MICRO-ECONOMIE. Concepteur du cours: Ridha saâdallah. Université Virtuelle de Tunis

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1 MICR-ECNMIE Conceteur du cours: Ridha saâdallah Université Virtuelle de Tunis 006

2 Introduction Générale Dans l'attente d'une définition formelle et récise à laquelle nous aboutirons à la fin de cette artie introductive, nous ouvons commencer ar affirmer que la Microéconomie est une branche de l'economie ; elle-même une science sociale dont l'objet est l'étude de la société sous l'angle de ses activités économiques telles que la roduction, la consommation et l'échange. Une société vue sous cet angle est encore aelée une économie. I- Qu'est-ce qu'une économie? Une économie est comosée d'unités très nombreuses agissant chacune comme un centre de décision autonome et liées entre elles ar un réseau comlexe d'interdéendances. - Les décideurs n distingue deux grandes catégories de centres de décision aelés aussi agents économiques : Les ménages et les entrerises. - Un ménage est un individu ou un groue d'individus vivant ensemble et agissant comme un centre de décision unique en matière de consommation. La famille constitue l'exemle tye de ménage. Mais un ménage eut aussi être constitué d'individus sans lien de arenté entre eux tels que des étudiants artageant le même logement. - Les entrerises sont des organismes où se déroule l'activité de roduction. Elles euvent rendre la forme soit d'entrerises individuelles où le roriétaire est luimême le gérant de son affaire, soit de sociétés de ersonnes ou de sociétés de caitaux. Dans une économie de roriété rivée les entrerises sont ossédées ar les ménages. A côté de ces deux ôles majeurs de l'économie, on considère deux autres agents : l'etat et l'extérieur. 3

3 L'Etat assure lusieurs fonctions. Il exerce d'abord une fonction de régulation qui consiste à édicter les règles de jeu et le cadre institutionnel dans lequel se déroule l'activité économique. L'Etat exerce aussi une fonction de roduction dans la mesure où certains biens et services sont roduits dans les services administratifs relevant de l'etat. Enfin l'etat joue un rôle de redistribution de la réartition rimaire des revenus. L'Etat eut ar exemle juger inaccetable qu'une artie de la oulation reste sans ressources arce qu'elle ne eut as trouver d'emlois. Il eut dans ce cas rélever des imôts qui serviront à financer le versement d'allocations de chômage à cette frange de la oulation, restée sans emlois. Les ménages, les entrerises et l'etat suffisent à décrire une économie lorsqu'elle n'entretient as de relations avec le reste du monde, c'est-à-dire lorsqu'elle est fermée. Au contraire dans une économie ouverte, il faut y ajouter un quatrième agent qui regroue toutes les entités extérieures qui sont en relation avec cette économie : les exortateurs, les imortateurs et les investisseurs étrangers. Cet agent s'aelle l'extérieur. - Les biens et services Les entrerises roduisent des marchandises telles que l'acier, le charbon, les chaussures, les ordinateurs, les avions civils et militaires. Ils sont aelés les biens. Elles roduisent aussi des roduits non tangibles aelés services. L'assistance fournie ar un avocat, la consultation d'un médecin, l'assurance et le transort sont autant d'exemles de services. Pour roduire, les entrerises ont besoin de biens et services roduits ar d'autres entrerises : machines, matières remières et roduits semi-finis. Elles ont aussi besoin de biens non roduits aelés ressources rimaires tels que les différents tyes de travail manuel ou intellectuel, la terre et les minerais enfouis dans le soussol. Les biens roduits ou non roduits utilisés ar les entrerises dans leur activité de roduction sont aussi aelés facteurs de roduction. En définitive on eut synthétiser le fonctionnement de toute économie ar la transformation au sein d'entrerises d'un stock de ressources afin de roduire des biens et services destinés à satisfaire les besoins des ménages. II- La rareté des ressources 4

4 Toute société et tout individu sont confrontés au déséquilibre des besoins quasiment illimités et des ressources nécessairement limitées. Même les sociétés les lus déveloées, arfois qualifiées de sociétés d'abondance, n'ont as atteint et ne sont même as roches d atteindre cette situation utoique des ressources illimitées. Aux Etats Unis, le ays le lus riche du monde, un simle ajustement du niveau de vie de l'américain moyen our égaler celui du médecin moyen exigerait une multilication du revenu national ar 4 ou 5. Alors que dire de ce qu'exigerait la satisfaction de tous les désirs de tous les citoyens américains? La rareté c'est à dire l'insuffisance des ressources ar raort aux besoins, est donc un hénomène incontournable aussi bien our les sociétés dans leur ensemble que our les individus qui les comosent. Elle a une double conséquence. D'une art elle donne un sens à l'étude des lois qui régissent les économies, c'est-à-dire à l'economie. Elle contraint d'autre art tous les agents économiques à faire des choix entre les usages alternatifs des ressources. - La rareté fondement de l'economie Imaginons un instant que nous nous trouvons dans une société d'oulence où les ressources sont abondantes à tel oint que tous les désirs des individus et même leurs fantaisies euvent être satisfaits. Dans une telle société l'offre déasse la demande de chaque bien et de chaque service. Les rix deviennent nuls et il n'y aurait as de biens économiques. C'est donc la rareté des ressources qui donne un sens à l'étude des lois qui régissent les économies. En effet, c'est arce que les ressources sont rares qu'il y a un besoin de savoir comment les sociétés et les individus s'organisent our gérer cette rareté et our satisfaire au mieux leurs désirs, à défaut de ouvoir les satisfaire tous. - La rareté et la nécessité des choix Parce que les ressources ne suffisent as à satisfaire tous les besoins, la société comme les agents qui la comosent sont contraints de faire des choix. La société doit choisir les biens qu'elle veut roduire. Les entrerises doivent aussi choisir combien et comment roduire, alors que les ménages doivent choisir quoi consommer. A- Le choix de la société La rareté des ressources imlique que la société ne eut as roduire des quantités infinies de tous les biens. Elle doit faire des choix entre la multitude de 5

5 biens et services qu'elle eut roduire. Décider ar exemle s'il faut roduire beaucou de roduits alimentaires our se nourrir ou beaucou de matériel militaire our se défendre ; beaucou de machines qui ne roduiront des biens de consommation que lus tard ou beaucou de biens de consommation courante tout de suite quitte à limiter sa caacité de roduction future faute d'investissements suffisants. La rareté des ressources imlique aussi qu'une fois la société a bien utilisé ses ressources our roduire certaines quantités de tous les biens, elle ne eut lus augmenter la quantité roduite d'un bien que si elle diminue la quantité roduite d'au moins un autre bien. Ce nécessaire arbitrage entre les quantités roduites des différents biens traduit l'existence d'un rix à l'augmentation de la roduction de n'imorte quel bien. Ce rix s'aelle coût d'oortunité (ou aussi coût de renonciation). Un exemle our mieux saisir cette idée de coût d'oortunité. Suosons our simlifier qu'une société roduit deux biens seulement : du blé et des voitures. Admettons qu'elle a décidé de roduire 9 unités de blé en utilisant une artie de ses ressources. Avec le reste, elle ne ourra roduire qu'au lus 3 unités de voitures. Elle eut roduire moins si elle n'est as bien organisée. Mais même lorsqu'elle est arfaitement bien organisée (on dit qu'elle est efficiente) elle ne eut roduire lus de trois unités. Alors que faire si elle veut roduire 4 unités de voitures? La seule issue est d'acceter une roduction moindre de blé, 5 unités ar exemle. L'unité sulémentaire de voitures aura donc coûté à la société 4 unités de blé. n dira que lorsque la société roduit 9 unités de blé et 3 unités de voitures, le coût d'oortunité d'une unité sulémentaire de voitures est 4 unités de blé. B- Le choix des entrerises Les entrerises doivent réondre à la question : comment roduire? C'est à dire quelle technique utiliser our roduire un certain bien. Avec beaucou de main d œuvre ou grâce à des rocédés automatisés? Elles doivent aussi choisir quoi et combien roduire. C- Le choix des ménages La rareté des ressources s'alique également aux consommateurs. Ils ne euvent de toute évidence as acheter tout ce dont ils ont envie avec les ressources qu'ils ossèdent. Ils doivent donc choisir comment affecter ce qu'ils ont entre les biens disonibles, c'est à dire décider quoi et combien consommer. Un autre choix que doivent faire les consommateurs est de décider à chaque ériode le montant de leurs ressources qu'ils veulent consacrer à la consommation de la ériode courante, c'est à 6

6 dire décider s'ils veulent déenser exactement leurs revenus, ou lus en emruntant ou moins en éargnant. 7

7 Définition et objet de la micro-économie III- Interdéendance des choix et mécanisme de coordination Nous avons exliqué comment la rareté des ressources contraint les ménages comme les entrerises à faire des choix. Ces choix sont nécessairement interdéendants. En effet, en choisissant les quantités qu'ils veulent consommer des différents biens, les consommateurs sont limités ar les ressources dont ils disosent, en articulier ar la quantité de travail qu'ils veulent et euvent vendre aux entrerises. r cette quantité déend du choix des entrerises quant à la technique utilisée : beaucou de main d œuvre ou eu de main d œuvre. Ainsi les choix des ménages déendent des choix techniques des entrerises. De même les entrerises en choisissant ce qu'elles veulent roduire et en quelles quantités sont influencées ar les choix des consommateurs relativement aux biens et aux quantités qu'ils veulent consommer. Ainsi les choix des entrerises sont aussi déendants des choix des ménages. L'interdéendance de cette multitude de décisions ose la question du mécanisme ouvant assurer leur cohérence. Qu'est-ce qui fait que ce que des ménages très nombreux sans consultation entre eux voudraient acheter égale exactement ce que de l'autre côté un très grand nombre d'entrerises voudraient vendre? Deux mécanismes euvent assurer cette fonction de coordination : l'intervention autoritaire de l'etat et le fonctionnement décentralisé du marché. Dans une économie lanifiée ure, c'est le bureau du lan qui fixe les biens à roduire, en quelles quantités et de quelle façon. C'est aussi l'etat qui suervise la distribution des biens roduits. Dans une économie libérale ure, c'est au marché seul qu'incombe la resonsabilité d'assurer la cohérence des décisions sans intervention de l'etat, si ce n'est la fixation des règles du jeu. Mais comment le marché arvient-il à orchestrer comme d'une main invisible toutes ces décisions? bservons d'abord que le marché d'un bien ou d'un service est entendu dans le sens le lus général d'un mécanisme ar lequel les acheteurs et les vendeurs interagissent our en déterminer le rix et la quantité échangée. 8

8 Définition et objet de la micro-économie Les deux ôles rinciaux du marché sont les consommateurs d'une art et les entrerises d'autre art. Sur le marché des ressources, les consommateurs offrent du travail aux entrerises. Ils sont guidés ar un certain nombre de facteurs, tels que le besoin de se rocurer un revenu ou le goût our le travail ou au contraire la référence our le loisir. Mais le facteur rincial qui conduit les consommateurs à offrir une quantité lus ou moins grande d'une certaine ressource est son rix : lus le rix est élevé, lus les consommateurs sont disosés à offrir les ressources dont ils disosent. Les entrerises ont besoin de ces mêmes ressources our roduire. Elles sont guidées ar leur rore intérêt, c est à dire ar la recherche du rofit. Plus le rix des ressources est élevé, lus le coût de roduction est élevé, ce qui, toutes choses étant égales ar ailleurs, imlique des rofits lus faibles. Sur le marché de chaque ressource il y aura confrontation entre une offre qui croît avec le rix et une demande qui décroît avec le rix. Si le rix est tro élevé, la demande serait insuffisante our absorber toute l'offre. Les consommateurs qui n'arrivent as à vendre ce qu'ils voulaient vendre à ce rix seraient disosés à acceter un rix inférieur, ce qui encouragerait les entrerises à demander lus de cette ressource. Il y aurait donc un moment où le rix égaliserait l'offre et la demande. C'est le rix d'équilibre. n ourrait conduire un raisonnement similaire our montrer comment on est amené à l'équilibre à artir d'une situation où le rix est tro bas. Les consommateurs et les entrerises vont se rencontrer aussi sur les marchés des roduits. Là, les consommateurs vont se décider sur les biens et les services qu'ils demandent et sur les quantités demandées en fonction d'un certain nombre de facteurs, tels que leurs goûts our tel ou tel roduit, l'utilité que leur rocure l'acquisition de tel ou tel bien, le revenu dont ils disosent mais surtout le rix de chaque bien ou de chaque service. Plus le rix est élevé, moins on en demande, toutes choses étant égales ar ailleurs. Pour les entrerises qui offrent ces roduits, le rix est une recette. Plus le rix est élevé, lus elles sont disosées à en roduire our les vendre aux consommateurs. Le même mécanisme souligné à roos des marchés des ressources conduit à l'équilibre du marché c'est à dire à la détermination du rix auquel la quantité demandée ar les consommateurs est exactement égale à celle offerte ar les entrerises. Remarquons que d'arès le raisonnement que nous venons de faire, l'équilibre sur chaque marché ne déend que de l'offre et de la demande sur ce même marché. Tous les marchés sont indéendants. Cette roriété ne tient ceendant que si la 9

9 Définition et objet de la micro-économie demande et l'offre sur un marché ne déendent que du rix du bien échangé sur ce marché ou si les rix des autres biens sont suosés inchangés. r la demande d'un bien déend non seulement du rix de ce bien mais des rix d'autres biens. La demande de oisson eut augmenter ar exemle lorsque le rix de la viande augmente arce que les ménages substituent le bien dont le rix n'a as augmenté au bien dont le rix a augmenté. La demande de sucre eut aussi diminuer lorsque le rix du thé augmente arce que les ménages en consommant moins de thé, consomment en même tems moins de sucre. De la même façon l'offre d'un bien déend à côté du rix de ce bien des rix de tous les facteurs de roduction. Donc la recherche de l'équilibre sur chaque marché ris isolément (équilibre artiel) ne vaut en toute rigueur que si les rix des autres biens restent inchangés. Elle reste ceendant ratiquement justifiée lorsque les effets indirects (de la variation des rix des autres roduits) sont eu imortants en regard de l'effet direct de la variation du rix du bien considéré. Lorsqu'on ne veut as faire cette hyothèse de stabilité des autres rix, on ne eut lus trouver l'équilibre sur un marché indéendamment de ceux qui s'établissent sur les autres marchés qui deviennent ainsi interdéendants. La coordination des décisions, donc l'égalisation des quantités demandées et des quantités offertes de tous les biens, exige la résolution simultanée des équilibres sur tous les marchés c'est à dire l'équilibre général de l'économie. Arrivés à ce oint, il est tems de clore cette introduction en roosant d abord une définition récise de l'economie, en récisant ensuite ce qui distingue la Microéconomie des autres branches de l'economie et en fournissant enfin une esquisse de son contenu. IV - Définition et objet de la micro-économie En arlant de la rareté des ressources en tant que fondement de l'economie nous nous étions articulièrement rarochés de la définition de l'economie. En effet resque toutes les définitions qui en sont roosées sont construites autour de cette notion-clé de ressources rares. La définition suivante due à E.Malinvaud en est un exemle : "L'Economie est la science qui étudie comment des ressources rares sont emloyées our la satisfaction des besoins des hommes vivant en société ; elle s'intéresse d'une art aux oérations essentielles que sont la roduction, la 0

10 Définition et objet de la micro-économie distribution et la consommation des biens, d'autre art aux institutions et activités ayant our objet de faciliter ces oérations." Deuis les années trente et sous l'influence d'un grand économiste du nom de J- M. Keynes, l'economie est subdivisée en Micro-économie et Macro-économie. Plus que des domaines ou des comartiments de l'economie, la Micro et la Macro sont des aroches différentes et comlémentaires de traitement des questions économiques. L'aroche micro-économique traite son sujet en resectant l'individualité de chaque agent et surtout de chaque bien alors que l'aroche macro-économique ne s'intéresse qu'à des agrégats de biens et d'agents. La Micro-économie s'intéresse aux questions suivantes : - Le comortement de chaque agent (consommateur, roducteur) à la base des décisions d'offre et de demande ortant sur des biens articuliers. - La formation des rix sur des marchés articuliers ar interaction des décisions d'offre et de demande ortant sur un même bien et en suosant que les rix des autres biens sont inchangés (équilibre artiel). 3- La détermination simultanée des rix, et des quantités roduites, échangées et consommées de tous les biens (équilibre général). 4- La comaraison, du oint de vue de la société, entre différents états de l'économie, caractérisés chacun ar un vecteur articulier de quantités roduites et consommées (théorie de l'otimum social). C est à la remière série de ces questions qu est consacré le résent ouvrage. Il se subdivise en deux arties : La remière traite du comortement du consommateur. Elle déveloe dans un remier chaitre la théorie des choix du consommateur. Elle en rerend les rinciaux résultats our construire dans le second chaitre la théorie de la demande. Le comortement du roducteur, objet de la deuxième artie, est analysé en trois chaitres. Le remier est réservé à une résentation de la contrainte technique qui s imose à l entrerise dans ses choix des quantités roduites et des quantités utilisées des facteurs de roduction. Il introduit ainsi les notions d ensemble et de fonction de roduction. Dans le deuxième chaitre, nous suosons momentanément

11 Définition et objet de la micro-économie résolue la question du choix de la quantité à roduire et nous nous intéressons à la théorie de la demande de facteurs de roduction, à quantité d outut donnée. Nous en déduisons la théorie des coûts de roduction. Dans le troisième et dernier chaitre, nous revenons sur l hyothèse récédente et nous nous intéressons à la question de la détermination du volume otimal de roduction, lorsque l entrerise oère sur des marchés d inuts et d outut qualifiés de concurrentiels.

12 L'équilibre du consommateur Première Partie : Comortement du consommateur Chaitre I : Théorie des choix du consommateur Dans ce chaitre, nous allons exliquer comment le consommateur choisit armi tous les biens et services disonibles dans l'économie ceux qu'il désire acquérir et en quelles quantités. I- Le modèle des choix du consommateur Les choix du consommateur sont suosés obéir à une certaine rationalité: obtenir le maximum de satisfaction sous la contrainte que ses déenses ne déassent as le revenu dont il disose. Nous suosons que le consommateur est caable de comarer l'utilité ou la satisfaction que lui rocure la consommation de deux aniers de biens différents. En suosant qu'il existe n biens dans l'économie et en aelant x, x,...,x n les quantités consommées des n biens, on leur associe un niveau de satisfaction S(x, x,...,x n ). Les rix,,..., n sont des données exogènes, reflétant l'hyothèse qu'aucun consommateur ne eut influencer les rix ar ses rores décisions. La déense totale x + x n x n ne doit as déasser le revenu du consommateur, R. Cette contrainte est aelée contrainte budgétaire. Le modèle des choix du consommateur eut donc s'écrire formellement comme la détermination d'un anier de consommation x *, x*,...,x* n tel que : S(x*, x *,..., x* ) n S(x, x,..., x ) n i n (x, x,..., x ) χ n sous la contrainte i x *i R, i où X désigne l ensemble des aniers de consommation hysiquement ossibles. La résolution du modèle ermet de trouver, sous certaines conditions, les quantités consommées en fonction des variables exogènes : rix et revenu. Ces fonctions x i = g i (,,..., n, R) sont aelées fonctions de demande. 3

13 L'équilibre du consommateur II- Ensemble des consommations ossibles et contrainte budgétaire - Ensemble des consommations ossibles Si on se limite aux biens de l'économie qui sont acquis ar le consommateur, la seule limite aux ossibilités de consommation est que la quantité acquise de chaque bien ne eut être négative. L'ensemble des ossibilités de consommation est alors rerésenté ar la artie de R n dont aucune comosante n'est négative (fig..- a). (a) (b) x x x x Figure. Ensemble des consommations hysiquement ossibles : (a) Les deux biens sont acquis. (b) Le bien eut être fourni Ceendant, la théorie du consommateur eut utiliser le même cadre our rerésenter non seulement les biens acquis ar les consommateurs mais aussi les restations fournies ar eux, en articulier le travail. Dans ce cas, une restation est considérée comme une consommation négative et est donc comtée négativement. Si on se lace dans le cas simle de deux biens dont le deuxième est le travail, l'ensemble des ossibilités de consommation est rerésenté ar la artie du demi-lan corresondant à des consommations non négatives du remier bien et à une consommation x de travail. La quantité de travail fournie est ositive, elle est égale à x. L idée que le consommateur ne eut as fournir lus d une quantité maximale de travail se traduit ar la condition que x doit déasser un minimum x (fig..- b). 4

14 L'équilibre du consommateur Sauf mention contraire, nous nous référons ar la suite au cas classique où le consommateur ne fournit aucune restation. - Contrainte budgétaire A Le cas régulier a La droite de budget Lorsque les choix du consommateur ne sont limités que ar son revenu et qu il n existe ni taxes ni subventions (on arle alors de cas régulier), la contrainte budgétaire est rerésentée ar l'inéquation i x i R. i En se limitant à deux biens, la contrainte budgétaire est rerésentée ar une droite, aelée droite de budget (fig..). i n x R P B N P M P x + x = R R P A x Figure. La contrainte budgétaire : le cas régulier. La droite de budget a our équation : x + x = R ou x = - x + R La ente de la droite de budget est donc égale en valeur absolue au raort des rix des deux biens, aelé aussi rix relatif. La négativité de la ente signifie que our un revenu donné, l'accroissement de la consommation d'un bien ne eut se faire qu'au déens de la consommation d'un autre bien. 5

15 L'équilibre du consommateur La droite de budget coue les axes en deux oints A et B corresondant chacun à la consommation d un seul bien.. L abscisse du oint A rerésente la quantité maximale que eut consommer le ménage du bien, en lui consacrant la totalité de son revenu ; A( x = P R, x = 0). De même, l ordonnée du oint B, désigne la consommation maximale du bien, lorsque le ménage lui consacre la totalité de son revenu ; B( x =0, x = P R ). La contrainte budgétaire réduit l'ensemble des ossibilités de consommation. Le triangle au-dessous de la droite de budget rerésente les aniers de consommation qui satisfont l'inéquation ci-dessus. A la frontière du triangle, c est à dire sur la droite de budget, tout le revenu est éuisé alors qu'à l'intérieur du triangle, la déense est strictement inférieure au revenu. L'aire du remier quadrant située audessus de la droite de budget corresond à des consommations qui ne euvent être atteintes faute de moyens suffisants. b Délacement de la droite de budget i - Si le revenu augmente alors que les rix relatifs sont inchangés, la droite de budget se délace vers le haut arallèlement à elle-même (fig..3 -a). ii - Si le rix du bien augmente, toutes choses étant égales ar ailleurs, la ente augmente en valeur absolue (droite lus raide) et la droite de budget asse toujours ar le oint B (fig..3 -b). iii - Si le rix du bien augmente, ceteris aribus, la ente diminue en valeur absolue (droite lus alatie) et la droite de budget asse toujours ar le oint A (fig..3 -c). iv - Si les deux rix augmentent dans la même roortion, la ente de la droite de budget ne change as, mais l ordonnée et l abscisse à l origine diminuent. La droite de budget se délace alors vers le bas, arallèlement à elle-même. Une augmentation roortionnelle de tous les rix est donc équivalente à une réduction dans la même roortion du revenu. Elle est rerésentée sur la figure.3 -a ar le délacement de la droite de budget de A B à AB. v - Si les deux rix varient mais as dans la même roortion, la ente comme la osition de la droite de budget varient. Par exemle si les deux rix augmentent, mais que le remier augmente lus que le deuxième, la droite de budget se délace 6

16 L'équilibre du consommateur vers le bas reflétant la baisse du ouvoir d achat du revenu et devient lus raide uisque sa ente augmente en valeur absolue (fig..3 -d). x (a) x (b) R P B' R P B B R P R ' x B B' A R ' P (c) R P A' x x R P R ( )P B B' A' R ' P (d) A R P x P A R P x A' R ( )P A R P x Figure.3 Délacement de la droite de budget. (a) Diminution équiroortionnelle de tous les rix, ou augmentation du revenu. (b) Augmentation du rix du bien seulement. (c) Augmentation du rix du bien seulement. (d) Augmentation lus raide du rix du bien. B La contrainte budgétaire en résence de taxes ou de subventions : a - Imôt direct sur le revenu L imosition du revenu ne modifie as les rix relatifs et corresond donc simlement à une réduction du revenu. La droite de budget se délace donc vers le bas, arallèlement à elle-même. 7

17 L'équilibre du consommateur Des allocations de revenu, comme les allocations familiales, agissent en sens inverse d un imôt direct : la droite de budget se délace vers le haut, arallèlement à elle-même (fig..3 -a). b - Imôt indirect L imôt indirect, tel que l imôt sur le chiffre d affaires ou la taxe sur la valeur ajoutée, s analyse du oint de vue du consommateur comme une augmentation des rix. Lorsque l imôt est uniforme c est à dire qu il frae tous les biens en même tems et au même taux, son effet est alors identique à une augmentation roortionnelle de tous les rix : la droite de budget se délace arallèlement à ellemême en se rarochant de l origine (fig..3 -a). Si au contraire, les biens sont imosés à des taux différents, alors la droite de budget se raroche de l origine, tout en changeant de ente (fig..3 -d). c - Les subventions Lorsque les rix de certains biens sont subventionnés, la subvention joue comme un imôt négatif : elle diminue le rix du bien objet de la subvention. La droite de budget se délace vers le haut tout en changeant de ente si, comme c est généralement le cas, la subvention n est as uniforme (fig..3 -d). C La contrainte budgétaire en résence de subventions en nature ou de rationnement a - Les couons d achat Il arrive que l Etat, jugeant insuffisant le revenu de certaines familles, leur accorde des couons qu elles euvent utiliser our acheter des biens de remière nécessité comme les roduits alimentaires. Plusieurs modalités sont envisageables our la distribution de ces couons aux familles nécessiteuses. Nous en distinguerons trois : i - La distribution gratuite des couons Grouons en deux les biens consommés : les biens alimentaires () et les autres (). L Etat accorde à un ménage nécessiteux des couons d une valeur monétaire V. Ils ermettent d acquérir V unités de biens alimentaires. 8

18 L'équilibre du consommateur Si la quantité consommée de biens alimentaires x est inférieure à ménage disose de tout son revenu our l achat d une quantité biens. Si x (x - V sa contrainte budgétaire s exrime ar : V ) + x = R x + x = R + V Elle est donc rerésentée ar une droite de ente : - (fig..4 -a). V, le R des autres x (a) x (a) x (c) R v P R P R v P V R V v V R V P P x P P x V P R V v P x Figure.4 (a) Distribution gratuite des couons. (b) Achat divisible de couons subventionnés. (c) Achat indivisible de couons subventionnés.. ii - L achat divisible de couons subventionnés Le ménage reçoit une carte lui ermettant d acheter des biens alimentaires d une valeur maximale V, à un rix V v inférieur au rix du marché (). A ce rix subventionné, le consommateur eut acheter, au maximum, unités. Au-delà il aie le rix normal. V () Il en découle que V v doit être inférieur à l unité. 9

19 L'équilibre du consommateur absolue à Si x V la contrainte budgétaire est exrimée ar : x v + x = R V Elle est rerésentée ar une droite ayant our ente - (fig..4 -b). Si x V. V la contrainte budgétaire devient : V v + (x - V v V ) + x = R x + x = R + V v inférieure en valeur La droite de budget a, sur cet intervalle, la même ente que la droite de budget sans subvention (fig..4 -b). iii - L achat indivisible de couons subventionnés Contrairement au cas récédent, les couons d une valeur V sont achetés en un seul bloc à un rix v < V. Ils ermettent d acheter un maximum de V unités de biens alimentaires. Si le ménage en achète moins, les couons restants sont simlement inutilisés. Si x v le ménage n achète as les couons arce qu il ne déenserait ainsi que x < v. L équation de sa contrainte budgétaire est alors : Si v x x + x = R V la déense en biens alimentaires est constante ; elle est R v. égale à v. Le reste du revenu R-v ermet d acheter x = Il faut noter que les couons ne sont leinement utilisés qu à la limite, c est à dire lorsque x = Si x V. V le consommateur achètera les couons qui coûtent v et le reste, x - est donnée ar : V remières unités avec des V, au rix. Sa contrainte budgétaire 0

20 L'équilibre du consommateur (x - V ). + x. = R v. x +. x = R + V v La courbe de budget est alors rerésentée ar deux segments de droite de même ente (- ), séarés ar un segment de droite horizontale (fig..4 -c). b - Le rationnement Un ménage est rationné lorsqu il ne eut acheter au rix courant toute la quantité qu'il désire. n eut distinguer deux cas de rationnement : Dans le remier, le ménage ne eut absolument as déasser une certaine quantité du bien rationné. C est ar exemle le cas d un bien imorté et distribué dans des magasins contrôlés à des ménages disosant d une carte de rationnement. Dans le deuxième cas, le ménage a la ossibilité de comléter ses achats au rix de rationnement, en s adressant au marché arallèle, ou marché noir. Il aiera bien sûr un rix lus élevé. i - Le rationnement absolu L ensemble des choix est contraint, en lus de la contrainte budgétaire, ar une contrainte hysique du tye x seule le remier bien est rationné. x et/ou x ii - Le rationnement suléé ar le marché arallèle Le ménage eut acheter jusqu à le rix des marchés > 0. x. La figure.5 -a rerésente le cas où x à un rix subventionné 0. Au delà il aie La contrainte budgétaire a deux exressions suivant que la quantité consommée est inférieure ou suérieure à x. Si x x P0 x + x = R Si x x P0 x + (x - x ) + x =R x + x = R + ( 0 P ). x La figure.5 -b donne une rerésentation grahique de la contrainte budgétaire corresondant à ce cas.

21 L'équilibre du consommateur x R P V R v P P (a) x R P V 0 R P P x P 0 P P (b) P P v P V P R V v P x x R P 0 P P P x x V V Figure.5 (a) Rationnement absolu du bien. (b) Rationnement du bien suléé ar le marché arallèle. P P III- La rerésentation des goûts des consommateurs : utilité et relation de référence - La fonction d'utilité Pour rerésenter les références ou les goûts des consommateurs, les économistes ont d'abord eu recours à la notion d'utilité. Le consommateur achète un certain bien arce qu'il lui rocure une certaine satisfaction. S'il réfère un sandwich à une lace de cinéma, dans certaines circonstances, c'est que le sandwich lui rocure lus d'utilité que le film. Formellement, on définit sur l'ensemble des consommations ossibles une fonction S, dite fonction d'utilité qui associe à chaque anier de consommation ( x 0,..., x 0 n ) une valeur S( x 0,..., x 0 n ), suosée constituer un bon indicateur de l utilité rocurée au consommateur ar ce anier articulier. Si la notion d'utilité corresond bien à l'intuition, elle n'est as ceendant sans oser un roblème sérieux, celui de la mesure. En effet, l'utilité est subjective et difficilement mesurable. Les économistes ont d'abord raisonné comme si l'utilité était mesurable et ont construit des fonctions d'utilité cardinales où l'utilité est mesurée en termes d'unités aelées "utils".

22 L'équilibre du consommateur Les économistes modernes se sont néanmoins débarrassés de cette vision eu réaliste et raisonnent maintenant en termes d'utilité ordinale. Ils suosent seulement qu'il est ossible d'ordonner les satisfactions rocurées ar deux aniers différents de consommation, sans attacher à chacun des deux aniers un nombre articulier d'utils. La concetion ordinale de l'utilité signifie que la fonction S n'est définie qu'à une transformation monotone croissante rès : Si S ordonne deux aniers x et x tel que S(x ) < S(x ) et si est une transformation monotone croissante, la nouvelle fonction d'utilité U = (S) conserve l'ordre d'utilité des deux aniers x et x : U(x ) < U(x ). U Ux ) U(x ) A B S(x ) S(x ) S Figure.6 Transformation monotone croissante d une fonction d utilité - Sens de variation de la fonction d'utilité ) L'utilité augmente avec la consommation. En outre, il n'y a as de limite suérieure à l'utilité. Toute augmentation de consommation augmente la satisfaction. n dit qu'il y a absence de saturation. ) L'utilité de la remière unité consommée est lus élevée que celle retirée de la consommation de la seconde unité et ainsi de suite. L'utilité croît donc avec la consommation mais à un taux décroissant. L'utilité additionnelle rocurée ar la 3

23 L'équilibre du consommateur consommation d'une unité sulémentaire est aelée utilité marginale. Cette hyothèse exrime le rincie de la décroissance de l'utilité marginale. 3- Utilité et ordre de références La fonction d'utilité introduit une relation de références sur l'ensemble des consommations ossibles. n dit qu'un anier de consommation x est référé à un anier x ou lui est équivalent si et seulement si S(x ) S(x ). n note cette relation. x x S(x ) S(x ) n en déduit que x x (se lit x strictement référé à x ) si S(x ) > S(x ) En effet x x x x mais non x x S(x ) S(x ) et non S(x ) S(x ) S(x ) > S(x ) n en déduit aussi que x ~ x (se lit x équivalent à x ) si x x et x x. En effet cette condition imlique : S(x ) S(x ) et S(x ) S(x ) S(x ) = S(x ) La relation ~ est une relation d'équivalence, tous les aniers équivalents entre eux formant une classe d'équivalence. 4- Courbes d'indifférence A Notion de courbe et de carte d indifférence Soit un anier de consommation x qui rocure un niveau de satisfaction S 0. Le consommateur eut acceter moins d'un bien contre lus d'un autre bien et garder le même niveau de satisfaction. Par exemle, il eut acceter d'avoir kg de viande de moins our une aire de chaussures de lus. Ceci exrime une roriété fréquemment réandue dans l'économie : les biens sont substituables entre eux du oint de vue de leur faculté de rocurer de la satisfaction au consommateur. Comment se fait donc cette substitution? 4

24 L'équilibre du consommateur Nous allons considérer, our simlifier, des aniers de consommation où les quantités consommées de tous les biens à l'excetion de deux, et, sont inchangées. n s intéresse alors à toutes les combinaisons de consommation de ces deux biens (x, x ) qui donnent la même satisfaction. Ces combinaisons sont rerésentées dans le lan (x, x ) ar une courbe C 0. Parce que les aniers de consommation rerésentés ar des oints sur la courbe C0 donnent tous la même satisfaction, ils sont tous équivalents. Par exemle x ~ x. Le consommateur est indifférent entre tous ces aniers. C'est ourquoi cette courbe est aelée courbe d'indifférence (figure.7). x x xj xj x x C c C C x x x 0 x Figure.7 Courbe d indifférence Figure.8 Carte d indifférence Lorsqu'on fait varier le niveau de satisfaction on obtient d'autres courbes d'indifférence, corresondant chacune à un certain niveau de satisfaction. Par exemle la courbe C située au-dessus de C 0 corresond à tous les aniers de consommation donnant un niveau d'utilité S > S 0. Par contre la courbe C située au-dessous de C 0 rerésente les aniers de consommation rocurant une satisfaction S < S 0. L'ensemble des courbes d'indifférence d'un même consommateur forment sa carte d'indifférence (fig..8). B Une roriété imortante des courbes d indifférences 5

25 L'équilibre du consommateur Les courbes d'indifférence ne se couent as. Démontrons cette roriété ar l absurde : Soit en effet deux courbes d indifférence C 0 et C corresondant à deux niveaux d utilité S 0 et S (figure.9). Soit maintenant trois aniers x, x et x 3 tels que : x C 0, x C et x 3 C 0 C. Suosons encore que S > S 0. x C 0 et x 3 C 0 x ~ x 3 x C et x 3 C x ~ x 3, En vertu de la transitivité de la relation d'équivalence, on déduit que x ~ x ; ce qui est imossible uisque S(x ) est ar hyothèse strictement inférieur à S(x ). x x 3 Figure.9 Absurdité de l'intersection de deux courbes d'indifférence x x C C 0 x C Forme des courbes d indifférence La courbe d indifférence étant une rerésentation de tous les aniers considérés ar le consommateur comme équivalents, donc rocurant la même utilité, la forme de cette courbe reflète la manière avec laquelle des quantités de différents biens contribuent à rocurer un certain niveau de satisfaction au consommateur. a La comlémentarité arfaite n imagine que our certains biens, la satisfaction ne eut augmenter que si la consommation de tous ces biens augmente en même tems et dans les mêmes roortions. Si ar exemle 00 g de thé et 500 g de sucre rocurent ensemble un certain niveau de satisfaction, avoir 00 g de thé avec la même quantité de sucre, 6

26 L'équilibre du consommateur laisse le niveau de satisfaction inchangé. Pour que ce dernier augmente, il faut que le doublement de la quantité consommée de thé soit accomagné d un doublement de la quantité de sucre. Le thé et le sucre doivent dans ce cas être combinés dans des roortions fixes our rocurer des niveaux de satisfaction différents. Ils sont our cette raison qualifiés de arfaitement comlémentaires. La fonction d utilité rerésentant un tel système de références est exrimée ar : S (x, x ) = Min ( x, x a a ) où a et a sont les quantités minimales des deux biens qui rocurent un niveau d utilité unitaire. Il est clair que la comlémentarité arfaite exclut toute substitution entre les biens du oint de vue de leur faculté à rocurer de l utilité au consommateur, uisqu on ne eut garder le même niveau d utilité en diminuant la quantité consommée d un bien et en augmentant la quantité consommée de l autre. La courbe d indifférence est rerésentée ar une équerre dont le sommet indique les quantités minimales qu il faut consommer des deux biens our atteindre le niveau d utilité corresondant (figure.0). En ce oint, la courbe d indifférence n est as différentiable. x S = 3 a S = a x Figure.0 Courbe d indifférence entre des biens arfaitement comlémentaires. b La substitution arfaite 7

27 L'équilibre du consommateur A l oosé de la comlémentarité arfaite, donc de l absence totale de substitution, se trouve le cas de la substitution arfaite. Dans ce cas, la satisfaction du consommateur reste toujours inchangée si on substitue à une quantité donnée d un bien, une quantité constante d un autre bien. Par exemle, le consommateur ourra trouver que sa satisfaction ne change as si on lui donne deux kilogrammes de farine de lus et qu on lui retire simultanément un kilogramme de semoule, et ce quelle que soit la quantité qu il ossède déjà de farine et de semoule. En rerésentant la consommation de semoule en abscisse (x ) et celle de farine en ordonnée (x ), une courbe d indifférence est rerésentée ar une droite de ente (fig.. - a). x (a) x (b) + B A + + A B - x - - x Figure. Courbe d indifférence : (a) entre deux biens arfaitement substituables. (b) entre deux biens imarfaitement substituables. La fonction d utilité corresondant à ce cas est rerésentée ar : S (x, x ) = a x + a x Un cas articulier de substitution arfaite corresond à la substitution des deux biens dans le raort /. Il s agit alors d un même bien du oint de vue du consommateur uisqu une unité d un bien contribue à l utilité exactement autant qu une unité de l autre bien. c La substitution imarfaite La substitution arfaite constitue un cas extrême. Il est lus naturel de suoser que la quantité que le consommateur exige d un bien our acceter de céder une unité de l autre bien ne soit as la même suivant qu il a beaucou ou très eu du bien cédé. 8

28 L'équilibre du consommateur Dans ce cas, la courbe d indifférence n est lus une droite mais elle est incurvée (fig..-b). Au oint A, lorsque le consommateur a relativement eu du remier bien et beaucou du deuxième, il est rêt à céder une unité du bien contre deux unités du bien. Mais lorsqu il a relativement beaucou du bien (oint B), il devient rêt à céder deux unités du bien contre seulement une unité sulémentaire du bien. L existence d un certain degré de substitution fini et non nul est le cas le lus couramment considéré en économie. Remarquons que lus la substitution est forte, lus la courbe d indifférence est «évasée», se rarochant d une droite, c est à dire de la substitution arfaite. Au contraire, lus la substitution est faible, lus la courbe d indifférence est «resserrée», se rarochant de la courbe en équerre caractéristique de l absence de substitution (fig..). x (a) x (b) x x Figure. Courbe d indifférence et de degré de substitution : (a) Substitution forte. (b) Substitution faible. 5- Taux Marginal de substitution En se délaçant le long d'une courbe d'indifférence de gauche à droite (fig..3) on substitue du bien (bien alimentaire) au bien (vêtements) c'est-à-dire qu'on consomme de moins en moins de vêtements et de lus en lus de biens alimentaires. En se délaçant de droite à gauche on substitue au contraire le bien au bien. Soit un anier de consommation rerésenté ar le oint A( x 0, x 0 ) et rocurant une satisfaction S 0. 9

29 L'équilibre du consommateur Considérons maintenant une etite augmentation x du bien. Pour que la satisfaction ne change as, il faut qu'il y ait diminution de la consommation du bien. Soit x < 0 cette diminution. Cette substitution du bien au bien est rerésentée ar le délacement du oint A à un oint B roche de A et situé sur la même courbe d indifférence (figure.3-a). x 0 x + 0 x B A 0 x + x 0 x x Figure.3 Taux marginal de substitution x Le raort est aelé taux marginal de substitution du bien au bien x entre les oints A et B de la courbe d indifférence. Il est noté TMS / (A, B). Géométriquement, il est rerésenté ar la valeur absolue de la ente de la droite qui relie les oints A et B. Le TMS / exrime ainsi la quantité du bien que le consommateur exige si on lui demande de céder une unité sulémentaire du bien (x = -). C est donc la valeur sychologique qu attache le consommateur à une unité du bien. Cette valeur est exrimée en unités du bien. Lorsque la variation de la consommation est infinitésimale, le oint B devient voisin de A (figure.3-b). Le TMS du bien au bien au voisinage du oint A, dx noté TMS / (A), désigne la valeur au oint A du raort dx. Il est alors rerésenté ar la valeur absolue de la ente de la tangente au oint A à la courbe d'indifférence dans le lan (x,x ). 30

30 L'équilibre du consommateur Le TMS du bien au bien est égal au raort dx dx. Il est, ar définition, l inverse du TMS du bien au bien. Il est mesuré ar la valeur absolue de la ente de la tangente à la courbe d indifférence, mais dans le lan (x, x ). TMS /. TMS / = 6- Proriétés du Taux Marginal de Substitution. i - Le taux marginal de substitution du bien au bien est égal au raort de l'utilité marginale de à celle de, ou encore à la désirabilité relative du bien ar S raort au bien : '. S' Considérons en effet la différentielle totale de la fonction de satisfaction au oint ( x 0, x 0 ). ds( x0, S( x0,x 0) S(x0,x 0) x 0 ).dx.dx x x La variation le long de la courbe d'indifférence imlique que ds = 0 S' dx S' dx 0 S' dx S' dx - dx dx S' = S' ii - Le taux marginal de substitution d'un bien à un bien déend des quantités consommées (x, x ). La ente de la tangente à la courbe d indifférence au oint A n est as la même que la ente de la tangente au oint B (figure.4). x A B C 0 x Figure.4 Décroissance du taux marginal de substitution 3

31 L'équilibre du consommateur Le TMS est donc variable le long de la courbe d indifférence. Mais dans quel sens varie-t-il? Raelons- nous que le TMS / mesure la valeur subjective d une unité du bien exrimée en unités hysiques du bien. Il est alors raisonnable de suoser que lorsqu un consommateur a très eu du bien (oint A de la figure.4-a) il exige en contreartie d une unité de ce bien une quantité relativement imortante du bien. Au contraire lorsque le bien est en abondance chez le consommateur, il acceterait de céder une unité de ce bien même our une quantité relativement faible du bien (oint B de la figure.4-a). En règle générale, lus on a d un bien, lus on est rêt à renoncer à une lus grande quantité de ce bien en contreartie d une etite augmentation de la consommation d un autre bien. Dans ce cas le raort dx dx diminue à mesure que x augmente. Le TMS / est une fonction décroissante de x et croissante de x. La tangente à la courbe d'indifférence commence ar être resque verticale (ente très élevée) et finit ar être resque horizontale (ente resque nulle). La décroissance du TMS signifie aussi que la courbe d'indifférence tourne sa concavité vers le haut (elle est dite convexe) et que le consommateur réfère toujours une comosition intermédiaire entre deux aniers à chacun des deux aniers extrêmes (figure.5). La fonction d'utilité qui satisfait cette roriété est dite strictement quasi-concave. x x x = x + ( - ) x x C 0 S(x) > S(x ) = S(x ) x Figure.5 Convexité de la courbe d'indifférence 3

32 L'équilibre du consommateur Soit en effet deux aniers x et x, tels que S(x ) = S(x ) = S 0. et soit x = x +(-)x avec 0<< Le nouveau anier x est intermédiaire entre les deux aniers x et x : il contient lus du bien et moins du bien que le remier et moins du bien et lus du bien que le second. Comme le oint rerésentant le anier x est situé au-dessus de C 0, il rocure lus d utilité que n imorte lequel des aniers x et x : S(x) > S(x ) = S(x ). iii La décroissance du taux marginal de substitution est conservée ar transformation monotone croissante. En effet, soit "t" le taux marginal de substitution du bien au bien, associé à une fonction d utilité S : S' t = S' Soit une transformation monotone croissante de S : U = (S) avec > 0 Le taux marginal de substitution de à, associé à la nouvelle fonction d utilité U, noté "" est égal à : = U ' ρ' S' U' = ρ' S' = S ' S' = t n en déduit que si "t" est décroissant, " " l est aussi. La décroissance du TMS est donc une notion ordinale. 7 - Exemles de fonctions d utilité n distingue lusieurs tyes de fonctions d utilité, constituant des rerésentations différentes des références du consommateur. 33

33 L'équilibre du consommateur Nous avons déjà oosé les fonctions d utilité suivant qu elles suosent ou non la substituabilité des biens our rocurer un même niveau d utilité. n eut aussi les distinguer suivant qu elles suosent ou non l influence de la quantité consommée d un bien sur l utilité marginale d'un autre bien. Dans le cas où cette influence est absente, la fonction d utilité est dite additivement séarable. Elle est de la forme : S(x, x ) = u(x ) + v(x ). Le cas d une fonction d utilité à biens arfaitement substituables constitue un cas articulier d une fonction additivement séarable : les deux fonctions u(x ) et v(x ) sont linéaires. Un autre cas articulier de fonction d utilité additivement séarable est celui où l une des fonctions u et v est la fonction "identité" u(x ) = x ou v(x ) = x. Considérons ar exemle une fonction d utilité du tye : S(x, x ) = x + u(x ) Elle a our roriété que les courbes d indifférence sont homothétiques, c est à dire que la distance mesurée verticalement entre deux courbes d indifférence est constante. Soit en effet C0 la courbe d indifférence ayant our équation : S(x, x ) = x + u(x ) = k 0 ou x = - u(x ) + k 0 et soit C la courbe d indifférence corresondant à un niveau d utilité suérieur k, son équation est : x = - u(x ) + k est : La distance mesurée verticalement entre C 0 et C our une consommation x 0 - u( x 0) + k [-u( x 0) + k 0] = k k 0 n observe que cette distance ne déend as de x. Elle est donc constante quelle que soit x. 34

34 L'équilibre du consommateur x k k 0 k - k 0 C C 0 0 x x Figure.6 Courbes d'indifférence homothétiques Le cas le lus général est ceendant celui où la quantité consommée d un bien eut avoir un effet sur l utilité marginale de l autre. La fonction d utilité est alors non séarable. Un exemle fréquemment utilisé de fonction d utilité non séarable est la fonction Cobb-Douglas. Elle est de la forme : S(x α x β,x ) ax IV- L'équilibre du consommateur - La condition d'équilibre Le consommateur cherche à utiliser le revenu dont il disose de manière à obtenir le maximum d'utilité. Les biens qu'il eut acheter sont caractérisés ar des utilités différentes et des rix différents. En divisant les utilités marginales ar les rix, on obtient l'utilité marginale rocurée ar le dernier dinar déensé à acheter les différents biens. Suosons qu'il S ' S ' existe deux biens et tels que >. Il est clair que le consommateur P P 35

35 L'équilibre du consommateur augmenterait son utilité totale en transférant un dinar de l'achat du bien à l'achat du bien. En ce faisant, S' diminue et S ' augmente. L'écart entre les utilités marginales du dernier dinar se rétrécit. S'il est toujours ositif, le consommateur a intérêt à rééter la même oération. Donc, le consommateur, soucieux de maximiser son utilité, continue de transférer du revenu vers le bien jusqu'à ce que son utilité marginale ar dinar déensé soit la même que celle du bien. n trouve ainsi la condition fondamentale d'équilibre suivante : Pour un revenu et des rix donnés, le consommateur obtient le maximum d'utilité lorsque l'utilité marginale du dernier dinar déensé à acheter un bien est la même que celle du dernier dinar déensé à acheter n'imorte quel autre bien. S ' i = i S' j j = Cte i, j =,...,n. La valeur commune de ces raorts mesure l'utilité marginale rocurée ar un dinar sulémentaire de revenu déensé à acheter n'imorte quel bien. Elle est our cela aelée l'utilité marginale du revenu. - Détermination géométrique de l'équilibre. Revenons à la carte d'indifférence du consommateur. Elle est constituée d'une série de courbes d'indifférence corresondant chacune à un niveau d'utilité articulier. Le désir de maximiser l'utilité se traduit ar la recherche de la courbe d'utilité la lus éloignée ossible de l'origine. Nous savons ceendant que le consommateur est contraint ar son revenu et que certaines courbes d'indifférence sont inaccessibles, arce que corresondant à des déenses suérieures au revenu. Pour satisfaire la contrainte budgétaire, le consommateur doit donc chercher à se lacer sur une courbe qui est en contact avec la droite de budget et qui soit aussi éloignée que ossible de l'origine. 36

36 L'équilibre du consommateur x A Nous savons ceendant que le E B C C C 0 Figure.7 Equilibre du consommateur. x Suosons que le consommateur choisit de se lacer sur une courbe d'indifférence qui coue la droite de budget en oints A et B. Ces deux oints corresondent à des lans de consommation équivalents et sont budgétairement réalisables. Nous savons ceendant d'arès la roriété de convexité des courbes d'indifférence, que ni A ni B ne maximisent l'utilité et que tout oint intérieur à l'intervalle ]A,B[ rocure une satisfaction suérieure tout en étant budgétairement ossible. Le consommateur n'atteint donc le maximum d'utilité que si la courbe d'indifférence qu'il choisit a un seul oint de contact avec la droite de budget. L'équilibre est donc atteint au oint de tangence de la droite de budget avec l'une des courbes d'indifférence (oint E). L'équilibre E est donc caractérisé ar l'égalité des entes de la droite de budget et de la tangente à la courbe d'indifférence. S' (E) = S' (E) = TMS / (E) n eut vérifier que cette condition d'égalité des raorts des rix et du taux marginal de substitution est la même que la condition d'égalité des utilités marginales du dernier dinar utilisé à l'achat de différents biens: S ' = S' S' S' = 37

37 L'équilibre du consommateur 3- Détermination analytique de l'équilibre Notons tout d'abord qu'à l'équilibre tout le revenu est consommé. Grahiquement, on le voit en observant que le oint d'équilibre est situé sur la droite de budget. n le démontre aussi ar l'absurde. En effet, suosons qu'à l'équilibre x*, on a P < R x*. n eut alors accroître i i avec le revenu restant la consommation de certains biens sans en diminuer celle d'aucun autre bien. L'utilité totale augmente, ce qui contredit l hyothèse que x* corresond au maximum d'utilité. Nous remlaçons donc dans le roblème de maximisation de l'utilité la contrainte i x i R ar la contrainte i x i = R. n montre en mathématiques que la maximisation de la fonction S(x) sous la contrainte i x i = R équivaut à la maximisation de la fonction L(,x) = S(x) + [R- i x i ] où est un scalaire non négatif. est aelé multilicateur de Lagrange et la fonction L est dite Lagrangien. Si le oint corresondant à l'utilité maximale, x*, est intérieur à l'ensemble des consommations ossibles (c est à dire que toutes ses comosantes sont strictement ositives), une condition nécessaire du remier ordre de maximisation de la fonction L est que toutes ses dérivées artielles remières au oint x* sont nulles : = S' (x*)λ*p = 0 i =,..., n et L = R P = 0 x L i λ i x* i i i La dernière équation exrime l'éuisement du revenu à l'équilibre, alors que le système des n remières équations exrime qu'à l'équilibre, l'utilité marginale de chaque bien est roortionnelle au rix : S' P S' = P = S' = n P = λ* n n en déduit que our un coule de biens et, on a : et S' (x*) = λ*p S ' (x*) = λ*p 38

38 L'équilibre du consommateur S' (x*) S' (x*) = (Si * > 0) n retrouve la condition énoncée auaravant, à savoir l'égalité entre le taux marginal de substitution et l'inverse du raort des rix. Il faut bien observer que ces conditions du remier ordre ne sont en général ni nécessaires ni suffisantes. Elles ne sont nécessaires que si l équilibre est intérieur. Elles sont suffisantes lorsque les courbes d indifférence sont convexes, ou, ce qui revient au même, si la fonction d utilité est quasi-concave.n démontre alors que tout vecteur de consommation x 0 qui vérifie ces conditions maximise bien le Lagrangien L. 4- Interrétation du multilicateur de Lagrange. Montrons qu'à l'équilibre le multilicateur de Lagrange * désigne l'utilité marginale du revenu S' R Considérons à artir d'un état d'équilibre, l'effet d'une variation infinitésimale des rix et du revenu : d et dr. Pour cela, écrivons la différentielle totale de la fonction d'utilité au voisinage de l'équilibre x*, tout en renant en considération les conditions d équilibre ci-dessus : i = n i = n ds = S' (x*)dx = λ*p dx i = i i i = i i Pour exrimer ds en fonction de d i et dr, on va exrimer dx i en termes de d i et dr en différentiant l'équation de budget au voisinage de l'équilibre : P = R i x* i dr = P dx + i i P dx =dr - i i x* dp i i x* dp i i 39

39 L'équilibre du consommateur ds= λ* S R P dx = λ*dr - i i = * λ*x* dp i i et S = - * x *i i n voit bien que * désigne l'accroissement d'utilité dû à l'augmentation du revenu d'un montant infinitésimal, c est à dire l'utilité marginale du revenu. 5- L équilibre en coin L équilibre en coin désigne une situation dans laquelle le anier de consommation otimale ne comorte as des quantités strictement ositives de tous les biens. Certains biens ne sont donc as consommés à l équilibre. Dans le cas simle limité à deux biens, l otimum est situé sur l un des deux axes, c'est à dire, sur la frontière des ossibilités hysiques de consommation. Soulignons d abord que our que l équilibre soit en coin il faut que les courbes d indifférence couent l un des deux axes au moins. Autrement, une courbe d indifférence est asymtotique aux deux axes ou à des arallèles aux axes. Le taux marginal de substitution varie alors entre zéro et l infini. Il y aura donc bien un oint tel que le TMS / est égal au raort des rix. C est le cas de la figure.8 -a. Lorsque les courbes d indifférence couent l un des deux axes ou les deux en même tems, on eut avoir un équilibre en coin. C est le cas des figures.8-b,.8- c et.8 -d. Mais on eut aussi avoir un équilibre intérieur même avec des courbes d indifférence qui couent les axes. La figure.8-e l illustre bien. A - Caractérisation grahique de l équilibre Lorsqu on disose de la carte d indifférence du consommateur, on eut identifier le oint d équilibre en arcourant la carte vers l extérieur tout en ayant un oint de contact avec la droite de budget. 40

40 L'équilibre du consommateur Dans le cas de la figure.8- b, il est clair que l équilibre maximisant l utilité du consommateur est atteint au oint A. Le ménage ne consomme alors que du bien. x (a) x (b) B TMS E P TMS P x A TMS 0 (c) x x B (d) TMS P (A) P A x B B A x A x Figure.8 Equilibre en coin x C (d) B E A x 4

41 L'équilibre du consommateur Au oint A, la ente de la tangente à la courbe d indifférence est suérieure en valeur absolue à la ente de la droite de budget : TMS / (A) > La valeur subjective attachée à une unité sulémentaire du bien est alors suérieure à son rix du marché (les deux étant exrimés en unités du bien ). Le consommateur voudrait donc consommer davantage du bien. Mais arce que sa contrainte budgétaire ne le lui ermet as, il se suffit de la quantité corresondant au oint A. Le même raisonnement s alique au cas où le anier de consommation otimal comorte exclusivement du bien (figure.8-c et figure.8-d).. Au oint B, la valeur subjective marginale d une unité du Le TMS / (B) < bien est inférieure à son rix relatif. Il en découle que la valeur subjective marginale d une unité du bien est suérieure à son rix relatif : TMS / (B) = TM S (B) > / Le consommateur voudrait alors consommer davantage du bien, mais son revenu ne le lui ermet as. Il se contente alors de la consommation corresondant au oint B. Cette méthode grahique de détermination de l équilibre n est ceendant as ratique, si la carte des courbes d indifférence n est as réalablement tracée. Dans ce cas, on devrait trouver l équilibre sur la base de la forme fonctionnelle de l utilité et des aramètres de la droite budgétaire. Il est alors imossible de révoir a riori si l équilibre est intérieur ou en coin. Deux solutions sont alors envisageables our déterminer le anier de consommation otimale. Une rocédure ar tâtonnement qui consiste à suoser d abord que l équilibre est intérieur, uis si on trouve arès résolution des conditions d un équilibre intérieur qu il ne l est as, on saura que l équilibre est en coin. La deuxième rocédure ermet de savoir si l équilibre est intérieur ou as en comarant la valeur du TMS aux extrémités de la droite de budget à la ente de celle-ci. n l aellera la rocédure comarative. n donnera ci-arès une descrition de ces deux rocédures.. 4

42 L'équilibre du consommateur B - Détermination de l équilibre ar tâtonnement n suose que x * est intérieur au domaine des consommations hysiquement ossibles, c'est à dire, x * > 0 et x * > 0. n utilise alors les conditions nécessaires du remier ordre : S'(x*) S' (x*) P x* P P P x* R En résolvant ce système de deux équations, on obtient les solutions x * et x *. Alors si ces deux solutions sont strictement ositives, l hyothèse initiale est vérifiée, l équilibre est intérieur et la résolution s arrête. Si on trouve que le système n admet as de solution ou que l une des deux solutions n est as strictement ositive ; c'est à dire négative ou nulle, alors l équilibre est en coin : Si x* 0 x = 0 et x = otimal (oint B des figures.8-c et.8-d). Si x * 0 x = 0 R constitue le anier de consommation et x = consommation otimal (oint A de la figure.8-b). R constitue le anier de Si le système n admet as de solution, on eut recourir soit à la rocédure comarative soit à la méthode analytique décrites ci-dessous. C - Procédure comarative de détermination de l équilibre 43

43 L'équilibre du consommateur Nous commençons ar établir le sens de variation du TMS le long de La droite de budget et nous nous laçons à l extrémité en laquelle le TMS / est maximum. Suosons que ce soit le oint B. Si le TMS / en ce oint B est tro faible ar raort au rix relatif, il le sera sur toute la droite de budget. La valeur subjective d une unité du bien est artout inférieure à son rix relatif. Réciroquement la valeur subjective d une unité du bien est artout suérieure à son rix relatif. En tout oint de la droite de budget le ménage voudra avoir lus du bien. Le maximum sera atteint au oint B où le revenu est entièrement déensé sur le bien. B est alors un équilibre en coin. Il a our coordonnées x * = 0 et x * = et.8-d) R (fig..8-c Si le TMS / au oint B est suérieur au rix relatif valeur du TMS / à l autre extrémité. alors on cherche la Si cette dernière est encoure suérieure au rix relatif, la valeur subjective d une unité du bien est en tout oint de la droite de budget suérieure à son rix relatif. Le consommateur voudra toujours avoir lus du bien. Son équilibre est atteint lorsqu il consacre tout son revenu à ce bien, c est à dire au oint A. n est alors en résence d un équilibre en coin de coordonnées x * = R, x * = 0 (fig..8-b). Si au contraire le rix relatif est encadré ar les valeurs du TMS / aux extrémités de la droite de budget, A et B il y aura nécessairement un oint de la droite de budget autre que A et que B et en lequel le TMS / est égal au rix relatif. L équilibre est donc intérieur. Ses coordonnées sont solution du système d équations S ' = S' et x* R x * (fig..8-e). Tableau récaitulatif de la rocédure comarative Cela corresond à une hyothèse de décroissance du TMS / le long de la droite de budget de B vers A. Un raisonnement analogue eut être conduit sous l hyothèse inverse d une croissance du TMS / de A vers B. 44

44 L'équilibre du consommateur TMS / (B) TMS / décroissant de B vers A (croissant de A vers B) Equilibre de coin en B TMS / croissant de B vers A (décroissant de A vers B) Equilibre de coin en B TMS / (A) TMS / (B)>TMS / (A) Equilibre de coin en A TMS /(A)>TMS /(B) Equilibre de coin en A TMS / (A) TMS / (B) Equilibre intérieur TMS / (A) TMS / (B) Equilibre intérieur D Détermination analytique de l équilibre de coin Les méthodes décrites lus haut sont utiles et relativement faciles à mettre en œuvre lorsque le nombre de biens est limité à deux. Elles deviennent ceendant imraticables, dès que le nombre de biens déasse deux. Pour traiter le cas général à lusieurs biens, tout en considérant la ossibilité que le consommateur ne consomme as à l'équilibre de tous les biens, on réintroduit dans le roblème de maximisation de façon exlicite les contraintes de non négativité des quantités consommées x i. Max S(x) i x i = R x i 0 i =,...,n n démontre alors que ce roblème de maximisation sous contraintes se réduit à la maximisation libre de la fonction : L = S(x) + (R - i x i ) + i i n I x i où et les i sont n+ multilicateurs ositifs ou nuls. Les conditions nécessaires du remier ordre s'écrivent alors (Théorème de Khun-Tucker) : S' i (x*) - λ*p i R - P 0 i x* i μ* i 0 i,..., n 45

45 L'équilibre du consommateur μ* i x* i 0 i,..., n Si x * i > 0 * i μ = 0 S '(x*) i = * P i Si * i > 0 * i x = 0 S '(x*) i < * P i A l'équilibre il y a deux catégories de biens : ceux qui sont consommés, on les désigne ar l'indice h et ceux qui ne sont as consommés, on les désigne ar l'indice k. n aura alors les conditions : S' (x*) h = * h =,...,l h S' (x*) k < * k =,...,m k avec ( l + m = n) Les biens dont à l'équilibre l'utilité marginale du dernier dinar déensé est inférieure à l'utilité marginale du revenu ne sont as achetés. Les biens consommés vérifient la même condition trouvée antérieurement, à savoir l'égalité de l'utilité marginale du dernier dinar déensé entre tous les biens consommés. 6 L équilibre anguleux n arle d équilibre anguleux, chaque fois que la contrainte budgétaire à laquelle s ajoute éventuellement la contrainte de rationnement déterminent une frontière de l ensemble des consommations hysiquement et financièrement ossibles rerésentée ar une ligne brisée, et que l équilibre corresond au oint anguleux de cette frontière. Il est clair que la condition de remier ordre (égalité des entes de la tangente à la courbe d indifférence et de la ente de la ligne de budget) ne s alique as, uisqu en un oint anguleux, la ligne de budget (ou la frontière de l ensemble des choix ) n admet as de tangente et qu il existe au contraire une demi- tangente à droite et une demi- tangente à gauche du oint anguleux. Raelons-nous que l ensemble des choix a bien cette forme dans tous les cas où existent des subventions en nature sous forme de couons ou un rationnement. Nous allons rerendre ci-arès tous ces cas en aliquant la rocédure ar tâtonnement et la rocédure comarative de détermination de l équilibre. 46

46 L'équilibre du consommateur A - Cas des couons distribués gratuitement a- Procédure ar tâtonnement En se référant au grahique.9 ci-dessous, il aaraît clairement qu aucun oint du segment [B,C[ ne eut être un équilibre arce qu il n éuise as le revenu. Restent donc trois cas : l équilibre intérieur E, l équilibre anguleux C et l équilibre en coin A. Ne sachant as a riori lequel des trois sera choisi, on rocède ar tâtonnement : (a) (b) x x B C B C E V A x P A x Figure.9 Equilibre en cas de couons distribués gratuitement our l'achat du bien : (a) Equilibre intérieur (b) Equilibre anguleux (c) Equilibre en coin x B (c) C V A x P 47

47 L'équilibre du consommateur n commence ar suoser que l équilibre est intérieur et qu il aartient au segment ]C,A[, c est à dire que x * > V et x * > 0 n résout les conditions du remier ordre et on comare les solutions aux conditions ci- dessus. Si elles sont vérifiées l équilibre est donc bien intérieur et aartient à ]C,A[. Si au contraire les solutions trouvées sont telles que : x* V anguleux C de coordonnées : l équilibre n est as intérieur ; il est rerésenté ar le oint x = V ; x = Si les solutions trouvées sont telles que : x* 0 l équilibre est en coin (oint A) de coordonnées : R x = ; x = 0 b - Procédure comarative P R ==> L équilibre est au oint C = ( V R Si TMS / (C) ; ), arce que le TMS / décroît en arcourant la ligne de budget de C vers A et reste donc toujours inférieur à. Si TMS / (C) > > TMS / (A) ==> E ] C, A [ tel que Nous suosons dans ce qui suit que le TMS / décroît lorsqu on arcourt la ligne de budget de B vers A. Il a été déjà récisé qu un raisonnement similaire s alique sous l hyothèse inverse d une croissance du TMS /. 48

48 L'équilibre du consommateur TMS / (E) = Si TMS / (A) ; E est l équilibre. R V ==> A = (, 0 ) est l équilibre, arce que tout en diminuant, le TMS / reste toujours suérieur à B - Achat divisible de couons subventionnés. a Procédure ar tâtonnement V Suosons que l équilibre soit en E ]C, A[ (figure.0) x * > et x * > 0. S' P Alors ( x *, x * ) devrait être solution de S' P P x* P x* R V - v Si la solution de ce système vérifie les conditions initiales, l équilibre est en E et la résolution s arrête. x (a) x (b) B B C E C E A x A x x (c) x (d) B B C C A x 49 A x

49 L'équilibre du consommateur Si au contraire on trouve x * 0 ==> A = ( R+V-v d équilibre. Si x * = V ; x * = R - v ; 0) est le oint l équilibre est au oint anguleux C. Si x * < V ; l équilibre est sur le segment [B,C[ mais on ne sait s il est intérieur au segment ou as. Suosons que l équilibre aartienne à ]B,C[, c'est à dire 0 < x * < n résout alors le système S' = * P S' V v P * P x* + P x* = R V v Si la solution vérifie la double condition ci-dessus, l équilibre est en E et la résolution est terminée. V 50

50 L'équilibre du consommateur Si x * 0 ==> l équilibre est en B = (0, b Procédure comarative Si TMS / (B) Si TMS / (C) < Si. V v Si TMS / (A) < Si TMS / (A). R ) V v ==> Equilibre de coin en B = (0,. V v TMS / (C) R ) < TMS / (B) ==> Equilibre intérieur en E ]B,C[. ==> Equilibre anguleux en C. ==> Equilibre en coin en A. < TMS/ (C) ==> Equilibre intérieur en E ]C,A[. C - Achat indivisible de couons subventionnés a Procédure ar tâtonnement Il est d abord clair (figure.) qu aucun oint du segment ]C,D[ ne eut être un équilibre : La courbe d indifférence aurait un minimum en un tel oint, ce qui contredit la roriété de décroissance de cette courbe. x (a) x (b) B B E C D C D E A x A x x B (c) x B (d) C D C D 5

51 L'équilibre du consommateur De lus, le oint C devrait en général être exclu uisqu au oint D on consomme lus du bien et la même quantité du bien, ce qui rocurera lus de satisfaction, sauf si l utilité marginale du bien est nulle entre C et D. Il reste donc les deux équilibres en coin, l équilibre anguleux (D) et deux équilibres intérieurs sur ]B,C[ et sur ]D,A[. Suosons que x * ]D,A[ x * > ( x *, x * ) serait alors solution de : S' S' = P x' V et x * > 0. P P + P x' = R + V - v Si la solution vérifie la double condition ci-dessus, l équilibre est atteint en un oint intérieur E. Si x * R+V - v 0 ==> Equilibre en coin en A de coordonnées x = et x = 0. 5

52 L'équilibre du consommateur * Si x * = x = R - Si x * < [B,C[. V ==> Equilibre anguleux (D) de coordonnées : V x et v V, l équilibre eut se trouver soit en D soit sur le segment S' Suosons que x * ]B,C[. Il serait alors solution de : = P S' P P x' + P x' = R Si la solution vérifie la condition d aartenance à ]B,C[ ; c'est à dire 0 < x * < v l équilibre est en ce oint E. Si x * 0 l équilibre est en B de coordonnées : x = 0 et x = Si x * > et x = R. v l équilibre est au oint anguleux D de coordonnées x = R v. b Procédure comarative Si TMS / (B) Si TMS / (C) < sont solution de : Si TMS / (C) ==> Equilibre en coin ; B (0, R ). < TMS/ (B) ==> Equilibre en E dont les coordonnées S' S' de coordonnées : x * = = P P P x' + P x' = R et TMS/ (D) V et x * = V ==> Equilibre au oint anguleux D R v. 53

53 L'équilibre du consommateur Si TMS / (D) > les coordonnées sont solution de : > TMS/ (A) l équilibre est en un oint de ]A,D[ dont S' S' = P P Si TMS / (A) et x * = 0. x' + x' = R + V - v l équilibre est au oint A de coordonnées * x = RV v D - Rationnement absolu Là encore, on eut exclure (figure.) le segment [A,C[ arce qu en tout oint de ce segment, le revenu n est as éuisé. Restent donc l équilibre anguleux (C), l équilibre en coin (B) et l équilibre intérieur (E). a Procédure ar tâtonnement Suosons que l équilibre soit en E ]B,C[. Le anier corresondant x * doit vérifier la condition : 0 < x * < x. S' n cherche alors x * solution de : = P S' P x' + x' = R Si x * vérifie la condition ci-dessus E est bien l équilibre. Si x * 0, l équilibre est en B (coin) de coordonnées (0, R ) Si x * x, l équilibre est en C (anguleux) de coordonnées ( x, R x ). (a) x B x B E C 54 C

54 L'équilibre du consommateur b Procédure comarative Si TMS / (B) Si TMS / (C) < coordonnées solution de ==> l équilibre est en B (0, R ). < TMS / (B) ==> l équilibre est en E ]B,C[ de S' S' = P P x' + x' = R Si TMS / (C), l équilibre est au oint C de coordonnées ( x, E - Rationnement suléé ar le marché arallèle R x ). Formellement, ce cas se résente de manière arfaitement similaire à celui de l achat divisible de couons subventionnés, traité au aragrahe B ci-dessus. Il suffit alors de s y référer et de suivre la même démarche, en renant soin bien sûr de 55

55 L'équilibre du consommateur modifier les aramètres R v ( )x et ar 0 V 0 V ar x,. R v ar 0 R x, R V v ar 7 Equilibre en cas de biens arfaitement comlémentaires x B x a x a D E F C a a A S 0 = x Figure.3 Equilibre en cas de biens arfaitement comlémentaires. L équilibre doit nécessairement aartenir à la fois à la droite de budget (A, B) et à une courbe d indifférence, la lus éloignée ossible de l origine. Il est clair qu un oint d intersection, tel que C ou D, ne constitue as un équilibre. Par exemle, au oint C (x c, a ), on eut conserver le même niveau d utilité S 0 tout en consommant moins du bien. n éargne alors (x c a ) que l on eut utiliser our acheter des quantités sulémentaires des deux biens dans la roortion (a, a ) et augmenter ainsi strictement l utilité. n en déduit que l équilibre E est nécessairement un oint anguleux, situé sur a la droite d équation x = a x. a Les coordonnées de E sont alors solution de : x * = x* a x* + x* = R 56

56 L'équilibre du consommateur a ==> x* + x* = R a a +a ==> x* = R ==> x * = a ar a a et x * = a R a a 8 - Equilibre en cas de biens arfaitement substituables Trois cas sont à distinguer suivant l ordre de grandeur des entes de la droite d indifférence et de la droite de budget. (a) (b) (c) x x x B B B A x A x A x Figure.4 Equilibre en cas de biens arfaitement substituable. (a) Equilibre de coin en B. (b) Equilibre de coin en A. (c) Equilibre multile, tous les oints de [AB] Si la ente de la droite d indifférence a /a est inférieure en valeur absolue à celle de la droite de budget /, l équilibre est en coin. Il est rerésenté ar le oint B [fig..4-a]. TMS / (B) = a Equilibre en A = ( a Equilibre B = (0, a R ) Si R, 0). [fig..4-b]. a Si a, l équilibre est multile. Tout oint de [A,B] maximise l utilité a du consommateur, sous sa contrainte budgétaire. [fig..4-c]. 9 Equilibre en cas de courbe d indifférence concave 57

57 L'équilibre du consommateur Quand la courbe d indifférence est concave, le oint de tangence avec la droite de budget (M) corresond à un minimum et non au maximum d utilité. Celui-ci est alors atteint en un oint tel que A ou B. C est donc nécessairement un équilibre en coin, où le ménage choisit de consommer d'un seul bien. x (a) x B (b) B M M x A x A Figure.5 Equilibre en situation de courbe d'indifférence concave : (a) Equilibre de P TMS mais M n'est as un équilibre ]. (b) Equilibre de coin en B P coin en A [ M Ce résultat est à rarocher de l interrétation que nous avons donnée de la convexité des courbes d indifférence : le consommateur réfère les aniers intermédiaires aux aniers extrêmes. La concavité est donc associée au comortement inverse d un consommateur qui réfère les aniers extrêmes aux aniers intermédiaires. Le anier constitué d un seul bien est bien sûr un anier extrême. Pour savoir si l équilibre est en A ou en B, on comare le TMS au raort des rix aux extrémités de la droite de budget. Si TMS / (B) Si TMS / (A) ==> B est l équilibre. ==> A est l équilibre. 58

58 L'ajustement de la demande aux variations du rix d'un seul bien Chaitre II : La demande de consommation I- Dérivation des fonctions de demande Raelons que les conditions d'équilibre du consommateur sont exrimées ar les équations suivantes : S'(x*) i P i x* i = λ*p i = R i =,.., n Raelons aussi que si x* est intérieur à l'ensemble des consommations ossibles et si les courbes d'indifférence sont convexes, les conditions ci-dessus sont nécessaires et suffisantes. n démontre aussi que, sous ces conditions, l'équilibre est unique. Ayant suosé la convexité des courbes d'indifférence, ce système de n+ équations à n+ inconnues (les quantités x * et le multilicateur *) admet donc une i solution unique. Cette solution exrime les variables du système en fonction des aramètres i et R. Si les aramètres i et R varient, les quantités d'équilibre x * varient aussi. Plus i récisément à chaque ensemble de aramètres (,, n ; R) on fait corresondre un ensemble unique de quantités d'équilibre x *. n dit alors que les quantités d'équilibre i x * sont liées aux aramètres ( i i, R) ar une relation fonctionnelle, ou qu'elles sont fonction de ces aramètres. x * = d i i (,..., n ; R). Ces fonctions qui exriment les quantités que le consommateur désire acquérir à l équilibre our des rix et un revenu donnés sont aelées les fonctions de demande du consommateur. Nous nous laçons dans ce qui suit, sous l hyothèse d un équilibre intérieur. 59

59 L'ajustement de la demande aux variations du rix d'un seul bien Remarquons que la demande d'un bien est en général fonction non seulement du rix de ce bien mais aussi des rix des autres biens et du revenu. La courbe de demande, qui lie la quantité demandée d'un bien au seul rix de ce bien, est donc une restriction de la fonction de demande qui suose que les rix des autres biens et le revenu sont inchangés. bservons aussi que la relation x * = d i i (,..., n ; R) est la forme générale de la fonction de demande. Elle ne veut as dire que la quantité demandée de chaque bien déend effectivement du rix de chacun des autres biens en lus du rix du bien lui-même et du revenu. Il se eut qu'un autre bien (j) en articulier soit sans influence sur la d i quantité demandée du bien en question(i). Dans ce cas la dérivée artielle est nulle. Il ourrait ar exemle en être ainsi de la demande de café et du rix des voitures. Le degré d'influence mutuelle des différents biens est reflété ar la forme de la fonction d'utilité de chaque consommateur. Nous allons résenter maintenant deux exemles de fonctions d'utilité à deux biens conduisant l'une à des fonctions de demande interdéendantes et l'autre au contraire à des fonctions de demande indéendantes. a- Considérons d'abord que les goûts d'un consommateur sont rerésentés ar la fonction d'utilité suivante : S(x, x ) = x x + x + 3x En nous limitant à l exression des fonctions de demande corresondant à un équilibre intérieur du consommateur, les quantités consommées des deux biens, x * et x *, doivent vérifier nécessairement les conditions du remier ordre suivantes : j S ' = x * + = * S ' = x * + 3 = * x * + x * = R 60

60 L'ajustement de la demande aux variations du rix d'un seul bien n en déduit : x* + x* + 3 = P P ( x * +3) = ( x * +) x * = x * x * = R x * = x * = x * = R +3 R R - 3 R 3 Nous vérifions dans cet exemle que la fonction de demande de chaque bien déend des rix des deux biens en même tems, en lus du revenu. b - Considérons maintenant une autre fonction d'utilité S(x) = x x. En nous limitant encore une fois au cas d un équilibre intérieur, les quantités consommées des deux biens, x * et x *, doivent vérifier nécessairement les conditions du remier ordre suivantes : S '(x*) = x * = * S ' (x*) = x * = * x * + x * = R x* x* = 6

61 L'ajustement de la demande aux variations du rix d'un seul bien n en déduit : x * = * x * = R x * = et x * = R R x* = x* x Contrairement au remier exemle, ici la fonction de demande de chaque bien déend du seul rix de ce bien et du revenu. II- La fonction d'utilité indirecte La fonction d'utilité exrime habituellement le niveau de satisfaction corresondant à une combinaison des quantités consommées de tous les biens. Mais comme à l'équilibre ces dernières sont fonction des rix et du revenu, on eut écrire l'utilité comme une fonction des rix et du revenu. S(x,...,x n ) x * = d i i (,..., n, R) S( x *,..., x * ) = S[d n (, R),...,d n (, R)] = S*(,..., n, R). La fonction S* est aelée fonction d'utilité indirecte ou encore forme tangentielle de la fonction d'utilité (ar référence à la condition d'équilibre de tangence de la droite de budget et de l'une des courbes d'indifférence). Contrairement à la fonction d utilité directe, qui est définie our tout anier de consommation hysiquement ossible, la fonction d utilité indirecte est définie uniquement our des aniers d équilibre. III- Une roriété imortante des fonctions de demande : l'absence d'illusion monétaire Soit et R un système de rix et de revenu donnés. n y fait corresondre des quantités demandées x o = d i i (, R ) qui maximisent l'utilité du consommateur sous la contrainte budgétaire. 6

62 L'ajustement de la demande aux variations du rix d'un seul bien Suosons maintenant que l'on fait varier roortionnellement tous les rix et le revenu, ar exemle on fait doubler le revenu et les rix. Est-ce que le consommateur va changer sa demande des différents biens ou as? Soit donc P = αp o et R = R avec > 0 Ecrivons le roblème de maximisation d'utilité corresondant aux nouvelles données : Max S(x,..., x ) Max S(x,..., x ) n n s/c P x = R s/c αpo x = αro Max S(x,..., x ) Max S(x,..., x ) n n s/c α Po x = αro s/c Po x = Ro n retrouve donc le même roblème de maximisation corresondant aux rix et revenu initiaux. Il s'en suit que les quantités demandées sont inchangées. Le consommateur n'est donc as illusionné ar l'augmentation de son revenu lorsque les rix varient aussi dans les mêmes roortions. L'absence d'illusion monétaire s'exrime mathématiquement ar l'invariance de la demande quand on multilie les rix et le revenu ar un même facteur >0 d i (,,..., n, R) = d i (,,..., n, R) = 0 d i (,,..., n, R) n dit que les fonctions d i sont homogènes de degré zéro ar raort aux rix et au revenu. IV- L'ajustement de la demande aux variations du revenu 63

63 L'ajustement de la demande aux variations du rix d'un seul bien Nous allons examiner comment varie la demande en réaction à une variation du revenu, lorsque les rix sont maintenus constants. - Sentier d'exansion du revenu et courbes d'engel Nous avons vu que, toutes choses étant égales ar ailleurs, une variation du revenu engendre un délacement de la droite de budget arallèlement à elle-même. En traçant une série de droites de budget corresondant chacune à un niveau de revenu, nous ouvons trouver les oints d'équilibre, c est à dire les oints de tangence entre chaque droite de budget et la courbe d'indifférence la lus éloignée de l'origine. Le lieu géométrique de tous les oints d'équilibre dans l'esace (x,x ) est aelé sentier d'exansion du revenu ou aussi courbe consommation -revenu.. x S (y) E E 0 C C0 x Figure. Courbe de consommation - revenu Si on transose les coordonnées des oints d'équilibre dans les lans (x, R) et (x, R) resectivement, on obtient les courbes qui relient les quantités de chaque bien qui sont demandées à l'équilibre aux différents niveaux du revenu. Ces courbes sont aelées courbes d'engel. 64

64 L'ajustement de la demande aux variations du rix d'un seul bien x (a) x (b) 0 x E 0 R 0 R R Figure. Courbes d'engel. (a) Courbe du bien (b) Courbe du bien A riori on eut enser que lorsque le revenu augmente, la quantité demandée d de chaque bien augmente, c est-à-dire i 0. Ceendant, il existe des biens R articuliers qui sont consommés à des niveaux faibles de revenu, et qu'on délaisse au rofit d'autres biens satisfaisant les mêmes besoins, lorsque le revenu augmente. Les biens dont la demande réagit ositivement à l'augmentation du revenu sont les lus fréquents. Ils sont qualifiés our cela de normaux. Les biens dont la consommation diminue avec l'augmentation du revenu sont au contraire aelés biens inférieurs. Il s'agit généralement de biens bon marché mais ne réondant que médiocrement aux besoins du consommateur. Leur demande décroît dès que le consommateur a les moyens de leur substituer des biens lus chers mais lus satisfaisants. Dans le groue des roduits alimentaires on eut enser que le ain est un bien inférieur qu'on remlace dès que le revenu atteint un certain niveau ar des roduits lus nutritifs tels que la viande, les fruits, etc. Le service de transort en commun est aussi un service inférieur. Ceendant même les biens normaux ne réagissent as tous de la même façon aux variations du revenu. Pour les différencier, on recourt à la notion d'élasticité de la demande ar raort au revenu ; aelée aussi élasticité-revenu de la demande. 65

65 L'ajustement de la demande aux variations du rix d'un seul bien - L'élasticité-revenu de la demande L'élasticité-revenu mesure la variation relative de la demande raortée à la variation relative du revenu : e R = Δx x i ΔR i R Si la variation est infinitésimale, l'élasticité s'écrit : e R = = dx x i dr i R dlogx i dlogr L'élasticité-revenu de la demande de biens inférieurs est évidemment négative alors que celle des biens normaux est ositive. Parmi les biens normaux, on distingue : ) Les biens dont la demande augmente lus que roortionnellement que le revenu. C'est le cas des biens de luxe. Leur élasticité est suérieure à. ) Les biens dont la demande augmente roortionnellement au revenu. Ces biens ont une élasticité-revenu unitaire. 3) Les biens dont la demande augmente moins que roortionnellement ar raort au revenu. C'est le cas des biens dits de remière nécessité. Leur élasticitérevenu est faible (comrise entre 0 et ) Suosons ar exemle que la courbe d'engel d'un bien i soit rerésentée ar la fonction : x = R 66

66 L'ajustement de la demande aux variations du rix d'un seul bien n en déduit Log x = Log + Log R dlog x e = R dlog R i = β Cette fonction est à élasticité constante dont le degré déend de la valeur numérique de l'exosant. x (a) x (b) x (c) > 0 < < = R R R Figure.3 Courbe d'engel à élasticité revenu constante. (a) Elasticité revenu suérieure à. (b) Elasticité comrise entre 0 et. (c) Elasticité revenu égale à. V- L'ajustement de la demande aux variations du rix d'un seul bien - Les effets de la variation du rix d'un bien Plaçons-nous dans le cas d'un anier de consommation constitué de deux biens et. Soit (P 0, P 0 ) le système de rix initial. Considérons maintenant un accroissement du rix du seul bien : P > P 0. n a déjà observé qu'à la suite de cet accroissement, la droite de budget se délace en direction de l'origine et qu'elle devient lus raide. Ce délacement traduit deux effets. 0 En remier lieu le rix relatif des deux biens a changé. La droite de budget 0 67

67 L'ajustement de la demande aux variations du rix d'un seul bien est alors lus raide. En second lieu, l ensemble des aniers financièrement accessibles avec le même revenu s est rétréci. Il asse du triangle AB au triangle CB [figures.4 et.5]. Le ouvoir d achat du revenu a donc baissé. Avec un ouvoir d achat moindre, le consommateur ne eut garder ni le même niveau d utilité, ni le même anier de consommation (). n décomose donc l'effet global d'une hausse de rix en deux effets, corresondant l'un à la variation du rix relatif, et l'autre à la baisse du ouvoir d'achat du revenu. Le remier est dit effet de substitution et le second est aelé effet de revenu. Plus récisément, l'effet de substitution engendré ar la variation du rix d'un bien est l'ajustement de la demande en réonse à la seule variation du rix relatif. Le terme effet de substitution reflète le fait que la hausse du rix relatif d'un bien ar raort à un autre, le rend relativement moins attrayant our le consommateur qui est ainsi encouragé à lui substituer l'autre bien dont le rix relatif a au contraire baissé. Quant à l'effet revenu engendré ar la hausse du rix d'un bien, il est défini comme l'ajustement de la demande à la seule variation du ouvoir d'achat du revenu. - Décomosition de l'effet global de la variation du rix d'un bien en effet de substitution et effet de revenu L effet de substitution mesure la variation de la demande attribuée à la seule variation du rix relatif. Il exclue donc l effet de la variation du ouvoir d achat induit ar la variation du rix d un bien, et ce en faisant comme si le consommateur reçoit un revenu sulémentaire lui ermettant de comenser la erte de ouvoir d achat (dans le cas d une hausse du rix). Mais alors que Hicks suose que la erte de ouvoir d achat est comensée lorsque le revenu comensatoire ermet d atteindre le même niveau d utilité qu auaravant, Slutsky ostule que le maintien du ouvoir d achat signifie que le revenu comensatoire ermet d atteindre le même anier de consommation choisi auaravant. A La méthode de Hicks () Sauf si initialement, avant augmentation du rix du bien, le consommateur avait choisit le anier rerésenté ar le oint A, trouvant déjà que le rix du bien étant tro élevé. 68

68 L'ajustement de la demande aux variations du rix d'un seul bien Au niveau initial des rix, le oint d'équilibre est atteint au oint D qui est le oint de tangence entre la droite de budget AB et la courbe d'indifférence la lus éloignée ossible de l'origine : C 0. [figure.4] L'augmentation du rix du bien i de P0à P fait changer le oint d'équilibre de D à F. Dans cet exemle, l'effet global de la hausse du rix du bien i est une baisse de la demande de ce bien et une hausse de la demande du bien j. Décomosons maintenant cet effet global en ses deux comosantes : l'effet de substitution et l'effet de revenu. x B x 0 E ~ E 0 C 0 x x~ C D A x Figure.4 Décomosition de l'effet de la variation du rix d'un bien ar la Méthode de Hicks. Pour isoler l'effet de substitution, nous devons considérer seulement la variation du rix relatif. Nous devons donc faire comme si le ouvoir d'achat n'a as diminué, c est à dire comme si le consommateur a reçu un revenu comensatoire qui lui ermet d'atteindre le même niveau de satisfaction. Nous y arrivons en cherchant le oint de tangence entre la même courbe d'indifférence (niveau de satisfaction inchangé) et une droite budgétaire qui a our ente le nouveau raort des rix. Ce oint E corresond à un équilibre virtuel que le consommateur choisirait s'il était confronté au nouveau raort des rix et s'il recevait un revenu comensatoire qui lui ermettrait de 69

69 L'ajustement de la demande aux variations du rix d'un seul bien conserver le même niveau de satisfaction qu'avant augmentation des rix. Le délacement du oint D vers le oint E mesure donc l'effet de substitution. Pour mesurer l'effet de revenu, on réintroduit l'effet de diminution du ouvoir d'achat en se débarrassant de l'hyothèse d'un revenu comensatoire. La droite de budget se délace donc vers le bas arallèlement à elle-même et le oint d'équilibre se délace de E à F. L'effet global de la variation du rix du bien i est donc la somme algébrique de deux effets : un effet de substitution et un effet de revenu. B La méthode de décomosition de Slutsky x B E x~ ~ x x 0 E E 0 S v S 0 S x C x~ 0 x D A x Figure.5 Décomosition de l'effet de la variation du rix d'un bien ar la méthode de Slutsky. Initialement avec des rix et, le consommateur choisit sur la droite AB le oint D qui maximise son utilité. Quand le rix du bien augmente (P'> P ) la droite de budget asse à AC. En recevant un revenu comensatoire lui ermettant d acheter le anier corresondant au oint D, et faisant face aux nouveaux rix, le consommateur devra 70

70 L'ajustement de la demande aux variations du rix d'un seul bien ' choisir un oint de la droite FG dont la ente est égale en valeur absolue à et qui asse ar le oint D. Le anier choisi en maximisant l utilité est rerésentée ar le oint E. L effet de substitution selon Slutsky résulte du délacement de l équilibre de D à E. bservons qu il imlique une légère augmentation de l utilité alors que le même effet défini ar Hicks suose la constance de l utilité. L équilibre final est atteint au oint H. Il est obtenu en se délaçant du oint E ar «retrait» du revenu comensatoire our un système de rix identique. Le délacement de E à H mesure donc l effet de revenu. 3- Calcul des effets de la variation du rix d'un bien. Suosons que les goûts du consommateur sont rerésentés ar la fonction S(x,x ) = x. x et que les rix et le revenu initiaux sont égaux resectivement à P 0=, = 3 et R = 48 Suosons ensuite que le rix du bien double : P = 4, toutes choses étant égales ar ailleurs. Quels sont donc les effets d'une telle variation? A Méthode de Hicks ère étae : Calcul de la demande corresondant aux rix initiaux. Nous avons déjà montré que les fonctions de demande corresondant à cette sécification de la fonction de satisfaction s'écrivent : et x = P R x = P R 7

71 L'ajustement de la demande aux variations du rix d'un seul bien Il s'en suit que 0 48 x = = et 0 48 x = = Le niveau de satisfaction atteint est alors égal à. 8 = 96. ème étae : Calcul du revenu hyothétique (arès comensation) qui donne le même niveau d'utilité avec le nouveau système de rix. Soit R ~ ce revenu. R ~ est tel que S( R ~,, ) 96 ~ R. 4 ~ R ~ R ² = = 6².8². ~ R = ème étae : Calcul de la demande corresondant au nouveau système de rix et au revenu hyothétique (aelée demande comensée). 48 = =6 R ~ ~ x =.4 48 = = 8 R ~ ~ x =.3 n vérifie que le niveau de satisfaction corresondant à ces quantités consommées des deux biens est le même qu'auaravant. ~ ~ S( x, x ) = 6. 8 = = ème étae : Calcul de l'effet de substitution Δx s = ~ x - x0 = 6 - < 0 Δx s = ~ x - x 0 = 8-8 > 0 n constate alors que l'effet de substitution se traduit ar une baisse de la demande du bien dont le rix relatif a augmenté et ar une augmentation de la demande du bien dont le rix relatif a baissé. 7

72 L'ajustement de la demande aux variations du rix d'un seul bien 5 ème étae : Calcul de la demande corresondant au nouveau système de rix et sans comensation de revenu. x = x = = R R 48 =6 8 = 48 = 8 6 n vérifie que la satisfaction atteinte arès augmentation du rix est inférieure à ce qu'elle était auaravant : S (x, x ) = 6.8 = 48 < 96 6 ème étae : calcul de l'effet-revenu. Δx R = x - Δx R = x - x~ = 6-6 x~ = 8-8 < 0 < 0 7ème étae : Calcul de l'effet total Δx = Δx S + Δx R = = - 6 Δx = Δx S + ΔxR = = 0 Nous observons sur cet exemle, qu'au total l'augmentation du rix relatif du bien i s'est traduite ar une baisse nette de la demande du bien i et ar une invariance de la demande du bien j. B - la méthode de Slutsky L équilibre initial est rerésenté ar x 0= ; x 0= 8 Revenu ermettant d atteindre le même anier : 73

73 L'ajustement de la demande aux variations du rix d'un seul bien = R = 7 3 Coordonnées du oint E : x~ = 7 =9 8 x~ = 7 = 6 Vérifions que le niveau d utilité a augmenté S(x 0, x 0 ) = 96 S( x~,x ~ ) = * 9 = 08 4 Effet de substitution Δx S = ~ x - x 0 = 9 - = -3 Δx S = ~ x - x 0 =-8 = 4 5 Equilibre final x = 6 ; x = 8 6 Effet de revenu Δx R = 6 9 = - 3 Δx R = 8 = Effet total x = - 6 x = 0 4- Sens de variation de la demande due à l'augmentation du rix d'un bien Montrons d'abord que l'effet de substitution se traduit ar une variation de la demande de sens inverse ar raort à la variation du rix relatif : Une baisse de la demande du bien dont le rix relatif augmente et une hausse de la demande du bien dont le rix relatif diminue. En effet lorsqu'on se délace du oint D corresondant à l'équilibre initial au oint E corresondant à une hausse du rix relatif du bien et une comensation de 74

74 L'ajustement de la demande aux variations du rix d'un seul bien revenu laissant le consommateur sur la même courbe d'indifférence, le taux marginal de substitution du bien au bien augmente () : 0 TMS / (D) = 0 TMS / (E) = 0 > 0 = TMS / (D) Comme le taux marginal de substitution est décroissant, on en déduit une baisse de la quantité demandée du bien. x~ < x 0 Pour que la satisfaction ne diminue as, il faut donc comenser cette baisse ar une augmentation de la quantité consommée de l'autre bien. x~ > x 0 Qu'en est-il maintenant de l'effet de revenu? L'effet de revenu engendré ar la hausse du rix du bien i est rerésenté grahiquement ar le délacement du oint E vers le oint F. Ce délacement corresond au maintien du rix relatif et à une diminution du revenu. Il s'analyse donc comme l'effet d'une variation du revenu. r nous avons déjà exliqué que our les biens normaux, la demande varie dans le même sens que le revenu alors que our les biens inférieurs, elle varie dans le sens inverse. Comme l'effet de revenu dû à une augmentation de est lié à une baisse du revenu, il est donc négatif our les biens normaux et ositif our les biens inférieurs. Pour récaituler, on distinguera trois cas : - Si le bien dont le rix a augmenté est un bien normal, l'effet de substitution comme l'effet de revenu sont tous deux négatifs. La demande diminue. - Si le bien est inférieur, l'effet de substitution est toujours négatif mais l'effet de revenu est ositif. Emiriquement on a vérifié que le lus souvent l'effet de () La démonstration est fondée sur la méthode de Hicks. Le lecteur eut vérifier aisément qu elle reste valable en utilisant la méthode de Slutsky. 75

75 L'ajustement de la demande aux variations du rix d'un seul bien substitution l'emorte sur l'effet de revenu et que l'effet global est négatif. La demande de la luart des biens inférieurs diminue lorsque leur rix augmente. Ces biens sont souvent aelés des biens tyiques. 3- Théoriquement, il eut arriver que l'effet de revenu soit tellement fort qu'il l'emorte sur l'effet de substitution. Ces biens sont aelés biens Giffen, du nom d'un économiste du XIX e siècle qui ensait que lus le rix du ain est élevé, lus on en consomme. VI- L'élasticité-rix de la demande L élasticité-rix directe A - Définition L'élasticité-rix directe de la demande mesure la variation relative de la demande d'un bien due à la variation relative de son rix. e = Δx/x Δ/ Dans le cas d'une variation infinitésimale du rix, la formule de l'élasticité devient : dx/x e = = d / dlogx dlog B - Les différents cas d'élasticité - rix directe L'élasticité - rix de la demande est négative our tous les biens, à l'excetion des biens Giffen. 76

76 L'élasticité - rix de la demande Lorsque la demande réond lus que roortionnellement à la variation du rix, on dit qu'elle est élastique. ( e > ). A la limite, la demande devient tellement sensible, qu'une toute etite variation du rix engendre une variation infinie de la demande. Celle-ci est alors dite arfaitement élastique. La demande est inélastique lorsqu'elle varie moins que roortionnellement que le rix. ( e < ). A la limite la quantité demandée devient insensible à toute variation de rix. Le consommateur demande la même quantité, que le rix augmente ou diminue. (e = 0). La demande est alors dite arfaitement inélastique. (a) x x (b) e - e = 0 Figure.6 Elasticité - rix de la demande. (a) Demande arfaitement élastique. (b) Demande arfaitement inélastique. C- Variabilité de l'élasticité - rix directe La demande d'un bien n'est as nécessairement élastique ou inélastique sur tout l'intervalle des rix ossibles. Lorsque c'est le cas on arle de courbe de demande à élasticité constante. β x = αp > 0 n démontre aisément que le coefficient est égal à l'élasticité-rix e. Si < la demande est inélastique Si > la demande est élastique 77

77 L'élasticité - rix de la demande Si = - la demande est à élasticité unitaire Par contre si la courbe de demande est une droite, l'élasticité-rix est variable. x e = 0 Inélastique e = - Elastique e Figure.7 Elasticité le long d'une droite demande. Soit x = - l'équation d'une courbe de demande linéaire, avec >0, > 0 et 0 < < e = dx/x = d / dx d. x = β α β e = - = - = Si e - = 0 e = 0. de d β(α = β)+β² >0 (α β)² L'élasticité-rix d'une demande linéaire croît en valeur absolue. La demande est inélastique d'abord, unitaire ensuite et élastique enfin. L élasticité-rix croisée 78

78 L'élasticité - rix de la demande L élasticité-rix croisée de la demande d un bien ar raort au rix d un bien, notée e /, est le raort de la variation relative de la demande du bien à la variation relative du rix du bien. 79

79 Le modèle des choix des entrerises Δx/x Δ/ Lorsque la variation est quelconque, l élasticité est mesurée ar le raort. Lorsque la variation du rix est infiniment etite, l élasticité est mesurée ar le raort /x /. = / x/ = 3 Relation entre les différentes élasticités de la demande Nous avons déjà démontré, que l absence d illusion monétaire du consommateur imlique que les fonctions de demande sont homogènes de degré zéro ar raort aux rix et au revenu. En aliquant le théorème d Euler à la fonction de demande du bien i: x i = d i (,..., n ; R) n eut écrire : n j= i j j + R i = 0 u encore : n i + + R = 0 i i i j i j i= = j En divisant les deux membres de l égalité ar x i on obtient : x i i i i + j j i i xi j + i x R i = 0 Ce qui s écrit : e i + e e 0 ji i/ j R La somme de toutes les élasticités d une fonction de demande est nulle. VII- Relations croisées de la demande Dans un monde à deux biens, l'effet de substitution joue toujours dans le sens d'une baisse de la demande du bien dont le rix a augmenté et d'une augmentation de la demande de l'autre bien. 80

80 Le modèle des choix des entrerises Lorsqu'on asse au cas général où il existe lusieurs biens, l'effet de substitution entraîne toujours une baisse de la demande du bien dont le rix a augmenté mais il n'est as nécessaire que la demande de tous les autres biens augmente. Il faut seulement que la demande d'au moins un bien augmente. D'une manière générale la réonse de la demande d'un bien à la variation du rix d'un autre bien déend de la nature de la relation qui existe entre les deux. Par exemle le thé et le sucre sont généralement consommés ensemble. n doit donc s'attendre à ce qu'une augmentation du rix du thé diminue à la fois la demande de thé et celle du sucre. De tels biens sont dits comlémentaires. Par contre si le rix du thé augmente alors que celui du café ne change as, on doit s'attendre à ce qu'une artie des consommateurs se tournent maintenant vers le café. Le café et le thé sont alors des substituts. Il existe bien sûr d'autres biens qui ne satisfont as le même besoin que le thé ou le café et qui ne sont guère affectés ar la variation du rix du thé. Le thé et cette catégorie de biens forment alors des biens indéendants. n distingue deux tyes de substituabilité / comlémentarité : la substituabilité / comlémentarité nette et la substituabilité / comlémentarité brute. La substituabilité nette A - Définition Un bien i est un substitut net d un bien j, si la demande comensée (à utilité constante) de i augmente lorsque le rix de j augmente et diminue lorsque le rix diminue : x i j Scte > 0 i j B - Proriétés a Si un bien i est un substitut net d un bien j, alors j est aussi un substitut net de i. n dit alors que les deux biens i et j sont des substituts nets. Démonstration () () La démonstration se lace dans le cadre simlifié d un monde à deux biens ;elle reste néanmoins un eu comliquée our des étudiants de remière année et eut être sautée dans une remière lecture. 8

81 Le modèle des choix des entrerises Pour démontrer cette roosition, nous avons besoin d écrire les variations des quantités consommées à l équilibre, en fonction des variations des rix, le revenu étant comensé de manière à garder le même niveau d utilité. Soit d x~ et d ~ x les différentielles des demandes comensées. Elles vérifient alors la condition S ' dx + S' dx ~ = 0 ~ ou encore, en se raelant les conditions d équilibre : λ dx ~ +λ dx ~ = 0 (). Ecrivons maintenant la différentielle totale de la condition d équilibre : S' S' = P S' - P S' = 0 Nous obtenons : P S'' dx + P S'' dx + S' dp - P ' dx - P ' dx -S' dp = 0 S' S' ( P S'' - P ' )dx + ( P S'' - P ' )dx = S' dp -S' dp S' S' () Pour tenir comte de la comensation du revenu, on réintroduit () dans l équation (), tout en remlaçant dx et dx ar d x ~ et d x ~. n obtient alors : P (P S' )dx ~ ' - PS' )dx ~ ' = S' dp -S' P ' - PS' ' - d (P S' ( S' )dx ~ ' - S' ' - S' ' + ' = S' d -S' d S' (P S' ' - PPS' )dx ~ ' + P S' ' = PS' d - PS' dp (P S' ' - PPS' ' )dx ~ ' + P S' = λp dp - λppdp dx~ = ( λp dp - λppdp ) Δ (3) avec Δ = P ' - PPS' ' + P S' S' ' n en déduit : 8

82 Le modèle des choix des entrerises P d x~ dx ~ = ( λppdp + λp dp ) P Δ = - (4) Il s en suit que x ~ λp = P Δ et x ~ λp = P Δ Ce qui montre bien que si un bien est un substitut net de l autre, celui-ci est aussi un substitut net du remier. b Si la demande comensée d un bien varie en sens inverse avec le rix d un autre bien, les deux biens sont dits comlémentaires nets. c Si la demande comensée d un bien ne varie as avec le rix d un autre bien, ils sont dits indéendants nets. La substituabilité brute La substituabilité brute, comme la substituabilité nette, est basée sur la réonse de la demande d un bien à la variation du rix d un autre bien. Mais alors que la substituabilité nette ne tient comte que de l'effet de substitution, la substituabilité brute tient comte de l effet global, c'est à dire de la somme de l effet de substitution et de l effet de revenu. A - Définition Un bien i est un substitut brut d un bien j lorsque la demande du bien i augmente (diminue) avec l augmentation (diminution) du rix du bien j. Il est au contraire un comlément brut du bien j, si la demande du bien i varie en sens inverse du rix du bien j. La substituabilité brute d un bien i ar raort à un bien j est souvent identifiée, en observant l élasticité-rix croisée de la demande du bien i ar raort au rix de j. Le bien i est un substitut brut de j si e i/j est ositif. Il est un comlément brut si e i/j est négatif. Enfin, il est indéendant brut de j si e i/j est nulle. B - Proriétés a Contrairement à la substituabilité nette, la substituabilité brute n est as une notion symétrique : un bien i eut être un substitut brut d un bien j, alors que j est un comlément brut ou même indéendant brut de i. 83

83 Le modèle des choix des entrerises Soient en effet deux biens normaux. Les effets-revenu de la variation du rix R d un bien sur la demande de l autre sont donc négatifs : x R i x 0 et j 0. j i D autre art, nous avons x i j x S i j x R i j (5) x Suosons que le bien i soit un substitut brut du bien j : i 0. Il en découle : xs i xs 0 et donc j x j 0. est alors la somme d un terme ositif et d un terme j i i négatif. Il eut donc être ositif, négatif ou nul. Le bien j eut alors être un substitut brut, un comlément brut ou indéendant brut du bien i. b Deux biens normaux, qui sont des comléments nets, sont des comléments bruts réciroques. c Deux biens normaux, indéendants nets, ne euvent être des substituts bruts l un de l autre. Ils euvent être soit des comléments bruts réciroques, soit des indéendants bruts réciroques, soit l un comlément brut et l autre indéendant brut. d Deux biens normaux, qui sont des substituts bruts réciroques, sont des substituts nets. e Si un bien est indéendant brut d un autre, les deux biens ne euvent être des comléments nets. La démonstration des quatre dernières roositions eut s effectuer aisément, en aliquant la relation (5) ci-dessus. j 84

84 Le modèle des choix des entrerises Deuxième Partie : Comortement du roducteur L'activité de roduction consiste à transformer des biens et services en d'autres biens et services. Elle a lieu au sein d'entrerises renant des formes juridiques diverses : etite entrerise individuelle ou familiale, société de ersonnes, société anonyme, etc. Les biens et services transformés s'aellent facteurs de roduction, inuts ou intrants. Les biens qui résultent de la transformation des inuts sont aelés oututs ou roduits. Les facteurs de roduction incluent : Le travail qu'on eut traiter comme un seul agrégat ou au contraire le décomoser en autant de facteurs que de degrés de qualification ou de sécialisations. Les biens qui ne sont as totalement consommés durant l'oération de transformation : terre, machines, immeubles, etc. Ces biens sont souvent regroués sous la désignation de «stock de caital». Les biens intégralement consommés lors de la transformation, tels que le coke consommé our roduire la fonte, l'acier consommé our roduire des ustensiles de cuisine et le gaz consommé our roduire l'électricité. Ces fournitures sont aelées consommations intermédiaires. L'outut eut être un roduit unique, des roduits joints (gaz associé au étrole) ou des roduits multiles. Dans la suite, nous nous en tenons au cas simle où des inuts reérés ar un indice i =,...,n. sont utilisés en quantités x,...,x n our roduire un seul bien en quantité y. Le modèle des choix de l'entrerise L'entrerise doit décider de la quantité qu'elle voudrait roduire et de la meilleure combinaison des facteurs qui lui ermet d'atteindre le niveau désiré de roduction. En ce faisant, l'entrerise obéit à une certaine rationalité. L'entrerise est suosée oursuivre un objectif de maximisation de son rofit sous un certain nombre de contraintes, exrimant à la fois le cadre institutionnel dans lequel elle rend ses 85

85 Le modèle des choix des entrerises décisions et les techniques disonibles qui ermettent de combiner les facteurs de roduction selon des rocédés déterminés. En d'autres termes, avec des quantités données des différents facteurs de roduction l'entrerise ne eut déasser, en utilisant les techniques disonibles, une quantité maximale du roduit. Si la contrainte institutionnelle est exrimée ar l'imossibilité de l'entrerise d'agir sur le rix de l'outut et les rix des inuts, le modèle des choix du roducteur s'écrit : Max (; c,...,c n ; y; x,...,x n ) sous la contrainte y f(x,...,x n ) où est le rix d une unité de l'outut, c i est le rix unitaire du facteur i, x i est la quantité utilisée du facteur i, et y la quantité roduite. Nous allons orter notre attention d'abord sur la contrainte technologique et sécifier les relations qui existent entre les inuts et l'outut. Nous étudions ensuite en deux étaes comment l'entrerise rend ses décisions de roduction et d'utilisation des facteurs : Dans une remière étae nous nous intéressons au choix otimal des facteurs our un niveau donné de l'outut. Dans la deuxième étae nous étudions comment se détermine le niveau de la roduction. Hyothèse de marchés concurrentiels. 86

86 Le modèle des choix des entrerises 87

87 Le modèle des choix des entrerises Chaitre III : Ensembles et Fonctions de Production I- Rerésentation des exigences techniques de la roduction Le roducteur est limité ar l'état des techniques disonibles. Avec des quantités données des facteurs (x,...,x,...,x n ) il ne eut obtenir lus d'une certaine quantité d'outut : y. Cette contrainte technologique eut être rerésentée ar l'exigence que le vecteur (x,..., x n ; y) doit aartenir à un sous-ensemble de IR + n+ : z = (x,..., x n ; y) Z IR + n+ Alternativement on eut associer à tout comlexe d'intrants (x,...,x n ) la quantité maximale d'outut y ar une transformation f. L'ensemble des roductions techniquement ossibles est alors rerésenté ar : y f(x,..., x n ) y A y A B x A x Figure 3. Fonction et ensemble de roduction dans le cas d'un seul facteur Les oints situés sur la frontière des ossibilités de roduction corresondent à des roductions techniquement efficaces. L'efficacité technique signifie qu'il est imossible d'obtenir lus d'outut avec les mêmes quantités d'inuts ou le même outut avec moins d'inuts. 88

88 Caractérisation des fonctions de roduction La fonction f qui définit la frontière de l'ensemble de roduction est aelée fonction de roduction. Notons qu'il est arfois nécessaire d'ajouter des restrictions sulémentaires our rerésenter la contrainte technologique. Par exemle un inut ne eut être utilisé au-delà d'un certain lafond : x i x i. Bien sûr toutes les variables sont aussi soumises à la contrainte de non-négativité : x i 0 et y 0. II- Caractérisation des fonctions de roduction - Productivité moyenne d'un facteur La roductivité moyenne d'un facteur est le raort entre la quantité d'outut et la quantité du facteur qui a servi à la roduire. Si la fonction de roduction est à un seul facteur y = f(x), la roductivité f (x) moyenne de ce facteur s'écrit : PM = y = x Si la fonction de roduction est à lus d'un facteur, deux ar exemle, la roductivité moyenne d'un facteur est définie en fixant l'autre ou les autres facteurs : PM = f(x,x) - f(0, x) x y f (x A,x ) (a) A y f (x A,x ) (b) A A f 0,x 0 x B x f 0,x B f 0,x 0 C x A x Figure 3. Productivité moyenne d'un facteur de roduction. (a) Le facteur est unique ou indisensable. (b) Le facteur n'est as indisensable. 89

89 Caractérisation des fonctions de roduction La roductivité moyenne en un oint de la fonction de roduction est rerésentée géométriquement ar la ente de la droite qui lie ce oint à celui corresondant à la non utilisation de ce facteur de roduction. Lorsque la fonction de roduction est concave, la roductivité moyenne est décroissante. Au contraire si la fonction de roduction est convexe, la roductivité moyenne est croissante. y (a) y (b) B B A A x A < x B x A x B PM (A) > PM (B) x x A < x B x A x B PM (A) < PM (B) x Figure 3.3 Convexité et roductivité moyenne. (a) Fonction de roduction concave roductivité moyenne décroissante. (b) Fonction de roduction convexe roductivité moyenne croissante. - Productivité marginale La roductivité marginale d'un facteur est le sulément d'outut entraîné ar une unité sulémentaire de ce facteur. Dans le cas d'une fonction de roduction à un seul facteur, la roductivité marginale est mesurée ar le raort f(x). En notation continue, la x roductivité marginale mesure l'accroissement de la roduction entraîné ar un accroissement infinitésimal du facteur de roduction, c est à dire la dérivée de la fonction de roduction : Pm = y ' = d f (x) dx Dans le cas de lusieurs facteurs, la roductivité marginale du facteur i est égale à la dérivée artielle de la fonction de roduction ar raort au facteur i : 90

90 Caractérisation des fonctions de roduction Pm i = f i ' = f( x *,...,*,...*) x i x n x i * Géométriquement la roductivité marginale en un oint est la ente de la tangente à la courbe rerésentative de la fonction de roduction en ce oint. y y A B x A < x B Pm (A) > Pm (B) PM (B) > Pm (B) x A < x B Pm (A) < Pm (B) PM (B) < Pm (B) B A x A x B x x A x B x Figure 3.4 Convexité, roductivités moyenne et marginale. (a) Fonction de roduction concave. (b) Fonction de roduction convexe. La concavité de la fonction de roduction imlique la décroissance de la roductivité marginale, et la roductivité moyenne est en tout oint suérieure à la roductivité marginale. La convexité de la fonction de roduction a des imlications contraires. 3- Isoquantes Nous allons suoser, our simlifier, que la roduction résulte de la combinaison de deux facteurs : y=f(x, x ) Une isoquante (ou un isoquant) est le lieu géométrique de toutes les combinaisons de facteurs corresondant à un même niveau d'outut. La forme de l'isoquante déend des caractéristiques de la technique de roduction utilisée. n distingue deux cas : 9

91 Caractérisation des fonctions de roduction a) Les techniques de roduction à roortionnalités fixes : Pour roduire une unité d'outut il faut au moins "a" unités du remier facteur et "b" unités du second. La fonction de roduction corresondant à de telles techniques [figure 3.5-a] est donnée ar : y= Min x x, a b x (a) x x y Min, a b x (b) b x x a I b I 0 (y = ) I I 0 a x x Figure 3.5 Isoquantes. (a) Fonction de roduction à facteurs comlémentaires. (b) Fonction de roduction à facteurs substituables. Cette sécification de la fonction de roduction signifie que si on ne disose que de "a" unités du remier facteur on ne roduirait qu'une unité de l'outut même si le deuxième facteur est disonible en quantité illimitée. Il n'y a donc as de substitution entre les facteurs de roduction qui sont ainsi aelés comlémentaires. b) Les techniques de roduction qui ermettent de comenser la diminution d'un facteur ar l'augmentation d'un autre, our obtenir le même niveau de roduction. La fonction de roduction est dans ce cas dite à facteurs substituables. L'isoquante est alors rerésentée ar une courbe continue. Les facteurs de roduction étant substituables, on eut définir un taux marginal de substitution des facteurs. Plus récisément, on définit le taux marginal de substitution du facteur au facteur comme l'accroissement nécessaire du facteur our comenser une diminution infinitésimale du facteur en vue d'assurer le même niveau de roduction. TMS / = dx de sorte que dy = 0. dx 9

92 Caractérisation des fonctions de roduction Géométriquement le taux marginal de substitution en un oint M de coordonnées (x, x ) est la valeur absolue de la ente de la tangente à l'isoquante assant ar le oint M. [figure 3.5-b] Le taux marginal de substitution des facteurs est similaire au taux marginal de substitution entre biens de consommation. Pour les distinguer, on arle arfois de taux marginal de substitution subjectif et de taux marginal de substitution technique our qualifier successivement la substitution entre roduits de consommation et entre facteurs de roduction. Mais lorsqu'il n'y a as d ambiguïté, il suffit de arler de taux marginal de substitution, le contexte ermettant de saisir s'il s'agit d'un taux subjectif ou d'un taux technique. Le taux marginal de substitution du facteur au facteur est ositif. Le TMS du facteur au facteur est égal au raort des roductivités marginales du facteur au facteur. En effet, le TMS corresondant à un délacement le long d'une isoquante, on eut écrire que les variations des facteurs dx et dx sont telles que la variation du roduit dy = 0. dy = f ' dx + f ' dx = 0 dx f ' = dx f ' Quelle est la forme des isoquantes? Tout déend de la fonction de roduction. Si celle-ci est concave ou quasi concave, les isoquantes tournent leur concavité vers le haut (ou leur convexité vers l origine) et le TMS est décroissant. C'est le cas de la figure ci-haut. 4- Elasticités : n distingue deux tyes d'élasticité : une élasticité de la roduction ar raort à un facteur de roduction et une élasticité de substitution entre facteurs our une roduction donnée. a- n définit l'élasticité de la roduction ar raort à un facteur i comme la variation relative de la quantité roduite raortée à la variation relative du facteur, tous les autres facteurs étant constants. Pour une variation quelconque du facteur de roduction, l'élasticité est donnée ar la formule : 93

93 Caractérisation des fonctions de roduction e i = y y x i x i Quand la variation est infinitésimale, la formule devient : e i = dy y dxi x i = d Log y d Logx i b- n définit l'élasticité de substitution du facteur j au facteur i comme l'inverse x j de l'élasticité du taux marginal de substitution de j à i ar raort à. x i dlog (f ' / f ' j ) i dlog(x j / xi) = dlog (x / x ) dlog(f ' / f ' ) j i i j 5- Rendements d'échelle = d(x j / xi) f ' i /f ' j. d(f ' /f ' ) x / x i j j i. Jusqu'ici, nous nous sommes intéressés à la sensibilité de la roduction à une variation de la quantité utilisée d'un facteur, quand tous les autres facteurs sont maintenus constants. n eut ceendant être intéressé ar les conséquences d'une variation simultanée de tous les facteurs. Par exemle, on eut s'interroger sur ce qu'adviendra de la roduction d'une usine de chaussures si on double les machines, le cuir, les bâtiments, la main-d'œuvre et tous les autres inuts? Une telle question se réfère aux rendements d'échelle, c'est à dire aux conséquences de la variation de l'échelle de roduction. Les rendements d'échelle ont donc trait à la sensibilité de la roduction à une variation roortionnelle de tous les facteurs. Formellement il est ossible d'identifier les situations suivantes de rendements d'échelle : Les rendements d'échelle constants : une augmentation roortionnelle de tous les facteurs entraîne une augmentation du roduit dans les mêmes roortions : f(x,...,x n ) = f(x,...,x n ) our > La fonction de roduction est dans ce cas homogène de degré. 94

94 Caractérisation des fonctions de roduction Les rendements d'échelle décroissants : f(x,...,x n ) < f(x,...,x n ) our > Si la fonction de roduction est homogène, son degré serait < Les rendements d'échelle non-croissants : f(x,...,x n ) f(x,...,x n ) our > Si la fonction de roduction est homogène, son degré serait Les rendements d'échelle croissants : f(x,...,x n ) > f(x,...,x n ) our > Si la fonction de roduction est homogène, son degré serait > Les rendements d'échelle non-décroissants : f(x,...,x n ) f(x,...,x n ) > Si la fonction de roduction est homogène, son degré serait. Quels rendements d'échelle rencontre-t-on le lus souvent dans la réalité? Lorsque le rocessus de roduction est techniquement simle et standardisé, il est souvent ossible de s'étendre en réétant à l'identique une unité de roduction existante. Ainsi la multilication des intrants entraîne une multilication du même ordre de la roduction. De tels rocessus de roduction sont caractérisés ar des rendements d'échelle constants. Il arrive ceendant qu'une fonction de roduction ne recense as tous les facteurs qui contribuent à la roduction d'une manière ou d'une autre. Par exemle, le travail du roriétaire d'une etite entrerise n'est as ris en comte dans la fonction de roduction. De même certaines immobilisations, comme la terre, euvent ne as être exlicitement considérées armi les facteurs de roduction. Lorsque de tels facteurs non ris en comte dans la fonction de roduction sont disonibles en quantités limitées, le assage à une échelle de roduction suérieure se heurtera audelà d'un certain niveau à la contrainte de rareté de ces facteurs. La multilication des autres intrants entraînera alors un accroissement moins que roortionnel du roduit. Dans ce cas, les rendements d'échelle sont décroissants. n dit aussi qu'on est résence de déséconomies d'échelle. Une autre raison de déséconomies d'échelle, ou de décroissance des rendements d'échelle, réside dans les conséquences négatives du gigantisme sur la gestion et l'organisation. Il a été en effet observé que lorsque les entrerises s'étendent à lusieurs lignes de roduction et à des marchés géograhiquement disersés, elles rencontrent des difficultés croissantes de gestion et d'organisation de sorte que le rendement des 95

95 Caractérisation des fonctions de roduction facteurs devient inférieur à celui de leurs concurrents lus etits mais bénéficiant d'une lus grande soulesse. Par contre, il existe des raisons qui exliquent que dans certains secteurs les rendements sont croissants. D'abord, il y a les indivisibilités. Si une machine est fabriquée our roduire 000 lames ar jour, on ne eut as la fractionner en deux si on désire roduire uniquement 500 lames ar jour. Une centrale électrique a une certaine caacité hysique de roduction et on doit l'acquérir même si on n'a besoin que d'une artie de cette caacité. Les indivisibilités s'exliquent aussi ar le fait que our roduire, une entrerise a besoin d'une quantité minimale de moyens de roduction. Une entrerise a ar exemle besoin d'un directeur et d'un comtable et d'une équie de dix ouvriers. Elle roduit une certaine quantité d'outut. Si elle veut roduire uniquement la moitié, elle ourrait eut-être se séarer de la moitié des ouvriers mais elle ne eut certainement as fonctionner avec un demi-directeur. La deuxième raison qui exlique l'existence de rendements d'échelle croissants est liée à la sécialisation que ermet la roduction à grande échelle. En effet, une entrerise individuelle d'installation sanitaire doit comter sur son seul travailleur our étudier les rojets, soumettre des offres de rix, réaliser les installations, tenir sa comtabilité, etc. Ses cométences ne sont certainement as les mêmes dans l'accomlissement de toutes ces tâches. n eut raisonnablement enser qu'il est lus à l'aise dans les oérations d'installation. Si le niveau d'activité augmente à tel oint qu'il eut engager un comtable our se sécialiser dans la tenue des comtes, le travailleur utilisera son tems avec une lus grande roductivité en se sécialisant dans les travaux d'installation. Enfin, certains rocédés très erformants utilisant l'automation et la robotique sont conçus our convenir à des roductions de masse. Les raisons de croissance et de décroissance des rendements d'échelle oèrent différemment d'une industrie à une autre. Dans certains secteurs les économies d'échelle sont imortantes. Dans d'autres, les économies d'échelle existent au début de l'intervalle de roduction mais elles sont éuisées au-delà d'un certain niveau de roduction, laissant la lace à des déséconomies d échelle. La fonction de roduction résente alors l'allure suivante : 96

96 Fonctions de roduction à court et à long termes y x Figure 3.6 Fonction de roduction à rendements d échelle croissants uis décroissants.??????? III- Un exemle de fonction de roduction : La fonction Cobb-Douglas La fonction de roduction Cobb-Douglas a été introduite our rerésenter les conditions de roduction utilisant deux facteurs, le caital en quantité K et le travail en quantité L. Elle a our forme : y = AK L Aliquons à cette fonction Cobb-Douglas les notions déveloées dans la section récédente. i- Productivités moyennes des facteurs y K = AK L K y L = AK L = AK L ii- Productivités marginales f ' K = AK - L = K y = y K f ' L = AK L - = L y = y L iii- Elasticités de la roduction ar raort aux facteurs 97

97 Fonctions de roduction à court et à long termes e K = Logy LogK Log y = Log A + Log K + Log L e K = De même, e L = iv - Taux marginal de substitution du caital au travail TMS K/L = dk dl = f ' L = f ' K. Y/ L Y/ K K. L v- Élasticité de substitution du caital au travail C'est l'inverse de l'élasticité du taux marginal de substitution du caital au travail ar raort au raort L K (aelé intensité caitalistique). Comme le TMS est roortionnel à l'intensité caitalistique, l'élasticité est égale à l'unité. K TMS K/L = t = L K Log t = Log + Log L dlogt =. dlogk/l vi - Rendements d'échelle bservons d'abord que la fonction Cobb-Douglas est homogène de degré En effet : f(k,l) = A(k) (L) = + AK L = f(k,l) Le sens de variation des rendements d'échelle déend alors de la valeur de. Si = Les rendements d'échelle sont constants Si < Les rendements d'échelle sont décroissants et Si > Les rendements d'échelle sont croissants 98

98 Fonctions de roduction à court et à long termes IV- Fonctions de roduction à court et à long termes L'entrerise qui voudrait ajuster son niveau de roduction à un changement de l'environnement ne eut le faire instantanément ni librement. Par exemle, si la STEG voulait réondre à une croissance de la demande d'électricité et que ses caacités sont leinement utilisées, il lui faudrait des années our étudier et mettre en lace les équiements nécessaires. Dans d'autres industries lus légères, telle que la restauration, il faudrait eut être moins de tems. Mais en aucun cas, l'ajustement ne eut être instantané. La ériode qui séare la décision d'introduire de nouveaux équiements et leur entrée en roduction est aelée ériode de maturité. Tous les rocédés de roduction assent ar une ériode de maturité qui eut aller de quelques semaines ou quelques mois our un restaurant ou un service de hotocoie à quelques années our une centrale électrique ou une usine étrochimique. D'un autre côté, une fois des équiements corresondant à une certaine caacité de roduction sont installés, on ne eut as économiquement en démanteler la moitié s'il arrive que la demande baisse de moitié. La difficulté ou la quasi-imossibilité d'ajuster les équiements à la baisse en réonse à une contraction de la demande exrime la caractéristique d'irréversibilité du caital. Pour tenir comte de ces difficultés d'ajustement à la hausse comme à la baisse, on lace l'analyse de la roduction dans un cadre temorel en distinguant deux ériodes. La courte ériode et la longue ériode. Pendant la courte ériode, l'entrerise ne eut s'ajuster totalement à un changement d'environnement. Les facteurs qui ne euvent s'ajuster dans la courte ériode sont aelés des facteurs fixes. Il s'agit essentiellement du facteur caital. Les facteurs qui au contraire euvent s'ajuster librement dans la courte ériode sont aelés facteurs variables. Le travail est considéré comme un facteur variable. Ceci est évident lorsqu'on voudrait ajuster à la hausse l'utilisation du facteur travail. Mais lorsqu'il s'agit de diminuer la quantité de travail utilisé en réonse à un changement de l'environnement, la variabilité du facteur travail n'est assurée qu'en l'absence de contraintes juridiques ou autres visant la rotection de l'emloi. La fonction de roduction à court terme traduit la relation entre le niveau de la roduction et celui du (des) facteur(s) variables (s), our un niveau donné du (des) facteur(s) fixe(s). En regrouant les facteurs de roduction en deux, du caital fixe à court terme et du travail variable, la fonction de roduction à court terme s'écrit : 99

99 Fonctions de roduction à court et à long termes y = f(k 0,L) où K 0 désigne le niveau du caital, L la quantité de travail utilisée et y la quantité d'outut obtenue. n admet généralement que la fonction de roduction à court terme asse ar trois hases. Au cours de la remière hase, la roduction augmente lus que roortionnellement ar raort au travail. Si un seul travailleur est emloyé, il est obligé de réartir ses efforts à réaliser des tâches diversifiées. Lorsqu'on ajoute un deuxième travailleur, chacun des deux ourra se sécialiser dans certaines tâches our lesquelles il est mieux réaré et la roduction fait lus que doubler. Il arrive un moment où les gains dus à la sécialisation s'éuisent. A artir de ce oint, la roduction augmente moins raidement que le travail. Cette deuxième hase est donc caractérisée ar des rendements marginaux décroissants du travail, contrairement à la remière hase où les rendements marginaux sont croissants. Il arrive même que le caital est si intensivement utilisé, qu'un travailleur sulémentaire devient nuisible et fait diminuer la roduction totale. Le rendement marginal devient alors négatif. La courbe du roduit total est d'abord convexe, ensuite croissante et concave et enfin décroissante. La courbe de roductivité marginale commence alors ar être croissante, ensuite décroissante tout en étant ositive et enfin négative. [fig. 3.7-a] Y = f (K 0, L) (a) M Y y (b) L 0 L L L Pm L PM L L 0 L L L Figure 3.7 Fonction de roduction, de roductivité moyenne 00 et de roductivité marginale, à court terme

100 Fonctions de roduction à court et à long termes Y = f(k 0,L) = (L) Pm = ' convexe " 0 ou 'croissante concave " 0 ou ' décroissante. La courbe de roductivité marginale atteint son maximum au oint d'inflexion de la courbe du roduit total. [fig. 3.7-a] Quant à la courbe de roductivité moyenne, elle atteint son maximum au oint d'égalisation des roductivités moyenne et marginale. En effet (L) y L dy '(L).L (L) (L) 0 '(L) dl L² L n distingue alors quatre intervalles des valeurs du facteur variable Si L L 0 Pm croît PM croît Pm > PM Si L 0 L L Pm décroît PM croît Pm PM Si L L L Pm décroît PM décroît PM Pm (maximum de la roductivité marginale) (maximum de la roductivité moyenne) (maximum du roduit total) Si L L Pm 0 PM > Pm 0

101 Coûts de Production Chaitre IV : Choix des facteurs et Coûts de Production I- Le Choix des Facteurs - La règle de choix Lorsque les facteurs sont substituables, il y a lusieurs combinaisons ossibles our roduire une même quantité y d'un certain bien. Comment choisir la combinaison la meilleure? Nous avons déjà admis que les choix de l'entrerise réondent à l'objectif de maximisation du rofit. En définissant le rofit comme la différence entre le revenu et le coût total de roduction et en observant que la quantité du roduit est donnée et que son rix ne déend as de quantités de facteurs, la maximisation du rofit est équivalente à la minimisation du coût total : i n Max = y - i y = y 0 c i x i sous la contrainte ne déendant as des x i sous la contrainte y = y 0, le rogramme récédent équivaut à Min C(x,..., x n ) = i i n c i x i Quelle est maintenant la combinaison de facteurs ( x *,..., x * n ) qui corresond au coût minimum? Pour y réondre, commençons ar observer que les facteurs de roduction sont caractérisés ar des roductivités différentes et ar des coûts unitaires différents. En divisant la roductivité marginale de chaque facteur ar son coût unitaire, on obtient la roductivité marginale du dernier dinar déensé à acquérir ce facteur. A l'équilibre, il faudrait que cessent les ossibilités d'arbitrage, c est à dire qu'on ne eut lus diminuer la déense en transférant un dinar d'un facteur à un autre. En d'autres termes il faudrait que la roductivité marginale du dernier dinar soit la même quel que soit le facteur auquel il est réservé. Démontrons-le ar l'absurde. Suosons donc qu'il existe deux facteurs i et j tels que : f ' j > f ' i. L'entrerise c c j i ourrait alors diminuer son coût de roduction de la quantité y 0 en substituant le 0

102 Coûts de Production facteur j au facteur i. En effet, soit dx i la diminution de la quantité du facteur i et dx j l'accroissement de la quantité du facteur j de sorte que la roduction y 0 soit inchangée. dx et dx sont liés ar la relation f ' i dx i + f ' j dx j = 0 f ' j dx i = - dx j f ' i La variation corresondante du coût de roduction est : dc = c i dx i + c j dx j = (c j - f ' j c i ) dx j f ' i dx j étant ositif, dc est du même signe que (c j - f ' j c i ). f ' i f ' j j r c j - c i = ( - c i ).f 'j f ' i fc ' f ' j i f ' f ' i j j c Puisque < < i j c - i = dc < 0 ci c j fc ' j f ' i fc ' j f ' i n en conclue que lorsque la déense est minimale, la roductivité marginale du dernier dinar est la même quel que soit le facteur auquel il est affecté : f ' f ' i j = i, j =,...,n c c i j - Solution géométrique Rerésentons dans l'esace (x, x ) l'ensemble des combinaisons de facteurs donnant la même roduction y 0, c'est à dire l'isoquante d'équation f(x, x ) = y 0. x A E (C 0 ) (C ) B (C ) J 0 x Figure 4. Choix de la combinaison otimale de facteurs de roduction 03

103 Coûts de Production Traçons ensuite sur le même grahique des droites d'iso-coût, c'est-à-dire des combinaisons de facteurs corresondant à un niveau donné du coût total. La courbe corresondant au coût C 0 a our équation : c x + c x = C 0 ou encore x = - c c x + C 0 c Le coût de roduction augmente à mesure que la droite d'isocoût s'éloigne de l'origine. La minimisation du coût our le niveau de roduction y 0 signifie que le roducteur cherche à se lacer sur une droite d'isocoût la lus roche de l'origine mais qui a au moins un oint de contact avec l'isoquante y 0. Sur ce grahique, il est clair qu'aucune combinaison de facteurs exigeant une déense C ne suffit à roduire la quantité y 0. Par contre, il existe deux combinaisons sur la droite (C ) qui assurent le niveau de roduction donné. Mais aucune des deux n'est otimale uisqu'on eut choisir sur la même droite un oint intermédiaire qui donne lus de roduction avec le même coût. L'équilibre est atteint lorsque l'isoquante y 0 est tangente à une droite d'isocoût. La ente de la droite d'isocoût est égale en valeur absolue au rix relatif alors que la ente de l'isoquante est égale en valeur absolue au taux marginal de substitution du facteur au facteur ou encore au raort des roductivités marginales. La condition d'équilibre est donc : f ' = f ' c c ou encore f ' f ' = c c n retrouve donc la même règle de choix de la section récédente. 3- Solution analytique : La combinaison otimale ( x *, x * ) minimise la déense totale C(x,x ) = c x + c x sous la contrainte f(x,x ) = y 0 Nous savons que ce roblème équivaut à la minimisation de la fonction Lagrangien : L = c x + c x + [ 0 y - f(x,x )] où est un multilicateur ositif. 04

104 Coûts de Production En suosant que l'otimum est un oint intérieur (x > 0 et x > 0), les conditions nécessaires de minimisation de L sont : L( x*) x L( x*) x L(x*) = c - f ' ( x *, x * ) = 0 = c - f ' ( x *, x * ) = 0 = y 0 - f ( x *, x * ) = 0 Des deux remières conditions on tire : f ' = f ' c c f ' f ' = c c La dernière condition exrime seulement la contrainte de roduction. Ces conditions de remier ordre sont suffisantes, si la fonction de roduction est concave. 4- Sentier d'exansion Pour un niveau donné du roduit y 0, la solution du système d'équations f ' ( x, x) f ' ( x, x). c c f(x,x ) = y 0 corresond à un oint E 0 du lan (x, x ). x S (y) E E 0 C C0 x Figure 4. Sentier d exansion de la roduction 05

105 Coûts de Production Les coordonnées x 0 et x 0 de ce oint exriment les quantités demandées ar l'entrerise des facteurs et lorsque le niveau du roduit, les rix et la technologie sont donnés. En faisant varier le niveau du roduit et en maintenant constant tout le reste, on obtient une série de oints corresondant chacun à la combinaison otimale de facteurs our un niveau différent du roduit. La courbe, lieu géométrique de tous ces oints, est aelée sentier d'exansion de la roduction. II- Coûts de Production - Dérivation de la fonction de coût total à long terme Raelons-nous qu'à long terme tous les facteurs de roduction sont variables. Il n'y a donc as de coûts fixes que l'entrerise suorterait indéendamment du volume de la roduction. Le coût total est dans ce cas identique au coût variable, c'est à dire à la somme des coûts d'usage des facteurs de roduction, suosés tous variables. Nous venons de voir qu'en faisant varier le volume de roduction, les quantités otimales de facteurs varient. A ces quantités de facteurs on fait corresondre ar une relation linéaire le coût total : y x (y) x (y) C(y) = c x (y) + c x (y) La fonction comosée qui associe à tout niveau du roduit le coût minimum de sa roduction est aelée fonction de coût total. - Coût moyen et coût marginal à long terme Le coût moyen de roduction est le coût total divisé ar le volume de roduction. CM = C (y) y Le coût marginal de roduction est le coût de la dernière unité roduite. Lorsque l'unité est suffisamment etite, le coût marginal de roduction est aroximativement égal à la dérivée remière de la fonction de coût total. 06

106 Coûts de Production Cm = C'(y) = dc(y) dy Le coût marginal comme le coût moyen ne sont en général as constants. Ils déendent du niveau de la roduction. En mettant en liaison les définitions ci-dessus, on eut établir la relation entre coût moyen et coût marginal. Cm = C'(y) = (CM. y)' = CM'. y + CM n en déduit que le coût marginal égale le coût moyen lorsque ce dernier est maximum ou minimum (CM'=0). De lus, lorsque le coût moyen est croissant (CM'>0) le coût marginal est suérieur au coût moyen, et réciroquement. Inversement, lorsque le coût moyen est décroissant (CM' < 0) le coût marginal est inférieur au coût moyen et réciroquement. Cette relation, on eut la retenir aisément à l'aide d'un exemle scolaire. Suosons que l on ait obtenu les notes de toutes les matières à l'excetion de celle de microéconomie et que la moyenne s'est établie à. En recevant la note de la dernière matière (marginale), on va ouvoir recalculer la moyenne. Alors si la note marginale de microéconomie est suérieure à la moyenne initiale (4 ar ex), la moyenne va s'améliorer (moyenne croissante). Au contraire si la note de microéconomie était seulement de 0 (inférieure à la moyenne initiale de ), la moyenne va régresser. 3- Coûts et rendements d'échelle Les coûts étant fonction du niveau de roduction, on aimerait savoir comment ils évoluent avec la quantité roduite. Est-ce que le coût moyen d'une etite entrerise roduisant eu d'unités est lus élevé ou moins élevé que celui d'une entrerise travaillant à grande échelle? En réalité les coûts ne sont que le reflet des conditions technologiques rerésentées ar la fonction de roduction. n s'attend donc à un lien entre le sens d'évolution des coûts et les caractéristiques de la fonction de roduction. Nous ouvons établir ce lien dans le cas général, mais our simlifier nous allons nous lacer dans le cas d'une fonction de roduction homogène de tye Cobb- Douglas. Suosons donc que la contrainte technologique à laquelle fait face une entrerise est rerésentée ar : y = Ax x avec + = 07

107 Coûts de Production est le degré d'homogénéité de la fonction de roduction et sa valeur donne le sens de variation des rendements d'échelle : Ils sont croissants, constants ou décroissants suivant que est suérieur, égal ou inférieur à l'unité. Nous allons d'abord écrire les conditions de minimisation du coût our un niveau donné du roduit, en déduire ensuite les quantités otimales de facteurs et enfin dériver la fonction de coût total. Les conditions de minimisation du coût s'écrivent : f ' = f ' c c f(x,x ) = y f ' = y/x, f ' = y/x f ' /f ' =. x x. x = x c c x =. x c c Ax x = y y= A x x x + y = A. c x c / / y x = c A c / c x =. i. y x =. / c c j A c / y x =. / c A c La fonction de coût total s'écrit alors : C(y) = c x (y) + c x (y) = (y/a) / [c c / + c c / c c C(y) = y / en notant toute la artie de l'exression récédente qui ne déend as de y. Le coût moyen s'écrit : ] 08

108 Coûts de Production CM = C(y) = y /- y Le coût marginal s'écrit : Cm =.y /- = CM CM = Cm Nous ouvons maintenant établir le sens de variation des coûts moyen et marginal en fonction du sens de variation des rendements d'échelle : Rendements d'échelle constants = CM = Cm= Le coût marginal comme le coût moyen sont constants et identiques. Rendements d'échelle croissants > CM > Cm CM décroît Le coût marginal étant roortionnel au coût moyen, il est aussi décroissant. Rendements d'échelle décroissants < CM < Cm CM croît, Cm croît De nombreuses études emiriques montrent que le coût moyen diminue raidement lorsque le niveau de roduction est faible, reflétant ainsi l'existence d'économies d'échelle. Dans certaines industries, le coût moyen continue à décroître mais lentement au-delà d'un certain seuil de roduction. Ce seuil au-delà duquel la courbe de coût moyen devient quasiment horizontale s'aelle taille minimale d'efficience (TME) ou échelle minimale d efficience (EME). Le tableau suivant résente des estimations de la taille minimale d'efficience our des entrerises oérant dans diverses branches manufacturières au Royaume Uni et aux Etats Unis. Bien que ces estimations surestiment l'imortance des économies d'échelle (la ortion décroissante de la courbe de coût moyen) arce qu'elles ne tiennent as correctement comte de l'effet négatif des roblèmes de gestion, elles fournissent néanmoins un éclairage intéressant des conditions de roduction et de coût dans les branches manufacturières. Il en ressort que : La taille minimale d'efficience est surtout élevée dans les industries lourdes (économies d'échelle). 09

109 Coûts de Production Dans le grand marché américain, la TME est relativement faible. Ce qui suggère que les entrerises américaines ont quasiment éuisé les économies d'échelle dans leurs branches resectives et qu'elles oèrent dans la artie late de la courbe de coût moyen. Elles sont bien sûr avantagées (avantage de cométitivité) ar raort à des entrerises similaires dans des ays de lus etite taille et oérant dans la artie descendante de la courbe de coût moyen. ECHELLE MINIMALE D'EFFICIENCE (E.M.E) DANS DIVERSES INDUSTRIES AU RYAUME-UNI ET AUX ETATS-UNIS () Industrie Ciment Acier Bouteilles en verre Coussinets Tissus Réfrigérateurs Raffinage du étrole Peintures Cigarettes Chaussures () Accroissement en % du coût moyen our une taille égale à /3 de l EME 6,0,0,0 8,0 7,6 6,5 4,8 4,4,,5 (3) EME en % du marché anglais 6, 5,4 9,0 4,4,8 83,3,6 0, 30,3 0,6 (3) EME en % du marché anglais,7,6,5,4 0, 4,,9,4 6,5 0, Source : F.M. Scherer et alii, The Economics of Multilant eration, Harvard University Press, 975, tableaux 3. et 3.5 Par exemle, l'existence de deux fabricants de réfrigérateurs au Royaume Uni signifie qu'ils n'atteindront as la TME et qu'ils oéreront dans la artie décroissante du coût moyen. Toutes choses étant égales ar ailleurs, ils auront des difficultés à faire face aux fabricants américains de réfrigérateurs. Il existe des activités industrielles, surtout légères, où la taille minimale d'efficience est faible (faibles économies d'échelle). Dans le cas de l'industrie de la chaussure ar exemle le fonctionnement au tiers de la TME n'accroît que légèrement le coût moyen de roduction. Ces secteurs accueillent donc un grand nombre d'entrerises concurrentielles oérant dans la zone late du coût moyen. Dans un etit ays tel que la Tunisie où le marché intérieur est exigu, la TME de beaucou d'activités industrielles déasse robablement la taille du marché 0

110 Coûts de Production de sorte que our roduire, les entrerises tunisiennes oérant dans de tels secteurs n'auront d'autre choix que d'exorter une ortion substantielle de leur roduction. Lorsque les entrerises d'une branche font face à des économies d'échelle imortantes au début et qui s'émoussent au fur et à mesure que la roduction augmente, la courbe de coût moyen est en forme de L. Dans d'autres secteurs d'activité, les économies d'échelle sont lutôt faibles et les entrerises subissent des déséconomies d'échelle et des coûts moyens croissants au-delà d'un niveau de roduction modeste. La courbe du coût moyen décroissante uis croissante est dite en forme de U. CM (a) CM (b) Courbe de CM en L Courbe de CM en U y 0 y y 0 y Figure 4.3 Courbes de coût à long terme : (a) Economies d échelle imortantes au début qui s éuisent raidement (y y 0 ). (b) Economie d échelle our y y 0 et déséconomie d échelle our y y 0 4- Les coûts de roduction de court terme Raelons qu'à court terme, certains facteurs de roduction sont fixes et ne euvent ar conséquent s'ajuster au niveau désiré. Il en résulte deux conséquences : D'abord, l'entrerise suorte des coûts fixes, qu'elle roduise ou as. Ces coûts corresondent à l'usage des facteurs fixes. Ensuite, le coût de roduction à court terme est nécessairement lus élevé que le coût à long terme. Il ne lui est égal que si la caacité de roduction nécessaire à la roduction à court terme est égale à la caacité installée. Laissons our le moment de côté la question du lien entre coût à court terme et coût à long terme et intéressons-nous à la forme des courbes de coût à court terme. 4- Fonctions de coût à court terme

111 Coûts de Production Le coût total à court terme CT est la somme de deux coûts : un coût fixe CF, qui est ar définition constant quelle que soit la quantité roduite et un coût variable CV, qui est fonction du niveau de roduction y. CT(y) = CF + CV(y) A artir de ces trois fonctions de coût (total, fixe et variable), on définit trois fonctions de coût moyen et trois fonctions de coût marginal ; de la même façon que récédemment. Le coût fixe moyen : CFM = CF Il décroît à mesure que le coût fixe total est y réarti sur un nombre de lus en lus grand d'unités du roduit. Le coût variable moyen : CVM = CV y Le coût moyen (arfois aelé coût total moyen) : CM = CF + y CV y Le coût fixe marginal : CFm. Il est identiquement nul uisque le coût fixe ne déend as de la quantité roduite et qu il ne varie donc as lorqu on augmente la quantité roduite d une unité. Le coût variable marginal : CVm = Le coût marginal : Cm = dc dy dcv dy d(cfcv) dy dcv dy = CVm. Le coût marginal étant identique au coût variable marginal, on ne fera lus la distinction entre les deux et on ne arlera lus que de coût marginal. 4.- Lien entre fonctions de coût et de roduction à court terme Le coût variable de roduction étant lié à la quantité roduite, on doit raisonnablement s attendre à ce que les conditions techniques de roduction se reflètent dans les coûts variables ; créant ainsi un lien entre les fonctions de coût variable et la fonction de roduction à court terme. En rerésentant les conditions de roduction à court terme ar une fonction de roduction à deux facteurs dont l'un, le caital, est fixe et l'autre, le travail, est variable, nous avons déjà exliqué qu'il est raisonnable de enser qu'elle asse ar trois hases. Dans une remière hase, la roduction augmente lus que roortionnellement ar raort au travail. Elle est suivie ar une hase de croissance moins que roortionnelle de la roduction ar raort au travail. Enfin, dans le troisième intervalle la roduction baisse avec toute augmentation du facteur travail. (Cf. figure 4.4-a).

112 Coûts de Production Formellement, les conditions techniques de roduction sont rerésentées ar la fonction : y = f(k 0,L) = (L). La fonction est croissante sur les deux remiers intervalles de variation de la quantité de travail et décroissante sur le troisième. Il est clair qu une entrerise ne choisira jamais d utiliser une quantité de travail dans ce dernier intervalle, uisqu elle eut obtenir la même quantité d outut tout en utilisant une quantité moindre de travail. n se limitera donc ar la suite aux deux remiers intervalles sur lesquels la fonction de roduction de court terme est monotone croissante, et ar suite inversible. Son inverse L = - (y) désigne la quantité minimale de travail que l entrerise doit utiliser our obtenir une certaine quantité d outut. Le coût variable de roduction s identifie aux charges salariales ; il est égal au salaire unitaire, w, multilié ar la quantité de travail, elle même fonction de la quantité d outut qu on désire obtenir : CV(y) = w.l = w. - (y) y (a) (b) y Pm L PM L y y 0 L 0 L L L L 0 L L L CFM CVM (c) CM Cm CV (d) 45 y 0 y y 3 y y y 0 y y y Figure 4.4 Courbes de coût variable moyen, de coût fixe moyen, de coût moyen et de coût 3 marginal, à court terme.

113 Coûts de Production Dérivation des courbes de coût variable Nous ouvons à résent mettre en arallèle l'évolution des courbes de roduction à court terme et de roductivité moyenne et marginale du travail, d un côté et les courbes de coût variable, de coût variable moyen et de coût marginal, de l autre. La courbe du coût variable moyen CVM = CV w = wl = y y y/l = w PM Le coût variable moyen est inversement roortionnel à la roductivité moyenne du travail. Comme la roductivité moyenne du travail est croissante sur l intervalle [0, L ] et décroissante ensuite, c est à dire sur l intervalle [0, L ]. la relation récédente imlique que le coût variable moyen est décroissant sur l intervalle ]0, y ] uis croissant sur l intervalle [y, y ] ; en aelant y et y les quantités d outut corresondant resectivement à L et L. Quand la roductivité moyenne du travail est maximale (L= L ), le coût variable moyen est minimum (y = y ). La courbe du coût marginal Cm = dcv = w dl = w/ dy = w/pm dy dy dl Le coût marginal est inversement roortionnel à la roductivité marginale du travail. Comme la roductivité marginale du travail est croissante sur l intervalle [0, L 0 ] et décroissante sur l intervalle [L 0, L ] et qu elle s annule en L, la relation récédente imlique que le coût marginal est décroissant sur l intervalle ]0, y 0 ] uis croissant sur l intervalle [y 0, y [ et qu il augmente indéfiniment à mesure que la quantité roduite s aroche de la quantité maximale y. Le coût marginal atteint son minimum (y = y 0 ) lorsque la roductivité marginale est à son maximum (L = L 0 ) ; y 0 étant la quantité d outut obtenue en utilisant la quantité de travail L 0 : y 0 = (L 0 ). Lorsque la roductivité marginale est égale à la roductivité moyenne (roductivité moyenne maximale) le coût variable moyen est égal au coût 4

114 Coûts de Production marginal (coût moyen minimum). La courbe du coût marginal coue la courbe du coût variable moyen en son minimum. La courbe du coût variable Comme le coût marginal, qui est la dérivée du coût variable, est décroissant uis croissant, la courbe de coût variable est d abord concave et ensuite convexe ar raort à l origine. Elle admet un oint d inflexion en y 0, c est à dire lorsque le coût marginal est à son minimum. La hase de concavité (convexité) de la courbe de coût variable corresond à la hase de convexité (concavité) de la courbe de roduction à court terme. Courbes de coût total Raelons que le coût total est la somme du coût fixe et du coût variable : CT(y) = CF + CV(y). La courbe de coût fixe est horizontale. La courbe de coût total est homothétique à la courbe de coût variable ; la distance entre les deux courbes mesurée verticalement étant les coûts fixes. CF La courbe du coût fixe moyen est une branche d'hyerbole CFM =, elle est y toujours décroissante. Le coût moyen est la somme du coût fixe moyen et du coût variable moyen : CM = CFM + CVM Coût (a) CT CV CFM CVM (b) CM Cm CV CF y y y 0 y Figure 4.5 Fonction de coût à court terme 5

115 Coûts de Production Lorsque la courbe de coût variable moyen est décroissante, le coût moyen est évidemment décroissant, uisque la somme de deux fonctions décroissantes. Ensuite le coût moyen devient la somme d'une fonction décroissante (CFM) et d'une fonction croissante(cvm). Dans une remière étae, il continue à décroître, uis lorsque la croissance du coût variable moyen l'emorte, il commence à croître. Il asse donc ar un minimum situé à droite du minimum de la courbe de coût variable moyen. n démontre que la courbe de coût marginal asse aussi ar le minimum de la courbe de dcm dct(y)/ y coût moyen. En effet = dy dy = dct(y)/dy.y CT(y) y² Le minimum de CM(y) est atteint quand dct (y).y - CT(y) = 0 Cm = CM dy 5- Lien entre fonctions de coût à court terme et fonction de coût de long terme La courbe de coût moyen à long terme indique our chaque niveau de roduction le coût minimum, en suosant que l'entrerise combine librement les équiements et la quantité de travail. Ainsi chaque oint de la courbe de coût à long terme corresond à une quantité d'équiement articulière, ou à une dimension articulière de l'entrerise. En choisissant une certaine dimension, et en lui aliquant différentes quantités de facteurs on obtient la courbe de coût moyen à court terme our cette dimension. Les courbes de coût moyen à court terme sont nécessairement au-dessus de la courbe enveloe de coût moyen à long terme. Le oint de tangence de la courbe à long terme avec une courbe de coût à court terme ne corresond as nécessairement au minimum du coût moyen à court terme. CM CM CT CM CT CM CT3 CM LT y Figure 4.6 Courbe de coût moyen à long terme 6

116 Coûts de Production Nous allons chercher à établir dans ce qui suit de manière récise la relation entre les fonctions de coût à court et à long terme. A cet effet nous suosons que la roduction d un bien fait intervenir deux facteurs variables utilisés en quantités x et x en lus d un facteur dont la quantité k ne eut s ajuster qu à long terme. Ce dernier facteur, fixe à court terme, est identifié au caital hysique ou aux équiements de l entrerise. Si la taille des équiements varie de manière discontinue, on eut définir une famille finie de fonctions de coût à court terme, corresondant chacune à une taille articulière k. La fonction C(y,k ) est obtenue en choisissant x et x de manière à minimiser le coût total de roduction de toute quantité y du bien, la taille des équiements k demeurant inchangée. Elle est comosée d un coût fixe égal au coût d usage des équiements k, CF(k ) = CF, et d un coût variable CV (y) = c x* / + c x* / où c et c sont les rix unitaires des facteurs variables et (x* /, x* / ) est la combinaison otimale des facteurs variables lorsque k = k. En admettant que our des équiements fixes, les rendements marginaux des facteurs variables sont d abord croissants uis décroissants, la courbe de coût total à court terme est d abord concave et ensuite convexe. Son ordonnée à l origine mesure le coût fixe. Le grahique montre trois courbes C rerésentant une famille de trois fonction de coût à court terme C(y,k ) i =,, 3. L ordonnée à l origine des trois courbes est croissante, reflétant la croissance de la taille des équiements : k 3 > k > k. Coût C 3 C C CF 3 CF CF o y y y Figure 4.7 Coût total à court et long termes. 7

117 Coûts de Production Il est raisonnable de enser que lorsque la quantité d équiements est lus imortante, on eut roduire une même quantité en aliquant des quantités moindres des facteurs variables. Pour une même quantité d outut, le coût variable est alors d autant lus faible que le coût fixe est lus élevé. Lorsque la quantité roduite est faible, le coût fixe comte our une grande artie du coût total. Celui-ci est donc d autant lus élevé que la taille des équiements est lus grande. Mais au fur et à mesure que la quantité roduite augmente le oids relatif du coût fixe dans le coût total diminue et celui du coût variable augmente. A artir d un certain niveau de roduction, le coût total de roduction dans une usine de taille lus grande devient lus faible que le coût de roduction dans une usine de moindre taille. C est ainsi que our des roductions inférieures à y, le coût associé à la taille k, C(y,k ) est lus faible que celui associé à la taille k, C(y,k ). Au delà de y, la situation se renverse. De même la taille k corresond à un coût moindre que la taille k 3 our un volume de roduction inférieur à y et à un coût lus élevé lorsque le volume de roduction déasse y. A long terme, l entrerise eut choisir librement la taille de ses équiements. Sa fonction de coût total à long terme est alors rerésentée ar les ortions inférieures des courbes C, C et C 3. Parce que la courbe de coût à long terme «enveloe» ar le bas les courbes de coût à court terme, elle est aelée une courbe-enveloe. A mesure qu on élargit le choix à un lus grand nombre de tailles, la courbe de coût à long terme s'identifie à chacune des courbes de coût à court terme sur une ortion de lus en lus étroite. A la limite, lorsque la taille des équiements varie de manière continue, le nombre de tailles a riori ossibles tend vers l infini, et la ortion sur laquelle la courbe à long terme se confond avec une courbe à court terme articulière se réduit à un oint. Ainsi, en chaque oint de la courbe de coût à long terme, il existe une courbe de coût à court terme qui lui soit tangente. A chaque niveau de roduction y 0 corresond une taille k 0 qui ermet de l obtenir au moindre coût. Inversement, chaque taille k est otimale our roduire une certaine quantité y. Il est ar ailleurs clair qu en dehors du oint de tangence, la courbe de coût total à court terme est située au dessus de la courbe de coût à long terme. Soit en effet y y 0. Le coût à long terme C LT (y ) est obtenu en choisissant librement la taille k de façon à ce que ce coût soit minimum. Il s en suit que le coût total obtenu en choisissant toute autre taille est suérieur à C LT (y ) : C(y,k 0 ) > C(y,k ) = C LT (y ). 8

118 Coûts de Production C CT C LT (a) C(y, k 0 ) C LT (y) C LT(y 0) = C(y 0, k 0) C(y, k 0) C(y, k ) = C LT(y ) y y 0 y Coûts (b) Cm CT Cm LT CM LT CM CT y 0 y Figure 4.8 Coût moyen et Coût marginal à court et à long termes. 9

119 Coûts de Production Equation de la courbe de coût total à long terme Soit C(y,k) la famille de courbes de coût à court terme déendant du aramètre k exrimant la taille des équiements. La courbe de coût à long terme est obtenue en cherchant our chaque quantité d outut, la taille k* qui minimise les coûts totaux : k* / min C(y,k) y La condition du remier ordre de minimisation de C(y,k) est : (y,k*) 0 dont la solution est k* = (y). En remlaçant dans C(y,k) k ar k* = (y), on obtient l équation de la courbe de coût total à long terme. C k Relation entre coûts moyens et marginaux à court et à long termes Chaque oint de la courbe de coût total à long terme est un oint de tangence avec une courbe de coût à court terme articulière, celle dont la taille fixe des équiements minimise le coût total de roduction de la quantité corresondante. Soit A un oint de la courbe de coût de long terme d abscisse y 0. Alors il existe une taille k 0 telle que C(y 0,k 0 ) = C LT (y 0 ). En divisant ar y 0 les deux membres de cette égalité, on obtient : CM(y 0,k 0 ) = CM LT (y 0 ). La courbe de coût moyen à court terme corresondant à la taille k 0 est donc tangente à la courbe de coût moyen de long terme au oint d abscisse y 0. D autre art, on a C LT (y) C(y,k 0 ) y ou encore h (y,k 0 ) = C LT (y) C(y,k 0 ) 0 y La fonction h(y,k 0 ) atteint son maximum lorsque le coût de long terme est égal au coût de court terme, donc lorsque y = y 0. r, la condition de remier ordre de maximisation de la fonction h(y,k 0 ) est : h 0 (y0,k y (y LT y ) 0 C 0 0 ) C(y,k ) 0 y Cm LT (y 0 ) = Cm(y 0,k 0 ) 0

120 Coûts de Production Au oint de tangence des courbes de coût total à court et à long termes, les coûts marginaux à court et à long termes sont donc égaux. 6- Coûts comtables et coûts économiques Nous avons arlé jusqu'ici des coûts de roduction sans savoir comment ils sont évalués. Pour l'economie les rix doivent être de bons guides à l'allocation des ressources. n doit donc rattacher un coût à l'utilisation d'une ressource rare ar l'entrerise indéendamment du fait que l'entrerise aie effectivement ce coût ou as. Cette vision diffère fondamentalement de celle de la comtabilité qui ne retient que les aiements réellement effectués. Deux exemles illustrent cette divergence. La comtabilité d'une entrerise individuelle n'enregistre as comme charge du facteur travail la comensation du travail fourni ar le roriétaire. L'Economie observe que ce travailleur roriétaire aurait u travailler comme salarié dans une autre entrerise. Le salaire qu'il erd en décidant de travailler our son rore comte est un coût d'oortunité qui devrait être ris en comte dans le calcul du coût total de roduction et ar suite du rofit. Si la comtabilité de cette entrerise individuelle fait ar exemle ressortir un bénéfice de 5000 dinars et si le salaire le lus élevé qu'aurait û avoir le travailleur est de 000 dinars ar mois, le "rofit" de l'entrerise au sens économique arès rise en comte du coût d'oortunité du travail fourni ar le roriétaire est seulement de 3000 dinars. En second lieu, le coût de roduction doit tenir comte du coût d'usage du caital. Comme les équiements ont une durée de vie de lusieurs exercices comtables, on imute à chaque exercice un coût qui rerésente le rix des services rendus ar le caital au cours de cet exercice. Si ar exemle les équiements ont été achetés à dinars et qu'ils ont une durée de vie estimée de 0 ans, on imuterait chaque année /0 du rix d'achat des équiements, c est à dire 0000 dinars. C'est ce que fait la comtabilité sous la rubrique charge d'amortissement des immobilisations. Ceendant comme les équiements ont été achetés à une date antérieure et que le rix a été ayé quelques années lus tôt, il faudrait tenir comte aussi du coût d'immobilisation de l'argent endant ce tems. La comtabilité tient effectivement comte de ces charges, lorsque les équiements ont été financés ar un emrunt sur lequel des intérêts sont ayés annuellement. Mais our l'economie, il faudrait tenir comte de ces charges qu'elles soient effectivement ayées sous forme d'intérêt ou qu'elles ne corresondent à aucun déboursement comme dans le cas où les équiements sont financés ar les fonds rores de l'entrerise ou ar un financement articiatif. Là encore un coût d'oortunité doit être imuté aux fonds rores ou au caital articiatif. Il est égal au rendement maximum qu'ils ourraient gagner s'ils

121 Coûts de Production étaient lacés ailleurs. n voit donc que contrairement au bénéfice comtable, le rofit économique déduit des recettes les revenus qu'auraient u gagner les roriétaires en laçant leur caital ailleurs.

122 Coûts de Production Chaitre V : Détermination du volume de roduction d'une entrerise concurrentielle Nous avons vu jusqu'ici comment une entrerise à la recherche du rofit maximum détermine les quantités otimales de facteurs qu'elle devrait utiliser our un volume donné de roduction. Il reste maintenant à voir comment se détermine le volume de roduction otimal, c'est à dire celui qui rocure à l'entrerise le rofit le lus élevé. Pour y réondre, nous allons nous lacer dans le cas d'une entrerise qui oère dans un marché concurrentiel. Nous aurons l'occasion d'étudier d'autres formes de marché et nous verrons alors comment les conclusions de ce chaitre sont altérées ar la rise en comte d'autres tyes de marchés que le marché concurrentiel. I- Les imlications de l'hyothèse de concurrence our les décisions de roduction de l'entrerise Le rofit étant l'objectif de l'entrerise, il est nécessaire qu'elle uisse évaluer our chaque niveau de roduction y le rofit corresondant, et de choisir ensuite celui qui donne le rofit le lus élevé. Le rofit est défini comme la différence entre les recettes et les coûts. (y) = R(y) - C(y) L'entrerise connaît bien sa fonction de coût. Il faut aussi qu'elle connaisse ou qu'elle estime sa fonction de recette, c'est à dire la valeur des ventes corresondant à chaque niveau de roduction. En général, ceci signifie que l'entrerise est en mesure d'estimer la demande de son roduit our chaque niveau de rix. Mais dans le cas d'un marché où la concurrence est suffisamment vive our constituer une aroximation raisonnable de l'hyothèse de concurrence arfaite, le roblème est singulièrement simlifié, dans la mesure où l'entrerise n'a lus besoin d'estimer la demande qui va s'adresser à elle. En effet, en concurrence arfaite, on suose qu'il existe un très grand nombre d'entrerises roduisant toutes un bien homogène et standardisé. La quantité que eut mettre une seule entrerise sur le marché est négligeable ar raort à l'offre globale sur ce même marché. Si elle augmente ou diminue sa roduction, l'offre sur le marché n'est as affectée significativement et les rix restent inchangés. L'entrerise qui oère sur un marché concurrentiel sait donc qu'elle ne eut as influencer le rix du marché, elle le subit. n dit aussi qu'elle est un reneur de rix ("rice taker" ar oosition à 3

123 Les imlications de l'hyothèse de concurrence our les décisions de roduction de l'entrerise "rice maker"). La demande du roduit de l'entrerise est donc arfaitement élastique : Au rix 0 du marché, elle eut écouler tout ce qu'elle eut roduire. Mais elle ne vendra rien si elle demande un rix un eu lus élevé, uisque les acheteurs trouveront le même roduit (hyothèse d'homogénéité) au rix 0. Il faut ceendant observer que le fait que la demande erçue ar une entrerise articulière soit arfaitement élastique ne signifie as que la demande totale sur le marché est aussi arfaitement élastique. Elle est, au contraire, comatible avec une courbe de demande décroissante avec le rix et donc as arfaitement élastique. Nous trouvons ici une illustration du sohisme de comosition : Ce qui vaut our une entrerise articulière ne vaut as our l'ensemble des entrerises d'un marché concurrentiel. y (a) y D (b) D P 0 P P 0 P Figure 5. (a) demande à l entrerise (b) demande et offre de marché II- La détermination de la roduction otimale à court terme Le rofit d'une entrerise concurrentielle est : = R(y) - C(y) avec R(y) =.y Il est facile de voir que tant la recette marginale R'(y) que la recette moyenne (RM) sont constantes et égales au rix du marché. La condition du remier ordre de maximisation du rofit est : R'(y) - C'(y) = 0 R'(y) = C'(y) c'est à dire Rm = Cm 4

124 Les imlications de l'hyothèse de concurrence our les décisions de roduction de l'entrerise r, Rm =. D'où : Cm =. Cette condition est nécessaire si le volume de roduction aartient à l'intérieur de l'ensemble de roduction (y > 0). n en déduit que si l'entrerise décide de roduire (y>0), elle choisira le volume de roduction dont le coût marginal est égal au rix du marché. Cette condition est suffisante lorsque la fonction de roduction est concave ou lorsque les rendements d'échelle sont non croissants. r nous avons vu qu'à court terme, les rendements sont généralement croissants uis décroissants. La courbe de coût marginal est alors décroissante uis croissante. Dans ce cas, il est ossible que la droite de la recette marginale coue la courbe de coût marginal en deux oints. En chacun de ces deux oints l'égalité Rm = Cm est donc vérifiée ; l'un d'eux seulement corresond au maximum du rofit. Considérons d'abord le oint A, c'est à dire le oint d'intersection de la droite de la recette marginale avec la branche descendante de la courbe du coût marginal. Si on augmente la roduction d'une unité, son coût marginal sera inférieur au rix. Le rofit augmenterait donc. n en déduit qu'en A le rofit n'est as maximum. Cm P 0 A B Rm y A y B y Figure 5. Courbe de coût marginal Au contraire comme en B le coût marginal est croissant, la roduction d'une unité sulémentaire coûte lus qu'elle ne raorte et diminue donc le rofit. Alors que si on diminue la roduction d'une unité l'économie de coût est inférieure au 5

125 manque à gagner (). Pour avoir le rofit maximum, il faut donc roduire la quantité corresondant au oint B. Ainsi, l'égalité Rm = Cm doit être vérifiée au niveau de la artie ascendante de la courbe du Cm. Il faut maintenant s'assurer que le volume de roduction corresondant à l'égalité du coût marginal et de la recette marginale corresond en fait à un rofit maximum ou simlement à une erte minimale. Et dans ce dernier cas, il faut comarer cette roduction à erte avec l'arrêt d'activité. Pour cela nous avons besoin d'introduire la courbe de coût moyen. (a) Cm CM (b) Cm CM D P* > 0 C B D P* y* A y y* y Figure 5.3??????????? (c) Cm CM C P < 0 B D y* A y n distingue alors trois cas, suivant la osition de la droite horizontale de recette marginale ar raort à la courbe de coût moyen : 6

126 a) Si le rix du marché est suérieur au minimum du coût moyen, la recette totale (surface du rectangle ACD) est suérieure au coût total (surface du rectangle EBC) et il y a donc rofit effectif. [fig. 5.3-a] b) Si au contraire le rix du marché est inférieur au minimum du coût moyen, la roduction corresondant à l'égalité du rix et du coût marginal engendre en fait une erte. Il faut remarquer ceendant que cette erte est inférieure à celle engendrée ar toute autre roduction non nulle. [fig. 5.3-c] c) Enfin si le rix est égal au minimum du coût moyen de roduction l'entrerise ne fait ni erte ni rofit. C'est ourquoi ce rix est aelé seuil de rentabilité ou oint mort (égalité de la recette totale et du coût total). [fig. 5.3-b] Que doit faire l'entrerise si, en roduisant, elle réaliserait une erte? Dans ce cas il faut comarer cette situation avec l'arrêt des activités. r, dans le court terme, l'entrerise suorte des coûts fixes, qu'elle roduise ou qu'elle arrête son activité. Alors si la erte corresondant au oint d'équilibre est inférieure aux coûts fixes, l'entrerise a intérêt à continuer à travailler. Dans ce cas la roduction ermet de couvrir les frais variables et une artie des frais fixes. C'est mieux que de ayer la totalité des frais fixes. (a) Cm CM (b) Cm CM D C CVM E D CVM P F Perte B E F P C B A y* Coût variable couvert ar les recettes Partie des coûts fixes couverte ar les recettes Perte = artie des coûts fixes non couverte ar les recettes A y Recettes Partie des coûts variables non couverte ar les recettes Coûts fixes totalement non couverts ar les recettes Figure 5.4??????? 7

127 Détermination du volume de roduction à long terme Si le rix du marché descend au-dessous du minimum du coût variable moyen, alors les recettes ne suffisent même as à couvrir les frais variables et l'entrerise référerait fermer ses ortes et ayer les coûts fixes. Le minimum du coût variable moyen est our celà aelé seuil de fermeture. Résumons : - Si le rix du marché est inférieur au minimum du coût variable moyen, la roduction otimale est nulle, l'entrerise cesse son activité. - Si le rix est suérieur au seuil de fermeture, l'entrerise choisira le niveau de roduction corresondant à l'intersection de la droite de la recette marginale avec la branche ascendante de la courbe de coût marginal. En ce faisant elle réalise un rofit économique si le rix est aussi suérieur au minimum du coût moyen et une erte dans le cas contraire. * > r = min CM y* > 0 et (y*) > 0 * = r y* > 0 et (y*) = 0 * f = min CVM < < r y* > 0 et (y*) < 0 * < f y* = 0, < 0 et = - CF < CF III - Détermination du volume de roduction à long terme La condition d'équilibre est toujours la même : égalité du coût marginal et du rix. L'entrerise choisit le niveau de roduction corresondant à l'intersection entre la courbe de coût marginal et la droite de la recette marginale, ourvu bien sûr que cette roduction ne soit as nulle (oint intérieur). La différence avec le court terme est que maintenant, il n'y a lus de coûts fixes. Si la roduction est nulle, le coût est nul. A l'équilibre corresondant au oint d'intersection de la courbe de coût marginal et de la droite de recette marginale, le rofit doit être effectivement ositif. Autrement, l'entrerise référerait ne rien roduire. Donc à long terme, si le rix du marché est suérieur au minimum du coût moyen à long terme, l'entrerise choisit le niveau de roduction qui égalise le coût marginal au rix. Si au contraire le rix du marché est inférieur au minimum du coût 8

128 Détermination du volume de roduction à long terme moyen à long terme, elle référerait sortir de l'industrie. Lorsque le rofit est ositif, le bénéfice comtable fait lus que couvrir le coût d'oortunité du tems et des fonds rores engagés ar les roriétaires de l'entrerise. n dit alors qu'il y a un sur rofit. IV- Courbes d'offre Le comortement de l'entrerise concurrentielle eut se résumer ar une relation qui exrime our chaque niveau de rix qui s'établit sur le marché, le volume de roduction que l'entrerise aorterait sur le marché. La rerésentation grahique de cette relation est alors aelée courbe d'offre. * A court terme, raelons-le, l'entrerise ne roduit rien, et donc n'offre rien, si le rix du marché est strictement inférieur au minimum de son coût variable moyen. Au-delà elle offrira la quantité qui corresond à l'égalité du rix et du coût marginal. CM (a) Cm P (b) CM CT CM CVM CVM CVM y y (c) Cm P (d) LT LT CM LT CM LT CVM y y Figure 5.5 Courbes d'offre 9

129 Courbes d'offre La courbe d'offre est d'abord confondue avec l'axe des ordonnées (y = 0) lorsque le rix est inférieur au minimum du coût variable moyen CVM. Ensuite, elle s'identifie à la courbe du coût marginal. * A long terme, la courbe d'offre s'identifie à la courbe du coût marginal à long terme à artir du minimum du coût moyen à long terme, uisqu'il n'y a lus de distinction à faire entre coûts fixes et coûts variables. [figures 5.5-c et 5.5-d] Note : la tradition francohone veut qu'on rerésente une relation en ortant en abscisses les antécédents et en ordonnées les images. Dans ce cas on devrait rerésenter les courbes d'offre en ortant les rix du marché sur l'axe des abscisses. La transformation est évidente : y y CVM CM LT Figure