La fonction carré Cours

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1 La fonction carré Cours CHAPITRE 1 : Définition CHAPITRE 2 : Sens de variation CHAPITRE 3 : Parité et symétrie CHAPITRE 4 : Représentation graphique CHAPITRE 5 : Equation du type CHAPITRE 6 : Inéquation du type DÉFINITION La fonction carré, notée, est la fonction définie sur qui, à tout réel, associe son carré. SENS DE VARIATION La fonction carré est : DECROISSANTE sur CROISSANTE sur Rappel : Dire qu une fonction f est croissante sur un intervalle I signifie que pour tous nombres a et b de l intervalle I, si a b alors f a f b. Démonstration : Soient et deux nombres réels tels que et soit la fonction carré. Comparons alors et, c est-à-dire étudions le signe de. Pour tous réels et, on a. Etudions donc le signe de ce produit. 1 er cas : et sont positifs D une part, est alors la somme de deux nombres positifs, donc. D autre part, comme,. Donc est le produit d un facteur négatif par un facteur positif. Donc, c està-dire. Donc. Par conséquent, si, alors donc la fonction est croissante sur. 2 ème cas : et sont négatifs D une part, est alors la somme de deux nombres négatifs, donc. 1

2 D autre part, comme,. Donc est le produit de facteurs tous deux négatifs. Donc, c est-à-dire. Donc. Par conséquent, si, alors donc la fonction est décroissante sur. TABLEAU DE VARIATION : La fonction carré admet un MINIMUM en égal à. Autrement dit, pour tout réel,. Remarque : On peut retenir que : Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leur carré (ou bien que si et sont deux nombres positifs tels que alors ) Deux nombres négatifs sont rangés dans l ordre inverse de celui de leur carré (ou bien que si et sont deux nombres négatifs tels que alors ) PARITÉ ET SYMÉTRIE La fonction carré est une fonction PAIRE. Démonstration : Pour tout réel, donc la fonction est paire. Sa courbe représentative est donc SYMETRIQUE PAR RAPPORT A L AXE DES ORDONNEES. Démonstration : Pour tout réel, le point appartient à la courbe représentative de la fonction carré. Son symétrique par rapport à l axe des ordonnées est le point. Or, donc a aussi pour coordonnées. Ainsi, appartient aussi à la courbe représentative de la fonction. 2

3 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE La représentation graphique de la fonction carré est une PARABOLE, de sommet l origine du repère. Point méthode : Pour tracer la représentation graphique de la fonction carré, on établit un tableau de valeurs, on place dans un repère les points de coordonnées et on les relie par une courbe régulière et continue. axe de symétrie M M x x Remarques : origine du repère = sommet de la parabole L image de par la fonction est. Mais admet et comme antécédents par la fonction. Tous les nombres (négatifs, positifs ou nuls) admettent une image par la fonction carré. Mais il n existe aucune image négative par la fonction carré car, pour tout réel,. 3

4 ÉQUATIONS DU TYPE x a Soient et deux réels. Les solutions de l équation dépendent de la valeur de. Si, l équation n admet aucune solution dans Si, l équation admet une unique solution : Si, l équation admet deux solutions : et Démonstration : Soit un réel. 1 er cas : Pour tout réel,. Or, par hypothèse, est négatif. L équation n admet donc aucune solution. 2 ème cas : Pour tout réel,. En effet, un produit de facteurs est nul si et seulement si l un des facteurs au moins est nul. L équation admet donc une unique solution :. 3 ème cas : Pour tout réel, ( ) ( )( ) { {. A B A B A B L équation admet donc deux solutions distinctes : et. Remarque : Il ne faut pas confondre (qui est l opposé de ) et (qui n existe pas!). INÉQUATIONS DU TYPE x a Soient et deux réels. Les solutions de l inéquation dépendent de la valeur de. Si, l inéquation admet une infinité de solution et on note Si, l inéquation admet pour solution l ensemble 4

5 Démonstration : Soit un réel. 1 er cas : Pour tout réel,. Or, par hypothèse, est négatif ou nul. L inéquation est donc toujours vérifiée et admet ainsi une infinité de solutions. 2 ème cas : Pour tout réel, ( ) ( )( ) Dressons dès lors un tableau de signes du produit ( )( ) : ( )( ) Ainsi ( )( ) ] ] [ [ Soient et deux réels. Les solutions de l inéquation dépendent de la valeur de. Si, l inéquation n admet aucune solution et on note Si, l inéquation admet pour solution l ensemble [ ] 5