EMLyon Corrigé

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1 EMLyon - Corrigé Partie I. Soit X une variable aléatoire suivant la loi E() ; une densité de X est : f(x) = { si x < e x si x et E(X) = et V (X) =.. (a) Soit n N ; n E(S n ) = E(X k ) = n par linéarité de l espérance ; V (S n ) = k= n V (X k ) = n par indépendance des variables. k= (b) S n étant la somme de n variables indépendantes de loi E(), S n Γ (, n). Une densité de S n est 3. Pour tout x R, Or, f Sn (x) = si x < Γ(n) xn e x = xn (n )! e x si x F y (x) = P (Y x) = P (ln( U) x) = P ( U e x) = F U ( e x ) si t < F U (t) = t si t [, ] si t > e x > est impossible et e x < x <, donc : { si x < F Y (x) = e x et Y E() si x

2 EMLyon - Corrigé 4. program EML ; var U,X,S : real ; n : integer ; begin randomize ; writeln( entrez n ) ; readln(n) ; S := ; for k := to n do begin U := random ; X := -ln(-u) ; S := S + X ; end ; writeln( S=,S) ; end. 5. program EMLbis ; var t,s : real ; n : integer ; begin randomize ; writeln( entrez un reel t> ) ; readln(t) ; n := ; S := - ln ( - random) ; while (S<=t) do begin n := n + ; S := S - ln(-random) ; end ; writeln( Nt =, n) ; end. Remarque : on peut se demander si ce plus grand entier N t existe bien (et si le programme s arrête...). Or, P (N t n existe pas ) = P (S n t). n N La suite (S n t) n N est une suite décroissante d événements donc P (S n t) = lim P (S n t). n n N Or, pour tout n N et t, P (S n t) = t x n (n )! e x dx tn (n )! t e x dx = tn (n )! ( e t ) donc lim n P (S n t) =. La probabilité que S n reste toujours inférieure à t est nulle, donc le programme s arrête presque sûrement.

3 EMLyon - Corrigé 3 Partie II 6. Pour tout x R, f (x) = e x f () (x) = f (x) = e x f (x) = xe x f (x) = ( x)e x f (x) = x e x f (x) = (x x ) e x, f (x) = ) ( x + x e x donc : L (x) = L (x) = x L (x) = x + x. 7. Pour tout n N et tout x R, la formule de Leibniz donne : f n (n) (x) = n n (e ) x (k) (x n ) (n k) n! k k= = n n ( ) k e x n! n! k (n (n k))! xn (n k) k= n n = e x ( ) k k k! xk k= d où L n (x) = e x f (n) n (x) = n ( ) k n x k. k! k k= 8. L n étant somme de monômes est une fonction polynomiale de degré n, et de coefficient de plus haut degré : ( )n n = ( )n. n! n n! 9. Pour tout n N et tout x R, f n+ (x) = x(n+) (n + )! e x ; f n+(x) = xn n! e x x(n+) (n + )! e x, donc f n+(x) = f n (x) f n+ (x).. Pour tout n N et tout x R, L n+ (x) = e x f (n+) n+ (x) donc L n+(x) = e x f (n+) n+ (x) + e x f (n+) n+ (x) = e x f n+ (n+) + e x f (n+) n+ (x) = e x (f n f n+ ) (n+) (x) + e x f (n+) n+ (x) d après la question 9 = e x f n (n+) (x) e x f (n+) n+ (x) + e x f (n+) n+ (x) = e x f n (n+) (x)

4 EMLyon - Corrigé 4 Par ailleurs, comme L n (x) = e x f n (n) (x), L n(x) = e x f (n+) n (x) + e x fn n (x) = e x f n (n+) (x) + L n (x), donc e x f n (n+) (x) = L n(x) L n (x) d où, en reportant dans L n+, L n(x) = L n+(x) + L n (x).. Pour tout n N et x R, f n+ (x) = xn+ (n + )! e x = x n + f n(x).. Pour tout n N et tout x R, Par la formule de Leibniz, (n + )L n+ (x) = e x (xf n ) (n+) (x). n+ n + (n + )L n+ (x) = e x x (k) f n (n+ k) (x) k k= = e x xf (n+) n (x) + e x (n + )f (n) n (x) + = xl n+(x) + (n + )L n (x) = x(l n(x) L n (x)) + (n + )L n (x) donc (n + )L n+ (x) = xl n(x) + (n + x)l n (x). 3. Par dérivation de la relation précédente : (n + )L n+ = L n(x) + xl n(x) L n (x) + (n + x)l n(x) (n + )(L n(x) L n (x)) = L n(x) + xl n(x) L n (x) + (n + x)l n(x) xl n(x) + [ (n + ) + (n + x)]l n(x) + (n + )L n (x) = xl n(x) + ( x)l n(x) + nl n (x) =. Partie III 4. Soit A une fonction une fonction polynomiale ; la fonction x A(x)e x est continue sur [, + [ ; en + A(x)e x = ( x ) ; A(x)e x est positive. Par comparaison à l intégrale de Riemann convergente converge ; par suite x dx, A(x)e x dx A(x)e x dx est absolument convergente, donc convergente. 5. Commençons par remarquer que < P, Q > est correctement défini et à valeurs dans R d après la question 4.

5 EMLyon - Corrigé 5 (i) Symétrie : pour tous (P, Q) E, < Q, P >=< P, Q > (évident). (ii) Bilinéarité : soit (P, Q, R) E 3 et λ R, < λp + Q, R > = = + (λp + Q)(x)R(x)e x dx λp (x)r(x)e x dx + λq(x)r(x)e x dx car ces deux intégrales convergent = λ < P, R > + < Q, R > d où la linéarité à gauche, et à droite par symétrie. (iii) Positivité : soit P E, < P, P >= par positivité et convergence de l intégrale, < P, P > (iv) Soit P E tel que < P, P >=. P (x)e x dx ; P (x)e x pour tout x [, + [ ; P (x)e x dx =, or l intégrale d une fonction continue et positive est nulle si et seulement si la fonction est constante nulle, donc x [, + [ P (x)e x = et P (x) =. Le polynôme P a une infinité de racines donc P est le polynôme nul. 6. Soit P E ; E étant stable par dérivation et produit, T (P ) E. Soit (P, Q) E et λ R ; pour tout x R, T (λp + Q)(x) = x(λp + Q) (x) (x )(λp + Q) (x) = λ(xp (x) (x )P (x)) + xq (x) (x )Q (x) = λt (P )(x) + T (Q)(x) donc T est linéaire. T est bien un endomorphisme de E. 7. Pour tout x R, ( xp (x)e x) = P (x)e x + xp (x)e x xp (x)e x = (xp (x) (x )P (x)) e x = T (P )(x)e x 8. Soit (P, Q) E, < T (P ), Q >= Soit A, calculons A Q, v sont de classe C, et : A T (P )(x)q(x)e x dx. T (P )(x)q(x)e x dx par intégration par parties : Q(x) v (x) = T (P )(x)e x Q (x) v(x) = xp (x)e x d après 7 T (P )(x)q(x)e x dx = [ Q(x)xP (x)e x] A A xp (x)q (x)e x dx Limite quand A + : = Q(A)AP (A)e A A xp (x)q (x)e x dx

6 EMLyon - Corrigé 6 lim Q(A)AP (A)e A = (croissance comparée ) ; A + lim A + Donc : A xp (x)q (x)e x dx = < T (P ), Q > xp (x)q (x)e x dx par convergence de cette intégrale ; xp (x)q (x)e x dx. 9. L expression précédemment obtenue est symétrique par rapport à P et Q donc par symétrie du produit scalaire : < T (Q), P >=< T (P ), Q >; < P, T (Q) >=< T (P ), Q >.. D après la question 3, pour tout x R donc T (L n ) = nl n. T (L n )(x) = xl n(x) (x )L n(x) = nl n (x). Soit (i, j), N, distincts. Alors : < T (L i ), L j >=< il i, L j > (d après ), et < T (L i ), L j >=< L i, T (L j ) >=< L i, jl j > (d après ). Il en résulte que i < L i, L j >= j < L i, L j > ; comme i j, on en déduit < L i, L j >=. La famille (L,, L N ) est bien orthogonale.. Si P E N, d o P N donc d o T (P ) N et T (P ) E N. 3. (L,, L N ) est libre car c est une famille orthogonale de vecteurs non nuls. Elle comporte N + vecteurs et dim E N = N +, donc c est une base de E N. 4. Pour tout n, N T N (L n ) = nl n donc Mat (L,,L N )(T N ) = N 5. La matrice de T N dans la base est diagonale (L,, L N ), donc T N est diagonalisable (on peut aussi dire, au choix : E N possède une base formée de vecteurs propres de T N, ou encore : T N est symétrique donc diagonalisable). O est valeur propre de T N, donc T N n est pas bijectif.

7 EMLyon - Corrigé 7 Partie IV 6. Etude des variations de g n pour n : g n est est dérivable sur [, + [, et x [, + [ g n(x) = e x n! (nxn x n ) = xn e x (n x) n! 7. x n g n(x) + - M n g n g n admet un maximum en x = n ; M n = g n (n) = nn e n µn+ a n = ln ( µ (n n + = ln n ( = n + ) ( = n + = + = 8. D après 7 a n n. n + ( n + = ln n ) +n e ) ( ln + ) ) ( n n n + n! (n + ) n+ e (n+). (n + )! ) 3n + 3 n 3 n n 4n + 3n + n n Par comparaison à la série de Riemann positive et convergente n a n converge. n ) n! n n e n 9. Puisque d après 8 la série (ln µ n+ ln µ n ) converge, la suite (ln µ n ) n converge. n Soit l R sa limite, alors la suite (µ n ) n converge vers e l qui est strictement positif. 3. D après 9 lim nmn = e l >, donc M n el. n n Par comparaison à la série de Riemann positive et divergente n M n diverge. n n, n,

8 EMLyon - Corrigé 8 Partie V 3. F est de classe C sur ], + [ comme somme et composée de fonctions de classe C. F x (x, y) = f (x) f (x + y) et F y (x, y) = f (y) f (x + y) 3. Pour tout x ], + [, f (x) = ( x)e x et f (x) = ( + x)e x = (x )e x. x f (x) - + f e D après les variations de f, l équation f (x) = f (a) admet au plus une solution différente de a (aucune si a = ou a [, ]). 33. (x, y) est point critique de F si et seulement si F (x, y) = x soit f (x) = f (y) = f (x + y). F (x, y) = y La question 3 appliquée à a = x + y montre que nécessairement x = y : en effet, x > et y > donc x et y sont différents de x + y, or ils sont tous deux solutions de l équation f(x) = f(a). Ainsi, (x, y) point critique x = y et f (x) = f (x + x) = f (x). Réciproquement, si x = y et f (x) = f (x), (x, y) est bien point un critique de F. 34. f (x) = f (x) ( x)e x = ( x)e x x = ( x)e x donc f (x) = f (x) ( x)e x + x =. Soit ϕ la fonction définie sur ], + [ par ϕ(x) = ( x)e x + x. ϕ est dérivable et x ], + [ ϕ (x) = (x 3)e x + et ϕ (x) = ( x + 5)e x. x b 5/ + ϕ (x) + - e 5/ ϕ (x) D après ses variations ϕ admet une unique racine b positive après. - ], 5 [, elle est négative avant et

9 EMLyon - Corrigé 9 ϕ est donc décroissante et négative avant b, et croissante après jusqu à +. ϕ admet donc une unique racine α dans ], + [, avec plus précisément α ]b, + [. De plus, ϕ() = e < et ϕ() = 3e 3 >, donc α ], [. (, 7) 35. D après 3, f est négative sur ], [ et positive sur ], + [ ; or α ], [ donc f (α) < ; et α [, 4[ donc f (α) >. 36. F étant de classe C sur l ouvert ], + [, le seul extremum local possible est le point critique (α, α), ce qui assure déjà l unicité. Reste à montrer que ce point critique est bien un extremum et à déterminer sa nature, grâce à la matrice hessienne de F en (α, α) : F x = f (x) f (x + y) F y = f (y) f (x + y) F = f (x + y) x y ( f F (α, α) = (α) f (α) f (α) f (α) f (α) f (α) ) et rt s = (f (α) f (α)) f (α) = (f (α)) f (α)f (α) ; d après 34, f (α)f (α) > donc rt s > comme somme de deux termes positifs. (α, α) est donc bien un extremum local de F ce qui assure l existence. Enfin r < car f (α) < et f (α) <, donc cet extremum est un maximum.