Lycée Vincent Auriol Revel 1S Travaux Pratiques

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1 Lycée Vincent Auriol 150 Revel 1S Travaux Pratiques TP 01 : Exercices sur calcul de dérivées TP 0 : Exercices sur les tangentes à une courbe TP 0 : Etude de fonctions TP 05 : Géométrie plane TP 06 : Statistiques TP 07 : Angles orientés TP 08 : Trigonométrie TP 09 : Suites numériques TP 10 : Suites u n+1 = au n + b

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3 1S TP 01 : Dérivation Dans chacun des cas suivants calculer f (x) : Dérivées de fonctions polynômes 1. f (x)=5x 7x + 4x+ 11. f (x)=x 5 8x 15x+ 7. f (x)=5x 10 x 8 + 9x 4 x x 9 Dérivées de fonctions usuelles 4. f (x)=x 5 x + x 5. f (x)= x + x 5 x 9 x 4 6. f (x)=sin x cos x Opérations sur les dérivées 7. f (x)= 1 x+ 8. f (x)= x 5 4x f (x)= 4x f (x)=(x 5) f (x)=x x 1. f (x)=sin x cos x 1. f (x)=sin x 14. f (x)=tan x = sin x cos x 15. f (x)=(x+ 1) 4 (5x 1)

4 1S TP 0 : Dérivation Le plan est muni d un repère (O ; ı, j ). Soit f la fonction définie sur R\{ 1} par f (x)= x 5x+ 1. x+ 1 Soit C f la courbe représentative de f. Soit (T) la tangente à la courbe C f au point A d abscisse. 1. Déterminer une équation de (T).. Etudier la position de la courbe C f par rapport à la tangente (T). La courbe C f ci-dessous est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur l intervalle [ 6 ; 7]. Les droites tracées sont tangentes à la courbe C f. La courbe C f ci-dessous est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur l intervalle[ 5;6]. Les droites tracées sont tangentes à la courbe C f. (T 1 ) (T ) C f (T 1 ) 5 4 (T ) O C f O Déterminer graphiquement : f ( 4), f ( ), f (0), f (1,5) et f (4). Déterminer graphiquement : f ( 4), f ( ), f (0), f (1,5) et f (4) 1. Déterminer graphiquement : f ( 4), f ( 1), f (1) et f (4).. Déterminer graphiquement : f ( 4), f ( 1), f (1) et f (4). Exercice 4 Soit f la fonction définie sur R par f (x)=ax + bx+ c. Soit P la parabole représentant f dans un repère orthonormé. A(1;4) et B(;) sont deux points de la parabole P. P admet une tangente horizontale au point B(;). 1. Déterminer les valeurs de a,b et c.. Tracer la parabole P.

5 1S { Soit f la fonction définie sur R\ 5 } par f (x)= 1x 5x+ 8 x 5 On note C f la courbe représentative de f dans un repère du plan. 1. Etudier le sens de variation de la fonction f. TP 0 : Dérivation. Etudier la position de la courbe C f par rapport à la droite d d équation y = 4x 5.. Tracer la droite d et la courbe C f. Un cinéma vend en moyenne 400 places lorsque le prix d achat du billet est de 7 e. Le directeur sait, après enquête, que l assistance diminuera en moyenne de 0 spectateurs chaque fois que le prix du billet augmentera de 1e. On cherche le prix qu il faut fixer pour obtenir une recette maximale. 1. Quelle est la recette initiale R(0) quand 400 places sont vendues au prix de 7e?. Quelle serait la recette R(1) après une première augmentation de 1e?. Soit R(n) la recette après n augmentations. Etablir que R(n)= 0n + 60n Dresser le tableau de variation de la fonction R définie sur[0;+ [ par R(x)= 0x + 60x Répondre au problème posé. Une entreprise souhaite fabriquer une boîte parallélépipédique à base carrée de volume 18 cm, en utilisant pour le fond et le couvercle une matière qui revient à 4 centimes le cm et pour la surface latérale une matière qui revient à centimes le cm. 1. On désigne par x le côté, en cm, de la base carrée de la boîte. Exprimer la hauteur de la boîte en fonction de x puis en déduire le prix de revient P(x) de la boîte en fonction de x.. Dresser le tableau de variation de la fonction f définie sur]0;+ [ par f (x)=8x x. En déduire les dimensions de la boîte permettant d obtenir un prix de revient minimal. 1S Soit f la fonction définie sur R par f (x)=4x + 9x 1x+ 6 TP 04 : Dérivation Dans un repère orthonormé, on note C f la courbe représentative de la fonction f. 1. Étudier les variations de f.. Soit (T) la tangente à la courbe C f au point d abscisse 1. a. Déterminer une équation de (T). b. Étudier la position relative de C f et de (T). { Soit f la fonction définie sur R\ } par f (x)= x + x 1 x+ Dans un repère orthonormé, on note C f la courbe représentative de la fonction f. 1. Etudier les variations de f.. Soit d la droite d équation y = x 1. Etudier la position de la courbe C f par rapport à la droite d.. Après avoir fait des tableaux de valeurs : tracer la droite d équation x = tracer la droite d placer les tangentes horizontales aux sommets tracer la courbe C f h H S r 15 A On considère le cône représenté ci-contre. On souhaite que ce cône soit de volume maximal. On note r le rayon de sa base et h sa hauteur. 1. a. Exprimer h en fonction de r. b. Montrer que h appartient à[0;15].. On rappelle la formule permettant de calculer le volume d un cône : V= πr h a. Exprimer le volume V(h) du cône en fonction de h. b. Etablir le tableau de variation de la fonction V sur [0;15]. c. En déduire la hauteur et le rayon de base du cône de volume maximal.

6 1S TP 05 : Géométrie plane ABC est un triangle. Le point I est le milieu du segment[ac]. Le point J est défini par B J = 1 B A+ BC. 4 4 Montrer que les points A, I et J sont alignés. ABC D est un parallélogramme. Le point I est le milieu du segment[ab]. Le point J est défini par AJ = AD. Montrer que les droites (D I ) et (JC ) sont parallèles. On se place dans un repère (O ; ı, j ). 1. Placer les points A(; 1), B(8; 4), C (1;) et D( 1;).. Les vecteurs AD et BC sont-ils colinéaires?. Les vecteurs AB et C D sont-ils colinéaires? 4. Quelle est la nature du quadrilatère ABC D? Exercice 4 ABC D est un parallélogramme. 1. Construire les points I et J définis par B I = 1 AB et AJ = AC+ BD+ C D.. On se place dans le repère ( A ; AB, AD ). a. Déterminer les coordonnées de tous les points de la figure. b. Montrer que les points I, J et C sont alignés. Exercice 5 ABC D est un parallélogramme. 1. Construire les points E et F définis par DE = DC et AF = 4 AD. 4. En utilisant un repère lié à la figure, montrer que les droites (AE) et (BF ) sont parallèles. Exercice 6 ABC D est un parallélogramme. Le point I est tel que D I = 1 AD, le point K est tel que AK = AB et le point J est le symétrique de K par rapport à B. 1. Faire la figure. Exprimer les vecteurs IC et I J dans la base ( AB, AD ).. En déduire que les points I, J et C sont alignés. Exercice 7 Le plan est muni d un repère (O ; ı, j ). 1. Placer les points A( 1;1), B(1; 1), C (;) et D( ; ).. Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB).. Déterminer une équation cartésienne de la droite (C D). 4. Soit E le point d intersection des droites (AB) et (C D). Déterminer les coordonnées du point E. Exercice 8 Dans un repère (O ; ı, j ), les droites d et d ont pour équations respectives : x y+ =0 et x+ y 4=0. 1. Déterminer un point et un vecteur directeur de la droite d puis tracer la droite d.. Déterminer un point et un vecteur directeur de la droite d puis tracer la droite d.. Montrer que les droites d et d sont sécantes puis déterminer les coordonnées de leur point d intersection. Exercice 9 Dans un repère (O ; ı, j ), on considère les points A(1;), B(;) et C ( ;4). 1. Placer ces points sur une figure à compléter au fur et à mesure de l exercice.. Déterminer une équation cartésienne de la droite ( ), parallèle à la droite (AB) et passant par le point C.. Déterminer la valeur de a pour laquelle le point D(a ;) appartient à la droite ( ). 4. Quelle est la nature du quadrilatère ABC D? Justifier la réponse.

7 1S TP 06 : Statistiques Le tableau suivant donne les notes obtenues à un contrôle de maths par un groupe de 8 élèves. Note : x i Calculer la moyenne de ce groupe d élèves.. Calculer la note médiane de ce groupe d élèves.. Calculer les quartiles de ce groupe d élèves. 4. Calculer la variance puis l écart-type de ce groupe d élèves. 5. Tracer le diagramme en boîte de cette série statistique. Le tableau suivant donne les notes obtenues à un contrôle de maths par 5 élèves. Note : x i Effectif : n i Calculer la moyenne de cette classe.. Calculer la note médiane de cette classe.. Calculer les quartiles de cette classe. 4. Calculer le premier et le neuvième décile de cette classe. 5. Calculer la variance puis l écart-type de cette classe. 6. Tracer le diagramme en boîte de cette série statistique. Le tableau suivant donne les notes obtenues à un contrôle de maths par un groupe de 0 élèves. Note : x i Effectif : n i Calculer la moyenne de cette classe.. Calculer la note médiane de cette classe.. Calculer les quartiles de cette classe. 4. Calculer le premier et le neuvième décile de cette classe. 5. Calculer la variance puis l écart-type de cette classe. 6. Tracer le diagramme en boîte de cette série statistique. 1S TP 07 : Angles orientés ABC D et C M N P sont des parallélogrammes tels que ( AB, AD) = π 6 ( C D, C M)= π. E est le point tel que le triangle ADE est équilatéral direct. 1. Faire une figure correspondant aux données de cet exercice.. Montrer que les droites (AE) et (N P) sont parallèles. Soient A et B deux points tels que AB = 4 cm. 1. Construire le point C tel que AB = AC et ( AB, AC )= π 4.. Construire le point D tel que AC D soit un triangle équilatéral et ( π C A, C D)=.. a. Construire un point L tel que ( C L, C D)= 5π 1. b. Soit F le point tel que A,F et C sont alignés et ( BF, C D)= 5π 1. Montrer que les droites (B F ) et (C L) sont parallèles puis construire le point F. 4. Montrer que les droites (AB) et (BF ) sont perpendiculaires. ABC D est un carré tel que ( AB, AD)= π. 1. Construire à l intérieur du carré un triangle équilatéral C DE tel que ( DC, π DE)=.. Construire à l extérieur du carré un triangle équilatéral BC F tel que ( BC, BF )= π.. Montrer que les points A,E et F sont alignés. et

8 1S TP 08 : Trigonométrie 1S TP 08 : Trigonométrie 1. cos x =. cos x = 1. sin x = 4. sin x = 1 1. cos x =. cos x = 1. sin x = 4. sin x = 1 1. cosx = 1. sinx = 1 1. cosx = 1. sinx = 1 (. cos x π ) = 4 ( 4. sin x+ π ) = (. cos x π ) = 4 ( 4. sin x+ π ) = 1. a. Montrer que cos π π = sin 5 10 b. Résoudre, dans R, l équation cos x = sin π 10. a. Déterminer un réel a que sin a= cos 5π 1. a. Montrer que cos π π = sin 5 10 b. Résoudre, dans R, l équation cos x = sin π 10. a. Déterminer un réel a que sin a= cos 5π b. Résoudre, dans R, l équation sin x = cos 5π b. Résoudre, dans R, l équation sin x = cos 5π Exercice 4 1. cosx = cos x. cosx = sinx. sinx = sin x 4. cos x = sinx Exercice 5 1. cos x+ cos x 1=0. sin x sin x =0. cos x = cos x Exercice 4 1. cosx = cos x. cosx = sinx. sinx = sin x 4. cos x = sinx Exercice 5 1. cos x+ cos x 1=0. sin x sin x =0. cos x = cos x

9 1S TP 09 : Suites numériques Soit (u n ) la suite définie pour n N par u n = n+ 8 n+ Soit f la fonction définie sur[0;+ [ par f (x)= x+ 8 x+ 1. a. Etudier les variations de la fonction f. b. En déduire le sens de variation de la suite (u n ).. Tracer, dans un repère orthonormé, la courbe C f représentant la foncton f.. Représenter sur l axe des ordonnées les termes de la suite (u n ). Soit (u n ) la suite définie pour n N par u 0 = 0 et u n+1 = u n+ 8 u n + Soit f la fonction définie sur] ;+ [ par f (x)= x+ 8 x+ 1. Etudier les variations de la fonction f.. Tracer, dans un repère orthonormé, la courbe C f représentant la foncton f et la droite d équation y = x.. Utiliser la courbe C f et la droite pour construire sur l axe des abscisses les points A 0, A 1, A et A d abscisses respectives u 0,u 1,u et u. 4. Conjecturer le sens de variation de la suite (u n ). 5. Conjecturer la limite de la suite (u n ). 6. Déterminer par le calcul la limite de la suite (u n ). Soit (u n ) la suite définie pour n N par u 0 = et u n+1 = u n + 4 Soit f la fonction définie sur[ 4;+ [ par f (x)= x Comparer u 0 et u 1.. Etudier les variations de la fonction f.. Tracer, dans un repère orthonormé, la courbe C f représentant la foncton f et la droite d équation y = x. 4. Utiliser la courbe C f et la droite pour construire sur l axe des abscisses les points A 0, A 1, A et A d abscisses respectives u 0,u 1,u et u. 5. Conjecturer le sens de variation de la suite (u n ). 6. Justifier, en faisant un raisonnement par itération, le sens de variation de la suite (u n ). 7. Conjecturer la limite de la suite (u n ). 8. Déterminer par le calcul la limite de la suite (u n ). Exercice 4 Soit (u n ) la suite définie pour n N par u 0 = 1 et u n+1 = u n + 4 Soit f la fonction définie sur[ 4;+ [ par f (x)= x Comparer u 0 et u 1.. Etudier les variations de la fonction f.. Tracer, dans un repère orthonormé, la courbe C f représentant la foncton f et la droite d équation y = x. 4. Utiliser la courbe C f et la droite pour construire sur l axe des abscisses les points A 0, A 1, A et A d abscisses respectives u 0,u 1,u et u. 5. Conjecturer le sens de variation de la suite (u n ). 6. Justifier, en faisant un raisonnement par itération, le sens de variation de la suite (u n ). 7. Conjecturer la limite de la suite (u n ). 8. Déterminer par le calcul la limite de la suite (u n ).

10 1S TP 10 : Suites u n+1 = au n + b 1S TP 10 : Suites u n+1 = au n + b Soit (u n ) la suite définie pour n N par u 0 = 7 et u n+1 = u n a. Calculer u 1 et u. b. Montrer que la suite (u n ) n est pas arithmétique. c. Montrer que la suite (u n ) n est pas géométrique.. Soit (v n ) la suite définie pour n N par v n = u n,5. a. Montrer que la suite (v n ) est géométrique. b. Déterminer l expression de v n en fonction de n. c. Déterminer l expression de u n en fonction de n.. a. Déterminer le sens de variation de la suite (v n ). b. Déterminer le sens de variation de la suite (u n ). 4. a. Déterminer la limite de la suite (v n ). b. Déterminer la limite de la suite (u n ). Soit (u n ) la suite définie pour n N par u 0 = 7 et u n+1 = u n a. Calculer u 1 et u. b. Montrer que la suite (u n ) n est pas arithmétique. c. Montrer que la suite (u n ) n est pas géométrique.. Soit (v n ) la suite définie pour n N par v n = u n,5. a. Montrer que la suite (v n ) est géométrique. b. Déterminer l expression de v n en fonction de n. c. Déterminer l expression de u n en fonction de n.. a. Déterminer le sens de variation de la suite (v n ). b. Déterminer le sens de variation de la suite (u n ). 4. a. Déterminer la limite de la suite (v n ). b. Déterminer la limite de la suite (u n ).