cos sin Quelle est l abscisse x C du point d impact C du pigeon d argile et de la balle? x C =x A =OA=45m I. TIR AU PIGEON D'ARGILE

Transcription

1 I. TIR AU PIGEON D'ARGILE On étudie le mouvement d un pieon d arile lancé pour servir de cible à un tireur de ball-trap. Le pieon d arile de masse m P =,1 k assimilé à un point matériel M est lancé avec un vecteur vitesse V PO de valeur V PO = 3 m.s -1 faisant un anle de 45 par rapport à l horizontale. Le participant situé en A tire verticalement une balle de masse m B =, k avec un fusil. La vitesse initiale de la balle est V BO =5m.s -1, la balle, assimilée à un point matériel B, part du point A tel que OA = 45 m (Les vecteurs vitesse ne sont pas à l échelle sur le schéma). On donne = 1 m.s -. Tir réussi 1.1. OP y p V p cos 1 p Vp sin 1..Quelle est l abscisse C du point d impact C du pieon d arile et de la balle? C = A =OA=45m 1.3.Vérifier, à partir de l abscisse C de l impact, que le temps de «vol» du pieon est =,1 s. t V A partir de la composante suivant du vecteur OM, on peut établir l équation : p C p cos C avec t C =Δt et p (t C )= C C D où t A.N. t, 1s V cos p 1.4.On nélie toutes les forces s eerçant sur la balle Que peut-on dire de son accélération a B? Que peut-on dire de sa vitesse v B? Déterminer alors la vitesse v B. Selon le principe d inertie, comme aucune force n ait sur la balle au cours de son mouvement, le mouvement de la balle est rectiline et uniforme. a B = et v B =cste=5m.s Calculer le temps de «vol» de la balle jusqu à l impact connaissant l ordonnée du point de l impact y C = m. yc t A.N. Δt =4,4.1 - s soit 44ms v B 1.5.Comparer et et epliquer pourquoi le tireur peut viser directement le pieon.,1 48 La durée mise par la balle est environ 5 plus courte que le temps de vol du pieon, on,44 peut quasiment la nélier.

2 . Discussion de l effet du poids de la balle Dans cette partie l effet du poids de la balle n est plus nélié mais on néliera toujours la force de frottement de l air..1.equations de la trajectoire de la balle : B A OB 1 yb ' V B ' Remarque : on utilise ici t pour la variable temps et non t car l oriine du mouvement de la balle et du pieon ne sont pas les mêmes (=chronos différents, déclenchés à instants différents)..établir que la composante de la vitesse v By (t ) dans le repère (O,,y) vérifie l équation v By (t ) = v B t. Bilan des forces : Poids de la balle db vb dt vb dyb vby ' V B dt.3.calculer la vitesse v By au bout d un temps =,44 s, justifier pourquoi on a nélié le poids dans la partie. vb,44 soit v By =5m.s-1 en considérant la précision de l eercice. v,44 499,6 m. s By 1 La prise en compte du poids n intervient pas au niveau de la valeur de la vitesse de la balle. II. LE LANCER DU POIDS AUX CHAMPIONNATS DU MONDE 3 Lors des derniers championnats du monde d'athlétisme qui eurent lieu à Paris en août 3, le vainqueur de l'épreuve du lancer du poids (Andrey Mikhnevich) a réussi un jet à une distance D = 1,69 m. Pour simplifier les raisonnements, on ne travaillera que sur le centre d'inertie du boulet (nom courant donné au poids). L'entraîneur de l'un de ses concurrents souhaite étudier ce lancer. Pour cela il dispose pour le centre d'inertie du boulet, en plus de la valeur 1,69m du record, de la vitesse initiale v mesurée à l'aide d'un cinémomètre et de l'altitude h. Données: v = 13,7 m.s 1 h =,6 m Un loiciel informatique lui permet de réaliser une simulation de ce lancer et de déterminer la valeur de l'anle du vecteur vitesse initiale avec l'horizontale soit = 43. Pour l'étude on définit le repère d'espace (O,,y) représenté cicontre: Oy est un ae vertical ascendant passant par le centre d'inertie du boulet à l'instant où il quitte la main du lanceur. O est un ae horizontal au niveau du sol, dirié vers la droite et dans le plan vertical de la trajectoire. L'entraîneur a étudié le mouvement du centre d'inertie du boulet et a obtenu 3 raphes:

3 - le raphe de la trajectoire y = f() du boulet - les raphes de v et de v y en fonction du temps (fiures 1 et données ci-dessous) où v et v y sont les composantes (ou coordonnées) horizontales et verticale du vecteur vitesse. Fiure 1 Fiure Pour chacun des raphes, les dates correspondant à deu points successifs sont séparées par le même intervalle de temps. 1. Étude des résultats de la simulation Étude de la projection horizontale du mouvement du centre d'inertie du boulet. En utilisant la fiure 1, déterminer: La composante v du vecteur vitesse du centre d'inertie du boulet à l'instant de date t = s. V =1m.s La nature du mouvement de la projection du centre d'inertie sur l'ae O en justifiant la réponse. Mouvement uniforme sur O La composante v S du vecteur vitesse du centre d'inertie lorsque le boulet est au sommet S de sa trajectoire. V S =V =1m.s Étude des conditions initiales du lancer En utilisant la fiure, déterminer la composante v y du vecteur vitesse à l'instant de date t = s. V y =9 m.s À partir des résultats précédents, vérifier que la valeur de la vitesse instantanée et l'anle de tir sont compatibles avec les valeurs respectives v = 13,7 m.s 1 et = 43 données dans le tete. V V cos A.N. V =1,m.s -1 V y V sin A.N. V y =9,3m.s -1 Ces résultats coïncident avec les valeurs lues, compte tenu de la précision de lecture des raphiques.

4 1.3. Étude du vecteur vitesse du centre d'inertie du boulet Déterminer toutes les caractéristiques du vecteur vitesse du centre d'inertie du boulet au sommet de la trajectoire. VS V 1, V V Sy Sur le raphe y = f() donné précédemment, tracer en cohérence avec les résultats des questions , , et : - le vecteur vitesse v du centre d'inertie du boulet à l'instant du lancer ; - le vecteur vitesse v S du centre d'inertie du boulet au sommet de la trajectoire. V S V. Étude théorique du mouvement du centre d'inertie..1. Equations horaires du mouvement : V cos soit OM 1 y V sin h.. En déduire l'équation de la trajectoire du centre d'inertie. L équation de la trajectoire est l epression mathématique de y en fonction de. Il s ait donc d éliminer t : on eprimer en fonction de t et on remplace dans l epression de y(t) : t V d après l équation horaire sur O cos 1 d où y tan h V cos.3. Calculer la distance d atteinte par le boulet lorsque la vitesse et l anle de tir ont les valeurs suivantes : v = 13,7 m.s 1 et = 43, = d lorsque y =. 1 D où l équation à résoudre : d tan d h V cos En remplaçant par les valeurs :,488 d,933 d,6 La résolution amène solutions : d 1 = 1,6 m et d = -,49 m La solution physiquement possible est ici d 1. Elle confirme la valeur annoncée dans l énoncé.

5 III. Saut en lonueur motorisé (1 points + Bonus) Le 31 décembre 11, l Australien Robbie Moddison a battu son propre record de saut en lonueur à moto à San Dieo. La Honda CR 5, après une phase d accélération, a abordé le tremplin avec une vitesse de 18 km.h -1 et s est envolée pour un saut d une portée éale à 113 m. Dans cet eercice, on étudie les deu phases du mouvement (voir fiure 1), à savoir : La phase d accélération du motard (de A à B), Le saut (au-delà de C) Dans tout l eercice, le système {motard + moto} est assimilé à son centre d inertie G. L étude est faite dans le référentiel terrestre considéré comme aliléen. On pose h = OC = ED Données : Intensité de la pesanteur : 1 m.s - Masse du système : m = 18 k L = BC = 8, m 1. La phase d accélération du motard On considère que le motard s élance, avec une vitesse initiale nulle, sur une piste rectiline en maintenant une accélération constante. Les évolutions au cours du temps de la valeur de la vitesse du motard (fiure ) et la distance d qu il parcourt depuis qu il s est élancé (fiure 3) sont représentées ci-dessous. a. Montrer que la courbe donnée en fiure permet d affirmer que la valeur de l accélération est constante. b. Déterminer raphiquement la valeur de l accélération du motard.

6 c. Déterminer, à l aide des fiures et 3, la distance parcourue par le motard lorsque celui-ci a atteint une vitesse de 18 km.h -1 = 5 m.s -1.. Le saut Le motard aborde le tremplin au point B, avec une vitesse de 18 km.h -1 et maintient cette vitesse jusqu au point C. Le repère d étude (O, i, k ) est indiqué sur la fiure 4 ci-dessous. Le tremplin est incliné d un anle = 3 par rapport à l horizontale. Le motard quitte le tremplin en C avec une vitesse initiale v = 5 m.s -1. Toutes les actions autres que le poids du système sont supposées nélieables. On souhaite étudier la trajectoire du centre G du système dans ces conditions. Le repère (O, i, k ) et l oriine des dates est choisie à l instant où le système quitte le point C (voir fiure 4). La vitesse initiale v du centre d inertie G du système est incliné d un anle = 3 par rapport à l horizontale. les équations horaires du mouvement du point G s écrivent : (t) = (v cos ) t OG z(t) = - 1 t² + (v sin ) t + h a. Déduire des équations horaires du mouvement que l équation de la trajectoire est : z() = - v ² cos² + (tan ) + h b. Démontrer que la distance maimale entre les points C et D pour que «l atterrissae» se fasse sur le tremplin en ce point D est : D = v ² sin( ). c. A partir de l epression précédente, calculer cette distance maimale D. d. Comment peut-on interpréter l écart important entre cette valeur D et celle donnée dans l énoncé? e. Calculer la hauteur h = OC du tremplin. Réponse : 1. La phase d accélération du motard a. Le raphe de la fiure est une droite passant par l oriine, donc la vitesse proportionnelle au temps : v = k t. Par définition l accélération est a = dv dt ; ici d(k t) a = = k = Constante. dt L accélération de la moto est constante.

7 b. On détermine le coefficient directeur de la droite entre les points ( ; ) et ( 5 ; 1 ) : a = 5 - = 5, m.s- 1 - c. On trace la droite horizontale d équation v = 5 m.s -1 sur la fiure. Le point d intersection avec le raphe v(t) donne en abscisse, le temps de parcours : t = 1 s. On reporte ce temps de parcours sur la fiure 3 : le point d intersection avec le raphe d(t) nous donne la distance parcourue. On mesure ici : d = 5 m. Cette détermination raphique étant approimative, on ne conserve que deu chiffres sinificatifs : d =,5 1 m.. Le saut a. On isole la variable t de l équation (t) = (v cos ) t que l on reporte dans z(t) Soit t = (v cos ) d où z(t) = -1 (v + (v sin ) cos ) (v cos ) + h z() = - v ² cos² + (tan ) + h b. «L atterrissae» se fait sur le tremplin si D h. La distance maimale du point D correspondant au cas de l éalité z( D ) = h Soit - v ² cos² D D + (tan ) D + h = h D (tan - v ² cos² ) = Il faut écarter la solution D = ; il vient : (tan - soit D = v ² tan cos² = v ² sin cos cos² Or sin( ) = sin cos donc D = v ² sin( ). D v ² cos² ) = = v ² sin cos 3 5 5² sin( 3 ) 5² sin(6 ) c. D = = = = ,7 = =,1 1 m. d. Cette valeur est supérieure à 113 m. Cette différence est due au forces de frottements qui n ont pas été prises en compte lors de l étude du système ; elles diminuent la portée du saut. e. sin = h L soit h = L sin = 8, 1 = 4, m.