FICHE DE RÉVISION DU BAC

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1 Introduction Pré-requis : Etude de fonctions dérivées logarithmes et exponentielles continuité Plan du cours 1. Intégrales 2. Primitives 1. Intégrales A. Aire sous la courbe Méthode des rectangles : Pour calculer l aire sous la courbe représentative d une fonction f continue et positive sur un intervalle, on approche l aire par une série de rectangles. Pour chaque valeur de x, la hauteur du rectangle est f(x), et on représente sa largeur par dx, c est-à-dire une petite longueur autour de x. L aire d un de ces rectangles est donc :. L aire sous la courbe peut donc être approchée par : Plus les largeurs dx sont petites, plus l approximation est juste. L aire sous la courbe est donc la limite de la somme précédentes : Intégrale : Cette limite est appelée intégrale de f de a à b, et est notée. L intégrale se calcule en unités d aire (u.a). Les valeurs a et b sont appelées les bornes de l intégrale. Ex : Aire sous la courbe de la fonction logarithme népérien de 2 à 5 : 1

2 Lorsque la fonction est continue et négative sur un intervalle, alors l aire délimitée par la courbe, l axe des abscisses, la droite d équation et la droite d équation est représentée par. Ex : aire délimitée par la courbe représentative de, l axe des abscisses, la droite d équation et la droite d équation : 2

3 Aire entre deux courbes : Soient f et g deux fonctions continues sur telles que sur. L aire comprise entre la courbe représentative de f, la courbe représentative de g, la droite d équation droite d équation est représentée par. et la Ex : aire comprise entre la courbe représentative de la fonction carrée, la courbe représentative de la fonction logarithme népérien, la droite d équation et la droite d équation Bornes : B. Propriétés de l intégrale Soit f une fonction continue sur. 3

4 Linéarité : Soient f et g deux fonctions continues sur. Soit un nombre réel. Positivité : Soit f une fonction continue sur. Si f est positive sur, alors. Comparaison d intégrales : Soient f et g deux fonctions continues sur. Si sur alors Cette propriété découle directement des propriétés de linéarité et de positivité : Ex : sur donc elation de Chasles : Soit f une fonction continue sur. Soit. 4

5 Ex : Valeur moyenne : Soit f une fonction continue sur. La valeur moyenne de f sur est : Inégalités de la moyenne : Soit f une fonction continue sur. Soit m et M deux réels. Si pour tout alors. Ces inégalités découlent directement de la comparaison d intégrales. 2. Primitives Définition : A. Primitives et intégrales Soit f une fonction définie sur. On appelle primitive de f toute fonction dont la dérivée est f. On la note généralement F. Théorème : Toute fonction continue possède des primitives. Pour chaque fonction f, il y a une infinité de primitives. (On rappelle qu en revanche une fonction f donnée n a qu une seule dérivée) Unicité : Soit f une fonction définie sur. Soit et un réel. 5

6 Il existe une unique primitive F de f telle que. Ex : la droite représentative de ainsi qu une partie des courbes représentatives de ses primitives, de la forme ( ) La courbe rouge est la courbe représentative de l unique primitive F telle que Primitive qui s annule en a : Soit f une fonction définie sur. La fonction définie sur par est la primitive de f qui s annule en a. Calcul d intégrales : Soit f une fonction définie sur. Soit F une de ses primitives. Alors on peut calculer de la manière suivante : 6

7 Exemple : Une primitive de est B. Primitives usuelles Primitives de fonctions de référence : f domaine de définition k (k réel constant) F ( ) ( ) * 7

8 Dérivées de fonctions composées : Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I. f F (k réel) ( ) (, ) 8