Question Réponse A Réponse B Réponse C Votre choix : Quelle est la forme factorisée de ( x 1) 9? ( x 2)( x 4) n m

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1 Mathématiques TROISIEMES Brevet Blanc, Mai 01 Durée h Calculatrice autorisée. Total sur 40 points dont 4 points réservés à la rédaction. Vous pouvez traiter les exercices dans le désordre. Les exercices 1 à sont extraits du brevet, parfois avec légère modification. Exercice.1 [ 7 points ] À l intérieur de la maison, un menuisier étudie une plaque de bois dessinée ci-contre. La figure n est pas aux bonnes dimensions. Le menuisier a tracé la perpendiculaire à [EC] passant par, il a nommé D le point d intersection de cette perpendiculaire avec [EC]. Il a également tracé [C]. Il a mesuré : B = 115 cm, BC = 80 cm, DC = 100 cm, ED=0 cm, C = cm et F=8 cm. 1. Le triangle BC est-il rectangle? Justifier.. Déterminer la mesure de l angle CD, arrondie au degré.. Les droites (D) et (FE) sont-elles parallèles? Justifier. Exercice. [ 5 points ] Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. ucune justification n est demandée. Une réponse correcte rapporte 1 point. L absence de réponse ou une réponse fausse ne retire aucun point. Indiquer sur le sujet le numéro de la question et la réponse. Question Réponse Réponse B Réponse C Votre choix : 1. Quelle est la forme factorisée de ( x 1) 9? ( x )( x 4) x x 8 ( x 8)( x 10). n m Que vaut : 5 5? 5 nm 5 n m 5 n m. quelle autre expression le nombre est-il égal? 4. Quels sont les nombres premiers entre eux? 774 et 8 et et Quel nombre est en écriture scientifique? 17,10 7 0, ,5 10 Exercice. [ points ] u marché, un commerçant propose à ses clients diverses boissons. Il a au total 100 boissons : bouteilles de thé glacé, bouteilles de jus d ananas, 18 bouteilles de soda et les autres bouteilles sont des bouteilles d eau. Le commerçant gère son stock grâce au tableur ci-dessous 1. Remplir, sur la feuille du sujet et sans justification, les cellules laissées vides.. Quelle formule, copiée ensuite vers le bas jusqu à la ligne, a-t-il écrit en D? Votre réponse : 1/

2 Exercice.4 [ points ] En physique, la tension U aux bornes d une «résistance» est proportionnelle à l intensité I du courant qui la traverse, c est-à-dire : U =R I, où R (valeur de la résistance) est le coefficient de proportionnalité. On rappelle que l unité d intensité est l ampère et que l unité de tension est le volt. L intensité I ( en ampères ) 0,0 0,0 0,04 0,08 Tension U ( en volts ) 4, a. Vérifier, en présentant les calculs nécessaires, que ce tableau est de proportionnalité. Quel est le coefficient de proportionnalité? b. Calculer la tension U lorsque l intensité I vaut 0,05 ampère. On nomme f la fonction qui donne la tension U en fonction de l intensité I.. Préciser la nature de la fonction f et donner l expression algébrique f ( I ).. Tracer la représentation graphique de f dans un repère avec les unités suivantes : sur l axe des abscisses : 1 cm correspond à 0,01 ampère, et sur l axe des ordonnées : 1 cm correspond à 1 volt. 4. a. Lire graphiquement l intensité lorsque U = 10,5 volts. b. Vérifier en résolvant algébriquement l équation d inconnue I : f ( I ) 10,5. Exercice.5 [ points ] 1. Calculer le PGCD de et 1 05 : indiquer le nom de la méthode employée et présenter les calculs.. Ecrire la fraction 105 sous forme irréductible Un collectionneur de coquillages ( un conchyliologue ) possède cônes et 1 05 porcelaines. Il souhaite vendre toute sa collection en réalisant des lots identiques, c est-à-dire comportant le même nombre de coquillages et la même répartition de cônes et de porcelaines. a. Quel est le nombre maximum de lots identiques qu il pourra réaliser? Justifier soigneusement. b. Combien y aura-t-il dans ce cas de cônes et de porcelaines par lot? Exercice. [ points ] Certaines sources d énergie (hydrocarbures, nucléaires, charbon,... ) présentent des inconvénients : effet de serre, stockage des déchets radioactifs.. Pour cette raison, les sources d énergie renouvelables, ou énergies «bio» (énergie éolienne, énergie hydraulique, énergie solaire, géothermie,... ) se développent. Certains fournisseurs proposent de l électricité «bio». Une famille étudie les deux tarifs d électricité «bio» qui lui sont proposés. Tarif Tarif B bonnement mensuel. 0 0 Prix par kwh consommé. 0,4 0,14 1. Si la famille consomme 00 kwh en un mois, calculer le coût pour le tarif, puis celui pour le tarif B. Quel tarif la famille devra-t-elle choisir?. Si la famille consomme 450 kwh en un mois, calculer le coût pour le tarif, puis celui pour le tarif B. Quel tarif la famille devra-t-elle choisir?. Sachant que la famille a payé 77, pour le tarif B pour un mois, quelle est sa consommation en kwh? 4. On note x le nombre de kwh d électricité «bio»consommé, T ( x) le coût de l électricité consommée en un mois pour le tarif, TB ( x) le coût de l électricité consommée en un mois pour le tarif B. a. Donner en justifiant les expressions de T( x) et TB ( x ). b. Déterminer la consommation pour laquelle les deux tarifs sont égaux. Exercice.7 [ points ] On coupe une boule par un plan : le disque de section a une aire égale à, en cm et la distance entre le centre de la sphère et le centre du disque de section est égale à, en cm. Faire un schéma et déterminer le rayon de cette boule. /

3 Corrigé Exercice.1 [ 7 points ] 1. Le plus grand côté du triangle BC est [C], donc si ce triangle est rectangle, ce sera en B. Calculons séparément : BC² + B² = 80² + 115² = = 19 5 C² = ² = On constate que BC² + B² C² : dans le triangle BC, l égalité de Pythagore n est pas vérifiée, donc ce triangle n est pas rectangle.. Le triangle CD est rectangle en D donc on peut écrire : cos CD CD, qui donne : cos CD 100, soit : C cos CD 5. On en déduit : 5 CD rccos 7 7. l aide de la calculatrice, on obtient : CD 44 arrondi au degré.. Calculons séparément : CD CE C CF On constate que : CD C. CE CF On sait que : les points C,,F sont alignés, les points C,D,E sont alignés dans le même ordre, CD CE Donc, d après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que : (D) // (FE). C. CF Exercice. [ 5 points ] 1. Explication : ( x 1) 9 ( x 1) () ( x 1 )( x 1 ) ( x 4)( x ). B. C Explication : B Explication : PGCD(774 ; 8) = ; PGCD( ; 44) = 1 ; PGCD(1 05 ; 774) = 9 5. C Exercice. [ points ] 1.. En D, on doit entrer : «=B C»

4 Exercice.4 [ points ] 1. a. 0,0 00 4,5 0, , , On constate que tous les quotients sont égaux, à 150, donc on a un tableau de proportionnalité, de coefficient de proportionnalité 150. b. 0, = 7,5. Pour une intensité de 0,05 ampère, la tension est égale à 7,5 volts.. Le tableau de valeurs de f est un tableau de proportionnalité, donc f est une fonction linéaire.. On a : f (I) 150 I 4. a. Lorsque U = 10,5 volts, on obtient le point noté E sur la demi droite représentative de la fonction linéaire f, et on lit graphiquement que l abscisse de E est 0,07. Donc, pour U = 10,5 volts, on a I = 0,07 ampère. 10,5 b. L équation d inconnue I f ( I ) 10,5 s écrit aussi : 150 I 10,5 qui donne : I, soit finalement, 150 à l aide de la calculatrice : I 0,07. On obtient la même intensité que celle obtenue par une lecture graphique. Exercice.5 [ points ] 1. Calculons le PGCD de et 1 05 en utilisant l algorithme d Euclide. On obtient successivement les divisions euclidiennes : = = = Le dernier reste non nul est 51, donc le PGCD de et 1 05 est 51.. Pour obtenir la forme irréductible de la fraction : 105, il faut diviser son numérateur et son dénominateur par :51 leur PGCD, c est-à-dire par 51. On a :, donc la forme irréductible de : est 5.. a. Soit n le nombre maximal de lots qu il pourra former ; chaque lot sera alors formé de p cônes et q porcelaines. Chacun lot consommera pour sa fabrication p cônes et q porcelaines, donc les n lots consommeront pour leur fabrication n p cônes et n q porcelaines, et comme les 1755 cônes et 1 05 porcelaines seront employés, on en déduit les deux égalités : n p = et n q = Dans l égalité n p = 1 755, les nombres n, p et sont tous entiers, donc elle a pour conséquence que n

5 est un diviseur de ; de même, n q = 1 05 implique que n est aussi un diviseur de Le nombre n divise à la fois et 1 05 : c est donc un diviseur commun de ces deux entiers. De plus, le nombre n est maximal. On reconnaît finalement la définition du PGCD de et Le nombre maximal de lot que l on peut former est bien égal au PGCD de et b : 51 = 5 et 1 05 : 51 =, donc chaque lot sera formé de 5 cônes et porcelaines. Exercice. [ points ] Rappel des données : Tarif Tarif B bonnement mensuel. 0 0 Prix par kwh consommé. 0,4 0,14 1. Si la famille consomme 00 kwh en un mois Pour le tarif : 00 x 0,4 = 48 ; la famille devrait payer 48. Pour le tarif B : 00 x 0, = 58 ; la famille devrait payer 58. C est le tarif le moins cher pour une telle consommation, donc c est celui-là que la famille devra choisir.. Pour le tarif : 450 x 0,4 = 108 ; la famille devrait payer 108. Pour le tarif B : 450 x 0, = 9 ; la famille devrait payer 9. C est le tarif B le moins cher pour une telle consommation, donc c est celui-là que la famille devra choisir.. Sachant que la famille a payé 77, pour le tarif B pour un mois, quelle est sa consommation en kwh? Il s agit de trouver la consommation x de kwh telle que : x 0, ,, qui donne : 0,14x 77, 0, 4. puis : 0,14x 47,, soit : 4, x, et finalement : x 40 0,14. La famille a consommé 40 kwh. a. Pour le tarif : chaque kwh coûte 0,4, donc x kwh coûteront x 0,4, ou encore : 0,4x euros. On a donc : T ( x) 0,4x. Pour le tarif B : chaque kwh coûte 0,14, auxquels il faudra ajouter le forfait de 0, donc x kwh coûteront x 0,14 + 0, ou encore : 0,14x 0 euros. On a donc : T ( x) 0,14x 0. b. Les deux tarifs sont égaux lorsque : T ( x) T ( x), qui s écrit aussi : 0,4x 0,14x 0, 0 d où : 0, 4x 0,14x 0, puis : 0,10x 0, soit : x et finalement : x 00. 0,1 C est pour une consommation de 00 kwh que les deux tarifs sont égaux. Exercice.7 [ points ] B B Soit M un point sur le cercle de section, O le centre du disque de section et O le centre de la sphère. L unité de distance est le cm, et l unité d aire le cm. L aire du disque de section est égale à, d où, notant R son rayon : R'. En divisant chaque membre par, on obtient : R ', puis R '. Comme R = O M, on a finalement : O M =. La distance entre le centre de la sphère et le centre du disque de section est égale à,donc OO =. Le triangle OO M étant rectangle en O, on peut écrire l égalité de Pythagore dans ce triangle : O ' O O ' M OM, qui donne :, OM puis : OM, soit : OM 5, et finalement : OM 5. Comme O est le centre de la sphère et M un point de la sphère, on en déduit que OM est égal au rayon de la sphère, qui est aussi le rayon de la boule. La boule a un rayon de 5 cm.