( X = 0) 0, 668 Voir la note ci-dessous 2 pour calculer p(x=k) à l'aide de la calculatrice. On cherche p( X ), ce qui revient à p( X 0). Comme p( X = 0) = 0, 668, la probabilité de l'événement contraire est : p( X 0) = p( X = 0) 0, 668 0,332. La probabilité qu'il y ait au moins une pièce non conforme est 0,332. On sait que X suit une loi binomiale B( n, p ) avec n = 20 et p = 0,02. Son espérance est donc : E( X ) = np. On obtient : E( X ) = np = 20 0, 02 = 0, 4. X est le nombre de "succès" sur 20 expériences indépendantes ayant chacune une probabilité de succès égale à 0,02. X suit donc une loi binomiale B( n, p ), de paramètres n = 20 et p = 0,02. L'espérance de X est 0,4. Cela signifie que sur un grand nombre de tirages, la moyenne de X sera d'environ 0,4 pièce non conforme sur 20 pièces tirées. La commande sur TI-82 est : normalfrép (74.4, 75.6, 75, 0.25 ). De manière générale : normalfrép (a, b, m, σ ) donne la probabilité qu'une variable aléatoire X, suivant une loi normale d'espérance m et d'écart-type σ, soit entre les valeurs a et b. 2 La commande sur TI-82 est : binomfdp (n, p, k) pour calculer p(x=k). Ici, ç'aurait été : binomfdp (20, 0.02, 0) qui donne la même réponse.

8 TSTI2D - Bac Polynésie STI2D Corrigé.doc - Page 5/5 Les conditions ne sont pas réunies pour calculer cet intervalle de fluctuation. n 30 Il faut, en principe, que : np 5 n( p) 5 Or ici, n= 80 et p = 0,02, ce qui donne np =,6, et c'est insuffisant. Dans ce cas de figure, il vaut mieux essayer de répondre à la question malgré tout. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence f de pièces non conformes dans un échantillon de 80 pièces a pour bornes 3 : borne inférieure : borne supérieure : p( p) 0,02 0,98 p,96 = 0, 02, 96 0,0 n 80 p( p) 0, 02 0,98 p,96 = 0, 02 +, 96 0,05 n 80 L'intervalle recherché est donc : [ 0 ; 0,05 ], soit entre 0% et 5,% La fréquence est f = = 0,0375, soit 3,75% La fréquence f dans l'échantillon est dans l'intervalle de fluctuation calculé à la question. On peut donc donc penser que l'écart entre ces 3,75% et les 2% du cahier des charges n'est dû qu'à la fluctuation naturelle lorsqu'on tire 80 pièces au hasard. La machine de production ne doit pas être révisée. 3 Oui, cette phrase est longue et moche. C'est comme ça! :)