Statistiques. A) Vocabulaire. B) Caractéristiques de position et de dispersion.

Transcription

1 Statstques A) Vocabulare. Poulaton et ndvdu : La oulaton est l ensemble des ndvdus sur lequel vont orter les observatons. Caractère : Le caractère est la rorété étudée. Le caractère est qualtatf s l n est as une valeur numérque. Le caractère est quanttatf s l eut être mesuré : ) l est dscret s l ne rend que des valeurs solées (en général entères). ) l est contnu s l eut rendre toutes les valeurs dans un ntervalle donné. Modaltés : Les modaltés sont les valeurs rses ar le caractère. Effectfs et fréquences : L effectf d une modalté est le nombre d ndvdus résentant cette modalté. La fréquence d une modalté est le raort entre l effectf de cette modalté et l effectf total de la oulaton. Une fréquence est donc un nombre comrs entre 0 et (elle eut auss être donnée en ourcentage). La somme de toutes les fréquences est (00 avec les ourcentages). Fréquence (ou effectf) cumulée crossante : La fréquence cumulée crossante d'une valeur est la somme des fréquences des valeurs qu lu sont nféreures ou égales. B) Caractérstques de oston et de dserson.. Caractérstques de oston. a) Mode : Le mode est la valeur du caractère ayant le lus grand effectf. Dans le cas de réartton en classe, on arle de classe modale. b) La médane : La médane est la valeur du caractère qu artage l effectf total en deux artes de même effectf. On consdère une sére de données rangées dans l ordre crossant. Dans le cas d un caractère dscret, s : l effectf total est mar : la médane est la valeur du caractère stuée au mleu de la sére. l effectf total est ar, la médane est la moyenne des deux valeurs centrales. Dans le cas d un caractère contnu : la médane eut être obtenue ar lecture, sur le olygone des effectfs cumulés crossants, de l abscsse du ont ayant our ordonnée N (N étant l effectf total). c) La moyenne : S x ; x ;...; x sont les valeurs du caractère étudé et n ; n ;...; n les effectfs corresondants, nx + n x n x la moyenne de la sére statstque est : x =. n + n n S la sére statstque est contnue, x est le centre de chacune des classes. Année ère S3

2 Exemle : La réartton des accdents cororels de la route selon les heures de la journée est décrte ar le tableau suvant, our l'année 999. Classe modale : [8; [. Calcul de la moyenne : on rend le centre de chacune des classes. 4550, , , , ,5 x = = On calcule les effectfs cumulés crossants assocés à cette sére. Médane : Lecture sur le olygone des effectfs cumulés crossants. Quartles : Lectures sur le olygone des effectfs cumulés crossants. Afn de détermner la médane on se lace à la moté de l effectf total à savor usque nous sommes c en résence d un olygone des effectfs cumulés crossants. Afn de détermner la médane sur un olygone des fréquences cumulées crossantes on se lace à 50% our effectuer la lecture grahque. Année La médane est l abscsse du ont du olygone ayant our ordonnée 40000, c on obtent envron 0. Afn de détermner les quartles on se lace au quart (res aux tros-quarts) de l effectf total à savor 0000 (res 60000) our effectuer la lecture grahque. Afn de détermner les quartles sur le olygone des fréquences cumulées crossantes on se lace à 5% (res 75%) our effectuer la lecture grahque. ère S3

3 . Caractérstques de dserson. a) Etendue : L étendue d une sére statstque est la dfférence entre la lus grande et la lus ette valeur du caractère (dans le cas d un caractère quanttatf dscret). b) Quartles : On consdère une sére de données rangées dans l ordre crossant. Les quartles sont des données de la sére qu la artagent en quatre artes à eu rès de même effectf. Le remer quartle est noté Q rerésente les 5 remers ourcents de la sére. Le trosème quartle est noté Q 3 rerésente les 75 remers ourcents de la sére. L effectf total est dvsble ar 4 : On consdère une sére de 60 données (ar exemle) rangées dans l ordre crossant. 60 = 5 donc Q est la 5 ème donnée de cette sére = 45 donc Q 3 est la 45 ème donnée de cette sére. 4 L effectf total n est as dvsble ar 4 : On consdère une sére de 4 données (ar exemle) rangées dans l ordre crossant. 4 = 0,5 donc Q est la ème donnée de cette sére = 30,75 donc Q 3 est la 3 ème donnée de cette sére. 4 Dans le cas contnu on se reortera au olygone des fréquences (ou effectfs) cumulées crossantes afn d y lre les abscsses des onts corresondants resectvement au quart et au tros-quarts de l ordonnée maxmale. c) Intervalle et écart nterquartles : L'ntervalle [ Q ; Q 3 ] est aelé l'ntervalle nterquartle. L'écart Q3 Q est aelé l'écart nterquartle. d) Dagramme en boîte ou dagramme à moustaches ou boîte à moustaches : étendue 0 valeur mnmale er quartle médane moyenne 3 ème quartle valeur maxmale Remarque : Ce dagramme est auss arfos aelé dagramme de Tukey (du nom du statstcen amércan John Wlder Tukey (95 000)). Année ère S3

4 3. Varance et écart-tye. On consdère la sére statstque suvante et on note x sa moyenne : Valeur x x x x Effectf n n n n Fréquences f f f f Total N Défntons : La varance d une sére statstque donnée mesure la dserson de la sére ar raort à sa moyenne x. La varance est la moyenne des carrés des écarts ar raort à la moyenne. n ( x x) n ( x x) La varance de cette sére statstque est le réel : V =. N L écart-tye est la racne carrée de la varance : σ = V. La lettre σ se lt «sgma». Prorétés : Autres formules our calculer la varance La varance de cette sére statstque est le réel : ( ) n x n x V = x. N V = f x x f x x. La varance de cette sére statstque est le réel : ( ) ( ) Remarque : On eut asément obtenr ces formules mas nous ne les démontrerons as c sauf s certans érouvent des dffcultés à les établr. Notatons : Autre façon d écrre les formules de la varance La varance de cette sére statstque est le réel : V = n ( x x) La varance de cette sére statstque est le réel : V N = = n x N = La varance de cette sére statstque est le réel : V = f ( x x) x = = = Remarque : Ces calculs seront le lus souvent réalsés ar la calculatrce! 4. Résumé d une sére statstque... f x x On résume souvent une sére statstque ar une mesure de tendance centrale assocée à une mesure de dserson. Deux chox sont couramment roosés : le coule moyenne et écart-tye ( ; σ ) aux valeurs extrêmes. le coule médane écart nterquartle ( ; Q Q ) détermnaton est mons ratque. x qu a l nconvénent d assocer deux mesures sensbles med qu a mons de défaut mas dont la 3. Année ère S3

5 Exercce n : Javelot. ) La classe de termnale B asse l évaluaton de l éreuve de sort au lancer de javelot. Voc les dfférentes erformances relevées (en mètres) : ) A l ade de la calculatrce, donner la moyenne et l écart tye de cette sére statstque arronds au centème rès. 3) On admet dans cette queston que la moyenne des lancers des élèves de la termnale B est de 39m et que cette classe est comosée de 6 élèves. A la fn de son évaluaton, le rofesseur remarque que la termnale A ossède une moyenne de 35m et que les deux classes ensembles ossèdent une moyenne générale de 36,6m. Détermner le nombre d élèves résents dans la classe de termnale A. 4) Lors du blan de l éreuve, on a rassemblé les résultats des quatre classes de termnales dans le tableau c-dessous : a) Comléter, dans le tableau, les lgnes des fréquences et des fréquences cumulées crossantes en arrondssant les résultats au centème rès. b) Dans le reère c-dessous, tracer le olygone des fréquences cumulées crossantes : c) Grahquement, détermner la valeur de la médane et des quartles (on lassera résent les trats de constructon). Année ère S3

6 Exercce n : Prx du téléhone ortable. Dans un lycée, on a nterrogé 400 élèves sur le rx de leur téléhone ortable. Les résultats sont regroués dans l hstogramme c-dessous dont l axe horzontal est gradué en centanes d euros. ) Recoer et comléter le tableau c-dessous. ) Tracer la courbe des fréquences cumulées crossantes corresondant à cette sére. 3) Dans la sute, toutes les valeurs seront données en euros. a) Lre les quartles et la médane et calculer l écart nterquartle. b) Tracer le dagramme en boîte. c) Calculer la moyenne et l écart-tye. Pour cela, on assmlera chaque classe à la moyenne de ses bornes. d) Du coule moyenne-écart-tye et médane-écart nterquartle, quel résumé ntéressera le lus : un fabrcant de ortable mleu de gamme cherchant à fxer le rx de son rochan modèle? un organsme étudant les dsartés d équement entre les dfférents élèves. ère S3 Année 05 06

7 Exercce n 3 : IMC. Une enquête a été menée aurès d un échantllon de 000 ersonnes (600 hommes et 400 femmes) afn d étuder un des facteurs rédsosant aux affectons cardo-vasculares. Pour chaque ersonne, on défnt l ndce de masse cororelle, noté IMC, qu se calcule de la P manère suvante : IMC = où P est la masse (en kg ) et T est la talle (en m ) de la T ersonne. Pour un IMC strctement suéreur à chez la femme et strctement suéreur à 3 chez l homme, la ersonne est déclarée «à rsque élevé». On a rerésenté ar le dagramme en boîte corresondant à l IMC des 600 hommes de cette étude : ) Dans cette queston, on s ntéresse à la sére statstque formée ar les 600 hommes de l étude. a) Donner l étendue, la médane et les quartles de cette sére. b) Au vu du dagramme et en justfant chaque réonse, réondre au vra ou faux à chacune des deux affrmatons suvantes : A : mons de 0% des hommes sont déclarés «à rsque élevé» : B : au mons 5% des hommes sont déclarés comme n étant as «à rsque». ) Dans cette queston, on s ntéresse aux IMC des 400 femmes de l échantllon ntal. On a obtenu le tableau suvant : a) Comléter, dans le tableau récédent, la lgne des effectfs cumulés crossants. b) Détermner le remer quartle, la médane, le trosème quartle et l étendue de cette sére. c) Calculer l écart tye de cette sére. d) Tracer, en utlsant la graduaton donnée, un dagramme en boîte our cette sére e) Peut-on affrmer, au vu des résultats, que le ourcentage des femmes déclarées comme n étant as «à rsque» est suéreur à celu des hommes? Justfer. Année ère S3

8 Exercce n 4 : Interrogaton sur les dérvées. Voc les notes obtenues ar la S A lors d une nterrogaton sur les dérvées : 7, , , ,5 8, ,5 6 7,5 5,5 8 5,5,5. ) A l ade de la calculatrce, donner la moyenne et l écart tye de cette sére statstque arronds au centème rès. ) Détermner le remer quartle, la médane et le trosème quartle. 3) Tracer dans le reère c-dessous le dagramme en boîtes : Réondre aux questons suvantes : a) Dans quelle(s) classe(s) au mons 50% des élèves a une note nféreure à 9? b) Dans quelle(s) classe(s) au mons le quart des élèves a une note nféreure à 7? c) Donner l étendue et l écart nterquartle our ces deux classes? d) Comarer le quart des melleurs élèves dans chacune des classes. Exercce n 5 : Aculteur Un aculteur amateur fat le blan en 008 de la roducton de mel de ses ruches. Pour chacune d elles, l note la quantté de mel rodute (en kg). Il obtent les résultats c-dessous. ) Détermner la médane et les quartles et l écart tye de cette sére. ) Calculer la quantté totale de mel rodute. 3) Calculer la roducton moyenne ar ruche (arrondr au dxème). 4) L aculteur a retrouvé le dagramme en boîtes qu l avat établ our l année 007. a) Tracer le dagramme en boîtes de la sére récédente au-dessus de celu-c. b) En 007, à quel ourcentage eut-on estmer la art du nombre de ruches ayant rodut 5 kg ou lus de mel? 0 kg ou mons de mel? c) À l ade des deux dagrammes en boîte, comarer les roductons des deux années. Année ère S3

9 Exercce n 6 : Effcacté d un médcament. On mesure la quantté d'une certane molécule M dans le sang, sur un groue de 40 ndvdus souffrant d'une même malade P. Ces ndvdus sont réarts au hasard en deux groues : un groue A de 0 ndvdus qu reçovent un lacebo. un groue B de 0 ndvdus qu reçovent un tratement. La quantté est mesurée en µ g / L (mcrogramme ar ltre). Parte A : Etude du groue A. Le tableau c-dessous donne les résultats obtenus our le Groue A. ) Calculer la moyenne et l écart-tye arronde de cette sére de notes. ) Calculer la médane, le remer et le trosème quartle de cette sére de note. 3) Calculer l étendue et le mode de cette sére. 4) Quel est le mode de cette sére? 5) Fare aaraître sur votre calculatrce le nuage de onts assocé à cette sére statstque. 6) Construre le dagramme en boîte de cette sére et le fare aaraître sur votre calculatrce our vérfer vos résultats. 7) Pour quel ourcentage des ndvdus du groue A, la quantté mesurée est-elle dans la 45 ; 75? lage [ ] Parte B : Etude du groue B avec un caractère dscret. Les données recuelles ar le groue B ont été résumées dans le dagramme en boîte tracé cdessous : ) Détermner le remer et le trosème quartle. ) Détermner l étendue de cette sére et une valeur arochée de la médane. 3) Détermner aroxmatvement our quel ourcentage des ndvdus du groue B la quantté mesurée est-elle dans la lage [30 ; 60]? 4) Quel semble être l'effet du tratement sur les ndvdus du groue B ar comarason avec ceux du groue A? Année ère S3

10 Exercce n 7 : Ecole de journalsme. Le drecteur d une école de journalsme cherche à comarer ses deux dernères romotons. Il obtent : ) Tracer les dagrammes en boîte de ces quatre séres sur le même grahque. ) Comarer les résultats en franças et hstore de chacune des romotons. 3) Comarer les résultats en franças, us en hstore d une romoton sur l autre. 4) Les résultats récédents sont-ls confrmés ar le coule moyenne-écart-tye? Exercce n 8 : Fabrque des fers cylndrques. Une machne fabrque des fers cylndrques our le béton armé de damètre théorque 5mm. On contrôle le fonctonnement de la machne en rélevant un échantllon de 00 èces au hasard dans la fabrcaton. Les mesures des damètres ont donné les résultats suvants à 0,mm rès : Année On note x la moyenne de cette sére et σ son écart-tye. On estme que la machne a un fonctonnement "normal" s : l étendue de la sére reste nféreure à 0 % de la valeur moyenne. l écart entre la moyenne et la médane est nféreur à 0,. 95 % des damètres au mons sont dans l ntervalle [ x σ ; x + σ]. Cette machne a-t-elle un fonctonnement «normal»? ère S3

11 Exercce n 9 : Paradoxe de Smson. Un laboratore harmaceutque étude l'effcacté de deux médcaments contre le Cancer. Voc les résultats du Pr. Lauret : ) Calculer f ( A) et ( B) f les fréquences de succès resectves des médcaments A et B. Le Pr. Bas a fat de son côté une autre étude et l uble les résultats suvants : f les fréquences de succès resectves des médcaments A et B. 3) Quel médcament vous semble le lus effcace? 4) Les rofesseurs Lauret et Bas décdent de ubler leurs résultats en unssant leur test. Comléter le tableau c-dessous : ) Calculer f ( A) et ( B) 5) Calculer f ( A) et ( B) l'ensemble de l'étude. 6) Confrmez-vous les résultats du 3)? f les fréquences de succès resectves des médcaments A et B de Exercce n 0 : ellcules hotograhques. Quand on rerésente une sére statstque ar un dagramme en bâtons ou un hstogramme et que celu-c est quas symétrque en forme de cloche, on eut enser que les données sont gaussennes. Dans ce cas, envron 95 % des valeurs se trouvent dans l ntervalle [ x σ ; x + σ ], aelé lage de normalté au nveau de confance de 95 %. Un fabrcant de ellcules hotograhques a fat mesurer la sensblté (sur l échelle ISO) d un échantllon de 000 ellcules rélevées dans sa roducton. Il obtent les résultats suvants : ) Rerésenter, sur le reère donné age suvante) cette sére ar un dagramme en bâtons. ) Que eut-on enser du tye de données de cette sére? 3) Détermner l ntervalle [ x σ ; x + σ ]. 4) Quel ourcentage des valeurs aartent à cet ntervalle? 5) Est-ce cohérent avec le modèle roosé à la queston )? Année ère S3

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