SCA4662 Méso-micrométéorologie

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1 Applications Chercher des réponses ou des solutions à des problèmes d ordre scientifique 1) Cerner un problème a. Considérer le contexte de la situation b. S en donner une représentation c. Identifier les données initiales d. Identifier les éléments qui semblent pertinents et les relations qui les unissent e. Reformuler le problème en faisant appel à des concepts scientifiques f. Proposer les explications ou des solutions possibles 2) Élaborer un plan d action a. Explorer quelques-unes des explications ou des solutions provisoires b. Sélectionner une explication ou une solution c. Déterminer les ressources nécessaires d. Planifier les étapes de sa mise en œuvre 3) Concrétiser le plan d action a. Mettre en œuvre les étapes planifiées b. faire appel aux techniques et ressources appropriées c. Procéder à des essais, s il y a lieu d. Recueillir les données ou noter des observations pouvant être utiles e. Apporter, si cela est nécessaire, des corrections liées à l élaboration ou à la mise en œuvre du plan d action 4) Analyser les résultats a. Rechercher les tendances ou les relations significatives b. Juger de la pertinence de la réponse ou de la solution apportée c. Établir le lien entre les résultats et les concepts scientifiques d. Proposer des améliorations, si cela est nécessaire e. Tirer des conclusions 1) En sciences appliquées, chaque fois qu une réponse à un problème est numérique, il faut tenir compte que les calculs se font en utilisant des grandeurs mesurées avec une certaine précision. La précision de la mesure est donnée par ses chiffres significatifs. Le résultat obtenu ne peut pas avoir plus de précision que la mesure elle-même. Lire avec attention l annexe de ce document «Les chiffres significatifs». 2) N oubliez jamais qu une grandeur physique a des unités. Un résultat numérique sans unités n a aucune valeur. 1

2 Réchauffement mathématique Exercice 1 Soit c = constante, s une fonction spatiale que ne dépend pas du temps, et A= A+ a, B= B+ b, et E = E+ e. Déterminez les quantités suivantes a) ( cab ) =? b) ( ABE ) =? c) a 2 A=? Exercice 2 Le terme suivant est écrit en notation tensorielle. Écrivez de façon explicite la somme des termes. a) ( uu i j) x j Exercice 3 Exprimer les termes suivants en notation tensorielle a) Gradient d un scalaire b) La dérivée totale de la vitesse du vent c) L opérateur laplacien Problèmes 1) Considérez une couche d air, au niveau de la mer, de 100 mètres d épaisseur, dont la température potentielle moyenne initiale est de 290 K. Si le flux de chaleur cinématique est de 0,2 K m/s à la base de la couche et de 0,1 k m/s au sommet, quelle sera la température potentielle moyenne de la couche 2 heures plus tard. Les flux sont stationnaires. 2) Considérez une couche limite où la vitesse moyenne du vent est purement horizontale, zonale et d'intensité égale à 10 m/s. Le gradient d'humidité moyenne zonal dans cette même couche est de 5 g,vapeur /kg air par 100 km. Les mesures locales montrent que l'humidité moyenne reste stationnaire. En supposant qu'il n'y a pas de sources d'humidité, quelle serait le gradient verticale de flux turbulent d'humidité qui justifie cette stationnarité? 2

3 3) Supposez que le flux turbulent de chaleur sensible décroit linéairement avec la hauteur, z, selon l'équation wθ = a bz, où a = 0,3 (K m/s) et b = 0,0003 (K/s). Si la température potentielle initiale de la couche a un profil arbitraire (choisissez un profil) quelle sera la forme du profil une heure après. La vitesse verticale moyenne est nulle, les effets radiatifs sont négligeables, il n'y a pas de changements de phase et la turbulence est horizontalement homogène. 4) La couche limite à la latitude de 44 N, où le vent moyen est sub-géostrophique, inférieure au vent géostrophique de 2 m/s. Le vent souffle selon le gradient de pression. En supposant que la turbulence est horizontalement homogène, stationnaire et qu'il n'y a pas de subsidence (vent vertical moyen = 0 m/s) : a. Trouvez la divergence des contraintes de Reynolds nécessaire pour maintenir ce déficit de vitesse. b. S'il n'y aurait pas de turbulence, quelle serait la courbure du profil de vent moyen nécessaire pour justifier le même déficit par les effets de la viscosité moléculaire? 5) Des découvertes récentes indiquent que le virus responsable de la grippe aviaire se multiplie plus rapidement quand l'environnement est humide. On constate aussi que sa croissance est inhibée par l'augmentation de la température. Soit c, la concentration de ce virus. L'équation de conservation de c à température constante, T 0, est : 2 dc ac q = + cq dt T0 où a est une constante et q est l'humidité spécifique. a) Trouvez l'équation pronostique de c, c'est-à-dire c t, dans la couche limite turbulente. b) Simplifiez l'équation et mettez-la en forme de flux, en considérant qu'il n'y a pas de subsidence, que l'écoulement est non divergent et que les propriétés statistiques de la turbulence sont horizontalement homogènes. c) Identifiez les termes dus à la turbulence. Lesquels (ou lequel) de ces termes sont reliés au flux turbulent de la bactérie? d) La variation locale de c dépend-elle de la corrélation entre la concentration de bactéries et l'humidité? Et de la variance de c? Justifiez. 3

4 Les chiffres significatifs Le concept de nombre a une signification particulière en sciences appliquées. Alors qu en mathématiques, la quantité de chiffres dans un nombre peut être illimitée, en sciences appliquées, elle est toujours restreinte car elle reflète la limite de précision des instruments de mesure. Les chiffres utiles, ceux qui tiennent compte de la précision et de l incertitude d une mesure, sont dits significatifs. Ce sont eux qui servent à traduire le degré de précision d une mesure, et c est la raison pour laquelle on doit connaître le nombre adéquat de chiffres significatifs qu ils faut conserver dans une mesure. Il existe quelques règles afin de déterminer le bon nombre de chiffres significatifs. Règle 1 : Tout chiffre différent de zéro est significatif. Exemple : 1,8554 g comprend cinq chiffres significatifs. Règle 2 : Les zéros placés entre deux chiffres significatifs sont significatifs. Exemple : 6,07 cm comprend trois chiffres significatifs. Règle 3 : significatifs. Les zéros placés à gauche du premier chiffre différent de zéro ne sont pas Exemple : 0,00325 ne contient que 3 chiffres significatifs (3, 2, et 5), les zéros ne servant qu à indiquer la position de la virgule décimale. D ailleurs, ces zéros disparaissent lorsqu on utilise la notation scientifique ou exponentielle. Selon cette dernière notation, la virgule décimale est placée après le premier chiffre différent de zéro et sa position est précisée à l aide d un exposant. Ainsi, le nombre 0,00325 s écrit 3,25 x 10-3 en notation scientifique, ce qui met en évidence les 3 chiffres significatifs. Règle 4 : Les zéros placés à droite sont significatifs s ils sont placés après la virgule. Exemples : 300 n a qu un seul chiffre significatif 2,460 comprend quatre chiffres significatifs NOTE : Si on désire que le nombre 300 ait trois chiffres significatifs il suffit de le convertir en notation scientifique. Ainsi 300 (1 c.s.) devient 3, chiffres significatifs. et contient maintenant trois 4

5 Règle 5 : Les nombres exacts sont considérés comme ayant un nombre infini de chiffres significatifs. Ils ne sont donc pas limitatifs. Ces nombres sont obtenus non pas en utilisant un appareil de mesure mais plutôt par comptage (ex : 8 molécules), par l utilisation d une formule mathématique (ex. : le 4 et le 3 de 4/3 π r 3 ) ou par définition. Par exemple, par convention, le pouce mesure exactement 2,54 cm. Donc dans l expression 1 po = 2,54 cm, ni le 1 ni le 2,54 n influencent le nombre de chiffres significatifs dans les calculs. Les chiffres significatifs dans les calculs Il faut souvent effectuer des calculs à partir de valeurs mesurées pour obtenir le résultat final d une expérience. Or, la précision des mesures doit se refléter dans le résultat obtenu. Il est logique de penser qu un résultat ne peut pas être plus précis que les mesures qui ont servi à le calculer. Pour tenir compte de cette transmission de l incertitude dans les résultats, on doit se fier à quelques règles de base pour déterminer le nombre de chiffres significatifs du résultat final. Cependant, ces règles ne constituent pas une méthode exacte. Il existe en effet d autres méthodes de calcul plus précises mais parfois compliquées. Les règles ci-dessous mènent à une bonne approximation et permettent de sauver du temps tout en donnant des résultats très rapprochés de ceux qui seraient obtenus par des calculs plus complexes. Règle 6 : addition et soustraction : Le résultat d une addition ou d une soustraction a autant de décimales que la mesure (utilisée dans le calcul) qui en a le moins. Exemple : 20, , ,4 24,0682 Le résultat corrigé est 24,1 puisque le dixième est le premier chiffre incertain (provenant de 0,4). Règle 7 : multiplication et division : Le résultat d une multiplication ou d une division a le même nombre de chiffres significatifs que la mesure (utilisée dans le calcul) qui en a le moins. Exemple : Le volume d une sphère dont le rayon est de 5,3 cm est calculé de la façon suivante : 4/3 π r 3 = 4/3 x 3,1416 x (5,3) 3 = 623,61598 cm 3. En tenant compte des chiffres significatifs, le résultat est 6,2 x 10 2 cm 3 puisque la mesure ayant le moins de chiffres significatifs dans ce calcul est le rayon (5,3 cm) ; les chiffres 4 et 3 formant un nombre exact ont une précision infinie. 5

6 Règle 8 : logarithmes et exposants : Certains calculs nécessitent l utilisation des logarithmes et des exposants. Pour être en mesure de déterminer le nombre de chiffres significatifs qu il faut retenir en effectuant une telle opération, il faut d abord se rappeler qu un logarithme est composé d une partie entière, le déterminant, et d une partie fractionnaire, la mantisse. Par exemple, le logarithme de 156 en base 10 est 2,193. Ici, le déterminant est 2 et la mantisse est 0,193. La règle à appliquer consiste à attribuer à la mantisse le même nombre de chiffres significatifs qu on trouve dans la valeur dont on calcule le logarithme. La raison est que le déterminant ne fait qu indiquer un ordre de grandeur ; par exemple, log 1,56 x 10 2 = 2,193 et log 1,56 x = 10,193. On constate que le déterminant dépend uniquement de l exposant alors que la mantisse ne dépend que du nombre 1,56. Comme ce nombre a 3 chiffres significatifs, il y en aura 3 dans la mantisse. Si on fait l inverse d un logarithme, c est-à-dire si on affecte d un exposant le nombre 10 (ou le nombre e = 2,71828 pour les logarithmes naturels), la réponse aura le même nombre de chiffres significatifs que la partie fractionnaire de l exposant (la mantisse). Cette règle est donc la même que ci-dessus exprimée différemment. Règles permettant d arrondir un nombre 1. Dans une série de calculs, on doit conserver les chiffres supplémentaires jusqu au résultat final ; après quoi, il faut arrondir. 2. Si le chiffre à éliminer est : a) inférieur à 5, le chiffre précédent demeure le même (ex. : 1,33 devient 1,3). b) supérieur ou égal à 5, le chiffre précédent est majoré de 1 (ex. : 1,36 devient 1,4). Source : NYB-A-09-Precision_des_mesures.doc ( 6