Une année de Mathématiques en classe de Première S

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1 Une année de Mathématiques en classe de Première S Freddy Mérit Année scolaire

2 Ce manuel, à destination des élèves de Première S, a été en partie réalisé à partir de la consultation des ouvrages suivants : [1] Barra, Raymond, Transmath 1 re S, Nathan, [2] Brisou, François, dyssée 1 re S, Hatier, [3] Malaval, Joël, Hyperbole 1 re S, Nathan, [4] Poncy, Michel, Indice Maths 1 re S, Bordas, [5] Beltramone, Jean-Paul, Déclic Mathématiques 1 re S, Hachette Éducation, [6] Le Yaouanq, Marie-Hélène, Math 1 re S, Didier, 2011.

3 TABLE DES MATIÈRES 1 Le second degré - Équations et inéquations 5 I Fonctions polynômes du second degré I.1 Forme développée I.2 Forme canonique I.3 Sens de variation I.4 Représentation graphique II Résolution de l équation du second degré II.1 Équation du second degré et discriminant II.2 Résolution de l équation du second degré II.3 Factorisation d un trinôme du second degré - Forme factorisée III Signe du trinôme du second degré III.1 Signe de a 2 b c avec a III.2 Application à la résolution des inéquations du second degré IV Tableau récapitulatif V Eercices Géométrie plane 18 I Colinéarité de deu vecteurs II Équations d une droite II.1 Vecteur directeur d une droite II.2 Équations cartésiennes d une droite II.3 Équations cartésiennes et équations réduites II.4 Équations cartésiennes et parallélisme III Décomposition d un vecteur IV Eercices Étude de fonctions 28 I Fonctions de référence déjà connues I.1 Sens de variation d une fonction (rappel) I.2 Fonctions affines I.3 Fonction carré I.4 Fonction inverse II Fonction racine carrée II.1 Sens de variation II.2 Représentation graphique II.3 Ranger les racines carrées de deu nombres positifs II.4 Position relative des courbes d équations y =, y = 2 et y = III Fonction valeur absolue III.1 Valeur absolue d un nombre réel III.2 Étude de la fonction valeur absolue IV Sens de variation des fonctions associées IV.1 Fonction u k IV.2 Fonction ku IV.3 Fonction u IV.4 Fonction 1 u V Eercices

4 TABLE DES MATIÈRES 3 4 Statistiques Descriptives 43 I Paramètres de position d une série statistique I.1 Moyenne I.2 Médiane I.3 Quartiles II Paramètres de dispersion d une série statistique II.1 Étendue II.2 Écart interquartile II.3 Variance et écart-type III Diagramme en boîte IV Choisir un résumé d une série statistique IV.1 Le couple (Médiane ; Écart interquartile) IV.2 Le couple (Moyenne ; Écart type) IV.3 Choi du couple d indicateurs V Eercices Dérivation 54 I Nombre dérivé d une fonction f en un nombre réel a I.1 Tau d accroissement I.2 Nombre dérivé I.3 Interprétation graphique II Tangente à une courbe en un point III Fonction dérivée III.1 Fonction dérivée III.2 Dérivées des fonctions usuelles IV Dérivées et opérations IV.1 Dérivée de la somme IV.2 Dérivée du produit IV.3 Dérivée de l inverse IV.4 Dérivée du quotient IV.5 Tableau récapitulatif V Applications de la dérivation V.1 Liens entre le signe de la fonction dérivée et le sens de variation de la fonction. 65 V.2 Etremum d une fonction VI Eercices Trigonométrie 78 I Cercle trigonométrique I.1 Le cercle trigonométrique I.2 Le radian I.3 Enroulement de la droite numérique réelle sur le cercle trigonométrique II Mesures d un angle orienté II.1 Angle orienté de deu vecteurs non nuls II.2 Mesure principale d un angle orienté II.3 Propriétés des angles orientés III Trigonométrie III.1 Cosinus et sinus d un angle orienté III.2 Angles associés III.3 Équations trigonométriques IV Eercices

5 4 TABLE DES MATIÈRES 7 Probabilités 94 I Variable aléatoire et loi de probabilité I.1 Variable aléatoire discrète I.2 Loi de probabilité d une variable aléatoire discrète II Paramètres d une loi de probabilité II.1 Espérance, variance et écart type d une loi de probabilité II.2 Transformation affine d une variable aléatoire III Répétition d epériences identiques et indépendantes III.1 Modélisation d une epérience aléatoire à deu ou trois issues III.2 Modélisation de la répétition de deu epériences identiques et indépendantes.. 99 III.3 Un eemple de variable aléatoire associée à une telle situation IV Eercices Loi binomiale 110 I Épreuve de Bernoulli - Loi de Bernoulli II Schéma de Bernoulli III Coefficients binomiau - Triangle de Pascal IV Loi binomiale IV.1 Définition IV.2 Espérance, variance et écart-type V Eercices

6 CHAPITRE 1 LE SECND DEGRÉ - ÉQUATINS ET INÉQUATINS Mohammed Al Khwarizmi I Fonctions polynômes du second degré I.1 Forme développée Définition I-1 : Une fonction polynôme du second degré (ou de degré 2) est une fonction f définie sur R par f() = a 2 b c où a, b et c sont trois nombres réels donnés avec a 0. Les réels a, b et c sont appelés les coefficients de la fonction f. La forme a 2 b c est appelée la forme développée de la fonction f. Une fonction polynôme du second degré est aussi appelée fonction trinôme du second degré. Eemples : Si f() = , f est une fonction polynôme de degré 2 avec a = 4, b = 32 et c = 68. Si g() = 2 3, g est une fonction polynôme de degré 2 avec a = 1, b = 0 et c = 3. Si h() = (1) 2 3, h est une fonction polynôme du second degré. En effet, en développant, on a h() = ( 2 2 1) 3 = Ainsi a = 1, b = 2 et c = 2. En revanche, si k() = ( 1) 2 2, k n est pas une fonction polynôme de degré 2. En effet, en développant, on a k() = 2 1 et k() ne peut pas s écrire sous la forme a 2 b c avec a 0. Remarque : La forme développée d une fonction trinôme du second degré f permet facilement de : calculer l image de 0 par la fonction f (effectivement, f(0) = c) ; déterminer les antécédents du nombre c par la fonction f (en résolvant l équation f() = c qui est très simple puisque c est une équation-produit). I.2 Forme canonique Propriété I-1 : Pour toute fonction polynôme f du second degré définie sur R par f() = a 2 b c avec a 0, il eiste deu nombres réels α et β tels que, pour tout réel, on ait : f() = a( α) 2 β. La forme a( α) 2 β est appelée la forme canonique de la fonction trinôme f. Les nombres α et β sont tels que f(α) = β. 1. Mohammed Al Khwarizmi est un mathématicien, astronome, astrologue et géographe perse. Il décrit les méthodes de résolution des équations du premier et du second degré en les séparant en plusieurs cas. Il en fait état dans son ouvrage Kitab al jabr..., qui a donné son nom au mot algèbre. Il est aussi à l origine du mot algorithme grâce à son livre Algoritmi qui eplique le maniement de la numération indienne.

7 6 I. FNCTINS PLYNÔMES DU SECND DEGRÉ Eemple : Soit f la fonction trinôme du second degré définie sur R par f() = En factorisant les deu premiers termes contenant par 4 (coefficient du terme de degré 2), on obtient : f() = 4( 2 8) peut maintenant être identifié au début du développement de ( 4) 2. En effet, grâce au identités remarquables, on a : ( 4) 2 = = Ainsi, 2 8 = ( 4) Par conséquent, on a, pour tout réel, f() = 4[( 4) 2 16] 70. En développant partiellement, on obtient f() = 4( 4) = 4( 4) 2 6. L epression 4( 4) 2 6 constitue la forme canonique de la fonction f définie par f() = Démonstration : Soit f la fonction polynôme de degré 2 définie sur R par f() = a 2 b c avec a 0. Comme a 0, on peut écrire, pour tout réel, f() = a 2 b c = a 2 b a c. Mais 2 b a peut être considéré comme le début du développement de b 2a 2. En effet 2a 2 b = 2 b a b 2a 2. n en déduit donc que 2 b a = 2a 2 b b 2a 2. Il en résulte que f() = a 2a 2 b b2 4a c Ainsi, f() = a 2a 2 b b2 4ac 4a. En posant α = b 2a et β = b2 4ac 4a, on obtient bien que f() = a( α) 2 β. De plus, f(α) = a(α α) 2 β = a 0 β = β. 2a 2 b b 2a 2 c = a Remarque : La forme canonique d une fonction trinôme est très utile pour préciser son minimum (ou son maimum, suivant le cas) et la valeur en laquelle il est atteint. Dans l eemple précédent où la fonction f a pour forme canonique f() = 4( 4) 2 6, on peut affirmer qu elle admet pour minimum 6 en = 4. En effet, un carré étant toujours positif ou nul, ( 4) 2 est minimal et vaut 0 lorsque = 4. Par conséquent, f() 6, pour tout réel. Mais, comme f(4) = 6, on a, pour tout réel, f() f(4), ce qui démontre que le minimum de la fonction f est 6, atteint pour = 4. I.3 Sens de variation Propriété I-2 : Admise Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur R par f() = a 2 b c avec a 0. Sa forme canonique est donnée par f() = a( α) 2 β avec α = b 2a et β = f(α) = b2 4ac Alors, les variations de f dépendent du signe de a et sont données par les tableau suivants : Si a > 0 Si a < 0 4a. α f() f admet pour minimum β en α = b 2a. β α β f() b f admet pour maimum β en α = 2a.

8 Le second degré - Équations et inéquations 7 Eemple : Reprenons l eemple précédent où f est définie, pour tout réel, par f() = Le coefficient du terme de degré 2 est a = 4, il est positif, ce qui nous indique le sens de variation de la fonction f. De plus, la forme canonique de f trouvée précédemment est f() = 4( 4) 2 6. Ainsi, la fonction f admet pour minimum 6 en = 4. Son tableau de variation est donné par : 4 f() 6 I.4 Représentation graphique Définition I-2 : Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur R par f() = a 2 b c avec a 0. Dans un repère orthogonal ( ; I ; J), la courbe représentative de la fonction f est appelée une parabole. n dit que cette parabole P a pour équation y = a 2 b c. n appelle sommet de la parabole le point S de celle-ci qui correspond au maimum ou au minimum de la fonction f (selon le signe de a). D après ce qui précède, ses coordonnées sont S(α; β) où α = b 2a et β = f(α). La parabole admet un ae de symétrie parallèle à l ae des ordonnées. Cet ae D a pour équation = α = b 2a et passe par le sommet S de la parabole. Si a > 0 Si a < 0 y D : = α P y β = f(α) S(α; β) P J β = f(α) I α = b 2a S(α; β) J I α = b 2a D : = α La parabole P a des branches paraboliques «tournées vers le haut». La parabole P a des branches paraboliques «tournées vers le bas». II II.1 Résolution de l équation du second degré Équation du second degré et discriminant Définition II-1 : Une équation du second degré, d inconnue, est une équation qui peut s écrire sous la forme a 2 b c = 0 où a, b et c sont trois nombres réels donnés, avec a 0. Une solution de cette équation est aussi appelée racine du trinôme a 2 b c. Notons f la fonction polynôme du second degré définie sur R par f() = a 2 b c avec a 0. D après la démonstration de la propriété I-1, la forme canonique de la fonction f est donnée par f() = a( α) 2 β où α = b 2a et β = b2 4ac 4a. Le nombre b 2 4ac intervient dans la résolution de l équation du second degré, on lui donne le nom suivant :

9 8 II. RÉSLUTIN DE L ÉQUATIN DU SECND DEGRÉ Définition II-2 : Le nombre réel b 2 4ac, noté et qui se lit «delta», est appelé le discriminant du trinôme a 2 b c. Ainsi, pour tout nombre réel, f() = a( α) 2 4a = aä( α) 2 II.2 Résolution de l équation du second degré Remarque : Résoudre l équation du second degré f() = a 2 b c = 0, avec a 0, revient à chercher graphiquement les abscisses des points d intersection (s ils eistent) de la parabole P représentant la fonction f et de l ae des abscisses. Suivant les différentes positions de la parabole, il peut donc y avoir soit deu solutions distinctes, soit une solution unique ou soit aucune. Propriété II-1 : Le nombre de solutions d une équation du second degré a 2 b c = 0 (où a 0) dépend du signe du discriminant = b 2 4ac : Si > 0, l équation a deu solutions distinctes : 1 = b 2a 4a 2ç et 2 = b 2a Si = 0, l équation a une seule solution : 0 = b 2a et on dit que 0 est une racine double ; Si < 0, l équation n a pas de solution réelle. Démonstration : Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur R par f() = a 2 b c avec a 0. D après ce qui précède, l équation f() = 0 équivaut à aä( α) 2 4a 2ç=0où α = b 2a et = b 2 4ac. Si > 0, l équation devient aå( α) 2 2a 2è=0. Ainsi, à l aide d une identité remarquable, on obtient : a ( α) 2a ( α) 2a =0 qui a deu solutions distinctes : 1 = α 2a = b et 2 = α 2a 2a = b 2a Si = 0, l équation devient a( α) 2 = 0. Elle n admet qu une unique solution 0 = α = b 2a. Si < 0, le quotient 4a 2 > 0 et, pour tout nombre réel, l epression ( α)2 4a > 0. 2 Par conséquent, comme a 0, f() est le produit de deu facteurs non nuls. Ainsi, l équation n a pas de solution réelle. Remarque : Lorsque les nombres réel a et c sont de signes contraires, le discriminant est strictement positif et l équation a 2 b c = 0 a toujours deu solutions distinctes. II.3 Factorisation d un trinôme du second degré - Forme factorisée La démonstration de la propriété II-1 précédente, nous permet d obtenir le résultat suivant : Propriété II-2 : Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur R par f() = a 2 b c avec a 0. Il est possible d obtenir une forme factorisée de la fonction f uniquement si le discriminant = b 2 4ac est positif ou nul : Si > 0, alors f() = a( 1 )( 2 ) avec 1 = b et 2 = b ; 2a 2a Si = 0, alors f() = a( 0 ) 2 avec 0 = b 2a. Dans le cas où le discriminant est strictement négatif, une telle factorisation est impossible. ;

10 Le second degré - Équations et inéquations 9 Eemples : Résoudre dans R l équation = 0. C est une équation du type a 2 b c = 0 avec a = 6, b = 1 et c = 1. n ne sait pas la résoudre de façon évidente donc on calcule le discriminant = b 2 4ac = ( 1) ( 1) = 1 24 = 25. Comme > 0, l équation = 0 admet deu solutions distinctes dans R : 1 = b 2a = = 1 3 et 2 = b 2a = = 1 2. L ensemble des solutions est donc constitué des deu nombres 1 3 et 1 2. n écrit alors S = 1 3 ; 1 2. n a aussi la factorisation suivante : pour tout réel, = Résoudre dans R l équation = 0. C est une équation du type a 2 b c = 0 avec a = 3, b = 4 et c = n calcule le discriminant = b 2 4ac = ( 4) = = 0. Comme = 0, l équation = 0 admet une solution unique dans R : n écrit S = = b 2a = 4 6 = 2 3. n a alors la factorisation suivante : pour tout réel, == Résoudre dans R l équation = 0. C est une équation du type a 2 b c = 0 avec a = 1, b = 3 et c = 4. n ne sait pas la résoudre de façon évidente donc on calcule le discriminant = b 2 4ac = ( 3) = 9 16 = 7. Comme < 0, l équation = 0 n admet pas de solutions dans R. n écrit S =. La factorisation de la fonction polynôme du second degré f définie par f() = est impossible. Remarque : Si elle eiste, la forme factorisée d une fonction f, trinôme du second degré, est très utile pour déterminer les solutions éventuelles de l équation f() = 0, c est-à-dire les abscisses des points d intersection de la parabole P représentant la fonction f et de l ae des abscisses. La proposition précédente indique que cette factorisation est uniquement possible si le discriminant du trinôme est positif. Interprétation y graphique : P 1 y P 2 y P 3 y = y = J I J 2 3 I J y = I > 0 L équation a deu solutions. = 0 L équation a une solution unique. < 0 L équation n a pas de solution.

11 10 III. SIGNE DU TRINÔME DU SECND DEGRÉ III Signe du trinôme du second degré Remarque : Chercher le signe du trinôme a 2 bc, avec a 0, revient graphiquement à chercher la position de la parabole P, d équation y = a 2 b c, par rapport à l ae des abscisses. III.1 Signe de a 2 b c avec a 0 Propriété III-1 : Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur R par f() = a 2 b c avec a 0. = b 2 4ac est le discriminant du trinôme f. Si > 0, alors le trinôme f() = a 2 b c s annule en deu valeurs distinctes 1 et 2. n suppose que 1 < 2. Alors, f() est du signe opposé à celui de a si et seulement si est compris entre les racines 1 et 2 (c est-à-dire pour ] 1 ; 2 [). Par conséquent, f() est du signe de a si et seulement si ] ; 1 [ ] 2 ; [. Si = 0, alors le trinôme f() = a 2 b c s annule en une seule valeur 0 = b et il a 2a le même signe que a pour tous les nombres réels. Si < 0, alors le trinôme f() = a 2 b c a le même signe que a pour tous les nombres réels. Remarque : n peut retenir cette propriété en disant que a 2 b c est toujours du signe de a sauf entre les deu racines lorsqu il y en a (c est-à-dire lorsque > 0). Démonstration : Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur R par f() = a 2 b c avec a 0. Si > 0 alors f() = a( 1 )( 2 ), d après la propriété II-2. Supposons 1 < 2. n construit donc le tableau de signes suivant : 1 2 ( 1 ) 0 ( 2 ) 0 ( 1 )( 2 ) 0 0 a( 1 )( 2 ) signe de a 0 opposé du signe de a 0 signe de a n a donc établi le résultat suivant : f() est du signe opposé à celui de a si et seulement si ] 1 ; 2 [. Par conséquent, f() est du signe de a si et seulement si ] ; 1 [ ] 2 ; [. Si = 0 alors f() = a( 0 ) 2 avec 0 = b, d après la propriété II-2. 2a Le carré ( 0 ) 2 est strictement positif pour tout 0 et il s annule en = 0. Ainsi, f() s annule en une seule valeur 0 = b et f() a le même signe que a pour tous les 2a nombres réels. Si < 0, la factorisation de f() n est pas possible. Utilisons donc la forme canonique du trinôme f vue dans le paragraphe II. n a donc, pour tout réel, f() = a ( α) 2 4a 2. Comme l epression entre crochets est strictement positive, on en déduit que f() a le même signe que a pour tous les nombres réels.

12 Le second degré - Équations et inéquations 11 Eemples : Dresser le tableau de signes de la fonction f définie sur R par f() = f est une fonction polynôme du second degré dont l étude du signe n est pas immédiate. n a déjà résolu l équation f() = 0 à la page 9 et on a montré que le trinôme f() admettait deu racines distinctes : 1 3 et 1 2. La forme factorisée du trinôme f est donc f() = 6( 1 3 )( 1 2 ). Ainsi, comme 6 est strictement positif, le tableau de signes de la fonction f est le suivant : f() 0 0 Graphiquement, ceci illustre que la parabole P 1, représentant la fonction f, est située au-dessus de l ae des abscisses pour les points ayant une abscisse strictement inférieure à 1 3 ou strictement supérieure à 1 2. Aussi, pour les points dont l abscisse est strictement comprise entre 1 3 et 1 2, la parabole P 1 est située en-dessous de l ae des abscisses. Dresser le tableau de signes de la fonction g définie sur R par g() = Nous avons vu à la page 9, que le trinôme g() admettait une seule racine 2 3. Ainsi, sa forme factorisée est g() = 3( 2 3 )2. Par conséquent, le nombre 3 étant positif, le tableau de signes de la fonction g est : 2 3 g() 0 Graphiquement, ceci signifie que la parabole P 2, représentant la fonction g, est située au-dessus de l ae des abscisses, sauf pour le point d abscisse 2 3 qui appartient à cet ae. Dresser le tableau de signes de la fonction h définie sur R par h() = Cette fonction trinôme admet un discriminant strictement négatif. En effet, le calcul effectué à la page 9 donne = 7. Ainsi elle n admet pas de racine et sa factorisation est impossible. Comme le coefficient du terme de degré 2 est égal à 1, on peut affirmer que le tableau de signes de la fonction h est : h() Graphiquement, ceci signifie que la parabole P 3, représentant la fonction h, est toujours située au-dessus de l ae des abscisses. III.2 Application à la résolution des inéquations du second degré Définition III-1 : Soient a, b et c trois nombres réels avec a 0. Une inéquation du second degré à une inconnue est une inéquation qui peut s écrire sous l une des forme suivantes : soit a 2 b c > 0 ; soit a 2 b c 0 ; soit a 2 b c < 0 ; ou soit a 2 b c 0. Pour résoudre une telle inéquation, on étudie le signe du trinôme a 2 b c comme décrit précédemment afin de pouvoir décrire l ensemble des solutions S, c est-à-dire l ensemble des valeurs de pour lesquelles l inégalité est vraie.

13 12 IV. TABLEAU RÉCAPITULATIF IV Eemple : Résoudre dans R l inéquation D après le tableau de signes établi précédemment, on obtient S =] ; 1 3 ] [ 1 2 ; [ Tableau récapitulatif Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur R par f() = a 2 b c, avec a 0. = b 2 4ac est le discriminant du trinôme f(). Le tableau suivant présente les différentes situations possibles, suivant les valeurs des réels a et : Solutions de l équation f() = 0 : > 0 = 0 < 0 Deu solutions distinctes S = { 1 ; 2 } avec 1 = b 2a et 2 = b 2a. Une solution unique S = { 0 } avec 0 = b 2a. Pas de solution S =. Forme factorisée de f() : f() = a( 1 )( 2 ). f() = a( 0 ) 2. y y P P La factorisation est impossible. y P a > 0 Parabole : J J S 1 I 2 I 0 = b 2a J I S S = b 2a = b 2a = b 2a a < 0 Signe de f() : Parabole : 1 2 f() 0 0 y = b S 2a 0 f() 0 J J I 0 = b 2a 2 I 1 S y = b 2a f() y J I S = b 2a P P P Signe de f() : 2 1 f() f() 0 f()

14 V Eercices Le second degré - Équations et inéquations 13 Eercice 1 : Résoudre une équation du second degré Résoudre dans R les équations suivantes : 1) 3 2 = π; 2) 2 3 = 0; 3) = 0. Eercice 2 : Construire la courbe représentative d une fonction connue Soit f la fonction définie sur R par f() = Construire la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé (; I; J). Eercice 3 : Fonctions trinômes et représentations graphiques n a représenté ci-dessous, dans des repères orthogonau, trois courbes C 1, C 2 et C 3 dont les équations respectives sont les suivantes : C 1 : y = ( 2) 2 3; C 2 : y = ; C 3 : y = 4( 1)( 2). y y y Figure a Figue b Figure c 1) Associer chaque courbe à la figure correspondante, en justifiant le raisonnement. 2) Pour chaque graphique, retrouver les graduations du repère en détaillant la démarche. Eercice 4 : Vers la forme canonique du trinôme - Algorithme de Al-Khwarizmi Au début du IX e siècle, le mathématicien perse Muhammad Ibn Musa, surnommé Al-Khwarizmi, propose différents algorithmes de résolution d équations de degré 1 ou 2. Ainsi, il a posé et résolu géométriquement le problème suivant : «Déterminer un nombre tel que le carré et di racines égales trente-neuf unités.» n peut traduire cet énoncé avec notre notation symbolique actuelle de la façon suivante : Résoudre l équation 2 10 = 39. (E1) Pour la résoudre, voici la méthode qu il propose : Étape 1 : n suppose que est positif et on construit un carré de côté de longueur égale à. Étape 2 : n borde ce carré de deu rectangles dont l aire est égale à 10 2 autre dimension.. n obtient ainsi 5 comme Étape 3 : n complète alors la figure pour obtenir un grand carré Étape 1 Étape 2 Étape 3

15 14 V. EXERCICES 1) a) En eprimant l aire de ce grand carré de deu façons différentes, démontrer que 2 10 = ( 5) b) En déduire que l équation (E1) proposée est équivalente à ( 5) 2 = 64. c) Déterminer alors la solution positive de l équation (E1). d) Al-Khwarizmi ne parle pas de l autre solution de cette équation car, pour lui, 64 n a qu une racine carrée : c est 8. Déterminer l autre solution de l équation (E1). 2) Utiliser la méthode de Al-Khwarizmi, eposée précédemment, pour résoudre dans R les équations suivantes : a) 2 12 = 45 ; b) = 0. 3) Dans ce qui précède, on dit que ( 5) 2 64 est la forme canonique de Déterminer la forme canonique de chacune des fonctions suivantes : a) f() = ; b) g() = ; c) h() = Eercice 5 : Déterminer le sens de variations d une fonction trinôme Dresser le tableau de variations de chacune des fonctions suivantes, définies sur R, en détaillant le raisonnement : 1) f() = ; 2) g() = ; 3) h() = Eercice 6 : Démontrer qu une fonction trinôme admet un etremum Soi f la fonction trinôme du second degré définie sur R par f() = Démontrer qu elle admet pour maimum 1 en = 1. Eercice 7 : Utiliser la forme la plus adaptée d une fonction connue Soit f la fonction définie sur R par f() = ( 3) 2 (3 2) 2. 1) a) Déterminer la forme développée et réduite de f(). b) Déterminer une forme factorisée de f(). c) Déterminer la forme canonique de f(). 2) Choisir la forme la plus adaptée de f() pour répondre au questions suivantes : a) Calculer f(0),f( 5 4 ) et f(3 8 ). Déterminer l image de 1 2 par la fonction f. b) Établir le tableau de variations de la fonction f. c) Résoudre l équation f() = 0. d) Déterminer les antécédents éventuels du nombre 5 par la fonction f. e) Établir le tableau de signe de la fonction f.

16 Eercice 8 : Un problème d aire maimale Le second degré - Équations et inéquations 15 n considère un rectangle ABCD dont les dimensions sont AB = 8 et AD = 10. À l intérieur de celui-ci, on construit le carré AMNP où M est le point du segment [AB] et P le point du segment [AD]. n construit enfin les rectangles hachurés MNRB et NQDP où R est le point du segment [BC] et P est le point du segment [AD]. Déterminer la (ou les) position(s) du point M pour laquelle (lesquelles) la somme des aires des rectangles hachurés est maimale. A P D M N Q N B R C Eercice 9 : Résoudre une équation du second degré sans calcul du discriminant Résoudre dans R les équations suivantes : 1) = 0 ; 2) = 0 ; 3) = 0 ; 4) = 0 ; 5) = 0 ; 6) 2 9 = 0. Eercice 10 : Résoudre une équation du second degré avec calcul du discriminant Résoudre dans R les équations suivantes : 1) = 0 ; 2) = 0 ; 3) = 0 ; 4) = 0 ; 5) 2 1 = 0 ; 6) = 0. Eercice 11 : Problème numérique La somme d un nombre réel et de son inverse est égale à 58. Déterminer les valeurs de ces deu nombres. 21 Eercice 12 : Intersections de paraboles n a tracé ci-dessous, dans un repère orthogonal, les deu paraboles P 1 et P 2 d équations respectives y = et y = y P 2 A B 1 0, 5 P 1 n note A et B leurs points d intersection. Déterminer les valeurs eactes de leurs coordonnées.

17 16 V. EXERCICES Eercice 13 : Factoriser un trinôme du second degré Déterminer, lorsque cela est possible, une forme factorisée des fonctions trinômes du second degré suivantes : 1) f() = ; 2) g() = ; 3) h() = Eercice 14 : Énigme Lors d une conférence, chaque participant échange une poignée de mains avec toutes les autres personnes présentes. Finalement, on a noté qu il y avait eu 5151 poignées de mains échangées lors de ce rassemblement. Déterminer le nombre de personnes ayant assisté à cette conférence. Eercice 15 : Dresser le tableau de signes de fonctions connues Dresser le tableau de signes de chacune des fonctions suivantes, définies sur R, en justifiant : 1) f() = ; 2) g() = ; 3) h() = 2 π ; 4) k() = Eercice 16 : Résoudre une inéquation du second degré Résoudre dans R les inéquations suivantes puis vérifier graphiquement à l aide de la calculatrice ou de l ordinateur : 1) < 0; 2) ( 1); 3) < 1 2. Eercice 17 : Algorithme et mise en œuvre sur la calculatrice 1) À l aide du logiciel Algobo, écrire un algorithme qui : a) affiche le message : «n souhaite résoudre l équation a 2 b c = 0, avec a 0.» b) lit les valeurs de a, b et c. c) calcule et affiche la valeur du discriminant. d) affiche le nombre de solutions (s il y en a) et les valeurs de celles-ci. 2) a) Saisir l algorithme précédent sur la calculatrice en le traduisant avec la syntae adaptée au modèle. b) Tester le programme précédent avec les équations suivantes : i) 2 6 = 0 ; ii) = 0 iii) = 0. c) Tester le programme précédent avec les équations suivantes : i) = 0 ; ii) = 0 iii) = 0. Quel inconvénient constate-t-on? La résolution de ces équations avec le logiciel Algobo permet-elle d améliorer les résultats? Connaissez-vous une commande de la calculatrice pour améliorer la résolution de la première équation? Si oui, modifiez le programme en conséquence. Cette instruction donne-t-elle satisfaction pour les deu dernières équations? Epliquez pourquoi? À quoi cela est-il lié? Déterminer, lorsqu elles eistent, les solutions eactes des trois équations précédentes avec le logiciel Xcas. Pourquoi obtient-on les valeurs eactes avec ce logiciel? d) Tester le programme avec les valeurs a = 0, b = 2 et c = 1. Que constate-t-on? Modifier l algorithme puis le programme afin d envisager le cas où le coefficient du terme de degré 2 est nul.

18 Le second degré - Équations et inéquations 17 e) Tester le programme en résolvant l équation 2 ( ) = 0. Les solutions données par la calculatrice sont-elles correctes? Si non, déterminer algébriquement les solutions de l équation et epliquer le phénomène observé. Essayer de résoudre cette même équation avec le logiciel Xcas. Les solutions données par celui-ci sont-elles eactes? Quelle conclusion en tirer? Eercice 18 : Inventer des inéquations du second degré 1) Proposer une inéquation du second degré dont l ensemble des solutions est égal à ] 2; 4[. 2) Proposer une inéquation du second degré ayant pour ensemble de solutions la réunion des intervalles ] ; 3] et [2; [. Eercice 19 : Déterminer une équation d une parabole Dans les deu cas suivants, on donne la parabole représentant une fonction trinôme du second degré f dans un repère orthogonal du plan. Déterminer une équation de la parabole P en justifiant la démarche. y y J I 3 5 P 5 J 3 I 7, 5 1 e cas 2 e cas Eercice 20 : Résolutions graphiques et algébriques d inéquations du second degré n considère les deu fonctions polynômes du second degré f et g définies sur R par : f() = et g() = n représente ci-dessous leurs courbes dans un repère orthonormé : y P C f -1,5 J I C g 1) Résoudre, à l aide d une lecture graphique, chacune des inéquations suivantes : a) f() 0 ; b) g() < 0 ; c) f() g(). 2) Retrouver les ensembles de solutions précédents par le calcul.

19 CHAPITRE 2 GÉMÉTRIE PLANE I Dans l ensemble de ce chapitre, le plan est muni d un repère (; I; J). Colinéarité de deu vecteurs René Descartes Définition I-1 : Deu vecteurs non nuls #» u et #» v sont dits colinéaires lorsqu ils ont la même direction. Autrement dit, deu vecteurs non nuls AB #» et CD #» sont colinéaires si et seulement si les droites (AB) et (CD) sont parallèles. C #» v D #» u A B Remarque : Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur du plan. Propriété I-1 : Applications de la définition Soient A, B, C et D quatre points deu à deu distincts du plan. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs #» AB et #» CD sont colinéaires. D C A B Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs #» AB et #» AC sont colinéaires. A B C 1. René Descartes est un mathématicien, physicien et philosophe français. Il introduit la géométrie analytique en remarquant que tout point du plan est déterminé par ses distances algébriques au aes de coordonnées. Il est à l origine de la notion d équation d une courbe, relation qui lie les coordonnées des points de celle-ci. Il rationalise également l utilisation des lettres en mathématiques : il choisit celles du début de l alphabet pour les quantités connues et celles de la fin de l alphabet pour les inconnues.

20 Géométrie plane 19 Il est incorrect de dire que deu vecteurs sont «parallèles». n dit que deu vecteurs ont la même direction ou qu ils sont colinéaires. Le mot «parallèle» est réservé pour caractériser la position de deu droites ou de deu segments mais il n est pas utilisé pour les vecteurs. Propriété I-2 : Deu vecteurs non nuls #» u et #» v sont colinéaires si et seulement si il eiste un nombre réel k non nul tel que #» v = k #» u. Remarque : Dans l égalité #» v = k #» u, le réel k s appelle le coefficient de colinéarité. Eemple : Les vecteurs #» u( 5; 3) et #» v (15; 9) sont colinéaires car #» v = 3 #» u. Propriété I-3 : Condition de colinéarité de deu vecteurs Les vecteurs #» u(; y) et #» v ( ; y ) sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles. Autrement dit, les vecteurs #» u(; y) et #» v ( ; y ) sont colinéaires si et seulement si y y = 0. Eemples : Les vecteurs #» u(2; 5) et #» v ( 8; 20) sont colinéaires. En effet, le tableau de proportionnalité car (2 20) ( 5) ( 8) = Les vecteurs #» u( 3; 4) et #» v (5; 2) ne sont pas colinéaires. En effet, le tableau un tableau de proportionnalité car ( 3) 2 (4 5) = 26 et est un tableau n est pas Démonstration : Démontrons que les vecteurs #» u(; y) et #» v ( ; y ) sont colinéaires si et seulement si y y = 0. Dans le cas où #» u (ou #» v ) est le vecteur nul, le résultat est immédiat. Supposons donc que les vecteurs #» u et #» v sont tous les deu non nuls. Les vecteurs #» u et #» v sont colinéaires : si et seulement si il eiste un nombre réel k non nul tel que #» v = k #» u ; si et seulement si il eiste un nombre k non nul tel que = k et y = ky ; si et seulement si les coordonnées (; y) de #» u et ( ; y ) de #» v sont proportionnelles ; si et seulement si le tableau y y est un tableau de proportionnalité ; si et seulement si les «produits en croi» y et y sont égau ; si et seulement si y y = 0. II II.1 Équations d une droite Vecteur directeur d une droite Définition II-1 : Soit D une droite du plan. n appelle vecteur directeur de la droite D tout vecteur non nul #» u ayant la même direction que la droite D. #» u D

21 20 II. ÉQUATINS D UNE DRITE Remarques : Pour une droite D donnée, il eiste une infinité de vecteurs directeurs. Le choi de deu points distincts A et B sur la droite D définit un vecteur directeur de cette droite : le vecteur AB. #» B A D #» AB Tout vecteur non nul colinéaire au vecteur AB #» est aussi un vecteur directeur de la droite D. 2 #» AB B A #» AB D #» AB Ainsi, les vecteurs #» AB ou 2 #» AB tracés ci-dessus sont aussi des vecteurs directeurs de la droite D. n peut ainsi définir une droite D par la donnée d un point et d un vecteur directeur. En effet, toute droite passant par un point A fié et ayant la même direction que celle d un vecteur #» u non nul donné est l ensemble des points M du plan tels que les vecteurs AM #» et #» u aient la même direction. n a donc la définition suivante : Définition II-2 : Soient A un point et #» u un vecteur non nul. L ensemble des points M du plan tels que les vecteurs AM #» et #» u sont colinéaires est la droite D passant par le point A et dont #» u est un vecteur directeur. A #» u M D Propriété II-1 : Soient D et D deu droites de vecteurs directeurs respectifs #» u et #» v. Les droites D et D sont parallèles si et seulement si les vecteurs #» u et #» v sont colinéaires. Propriété II-2 : Soit D la droite d équation réduite y = m p où m et p sont deu nombres réels. Alors #» u(1; m) est un vecteur directeur de D. y D : y = m p #» u m J p I 1

22 Géométrie plane 21 Démonstration : Soit D la droite d équation réduite y = m p. Les points A(0; p) et B(1; m p) sont deu points distincts appartenant à cette droite. Donc le vecteur #» u = AB #» est un vecteur directeur de cette même droite r, les coordonnées de AB #» sont (1 0; m p p). Ainsi #» u(1; m) est un vecteur directeur de D. II.2 Équations cartésiennes d une droite Propriété II-3 : Toute droite D du plan admet une équation de la forme a by c = 0 où a, b et c sont trois nombres réels avec a et b non nuls simultanément. Le vecteur #» u( b; a) est un vecteur directeur de cette droite D. Démonstration : Soit D une droite du plan. Comme nous l avons vu à la définition II-2, cette droite D peut être définie par la donnée d un de ses points A( 0 ; y 0 ) et d un vecteur directeur #» u(α; β). Ainsi, un point M(; y) appartient à la droite D si et seulement si les vecteurs AM #» et #» u sont colinéaires. r, AM( #» 0 ; y y 0 ) et #» u(α; β). Donc, d après la condition de colinéarité, M(; y) D si et seulement si β( 0 ) α(y y 0 ) = 0. En développant, on obtient : M(; y) D si et seulement si β αy β 0 αy 0 = 0. Cette équation peut aussi s écrire a by c = 0, en posant a = β, b = α et c = β 0 αy 0 n remarque que les réels a et b ne peuvent pas être nuls simultanément puisque le vecteur directeur #» u de D n est pas le vecteur nul. De plus, comme α = b et β = a, le vecteur #» u( b; a) est un vecteur directeur de D. Propriété II-4 : Réciproque Soient a, b et c trois nombres réels avec a et b non nuls simultanément. L ensemble des points M(; y) du plan dont les coordonnées vérifient la relation a by c = 0 est une droite de vecteur directeur #» u( b; a). Démonstration : Soient a, b et c trois nombres réels avec (a; b) (0; 0). Notons E l ensemble des points M(; y) du plan dont les coordonnées vérifient l équation a by c = 0. Cette équation peut aussi s écrire sous la forme by = a c. Démontrons que l ensemble E contient au moins un point A( 0 ; y 0 ) que l on va préciser. avec 0 un nombre réel quelconque. Si b 0 alors on peut choisir A 0 ; a 0 c b Si b = 0 alors, comme a 0, on peut choisir A c a ; y 0 avec y 0 un nombre réel quelconque. Dans tous les cas, il eiste bien un point A( 0 ; y 0 ) appartenant à l ensemble E, dont les coordonnées vérifient a 0 by 0 c = 0. Ainsi, M(; y) E si et seulement si a by c = 0. M(; y) E si et seulement si a by c = a 0 by 0 c. M(; y) E si et seulement si a( 0 ) b(y y 0 ) = 0. r le vecteur AM #» a pour coordonnées ( 0 ; y y 0 ). Donc M(; y) E si et seulement si AM( #» 0 ; y y 0 ) et #» u( b; a) sont colinéaires. D après la définition II-2, E est la droite passant par le point A( 0 ; y 0 ) et ayant pour vecteur directeur le vecteur #» u( b; a).

23 22 II. ÉQUATINS D UNE DRITE Eemple : Soit E l ensemble des points M(; y) du plan dont les coordonnées vérifient la relation 2 4y 5 = 0. E est une droite de vecteur directeur #» u( 4; 2). Les vecteurs #» v (4; 2) et w(2; #» 1) sont aussi des vecteurs directeurs de la droite E puisqu ils sont colinéaires au vecteur #» u. En effet, #» v = #» u et w #» = 1 #» u. 2 II.3 Définition II-3 : Soient a, b et c trois nombres réels tels que (a; b) (0; 0). Une équation d une droite D du plan de la forme a by c = 0 est appelée une équation cartésienne de la droite D. Remarque : Une droite admet une infinité d équations cartésiennes. En effet, considérons la droite E précédente dont une équation cartésienne est 2 4y 5 = 0. Elle admet aussi pour équation cartésienne 2y 2, 5 = 0. En fait, toute équation obtenue en multipliant une équation cartésienne d une droite par un nombre réel non nul constitue une autre équation cartésienne de cette même droite. Équations cartésiennes et équations réduites La notion d équation cartésienne d une droite vue en Première permet de regrouper en une seule les deu types d équations de droites vues en Seconde : les droites non parallèles à l ae des ordonnées ayant une équation réduite de la forme y = mp ; les droites parallèles à l ae des ordonnées ayant une équation de la forme = k. n eamine les liens entre ces deu notions dans le tableau suivant : Équation cartésienne Équation réduite (vue en Seconde) Représentation graphique Cas où b = 0 et a 0 a 0 c = 0 donc = c a = constante y J I = k Droite parallèle à l ae des ordonnées Ne représente pas une fonction Cas où a = 0 et b 0 0 by c = 0 donc y = c b y = constante y J I y = k Droite parallèle à l ae des abscisses Cas où a 0 et Cas où a 0 et b 0 et c = 0 b 0 et c 0 a by c = 0 a by 0 = 0 donc y = a b donc y = m, m est le coefficient directeur. y J I y = m Droite passant par l origine et non parallèle au aes y = a b c b y = m p, m est le coefficient directeur et p est l ordonnée à l origine. y J y = m p I Autre type de droite Représentations graphiques d une fonction affine

24 II.4 Géométrie plane 23 Équations cartésiennes et parallélisme Propriété II-5 : Soient D et D deu droites d équations cartésiennes respectives abyc = 0 et a b yc = 0 avec (a; b) (0; 0) et (a ; b ) (0; 0). Les droites D et D sont parallèles si et seulement si ab a b = 0. Démonstration : D après la propriété II-3, un vecteur directeur de D est #» u( b; a) et un vecteur directeur de D est #» u ( b ; a ). Ainsi D et D sont parallèles si et seulement si #» u et u #» sont colinéaires. D et D sont parallèles si et seulement si ba a( b ) = 0. Donc D et D sont parallèles si et seulement si ab a b = 0. Remarque : Lorsque les droites D et D ont pour équations réduites respectives y = m p et y = m p, la condition de parallélisme de ces deu droites se simplifie en l égalité de leurs coefficients directeurs (m = m ). III Décomposition d un vecteur Propriété III-1 : Soient A, B et C trois points non alignés du plan. Pour tout point M du plan, il eiste un unique couple de nombres réels (; y) tels que #» AM = AB #» y AC. #» n dit que (A; AB; #» AC) #» constitue un repère du plan et que (; y) est le couple de coordonnées du point M (ou aussi du vecteur AM) #» dans ce repère. Eemple : C I G B A Soit ABC un triangle non aplati où I désigne le milieu du segment [BC] et G le centre de gravité de ce triangle. Comme les points A, B et C ne sont pas alignés, (A; AB; #» AC) #» constitue un repère du plan. n va établir les égalités suivantes : AI #» = 1 #» AB 1 #» AC et AG #» = 1 #» AB 1 #» AC Autrement dit, les coordonnées des points I et G dans le repère (A; AB; #» AC) #» sont : I 1 2 ; 1 2 et G 1 3 ; 1 3. En effet, à l aide de la relation de Chasles, on a : AB #» AC #» = AI #» IB #» AI #» IC #» = 2 AI #» IB #» IC. #» r, I est le milieu du segment [BC] donc IB #» IC #» = #» 0. Ainsi AB #» AC #» = 2 AI #» et, par conséquent, AI #» = 1 #» AB 1 #» AC. 2 2 Dans le repère (A; AB; #» AC), #» les coordonnées du point I sont donc I 1 2 ; 1 2.

25 24 III. DÉCMPSITIN D UN VECTEUR En outre, on sait que le centre de gravité G d un triangle (point d intersection des médianes) est situé au deu tiers des médianes en partant de chaque sommet. Autrement dit, on a AG #» = 2 #» AI. 3 Par suite, par ce qui précède, AG #» = #» AB 1 #» AC = 1 #» AB 1 #» AC Dans le repère (A; AB; #» AC), #» les coordonnées du point G sont donc G 1 3 ; 1 3. Démonstration : Eistence de la décomposition : Q M C A B P Soient A, B et C trois points non alignés du plan. Soit M un point quelconque du plan. Notons P le point d intersection de la parallèle à la droite (AC) passant par le point M et de la droite (AB). n note aussi Q le point d intersection de la parallèle à la droite (AB) passant par le point M et de la droite (AC). Ainsi APMQ est un parallélogramme donc, d après la règle du parallélogramme, AM #» = AP #» AQ. #» Les points A, B et P sont alignés donc les vecteurs AB #» et AP #» sont colinéaires. Ainsi, il eiste un nombre réel tel que AP #» = AB. #» De même, les vecteurs AC #» et AQ #» sont colinéaires. Ainsi, il eiste un nombre réel y tel que #» AQ = y AC. #» Par conséquent, AM #» = AP #» AQ #» = AB #» y AC. #» Donc, il eiste un couple de nombres réels (; y) tels que AM #» = AB #» y AC. #» Unicité de la décomposition : Supposons qu il eiste deu couples (; y) et ( ; y ) tels que AM #» = AB #» y AC #» = AB #» y AC. #» Alors, AB #» AB #» = y AC #» y AC, #» c est-à-dire ( ) AB #» = (y y) AC. #» r les points A, B et C ne sont pas alignés donc les vecteurs AB #» et AC #» ne sont pas colinéaires. La seule possibilité est donc que = 0 et y y = 0. Donc = et y = y, ce qui prouve l unicité de la décomposition. Propriété III-2 : Soient #» u et #» v deu vecteurs non colinéaires du plan. Pour tout vecteur #» w, il eiste un unique couple de nombres réels (; y) tels que #» w = #» u y #» v. Le couple (; y) est appelé le couple de coordonnées du vecteur #» w dans la base ( #» u; #» v ). Démonstration : Soit A un point du plan et les points B, C et M tels que AB #» = #» u, AC #» = #» v et AM #» = w. #» n applique alors la propriété III-1 à ces quatre points et on admet que le couple (; y) ne dépend pas du point A choisi.

26 IV Eercices Eercice 1 : Reconnaître des vecteurs colinéaires Le plan est muni d un repère (; I; J). Géométrie plane 25 Dans chacun des cas suivants, déterminer si les vecteurs #» u et #» v sont colinéaires. Dans l affirmative, préciser le nombre réel k tel que #» v = k #» u : 1) #» u 2 33 ; 7 22 et #» v 10 7 ; 15 4 ; 2) #» u(5 6; 75) et #» v (2; 2) ; 3) #» u(3 22 ; ) et #» v (3 71 ; 9 12 ). Eercice 2 : Savoir utiliser la colinéarité Dans un repère (; I; J) du plan, on considère les points suivants : A(10; 40), B(50; 45), C(55; 46), D( 25; 36) et E( 10; a) où a est un nombre réel. 1) Déterminer si les points A, B et C sont alignés. Justifier la réponse. 2) Déterminer si le quadrilatère ABCD est un trapèze. Justifier la réponse. 3) Calculer les coordonnées du point E tel que ABCE soit un trapèze. Eercice 3 : Démontrer l alignement de points ABC désigne un triangle. 1) Construire le point D tel que AD #» = 3 AB #» 2 AC. #» 2) Eprimer le vecteurs BC #» en fonction des vecteurs AB #» et AC. #» 3) Eprimer le vecteur BD #» en fonction des vecteurs AB #» et AC. #» 4) En déduire l alignement des points B, C et D. Eercice 4 : Démontrer la nature d un quadrilatère ABC désigne un triangle. 1) Construire le point M tel que AM #» = 1 #» AB 5 #» AC ) Construire le point N tel que AN #» = 2 AB #» AC. #» 3) Eprimer le vecteurs MN #» en fonction des vecteurs AB #» et AC. #» 4) En déduire la nature du quadrilatère BCMN. Eercice 5 : Vecteur directeur et alignement Le plan est muni d un repère (; I; J). n considère les points A(4; 0), B(2; 3), C(2; 1) et E 3; 7 2. Soit #» u le vecteur dont les coordonnées sont #» u(3; 5). 1) a) Tracer la droite (AC). b) Tracer la droite D passant par le point B et ayant #» u comme vecteur directeur. 2) Déterminer si le point E appartient à la droite (AC). Justifier la réponse. 3) Démontrer que le point A n appartient pas à la droite D.

27 26 IV. EXERCICES Eercice 6 : Vecteurs directeurs d une droite Le plan est muni d un repère (; I; J). 1) a) Tracer la droite D passant par le point A(0; 4) et de vecteur directeur #» u(1; 2). b) Déterminer l équation réduite de la droite D. 2) Dans chacun des cas suivants, déterminer le coefficient directeur d une droite dont un vecteur directeur est le vecteur #» v dont les coordonnées sont : a) #» v ( 2; 4) ; b) #» v (3; 7) ; c) #» v 1 4 ; 2. 3) La droite D a pour équation y = a) Préciser un vecteur directeur de la droite D. b) En déduire un vecteur directeur de la droite D dont les coordonnées sont des nombres entiers. c) Tracer la droite D. Eercice 7 : Déterminer une équation cartésienne d une droite Le plan est muni d un repère (; I; J). n considère les points A( 1; 1), B(2; 3), C(3; 5), E( 2; 0, 3) et F ; 2. 2 Soit #» u le vecteur défini par #» u(3; 2). 1) a) Déterminer une équation cartésienne de la droite D 1 passant par le point A et ayant le vecteur #» u comme vecteur directeur. b) Déterminer si les points E et F appartiennent à la droite D 1. Justifier la réponse. 2) Déterminer une équation cartésienne de la droite (BC). 3) Déterminer une équation cartésienne de la droite D 2 parallèle à l ae des ordonnées et passant par le point E. Eercice 8 : Tracer une droite dont on connaît une équation cartésienne Le plan est muni d un repère (; I; J). 1) n considère la droite D 1 dont une équation cartésienne est 3 2y 6 = 0. a) Déterminer un vecteur directeur #» u de cette droite. b) Tracer la droite D 1 en justifiant. 2) Construire la droite D 2 dont une équation cartésienne est 2 5 = 0. Justifier la construction. 3) Déterminer les coordonnées du point D, point d intersection des droites D 1 et D 2, après avoir justifié son eistence. Eercice 9 : Droites et parallélisme Le plan est muni d un repère (; I; J). n considère la droite D 1 dont une équation cartésienne est 3 y 12 = 0. Soit A le point défini par A(5; 1). D 2 est la droite dont l équation réduite est y = ) Déterminer une équation cartésienne de la droite D 3 passant par le point A et parallèle à la droite D 1. 2) Déterminer si les droites D 3 et D 2 sont parallèles en justifiant le raisonnement. Eercice 10 : Reconnaître des droites parallèles ou sécantes Dans le plan rapporté à un repère (; I; J), on considère trois droites dont des équations cartésiennes sont les suivantes : D 1 : y 3 = 0; D 2 : 4 5y 6 = 0; D 3 : 5 2y 3 = 0. Déterminer la position relative de ces trois droites en justifiant les réponses.

28 Eercice 11 : Énigme : La chasse au trésor Géométrie plane 27 Déterminer les coordonnées eactes de l endroit où est caché le trésor suivant sachant que le repère indiqué est orthonormé et que l unité de longueur choisie est le pas. Eercice 12 : Droites parallèles ABC désigne un triangle. Le point M est défini par 2 MA #» 3 MB #» = 3 MC. #» Démontrer que les droites (AM) et (BC) sont parallèles. Eercice 13 : Déterminer les coordonnées d un point dans un repère ABC désigne un triangle. Les points M et N sont définis par AM #» = 2 BC #» et BN #» = AC. #» Déterminer les coordonnées des points M et N dans les repères : 1) (A; AB; #» AC) #» ; 2) (C; CB; #» CA). #» Eercice 14 : Utiliser une décomposition de vecteurs pour démontrer ABC désigne un triangle. Les points M et N sont définis par AM #» = 3 #» AB AC #» et BN #» = 2 #» BC ) Construire la figure. 2) Démontrer que les points A, M et N sont alignés. Eercice 15 : Résolution de problème ABC désigne un triangle rectangle isocèle en A. Les points I et J sont définis par AI #» = 2 AB #» et CJ #» = 3 #» CA. 4 Le point K est le symétrique du point C par rapport au point B. 1) Lire les coordonnées des points de la figure dans le repère (A; AB; #» AC). #» 2) Démontrer que les droites (AK), (BJ) et (CI) sont concourantes en un point dont on déterminera les coordonnées.

29 CHAPITRE 3 ÉTUDE DE FNCTINS Karl Weierstrass I Fonctions de référence déjà connues I.1 Sens de variation d une fonction (rappel) Définition I-1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. f est croissante sur I signifie que, pour tous les nombres u et v de l intervalle I, si u < v alors f(u) f(v). f est décroissante sur I signifie que, pour tous les nombres u et v de l intervalle I, si u < v alors f(u) f(v). f est constante sur I signifie que, pour tous les nombres u et v de l intervalle I, f(u) = f(v). Remarques : Si, pour tous les nombres u et v de l intervalle I, l inégalité u < v implique l inégalité stricte f(u) < f(v), on dit que f est strictement croissante sur I. De même, f est strictement décroissante sur I signifie que, pour tous les nombres u et v de l intervalle I, si u < v alors f(u) > f(v). n peut retenir que : une fonction croissante conserve l ordre (autrement dit, f(u) et f(v) sont dans le même ordre que u et v) ; une fonction décroissante inverse l ordre (autrement dit, f(u) et f(v) sont dans l ordre contraire de celui de u et v). 1. Karl Weierstrass est un mathématicien allemand. Il commence sa carrière comme professeur de lycée puis obtient une chaire de Mathématiques à l Université de Berlin en Surnommé «le père de l analyse moderne», il est à l origine d une très grande rigueur dans la formulation des concepts mathématiques. Un grand nombre de notions d analyse sont ainsi enseignées actuellement avec les notations qu il a utilisées. Ses travau l ont également conduit à construire de nombreuses fonctions jusqu alors inconnues. Étudiant les nombres réels, il donne une construction arithmétique de l ensemble R, construction «attendue» depuis plus de 2000 ans, suite à la découverte des nombres irrationnels par les disciples de Pythagore.

30 I.2 Fonctions affines Étude de fonctions 29 Définition I-2 : n appelle fonction affine une fonction f définie sur R par f() = a b, où a et b sont deu nombres réels fiés. Cas particuliers : Lorsque b = 0, la fonction f définie par f() = a est une fonction linéaire. Lorsque a = 0, la fonction f définie par f() = b est une fonction constante. Propriété I-1 : Soit f une fonction affine définie sur R par f() = a b, où a et b sont deu nombres réels fiés. Si a > 0 alors f est strictement croissante sur R. Si a < 0 alors f est strictement décroissante sur R. Si a = 0 alors f est constante sur R. La représentation graphique de la fonction affine f est une droite non parallèle à l ae des ordonnées dont l équation réduite est y = a b. I.3 Fonction carré Définition I-3 : La fonction carré est la fonction f définie sur R par f() = 2. Propriété I-2 : La fonction carré f est strictement décroissante sur ] ; 0] et strictement croissante sur [0; [. Son tableau de variations est donc donné par : 0 f() 0 Définition I-4 : Dans un repère orthogonal (; I; J), la courbe représentative de la fonction carré est la parabole P de sommet, origine du repère, d équation y = 2. y P J y = 2 I

31 30 II. FNCTIN RACINE CARRÉE Remarque : Les variations de la fonction carré peuvent se traduire ainsi : Les carrés de deu nombres positifs sont rangés dans le même ordre que ces deu nombres (autrement dit, pour tous nombres u et v réels positifs, u < v implique que u 2 < v 2 ). Les carrés de deu nombres négatifs sont rangés dans l ordre contraire de celui de ces deu nombres (autrement dit, pour tous nombres u et v réels négatifs, u < v implique que u 2 > v 2 ). I.4 Fonction inverse Définition I-5 : L ensemble des nombres réels différents de 0 est la réunion d intervalles ] ; 0[ ]0; [, on note cet ensemble de façon plus courte par le symbole R. La fonction inverse est la fonction f définie sur R par f() = 1. Propriété I-3 : La fonction inverse f est strictement décroissante sur ] ; 0[ et elle est également strictement décroissante sur ]0; [. Son tableau de variations est donc donné par : 0 f() Définition I-6 : Dans un repère orthogonal (; I; J), la courbe représentative de la fonction inverse est l hyperbole H d équation y = 1. y H J y = 1 I II Remarque : Les variations de la fonction inverse peuvent se traduire ainsi : Les inverses de deu nombres non nuls de même signe sont rangés dans l ordre contraire de celui de ces deu nombres. Autrement dit, Pour tous nombres u et v réels strictement négatifs, u < v implique que 1 u > 1 v ; Pour tous nombres u et v réels strictement positifs, u < v implique que 1 u > 1 v. Fonction racine carrée Soit a un nombre réel positif ou nul. La racine carrée de a, notée a, est l unique nombre réel positif dont le carré est égal à a.

32 II.1 Étude de fonctions 31 Ainsi, on peut définir la fonction racine carrée sur l ensemble des nombres réels positifs, noté R. Définition II-1 : La fonction racine carrée est la fonction f définie sur R = [0; [ par f() =. Sens de variation Propriété II-1 : La fonction racine carrée f est strictement croissante sur [0; [. Démonstration : Pour démontrer que la fonction racine carrée est strictement croissante sur [0; [, il suffit de prouver que si u et v sont deu nombres positifs tels que 0 u < v, alors u < v. Ainsi, soient deu nombres u et v tels que 0 u < v. n a donc u v < 0. ( u v) ( u v) u v = = u v. u v u v r, u v > 0, puisque une racine carrée est toujours positive ou nulle et v 0. u v Comme u v < 0, par la règle des signes d un quotient, on peut conclure que < 0, u v c est-à-dire u v < 0, ce qui équivaut à u < v. Par conséquent, les images u et v sont rangées dans le même ordre que les nombres positifs u et v. Ainsi, la fonction racine carrée est strictement croissante sur [0; [. Corollaire II-1 : Le tableau de variations de la fonction racine carrée f est donc donné par : f() 0 0 II.2 Représentation graphique Pour la fonction f définie sur [0; [ par f() =, on a le tableau de valeurs suivant : 0 f() Dans un repère orthogonal (; I; J), la courbe représentative de la fonction racine carrée est donnée ci-dessous : y J I y = II.3 Ranger les racines carrées de deu nombres positifs La stricte croissance de la fonction racine carrée sur [0; [ permet d énoncer le résultat suivant : Propriété II-2 : Les racines carrées de deu nombres positifs sont rangées dans le même ordre que ces deu nombres. Autrement dit, u et v étant deu réels positifs, u < v implique que u < v.

33 32 III. FNCTIN VALEUR ABSLUE II.4 Position relative des courbes d équations y =, y = 2 et y = Soient f, g et h les trois fonctions définies sur l intervalle [0; [ par : f() = ; g() = 2 et h() =. n note C f, C g et C h leurs courbes représentatives respectives dans un repère (; I; J). y C g : y = 2 C f : y = J C h : y = I III Graphiquement, on constate que : Les trois courbes ont en commun les points de coordonnées (0; 0) et (1; 1). Sur ]0; 1[, C g est en-dessous de C f qui est elle-même en-dessous de C h. Sur ]1; [, C g est au-dessus de C f qui est elle-même au-dessus de C h. Dans un repère orthonormé, les courbes C g et C h sont symétriques par rapport à C f. La propriété suivante permet de justifier deu de ces constatations : Propriété II-3 : Pour tout ]0; 1[, on a : 2 < <. Pour tout ]1; [, on a : 2 > >. Démonstration : Soit un nombre réel tel que 0 < < 1. D après la stricte croissance de la fonction racine carrée sur [0; [, on peut affirmer que 0 < < 1, c est-à-dire 0 < < 1. En multipliant cette inégalité par, qui est un nombre strictement positif, on obtient un inégalité ayant le même sens : 0 < < 1 soit 0 < <. D après la stricte croissance de la fonction carrée sur [0; [, on peut donc affirmer que 0 2 < 2 < ( ) 2 c est-à-dire 0 < 2 <. À partir des deu inégalités précédentes, on peut ainsi conclure que, pour tout tel que 0 < < 1, on a : 2 < <. Soit un nombre réel tel que > 1. D après la stricte croissance de la fonction racine carrée sur [0; [, on peut affirmer que > 1, c est-à-dire > 1. En multipliant cette inégalité par, qui est un nombre strictement positif, on obtient un inégalité ayant le même sens : > 1 soit > > 1. D après la stricte croissance de la fonction carrée sur [0; [, on peut donc affirmer que 2 > ( ) 2 c est-à-dire 2 >. À partir des deu inégalités précédentes, on peut ainsi conclure que, pour tout tel que > 1, on a : 2 > >. Fonction valeur absolue III.1 Valeur absolue d un nombre réel La valeur absolue d un nombre réel positif est égale à ce même nombre. La valeur absolue d un nombre réel négatif est égale à l opposé de ce nombre. Par eemple, la valeur absolue de 5 est égale à 5 et la valeur absolue de 3 est égale à 3.

34 Étude de fonctions 33 Ainsi la valeur absolue d un nombre réel est toujours positive et peut s eprimer ainsi : Définition III-1 : La valeur absolue d un nombre réel est le nombre noté et défini par = si 0 si 0. Eemples : 2 π = (2 π) = π 2 car 2 π < π = 10 π car 10 π > 0. Propriété III-1 : Une valeur absolue est toujours positive ou nulle : Pour tout réel, 0. Deu nombres opposés ont la même valeur absolue : Pour tout réel, =. La seule valeur absolue nulle est celle de zéro : = 0 si et seulement si = 0. Deu nombres réels ont la même valeur absolue si et seulement s ils sont égau ou opposés : = y si et seulement si = y ou = y. Pour tout nombre réel, 2 =. Démonstration : Les quatre premiers points sont des conséquences directes de la définition de la valeur absolue. Pour le dernier point, par définition de la racine carrée, 2 est le nombre positif dont le carré vaut 2. Mais, ne peut être ce nombre puisque l on ne connaît pas son signe. r, on sait que 2 = 2 (que soit positif ou négatif) et 0. Ainsi, l unique nombre positif dont le carré vaut 2 est. Par conséquent, pour tout réel, 2 =. Remarque : Sur la droite numérique graduée d unité I, si M est le point d abscisse, alors la valeur absolue de est la distance du point M au point, à savoir la longueur M. III.2 Étude de la fonction valeur absolue Définition III-2 : La fonction valeur absolue est la fonction f définie sur R par f() =. Remarque : Par définition de la valeur absolue d un nombre, la fonction valeur absolue est une fonction affine «par morceau». En effet, ] ; 0], f() = ; [0; [, f() =. Sens de variation Propriété III-2 : La fonction valeur absolue f est strictement décroissante sur ] ; 0] et strictement croissante sur [0; [. Démonstration : Ceci résulte directement du fait que, sur ] ; 0], f est la fonction affine strictement décroissante définie par f() =. De plus, sur [0; [, f est la fonction affine strictement croissante définie par f() =.

35 34 IV. SENS DE VARIATIN DES FNCTINS ASSCIÉES Corollaire III-2 : Le tableau de variations de la fonction valeur absolue f est donc donné par : f() 0 0 Représentation graphique Dans un repère orthogonal (; I; J), la courbe représentative de la fonction valeur absolue est la réunion des demi-droites données ci-dessous : y y = = M M J I Propriété III-3 : Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction valeur absolue est symétrique par rapport à l ae des ordonnées. Démonstration : Soit M(; ) un point de cette courbe représentative. n a =, donc le point M ( ; ) a la même ordonnée que celle du point M mais une abscisse opposée à celle du point M. Ainsi, les deu points M et M sont symétriques par rapport à l ae des ordonnées. IV IV.1 Sens de variation des fonctions associées Fonction u k Définition IV-1 : Soit u une fonction définie sur un intervalle I de R. Soit k un nombre réel fié. La fonction notée u k est la fonction définie sur I par : (u k)() = u() k, pour tout I. Eemple : Soit u la fonction carré définie sur R par u() = 2. Alors, la fonction notée u 3 est la fonction définie sur R par (u 3)() = u() 3 = 2 3, pour tout nombre réel. Propriété IV-1 : Soit u une fonction définie sur un intervalle I de R et soit k un nombre réel fié. Les fonctions u et u k ont le même sens de variation sur l intervalle I.

36 Étude de fonctions 35 Démonstration : Supposons que la fonction u soit croissante sur l intervalle I. Soient 1 et 2 deu nombres réels dans l intervalle I tels que 1 2. Comme u est croissante sur I, on a u( 1 ) u( 2 ). En ajoutant le nombre k au deu membres de l inégalité, on obtient u( 1 ) k u( 2 ) k, c est -à-dire (u k)( 1 ) (u k)( 2 ). Ainsi, la fonction u k est croissante sur l intervalle I. Supposons que la fonction u soit décroissante sur l intervalle I. Soient 1 et 2 deu nombres réels dans l intervalle I tels que 1 2. Comme u est décroissante sur I, on a u( 1 ) u( 2 ). En ajoutant le nombre k au deu membres de l inégalité, on obtient u( 1 )k u( 2 )k, c est -à-dire (uk)( 1 ) (uk)( 2 ). Ainsi, la fonction u k est décroissante sur l intervalle I. Propriété IV-2 : Le plan est muni d un repère (; #» i ; #» j ). Soit u une fonction définie sur un intervalle I de R et soit k un nombre réel fié. La courbe représentative de la fonction u k est l image de la courbe représentative de la fonction u par une translation de vecteur k #» j. Démonstration : M y u() k k #» j M u() #» j #» i C C n appelle C la courbe de la fonction u et C la courbe de la fonction u k. Soit un nombre appartenant à l intervalle I. Le point M(; u()) est un point de la courbe C. De plus, le point M (; u() k) appartient à la courbe C car (u k)() = u() k ; il a aussi la même abscisse que le point M. Le vecteur MM #» a pour coordonnées (0; k) et le point M est l image du point M par la translation de vecteur k #» j. Ce raisonnement est valable quel que soit le réel dans I, c est-à-dire pour tout point M de la courbe C. Ainsi la courbe C est obtenue à partir de la courbe C par la translation de vecteur k #» j. IV.2 Fonction ku Définition IV-2 : Soit u une fonction définie sur un intervalle I de R. Soit k un nombre réel fié. La fonction notée ku est la fonction définie sur I par : (ku)() = k u(), pour tout I.

37 36 IV. SENS DE VARIATIN DES FNCTINS ASSCIÉES Eemple : Soit u la fonction carré définie sur R par u() = 2. Alors, la fonction notée 2u est la fonction définie sur R par ( 2u)() = 2 u() = 2 2, pour tout nombre réel. Propriété IV-3 : Soit u une fonction définie sur un intervalle I de R et soit k un nombre réel non nul fié. Si k > 0, alors les fonctions u et ku ont le même sens de variation sur l intervalle I. Si k < 0, alors les fonctions u et ku ont des sens de variation contraires sur l intervalle I. Démonstration : Supposons, par eemple, que la fonction u soit décroissante sur l intervalle I et que k soit strictement positif. Soient 1 et 2 deu nombres réels dans l intervalle I tels que 1 2. Comme u est décroissante sur I, on a u( 1 ) u( 2 ). En multipliant les deu membres de l inégalité par le nombre k > 0, on obtient ku( 1 ) ku( 2 ), c est -à-dire (ku)( 1 ) (ku)( 2 ). Ainsi, la fonction ku est décroissante sur l intervalle I. La démonstration est similaire dans les trois autres cas (selon le sens de variation de u et le signe de k). Eemple : Comme la fonction racine carrée est strictement croissante sur [0; [, à l aide de la propriété précédente, on peut affirmer que la fonction 2 est strictement décroissante sur [0; [ car 2 < 0. Propriété IV-4 : Le plan est muni d un repère orthogonal (; #» i ; #» j ). Soit u une fonction définie sur un intervalle I de R et soit k un nombre réel non nul fié. La courbe représentative de la fonction ku s obtient en multipliant par k l ordonnée y de chaque point de la courbe de la fonction u. Eemples : y y = 3 2 y y = 2 J y = 2 J I I y = Les fonctions u, v et w sont définies sur R par u() = 2, v() = 3 2 et w() = y = 2 Lorsque k = 1, les courbes représentatives de u et de u sont symétriques par rapport à l ae des abscisses.

38 IV.3 Fonction u Étude de fonctions 37 Définition IV-3 : Soit u une fonction définie sur un intervalle I de R telle que, pour tout nombre réel de l intervalle I, u() 0. La fonction racine carrée de u, notée u, est la fonction définie sur I par : ( u)() = u(), pour tout I. Eemple : Soit u la fonction définie sur R par u() = 2 3. Pour tout réel, on a bien u() 0. Alors, la fonction notée u est la fonction définie sur R par ( u)() = u() = 2 3, pour tout nombre réel. Propriété IV-5 : Soit u une fonction définie sur un intervalle I de R telle que, pour tout nombre réel de l intervalle I, u() 0. Les fonctions u et u ont le même sens de variation sur l intervalle I. Démonstration : Supposons que la fonction u soit croissante sur l intervalle I et à valeurs positives. Soient 1 et 2 deu nombres réels dans l intervalle I tels que 1 2. Comme u est croissante et à valeurs positives sur I, on a : 0 u( 1 ) u( 2 ). La fonction racine carrée étant croissante sur [0; [, on obtient u( 1 ) u( 2 ), c està-dire ( u)( 1 ) ( u)( 2 ). Ainsi, la fonction u est croissante sur l intervalle I. Supposons que la fonction u soit décroissante sur l intervalle I et à valeurs positives. Soient 1 et 2 deu nombres réels dans l intervalle I tels que 1 2. Comme u est décroissante et à valeurs positives sur I, on a : u( 1 ) u( 2 ) 0. La fonction racine carrée étant croissante sur [0; [, on obtient u( 1 ) u( 2 ), c està-dire ( u)( 1 ) ( u)( 2 ). Ainsi, la fonction u est décroissante sur l intervalle I. IV.4 Fonction 1 u Définition IV-4 : Soit u une fonction définie sur un intervalle I de R telle que, pour tout nombre réel de l intervalle I, u() 0. La fonction inverse de u, notée 1, est la fonction définie sur I par : u 1 = u () 1, pour tout I. u()

39 38 IV. SENS DE VARIATIN DES FNCTINS ASSCIÉES Eemple : Soit u la fonction définie sur R par u() = 2 3. Pour tout réel, on a bien u() 0. Alors, la fonction notée 1 est la fonction définie sur R par 1 = u u () 1 u() = 1 2, pour tout 3 nombre réel. Propriété IV-6 : Soit u une fonction définie sur un intervalle I de R telle que, pour tout nombre réel de l intervalle I, u() > 0. Les fonctions u et 1 ont des sens de variation contraires sur l intervalle I. u Soit u une fonction définie sur un intervalle I de R telle que, pour tout nombre réel de l intervalle I, u() < 0. Les fonctions u et 1 u ont des sens de variation contraires sur l intervalle I. Dans cette propriété, il est impératif que la fonction u garde un signe constant sur l intervalle I sinon on ne peut pas conclure. Démonstration : Supposons, par eemple, que la fonction u soit décroissante sur l intervalle I et telle que u() > 0, pour tout réel de I. Soient 1 et 2 deu nombres réels dans l intervalle I tels que 1 2. Comme u est décroissante sur I, on a u( 1 ) u( 2 ) > 0, puisque u est à valeurs strictement positives. La fonction inverse étant décroissante sur ]0; [, on obtient 1 1 ) 1 2 ). u ( u ( 1 u( 1 ) 1 u( 2 ), c est-à-dire Ainsi, la fonction 1 est croissante sur l intervalle I. u La démonstration est similaire dans les trois autres cas (selon le sens de variation de u et le signe de u()). Dans chaque cas, la fonction 1 a le sens de variation contraire à celui de la fonction u sur l intervalle u I. Remarque : Soient u et v deu fonctions définies sur un même intervalle I. n définit sur l intervalle I la fonction somme de u et de v que l on note u v par (u v)() = u() v(), pour tout appartenant à I. De même, on définit sur l intervalle I la fonction produit de u et de v que l on note u v par (u v)() = u() v(), pour tout appartenant à I. La somme de deu fonctions ayant le même sens de variation sur un intervalle I est une fonction possédant le sens de variation commun à ces deu fonctions sur l intervalle I. Cependant, si les fonctions u et v n ont pas le même sens de variation sur l intervalle I, alors on ne peut rien dire a priori sur le sens de variation de la fonction somme u v. En outre, il n eiste pas non plus de propriété générale donnant le sens de variation du produit de deu fonctions à partir du sens de variation de celles-ci.

40 V Eercices Étude de fonctions 39 Eercice 1 : Comparer des nombres en utilisant les fonctions usuelles Dans chacun des cas suivants, comparer les nombres donnés sans les calculer mais en justifiant le raisonnement : 1) ( 7 4) 2 et ( 7 3) 2 1 ; 2) π 4 et 1 π 5 ; 3) 1 1 et ; ) et 0, 01 ; 5) π 2 et 5 ; 6) 3 5 et Eercice 2 : Résolution graphique d inéquations À l aide de la courbe représentative de la fonction racine carrée, résoudre les inéquations suivantes : 1) < 3 ; 2) Eercice 3 : Ensemble de définition Soit f la fonction définie par f() = ) Le nombre 5 admet-il une image par la fonction f? Justifier. 2 2) Déterminer l ensemble de définition D f de la fonction f. Eercice 4 : Utiliser le sens de variation de la fonction racine carrée Démontrer que, pour tout nombre réel appartenant à [0; [, on a : Eercice 5 : Productions d élèves Un professeur à demander à ses élèves de résoudre dans R l inéquation 1 2. Il a relevé les trois copies ci-dessous. 1) Corriger les erreurs commises par ces trois élèves en annotant leurs copies ; 2) Proposer une résolution åº 2º ÓäÒ Ðè ãò ãñ Ð ê ³ ع ¹ Ö Ä ÓäÒ Ø ÓäÒ âòâú Ö Ø Ö Ó âò Ø 2º ÓäÒ Ðè ãò ¹ eacte de l inéquation proposée. Simon : Julie : 1 2 Õ Ù âú Ù Ø ³ Ó 1 ÓäÒ 1 2 Õ Ù âú Ù Ø 1 Ó Ð Ù Ø ÓäÒ ê Øå1 2 ; ãñ Ð ê Ó Ð Ù Ø ÓäÒ ê Øå1 0º 0 åº 2 ; 1 ³ ع ¹ Ö 2 1 David : 1 2 Õ Ù âú Ù Ø åº ÓäÒ S =] ; 0] å1 2 ;

41 40 V. EXERCICES Eercice 6 : Comparer deu nombres n se propose de comparer les nombres A = 1, et B = 1, ) a) À l aide de la calculatrice, préciser la valeur affichée pour le nombre B. b) Vérifier qu il eiste un nombre réel strictement positif a tel que A = 1 a 2 et B = 1 a. 2) n désigne par f et g les fonctions définies sur ]0; [ par f() = 1 2 et g() = 1. a) Pour tout nombre réel appartenant à ]0; [, comparer (f()) 2 et (g()) 2. b) En déduire que, pour tout nombre réel de ]0; [, g() < f(). 3) a) À l aide de la question précédente, déterminer si les nombres A et B sont égau. S ils ne le sont pas, déterminer lequel des deu est le plus grand. b) Epliquer le résultat donné par la calculatrice. c) Vérifier la conclusion avec le logiciel de calcul formel Xcas. Eercice 7 : Sens de variation d une fonction Soit f la fonction définie sur [0; [ par f() = 3. Démontrer que la fonction f est strictement décroissante sur [0; [. Eercice 8 : Position relative de deu courbes 1) Justifier que, pour tout réel strictement négatif, on a 1 < 2. 2) À l aide de la calculatrice, émettre une conjecture concernant la position relative de l hyperbole d équation y = 1 et de la parabole d équation y = 2, pour strictement positif. 3) Démontrer la conjecture précédente, soit en utilisant les variations des fonctions carré et inverse, soit en étudiant le signe de la différence 2 1, pour strictement positif. Eercice 9 : Énigme : ptimisation Dans un repère orthonormé (; I; J), on appelle C la courbe représentative de la fonction racine carrée. n considère le point fie A défini par ses coordonnées A(2; 0). M désigne un point variable situé sur la courbe C. y J I A M C Déterminer la position du point M de la courbe C qui est le plus proche du point A. n donnera la réponse en donnant les coordonnées du point solution. Remarque : Toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte. Eercice 10 : Comparer des nombres Dans chacun des cas suivants, comparer les nombres donnés sans les calculer mais en justifiant le raisonnement : 1) π 3 ; π 3 et (π 3) 2 ; 2) π 3 ; π et π

42 Eercice 11 : Comparer des nombres Étude de fonctions 41 n considère le nombre A = ) Calculer ( 2 1) 2. En déduire la valeur de A. 2) Calculer A 2. 3) Sans calculatrice, comparer les nombres réels 2 1 ; et Eercice 12 : Valeur absolue Déterminer les valeurs absolues des nombres suivants : 6 7 ; ( 1) 2011 ; 10 3 ; Eercice 13 : Valeur absolue À l aide des variations de la fonction valeur absolue, préciser à quel intervalle appartient lorsque : 1) [0; 5[ ; 2) [ 3; 1] ; 3) [ 2; 7]. Eercice 14 : Résolution d (in)équations - Valeur absolue 1) Résoudre dans R les équations suivantes : a) = 3 ; b) = 1 ; c) = π. 2) Résoudre graphiquement les inéquations suivantes : a) 4 ; b) > 5 ; c) < 1. Eercice 15 : Sens de variation des fonctions associées Après avoir précisé leurs ensembles de définition, dresser le tableau de variation des fonctions suivantes en justifiant : 1) f() = ; 2) g() = 2 ; 3) h() = 3 ; 4) u() = 1 5. Eercice 16 : Sens de variation des fonctions associées Après avoir précisé leurs ensembles de définition, dresser le tableau de variation des fonctions suivantes en justifiant : 1) f() = 3 2 ; 2) g() = π ; 2 1 3) h() = ; 4) u() = 2. Eercice 17 : Reconnaître les courbes des fonctions associées Ci-dessous, on a tracé en bleu, dans un repère orthonormé (; #» i ; #» j ), la courbe C d une fonction u définie sur l intervalle [ 4; 4]. n a également tracé les courbes représentatives des fonctions 3 2 u, u 2 et 1 2 u. Associer les courbes C 1, C 2 et C 3 au trois fonctions précédentes. y C C 1 C 2 #» j #» i C 3

43 42 V. EXERCICES Eercice 18 : Sens de variation des fonctions associées n donne ci-dessous le tableau de variation d une fonction u définie sur l intervalle [ 7; 4] : u() En déduire le tableau de variation de la fonction f définie sur [ 7; 4] par f() = u(). Eercice 19 : Déterminer les variations d une fonction Soit f la fonction définie sur ]3; [ par f() = Déterminer le sens de variation de la fonction f sur ]3; [ en utilisant le sens de variation des fonctions associées. Eercice 20 : Déterminer les variations d une fonction Dresser le tableau de variation de chacune des fonctions suivantes en justifiant la réponse : 1) f() = 1 2 sur ]0; [ ; 2) g() = sur R ; 3) h() = 2 3 sur ]3; [ ; 4) u() = 2 sur ] ; 2].

44 CHAPITRE 4 STATISTIQUES DESCRIPTIVES Adrien-Marie Legendre Le rôle des statistiques descriptives est de présenter une masse de données sous une forme lisible. Puis, si cela est possible, celle-ci est résumée à l aide de différents nombres caractéristiques (appelés aussi paramètres) tels que la médiane, la moyenne, et bien d autres... Dans tout ce chapitre, les séries étudiées sont des séries statistiques dont le caractère est quantitatif. Pour définir les notions étudiées, on considère la série statistique eposée dans le tableau suivant : Valeurs 1 2 p Effectif n 1 n 2 n p I Paramètres de position d une série statistique Les paramètres de position (ou indicateurs de tendance centrale) d une série statistique sont des valeurs numériques qui «résument» la série en caractérisant l ordre de grandeur des observations. Ils s epriment dans la même unité que ces dernières. I.1 Moyenne Définition I-1 : La moyenne d une série statistique est le nombre, noté, défini par : = n 1 1 n 2 2 n p p N où N est l effectif total défini par N = n 1 n 2 n p. 1. Adrien-Marie Legendre est un mathématicien français. Il est professeur de Mathématiques à l École militaire de Paris puis à l École normale supérieure. Il est également membre de la Commission internationale qui fait adopter le système métrique. Parmi ses nombreu travau, il epose, dans un traité sur les orbites des comètes, la méthode d ajustement dite des moindres carrés. Cette méthode, utilisée dans le cadre des statistiques à deu variables, permet d approcher «au mieu» un nuage de points par une droite, en minimisant la somme des carrés des écarts entre les points du nuage et ceu de la droite. Ses travau traitent également de la mécanique, de la théorie des nombres,... Dans son livre Éléments de géométrie, il démontre l irrationalité de π 2, ce qui établit celle de π par une démonstration bien plus simple que celle de Lambert. Cet ouvrage, publié en 1794, reste un ouvrage de référence pendant près d un siècle. Il y reprend les Éléments, œuvre majeure d Euclide, en leur donnant un nouvel ordonnancement et simplifie de nombreuses propositions. Ce livre aura un écho énorme dans les pays anglophones, puisque sa traduction connaitra une trentaine d éditions.

45 44 I. PARAMÈTRES DE PSITIN D UNE SÉRIE STATISTIQUE Remarque : Pour écrire des sommes dont le nombre de termes est élevé ou inconnu, on peut utiliser une notation nouvelle. Ainsi, on écrit : = 1 n i i avec N = n i = n 1 n 2 n p. N p i=1 p i=1 Le symboleèse lit «sigma» et l écriture n i i se lit «somme de i = 1 à p de n i i». p i=1 Elle indique qu il faut additionner tous les termes situés à droite du signe «sigma», de i = 1 jusqu à i = p. Ainsi, n i i est égale à n 1 1 n 2 2 n p p. p i=1 Eemple : Dans tout ce chapitre, tous les eemples s appuient sur la série statistique suivante : n considère une liste de températures (en C), relevées sous abri, à différents moments d une journée. Les données sont rangées dans l ordre croissant : 3,8-4,5-4, ,5-5,8-5,8-6, ,3-8,2-9,2-9,2-9,2. La moyenne de cette série statistique est donnée par : 3, 8 4, 5 4, 8 5 5, 5 2 5, 8 6, 2 7 7, 3 8, 2 3 9, 2 = = 91, Ainsi la température moyenne est environ de 6,54 C. I.2 Médiane Définition I-2 : La médiane d une série statistique est le nombre noté M qui partage la population en deu groupes de telle sorte que : au moins 50 % des individus ont une valeur du caractère inférieure ou égale à la médiane M ; et au moins 50 % des individus ont une valeur supérieure ou égale à la médiane M. Remarque : En pratique, pour déterminer la médiane d une série statistique, on procède ainsi : n range la liste des N valeurs dans l ordre croissant, chaque valeur figurant un nombre de fois égal à son effectif. Si l effectif total N est impair, alors la médiane M est la valeur de la série située au rang N1 2. Si l effectif total N est pair, alors la médiane M est la demi-somme des valeurs de la série de rang N 2 et de rang N 2 1. Eemple : Avec la série statistique précédente, il est facile de déterminer la médiane M puisque la série est ordonnée dans l ordre croissant. Elle comporte 14 valeurs. 14 étant un nombre pair, la médiane est égale à la demi-somme de la septième et la huitième valeur. Ainsi, M = 5,86,2 2 = 12 2 = 6. La température médiane est donc égale à 6 C. n constate que ce n est pas une valeur de la série statistique initiale. I.3 Quartiles Définition I-3 : La liste des valeurs de la série statistique étant rangée dans l ordre croissant, on définit : Le premier quartile Q 1 est le plus petit élément des valeurs de la série statistique tel qu au moins un quart des données sont inférieures ou égales à Q 1. Le troisième quartile Q 3 est le plus petit élément des valeurs de la série statistique tel qu au moins les trois quarts des données sont inférieures ou égales à Q 3.

46 Statistiques Descriptives 45 Remarque : En pratique, pour déterminer les quartiles d une série statistique, on procède ainsi : n range la liste des N valeurs de la série dans l ordre croissant, chaque valeur figurant un nombre de fois égal à son effectif. Si N 4 est un entier, le premier quartile Q 1 est la valeur de la série située au rang N 4 et le troisième quartile Q 3 est la valeur de la série située au rang 3N 4. Si N 4 n est pas un entier, le premier quartile Q 1 est la valeur de la série située au rang immédiatement supérieur à N 4 et le troisième quartile Q 3 est la valeur de la série située au rang immédiatement supérieur à 3N 4. Eemple : Dans l eemple proposé, la série statistique comporte 14 valeurs rangées dans l ordre croissant. r, 14 4 = 3, 5. Le premier quartile est égal à la quatrième valeur de la série ordonnée : Q 1 = 5 C. De même, = 10, 5. Le troisième quartile est égal à la onzième valeur de la série ordonnée : Q 3 = 8, 2 C. La médiane M et les quartiles Q 1 et Q 3 sont des paramètres de position. Ils permettent un partage de la population suivant le schéma suivant : Au moins 50 % des valeurs Au moins 50 % des valeurs min Q 1 M Q 3 ma Au moins 25 % des valeurs Au moins 50 % des valeurs Au moins 25 % des valeurs II Eemple : Dans l eemple, il y a quatre valeurs inférieures ou égales à 5 C sur les 14 valeurs de la série. Ceci représente environ 28,6 %. Ce pourcentage dépasse donc bien 25 %. De même, il y a huit valeurs appartenant à l intervalle [Q 1 ; Q 3 ] sur les 14 valeurs. Ceci représente environ 57,1 %. Ce pourcentage dépasse donc bien 50 % des valeurs de la série. Paramètres de dispersion d une série statistique Les paramètres de dispersion sont des valeurs numériques qui permettent de «mesurer» la répartition des valeurs d une série statistique. II.1 Étendue Définition II-1 : L étendue, notée e, d une série statistique est la différence entre la valeur maimale et la valeur minimale du caractère de la série statistique : e = ma min. Remarque : Cet indicateur mesure la dispersion de la série statistique de façon grossière puisque seules les valeurs etrêmes sont prises en compte. Eemple : Dans la série des quatorze températures, l étendue e est égale à 9, 2 3, 8 = 5, 4 C. Ce paramètre mesure ici l écart entre les températures etrêmes.

47 46 II. PARAMÈTRES DE DISPERSIN D UNE SÉRIE STATISTIQUE II.2 Écart interquartile Définition II-2 : L écart interquartile d une série statistique est l amplitude Q 3 Q 1 de l intervalle interquartile [Q 1 ; Q 3 ] où Q 1 et Q 3 désignent le premier et le troisième quartile de la série. Il permet de mesurer la dispersion des valeurs de la série autour de la médiane. Eemple : Nous avons calculé précédemment le premier quartile Q 1 = 5 et le troisième quartile Q 3 = 8, 2. Ainsi, l écart interquartile est égal à Q 3 Q 1 = 8, 2 5 = 3, 2 C. Il est souvent utilisé pour comparer des séries statistiques entre elles. II.3 Variance et écart-type Alors que l écart interquartile permet de mesurer la dispersion des valeurs de la série statistique autour de la médiane, nous allons définir deu nouveau indicateurs qui permettent de mesurer la dispersion des valeurs de la série autour de la moyenne : la variance puis l écart-type. En effet, si l on cherche à mesurer la dispersion des valeurs de la série statistique autour d un réel quelconque, on peut considérer la fonction de dispersion f définie sur R par f() = 1 n i ( i ) N p i=1 2 où N est l effectif total défini par N = n 1 n 2 n p. Cette fonction f est la moyenne des carrés des «écarts entre les valeurs de la série et la valeur». C est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient du terme en degré 2 est positif et est égal à 1. En effet, en développant f(), on obtient : f() = 1 N n i p i=1 2 i 1 N 2n i i p i=1 2 1 N n i. Comme p i=1 N = n i et = p i=1 1 N n i i, après simplification, on obtient : f() = p i=1 1 N n i p i=1 2 i 2 2 soit f() = N n i p i=1 2 i. Cette fonction polynôme du second degré admet donc un minimum, nommé variance V de la série statistique, et, précisément, ce minimum est atteint lorsque la valeur est égale à la moyenne de la série statistique. En effet, en identifiant f() sous la forme f() = a 2 b c, on obtient a = 1, b = 2 et c = 1 n i N p i=1 2 i. n sait que le minimum de f est atteint en b 2., soit ici en 2a 2 1 =. Ainsi la moyenne de la série est le nombre réel qui rend minimale la somme des carrés des écarts au valeurs de la série. n définit donc naturellement la notion de variance, mesurant la dispersion des valeurs de la série autour de la moyenne, de la façon suivante : Variance Définition II-3 : La variance d une série statistique de moyenne est le nombre, noté V, défini par : V = n 1( 1 ) 2 n 2 ( 2 ) 2 n p ( p ) 2 N où N est l effectif total défini par N = n 1 n 2 n p. Remarque : Avec les définitions précédentes, on a : V = 1 N n i ( i ) p i=1 2 où N = n i désigne l effectif total. p i=1 La variance d une série statistique est donc la moyenne des carrés des «écarts entre les valeurs de la série et la moyenne». C est un nombre positif ou nul.

48 Statistiques Descriptives 47 Eemple : Dans le cas de la série statistique des 14 températures, comme la moyenne est égale à 91,5 14, le calcul de la variance V s effectue ainsi : V = 3, 8 91, , 5 91, , 2 91, = = 617, Ainsi la variance V est environ égale à 3,15. Notons que l unité de la variance n est pas ici le C mais le ( C) 2 puisque nous avons ajouté des températures élevées au carré. Propriété II-1 : La variance V d une série statistique peut aussi s eprimer sous la forme : V = 1 N n i p i=1 2 i 2 où N est l effectif total défini par N = n 1 n 2 n p. Démonstration : V = 1 N n i ( i ) p i=1 2 (Définition de la variance) V = 1 N n i ( p i=1 2 i 2 i 2 ) (En utilisant une identité remarquable) V = 1 N (n i p i=1 2 i 2n i i n i 2 ) (En développant) V = 1 N n i p i=1 2 i 1 N 2n i i p i=1 1 N n i p i=1 2 (En réécrivant l égalité) V = 1 N n i p i=1 2 i 2 1 N n i i p i=1 2 1 N n i (En factorisant) p i=1 V = 1 N n i p i=1 2 i 2 2 (Car 1 N n i i = et p i=1 n i = N) p i=1 V = 1 N n i p i=1 2 i 2 (En simplifiant) Remarque : Cette propriété fournit une deuième formule pour calculer la variance qui comporte moins d opérations que la première. Eemple : Reprenons le calcul de la variance avec cette formule, sachant que = 91,5 14. Ainsi V = 3, 82 4, , , , 85 91, = 91, = V = 617, , 15. Nous constatons que ce calcul, même s il reste assez long, est plus rapide que celui réalisé avec la définition initiale de la variance.

49 48 III. DIAGRAMME EN BÎTE Écart-type III Définition II-4 : L écart-type d une série statistique de variance V est le nombre, noté s, défini comme racine carrée de la variance par s = V. Remarques : L intérêt essentiel de l écart-type s par rapport à la variance V est son unité : seul l écart-type s eprime dans la même unité que celle du caractère étudié. De plus, l écart-type est le nombre positif ou nul tel que s 2 = V. Pour des séries statistiques prenant un grand nombre de valeurs, le calcul de l écart-type étant complee, on utilise la calculatrice ou l ordinateur. Eemple : La variance V étant égale à 617,85 196, l écart-type s de la série statistique étudiée est tel que s = 617, Ainsi, l écart-type de la série des températures est s 1, 78 C. Il mesure la dispersion des quatorze valeurs de la série statistique autour de la moyenne 6, 54 C. Diagramme en boîte La répartition des données d une série statistique peut être représentée par un diagramme qui résume le caractère étudié par les valeurs etrêmes, la médiane et les quartiles. Définition III-1 : n appelle diagramme en boîte d une série statistique la représentation graphique ci-contre. min Q 1 M Q 3 Écart interquartile Étendue ma Une échelle étant choisie, le diagramme en boîte est constitué d une boîte rectangulaire dont les etrémités sont le premier et le troisième quartile : Q 1 et Q 3. Cette boîte est partagée par un trait vertical représentant la médiane M. Elle est prolongée de chaque côté par deu segments, appelés communément les «moustaches», dont les etrémités sont les valeurs etrêmes de la série : min et ma. Remarques : La hauteur de la boite rectangulaire tracée est arbitraire. Au moins 50 % des valeurs de la série se situent dans l intervalle interquartile. Un tel diagramme illustre la dispersion de la moitié des valeurs de la série autour de la médiane. La superposition de plusieurs diagrammes en boîtes se révèle pertinente pour comparer plusieurs séries statistiques étudiant le même caractère sur des populations différentes. Ce type de diagramme s appelle aussi diagramme en boîte à moustaches, ou également diagramme de Tukey, du nom du statisticien américain John Wilder Tukey ( ).

50 Statistiques Descriptives 49 Eemple : Dans l eemple traité tout au long de ce chapitre, le diagramme en boîte correspondant au températures relevées, sous abri, à différents moments d une journée est le suivant : IV n y retrouve : Températures (en C) min = 3, 8 C ; ma = 9, 2 C ; Q 1 = 5 C ; Q 3 = 8, 2 C ; M = 6 C. Choisir un résumé d une série statistique Si l on souhaite retenir un seul nombre pour résumer une série statistique, on choisit un indicateur de position (ou indicateur de tendance centrale) parmi la médiane ou la moyenne. Si l on souhaite aussi rendre compte de la répartition des valeurs autour de cette valeur centrale, on lui associe un indicateur de dispersion : l écart interquartile ou l écart type. n obtient ainsi deu couples (M; Q 3 Q 1 ) et (; s) qui sont deu résumés d une série statistique. Ils ne prétendent pas restituer toute l information de la série statistique mais ils permettent d en synthétiser l essentiel et de faciliter la comparaison de plusieurs séries. IV.1 Le couple (Médiane ; Écart interquartile) Le couple (M; Q 3 Q 1 ) donne à la fois : un indicateur de position de la série : la médiane M ; un indicateur de dispersion : la longueur de l intervalle interquartile Q 3 Q 1 qui contient au moins la moitié «centrale» des valeurs de la série. Plus l écart interquartile Q 3 Q 1 est faible, plus les valeurs centrales de la série sont concentrées autour de la médiane M. IV.2 Le couple (Moyenne ; Écart type) Le couple (; s) donne à la fois : un indicateur de position de la série : la moyenne ; un indicateur de dispersion : l écart type s, qui fait intervenir les carrés des écarts à la moyenne de toutes les valeurs de la série. Plus l écart type s est faible, plus les valeurs de la série sont concentrées autour de la moyenne. IV.3 Choi du couple d indicateurs Le couple (M; Q 3 Q 1 ) est assez facile à interpréter. De plus, il a l avantage d être très peu sensible au valeurs etrêmes de la série statistique qui peuvent parfois être suspectes (valeurs aberrantes). En effet, dans la plupart des cas, si l on retire à une série statistique ses deu valeurs etrêmes, la médiane et les quartiles ne sont pas modifiés. Cependant, ce couple ne se prête pas trop à des calculs algébriques pour permettre d établir différentes propriétés. Par eemple, à la différence de la moyenne, on ne peut pas déterminer la médiane d une série statistique connaissant la médiane de deu sous-séries disjointes constituant la série initiale. En revanche, le couple (; s) se prête bien au calculs algébriques. Mais ces deu indicateurs prennent en compte toutes les valeurs de la série statistique. C est la raison pour laquelle ils sont sensibles au valeurs etrêmes de la série. Le choi de ce couple n est donc pas pertinent lorsque l influence des valeurs etrêmes est trop forte. En conclusion, il n eiste pas de règle (au sens mathématique) qui indique quel type d indicateur statistique utiliser par rapport à une situation donnée. Le choi des indicateurs dépend de ce qu on veut en faire et de la réalité de la situation. Les remarques effectuées ci-dessus conduisent juste à privilégier tel couple plus que tel autre en fonction de la situation rencontrée.

51 50 V. EXERCICES V Eercices Eercice 1 : Diagrammes en boîte ou non? Un diagramme en boîte a, en général, l aspect suivant : Préciser s il est possible qu un diagramme en boîte ait l un des aspects suivants. n justifiera la réponse. 1) 2) 3) 4) Eercice 2 : Utiliser la calculatrice pour tracer un diagramme en boîte Un zoologiste étudie une espèce commune de papillon européen, le paon de jour. Voici des mesures de l envergure de ce papillon. Envergure (en mm) Effectif ) Avec la calculatrice, calculer la moyenne, la médiane, les quartiles, l étendue et l écart interquartile de cette série statistique. 2) Afficher, à l aide de la calculatrice, le diagramme en boîte de cette série statistique. Eercice 3 : Se méfier de la calculatrice La calculatrice utilise la définition anglo-saonne des quartiles qui diffère de la nôtre. Pour les anglo-saons, le premier quartile est la médiane de la sous-série constituée des valeurs de la série initiale strictement inférieures à la médiane de la série. 1) Imaginer une série statistique pour laquelle les deu définitions des quartiles ne coïncident pas. 2) En effectuant le calcul puis en utilisant la calculatrice, vérifier cette différence de définition. Eercice 4 : Interpréter des diagrammes en boîtes Les diagrammes en boîte suivants représentent deu séries statistiques donnant le nombre de livres empruntés par an et par abonné dans une médiathèque de quartier. Adultes Enfants Nombre de livres empruntés 1) Préciser s il est possible de connaître le nombre d abonnés de cette médiathèque. 2) Déterminer s il est possible d affirmer qu au moins un emprunteur sur deu a emprunté un minimum de douze livres par an. 3) Spécifier s il eiste au moins un adulte et au moins un enfant qui n ont emprunté aucun livre à cette médiathèque cette année-là. 4) En supposant que 135 adultes sont abonnés à cette médiathèque, estimer combien d entre eu empruntent entre 4 et 34 livres par an.

52 Eercice 5 : Interpréter des diagrammes en boîtes Statistiques Descriptives 51 Les diagrammes en boîte suivants représentent deu séries statistiques donnant le nombre de buts marqués par journées de championnat de Ligue 1 de football lors des saisons et Ces deu saisons comportaient chacune trente-huit journées Nombre de buts marqués 1) Déterminer la saison où le nombre de buts marqués par journée est le plus régulier. 2) Déterminer la saison où la répartition des journées montre une meilleure efficacité des buteurs. Eercice 6 : Calculer un écart-type Le tableau ci-dessous indique les notes (sur 10) obtenues par les élèves de Première S d un lycée lors d un contrôle commun : Note i Effectif n i ) a) Calculer «à la main» la moyenne et l écart-type s de cette série statistique, c est-à-dire sans utiliser les fonctionnalités statistiques de la calculatrice. b) Recommencer le calcul de la variance V avec la définition énoncée lors de la propriété II-1. Dans quel cas cette deuième «formule» se révèle t-elle plus avantageuse que la première pour déterminer la valeur eacte de la variance? 2) a) Retrouver à l aide de la calculatrice tous les résultats précédemment établis. b) Identifier comment utiliser la calculatrice pour retrouver les valeurs eactes de ces deu indicateurs. 3) Calculer la fréquence des notes qui appartiennent à l intervalle [ s; s]. Eercice 7 : Utiliser la moyenne et l écart-type Une machine est réglée pour produire des paquets de pâtes de 500 grammes. Pour vérifier le réglage de cette machine, on prélève un lot de 100 paquets que l on pèse. Les résultats sont donnés dans le tableau suivant : Masse (en g) Nombre de paquets ) Déterminer la masse moyenne d un paquet ainsi que l écart-type s. (n donnera la valeur eacte de et la valeur arrondie de s au millième près.) 2) D après le protocole de maintenance de la machine, il faut procéder à un réglage de celle-ci si l intervalle [ 2s; 2s] contient moins de 95 % des paquets produits. Déterminer s il faut régler la machine.

53 52 V. EXERCICES Eercice 8 : Comparer deu séries statistiques Lors d un contrôle commun, deu groupes A et B de vingt élèves ont obtenu les notes suivantes sur 10 : Note A B n demande au professeur de déterminer le groupe le meilleur. 1) a) Calculer la moyenne, la médiane M, l écart-type s et l écart interquartile Q 3 Q 1 des deu séries de notes précédentes. b) Reporter ces résultats dans un tableau comparatif. 2) Dans chacun des cas suivants, donner le critère privilégié par le professeur et indiquer quel sera son classement s il considère que le meilleur groupe est : a) celui dont la moyenne est la plus forte. b) celui dont la médiane est la plus élevée. c) celui dont l écart-type est le plus faible. d) celui dont l écart interquartile est le plus petit. 3) Donner et motiver votre classement : a) en comparant les couples (; s) de ces deu séries. b) en comparant les couples (M; Q3 Q1) de ces deu séries. 4) Quelle conclusion peut-on tirer de cet eercice? Eercice 9 : Sensibilité au valeurs etrêmes Le tableau ci-dessous donne la durée de fonction des présidents de la République Française depuis la III e République : Présidents de la République Durée de fonction Adolphe Thiers 2 Patrice Mac-Mahon 6 Jules Grevy 8 Sady Carnot 7 Jean Casimir-Perier 1 Féli Faure 4 Émile Loubet 7 Armand Fallières 7 Raymond Poincaré 7 Paul Deschanel 1 Aleandre Millerand 4 Gaston Doumergue 7 Paul Doumer 1 Albert Lebrun 8 Vincent Auriol 7 René Coty 5 Charles De Gaulle 10 Georges Pompidou 5 Valéry Giscard d Estaing 7 François Miterrand 14 Jacques Chirac 12 Nicolas Sarkozy 5 1) Déterminer le couple (; s) de cette série statistique. 2) Déterminer le couple (M; Q 3 Q 1 ) de cette série statistique. 3) En observant ce tableau, on constate que trois présidents ont été en fonction moins de deu années. En les écartant de la série initiale, calculer les couples ( ; s ) et (M ; Q 3 Q 1 ) de cette nouvelle série statistique. 4) Évaluer la sensibilité de ces deu couples d indicateurs au valeurs etrêmes de la série.

54 Eercice 10 : Une valeur de plus Statistiques Descriptives 53 Une série statistique a pour effectif 40. Sa moyenne est égale à 15,75 et son écart-type arrondi au millième vaut 11,438. n ajoute à cette série une 41 e donnée égale à 18. Calculer la moyenne et une valeur approchée de l écart-type de cette nouvelle série. Eercice 11 : Effet de structure Voici ci-dessous les résultats des tests de deu jeu vidéos auprès d un échantillon de adolescents. Filles Avis positifs Avis négatifs Test du jeu A Test du jeu B Garçons Avis positifs Avis négatifs Test du jeu A Test du jeu B ) a) Parmi les filles, déterminer la fréquence des avis positifs pour chaque jeu. (n arrondira le résultat au % près.) b) En déduire le jeu le plus apprécié parmi les filles. 2) a) Parmi les garçons, déterminer la fréquence des avis positifs pour chaque jeu. (n arrondira le résultat au % près.) b) En déduire le jeu le plus apprécié parmi les garçons. 3) a) Pour l ensemble des adolescents, déterminer la fréquence des avis positifs pour chaque jeu. (n arrondira le résultat au % près.) b) En déduire le jeu le plus apprécié parmi l échantillon complet des adolescents.

55 CHAPITRE 5 DÉRIVATIN I Nombre dérivé d une fonction f en un nombre réel a I.1 Tau d accroissement Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant un nombre réel a. Le plan étant muni d un repère, on note C f sa courbe représentative. Soit h un nombre réel non nul tel que a h appartienne à l intervalle I. n appelle A et M les points de C f d abscisses respectives a et a h. Le coefficient directeur de la droite (AM), appelée sécante à C f en A, est égal à y f(a h) M Isaac Newton f(a h) f(a). h f(a) A C f 1 1 a a h En effet, puisque h est non nul, M et A sont deu points d abscisses différentes. Ainsi, le coefficient directeur de la droite (AM) est donné par : y M y A f(a h) f(a) f(a h) f(a) = =. M A (a h) a h 1. Isaac Newton est un mathématicien, physicien, astronome, philosophe, alchimiste et théologien anglais. Son œuvre est fondamentale. En Sciences Physiques, il est reconnu pour avoir fondé la mécanique classique. Il formule la célèbre théorie de la gravitation universelle, qu il aurait découvert, selon la légende, en regardant tomber une pomme. En Mathématiques, Newton est considéré comme le fondateur, avec Leibniz, du calcul infinitésimal (calcul différentiel et intégral). Il l epose dans son traité Méthode des fluions et des séries infinies en Il note alors la fonction dérivée d une fonction f sous la forme ( f). En 1664, il démontre le développement de (a b) n, connu aujourd hui sous le nom de formule du binôme de Newton. Dans le cas n = 2, on reconnaît bien évidemment l identité remarquable enseignée au collège. Il invente également la méthode dite de Newton, permettant de déterminer une approimation d une solution de l équation f() = 0 où f désigne une fonction réelle remplissant certaines conditions. Il meurt en 1727 et est inhumé dans la nef de l abbaye de Westminster, au côtés des rois d Angleterre. Il est considéré comme l un des plus grands génies et savants de l histoire humaine.

56 Le quotient f(a h) f(a) h Dérivation 55 est appelé tau d accroissement de la fonction f entre a et a h. Définition I-1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant un nombre réel a. Soit h un nombre réel non nul tel que a h appartienne à l intervalle I. n appelle tau d accroissement de la fonction f entre a et a h le quotient r(h) = f(a h) f(a). h Le plan étant muni d un repère, le tau d accroissement de la fonction f entre a et a h est égal au coefficient directeur de la droite (AM) où A et M sont les deu points de C f d abscisses respectives a et a h. Eemple : Considérons la fonction carré g définie sur R par g() = 2. Soit h un nombre réel non nul. Le tau d accroissement de la fonction carré entre 1 et 1 h est égal à : r(h) = g(1 h) g(1) h = (1 h)2 1 2 h = 1 2h h2 1 h y = 2h h2 h = h(2 h) h = 2 h. g(1 h) M C g y = 2 g(1) A 1 1 h Le plan étant muni d un repère, 2 h est donc le coefficient directeur de la droite (AM) où A et M sont les deu points de C g d abscisses respectives 1 et 1 h. I.2 Nombre dérivé Dans l eemple précédent, lorsque h prend des valeurs de plus en plus proches de 0, c est-à-dire lorsque le point M se rapproche du point A en restant sur la courbe C f, les nombres (2 h) «s accumulent» autour de 2. lim h 0 n dit alors que la limite du tau d accroissement, lorsque h tend vers 0, est égale à 2 et on écrit : (2 h) = 2, qui se lit «limite de (2 h) quand h tend vers 0 est égale à 2.» n dit aussi que le tau d accroissement tend vers 2 lorsque h tend vers 0. n s intéresse donc au problème suivant : «Pour une fonction f donnée, le tau d accroissement

57 56 I. NMBRE DÉRIVÉ D UNE FNCTIN F EN UN NMBRE RÉEL A de f entre a et a h admet-il une limite lorsque h tend vers 0?» Définition I-2 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Les nombres a et a h appartiennent à l intervalle I, avec h non nul. n dit que la fonction f est dérivable en a lorsque le tau d accroissement f(a h) f(a) h de f entre a et a h tend vers un nombre réel l lorsque h tend vers 0. Ce nombre l est appelé nombre dérivé de la fonction f en a ; il est noté f (a) et on écrit : f f(a h) f(a) (a) = lim = l h 0 h Eemple : Avec l eemple précédent, on a vu que la fonction carré g est telle que : g(1 h) g(1) lim = lim(2 h) = 2. h 0 h h 0 Ainsi, on peut affirmer que la fonction carré g est dérivable en = 1. De plus, le nombre dérivé de la fonction g en = 1 est égal à 2 ; ce que l on note par g (1) = 2. I.3 Interprétation graphique Propriété I-1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant un nombre réel a. n suppose que la fonction f est dérivable en a et on note l = f (a) le nombre dérivé de f en a. n appelle C f la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan. n désigne par A et M les points de C f d abscisses respectives a et a h. Alors, le nombre dérivé l de la fonction f en a est la limite du coefficient directeur de la droite (AM) lorsque le point M se rapproche du point A sur la courbe C f, c est-à-dire lorsque h tend vers 0. Ainsi, lorsque la fonction f est dérivable en a, les sécantes (AM) admettent une «position limite» qui est la droite T A passant par le point A et ayant l = f (a) comme coefficient directeur. y f(a h) M f(a) A T A C f 1 1 a a h Remarque : Cette droite correspond à l idée intuitive que l on se fait d une tangente à une courbe en un point. Elle semble presque confondue avec la courbe C f au voisinage du point A.

58 Dérivation 57 Eemple : n a vu précédemment que la fonction carré g est dérivable en = 1 et que g (1) = 2. Ainsi, le plan étant muni d un repère, les sécantes (AM) à la courbe C g au point A(1; 1) admettent comme position limite la droite T A passant par le point A et ayant un coefficient directeur égal à 2. y g(1 h) M C g T A y = 2 g(1) A 1 1 h II Tangente à une courbe en un point Définition II-1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant un nombre réel a. Le plan étant muni d un repère, on note C f sa courbe représentative. n désigne par A le point de C f d abscisse a. n suppose que la fonction f est dérivable en a. La tangente à la courbe C f au point A, notée T A, est la droite passant par A et dont le coefficient directeur est le nombre dérivé f (a). Eemple : Nous avons vu que la fonction carré g est dérivable en = 1 et de nombre dérivé égal à g (1) = 2. Ces informations nous permettent d affirmer que, dans le plan muni d un repère, la courbe C g admet une tangente au point A(1; 1) dont le coefficient directeur est égal à 2. Nous pouvons alors tracer facilement cette droite. À partir du point A, on se déplace horizontalement d une unité, puis verticalement de deu unités pour obtenir un deuième point de cette tangente afin de pouvoir la construire. Propriété II-1 : Soit f une fonction définie et sur un intervalle I contenant un nombre réel a. Le plan étant muni d un repère, on note C f sa courbe représentative. n désigne par A le point de C f d abscisse a. n suppose que la fonction f est dérivable en a. La tangente T A à la courbe C f au point A a pour équation y = f (a)( a) f(a). Démonstration : Comme, par définition, la tangente T A à la courbe C f au point A est la droite passant par A et dont le coefficient directeur est le nombre dérivé f (a), elle a une équation de la forme y = f (a)b. En outre, le point A(a; f(a)) appartient à T A donc f(a) = f (a) a b d où b = f(a) f (a) a. En remplaçant b par cette epression dans l équation de T A, on obtient comme équation : y = f (a) f(a) f (a) a. Finalement, T A a pour équation : y = f (a)( a) f(a).

59 58 III. FNCTIN DÉRIVÉE Eemple : Avec cette propriété, on peut affirmer que la tangente à la courbe de la fonction carré g au point d abscisse 1 a pour équation y = 2( 1) 1 soit y = 2 1. En effet, nous avons vu que g (1) = 2 et, par ailleurs, g(1) = 1 2 = 1. Remarque : La majeure partie des fonctions étudiées cette année sont dérivables en a où a est un nombre de leurs ensembles de définition. Ainsi, les courbes de ces fonctions admettent des tangentes au point d abscisse a. Cependant, comme nous l étudierons en eercice, la fonction valeur absolue et la fonction racine carrée sont deu eemples de fonctions qui ne sont pas dérivables en zéro. Ainsi, il n est pas possible de définir les tangentes à leurs courbes au point d abscisse nulle. III III.1 Fonction dérivée Fonction dérivée Reprenons l étude la fonction carré définie sur R par g() = 2. Nous avons vu qu elle était dérivable en = 1 et de nombre dérivé égal à g (1) = 2. Généralisons l étude non pas uniquement à = 1 mais à = a, où a désigne un nombre réel quelconque. Ainsi, la fonction carré est-elle dérivable en = a? Le tau d accroissement de la fonction carré entre a et a h, avec h 0, est égal à : r(h) = g(a h) g(a) h = (a h)2 a 2 h = a2 2ah h 2 a 2 h = 2ah h2 h = h(2a h) h = 2a h. r, lorsque h tend vers zéro, le tau d accroissement 2a h tend vers 2a. Ainsi, pour tout nombre réel a, la fonction carré g est dérivable en a et de nombre dérivé égal à g (a) = 2a. C est la raison pour laquelle on peut affirmer que, le plan étant muni d un repère, la courbe de la fonction carré admet, en tout point de sa courbe, une tangente. De plus, cette tangente au point d abscisse a a un coefficient directeur égal à 2a. Ainsi, à partir de la fonction g, on peut définir une nouvelle fonction, notée g, qui, à tout nombre réel a, associe le nombre dérivé de la fonction g en a : g (a) = 2a. Cette fonction g est donc définie sur R par g () = 2. Elle porte le nom de fonction dérivée de la fonction g et permet de connaître le nombre dérivé d une fonction dérivable en toute valeur pour laquelle celle-ci est dérivable. Définition III-1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. n dit que la fonction f est dérivable sur l intervalle I lorsqu elle est dérivable en tout nombre réel appartenant à I. Dans ce cas, la fonction qui, à tout nombre réel de I, associe le nombre dérivé f () de la fonction f en est appelée fonction dérivée de f. Elle est notée f et est définie sur I par f : f ().

60 III.2 Dérivation 59 Dérivées des fonctions usuelles Le tableau suivant donne les dérivées de quelques fonctions usuelles. Celles-ci doivent être parfaitement sues car elles seront d un usage constant. n note D f l ensemble de définition de la fonction f et D f l ensemble de définition de la fonction dérivée de f. Fonction D f f est définie par D f f est définie par constante R f() = k, k R R f () = 0 identité R f() = R f () = 1 linéaire R f() = m, m R R f () = m affine R f() = m p, m R et p R R f () = m carré R f() = 2 R f () = 2 cube R f() = 3 R f () = 3 2 puissance R f() = n, n entier naturel avec n 2 R f() = n n 1 inverse ] ; 0[ ]0; [ f() = 1 ] ; 0[ ]0; [ f () = 1 2 racine carrée [0; [ f() = ]0; [ f () = 1 2 Remarque : La fonction racine carrée est une fonction définie sur [0; [ mais dérivable seulement sur ]0; [. Comme nous l avons mentionné précédemment, la fonction racine carrée n est pas dérivable en zéro.

61 60 III. FNCTIN DÉRIVÉE Démonstration : Seules les quatre propositions situées sur lignes grisées du tableau précédent sont en fait à démontrer puisque les autres en sont des cas particuliers. Néanmoins, nous admettrons la proposition concernant la fonction puissance car elle est plus difficile à établir dans le cas général. Nous avons précédemment démontré le résultat concernant la fonction carré. C est la raison pour laquelle nous démontrerons seulement la proposition concernant la fonction cube. Soit f la fonction affine définie sur R par f() = m p avec m R et p R. Pour tous les nombre réels a et h, avec h 0, le tau d accroissement de f entre a et a h f(a h) f(a) m(a h) p (ma p) est donné par : = h h Ainsi, le tau d accroissement tend vers m lorsque h tend vers 0, et ceci quelle que soit la valeur de a. Par conséquent, pour tous les nombres réels a, la fonction f est dérivable en a et f (a) = m. En conclusion, la fonction affine f définie sur R par f() = m p est dérivable sur R et f () = m, pour tout R. Soit f la fonction cube définie sur R par f() = 3. Pour tous les nombre réels a et h, avec h 0, le tau d accroissement de f entre a et a h est donné par : f(a h) f(a) = (a h)3 a 3 = a3 3a 2 h 3ah 2 h 3 a 3 = 3a2 h 3ah 2 h 3. = mh h = m. h h h h Ainsi, le tau d accroissement est égal à 3a 2 3ah h 2. Il tend vers 3a 2 lorsque h tend vers zéro, et ceci quelle que soit la valeur de a. Par conséquent, pour tous les nombres réels a, la fonction f est dérivable en a et f (a) = 3a 2. En conclusion, la fonction cube f définie sur R par f() = 3 est dérivable sur R et f () = 3 2, pour tout R. Soit f la fonction inverse définie sur ] ; 0[ ]0; [ par f() = 1. Démontrons, dans un premier temps, que la fonction inverse est dérivable sur ]0; [. Pour tous les nombre réels a > 0 et h tels que a h > 0, le tau d accroissement de f entre a et a h est donné par : f(a h) f(a) h = 1 a h 1 a h = h a(a h) h 1 = a(a h). Ainsi, le tau d accroissement tend vers 1 lorsque h tend vers zéro, et ceci quelle que soit a2 la valeur de a > 0. Par conséquent, pour tous les nombres réels a > 0, la fonction f est dérivable en a et f (a) = 1 a 2. Avec un raisonnement analogue, on obtient le même résultat lorsque a < 0. En conclusion, la fonction inverse f définie sur ] ; 0[ ]0; [ par f() = 1 est dérivable sur ] ; 0[ ]0; [ et f () = 1, pour tout 0. 2 Soit f la fonction racine carrée définie sur [0; [ par f() =. Pour tous les nombre réels a > 0 et h tels que a h > 0, le tau d accroissement de f entre a et a h est donné par : f(a h) f(a) a h a = = ( a h a)( a h a) h h h( a h a h a = a) h( a h a). 1 Ainsi, le tau d accroissement est égal à. Il tend vers lorsque h tend vers a h a 1 2 a zéro, et ceci quelle que soit la valeur de a > 0. Par conséquent, pour tous les nombres réels a > 0, la fonction f est dérivable en a et f (a) = 1 2 a. En conclusion, la fonction racine carrée f définie sur [0; [ par f() = est dérivable sur ]0; [ et f () = 1 2, pour tout > 0.

62 IV IV.1 Dérivées et opérations Dérivée de la somme Dérivation 61 Propriété IV-1 : Soient u et v deu fonctions dérivables sur un intervalle I. Alors la fonction somme u v est elle aussi dérivable sur I et sa dérivée (u v) est telle que : (u v) = u v. Autrement dit, pour tout appartenant à I, (u v) () = u () v (). Démonstration : Il s agit de démontrer que, pour tout a de I, pour tout h 0 tel que a h appartienne à I, on a (u v)(a h) (u v)(a) lim = u (a) v (a). h 0 h Soit a I. Soit h 0 tel que a h I. Le tau d accroissement r(h) de la fonction u v entre a et a h est donné par : r(h) = (u v)(a h) (u v)(a) h u(a h) v(a h) (u(a) v(a)) = h u(a h) u(a) = h v(a h) v(a). h u(a h) u(a) Comme la fonction u est dérivable sur I, tend vers u (a) lorsque h tend vers 0. h v(a h) v(a) De même, la fonction v est dérivable sur I donc tend vers v (a) lorsque h tend h vers 0. Par conséquent, lim r(h) = u (a) v (a). h 0 Ceci étant valable quel que soit a dans l intervalle I, on peut conclure que la fonction u v est dérivable sur I et sa dérivée (u v) est telle que : (u v) = u v. Eemple : La fonction f définie sur ]0; [ par f() = 1 est la somme de deu fonctions u et v dérivables sur ]0; [ telles que u() = et v() = 1. Comme nous l avons vu précédemment, leurs dérivées sont définies par u () = 1 et v () = 1 2. Ainsi, la fonction f est dérivable sur ]0; [ et f () = u () v () = 1 1, pour tout > 0. 2 IV.2 Dérivée du produit Propriété IV-2 : Soient u et v deu fonctions dérivables sur un intervalle I. Alors la fonction produit u v est elle aussi dérivable sur I et sa dérivée (u v) est telle que : (u v) = u v u v. Autrement dit, pour tout appartenant à I, (u v) () = u () v() u() v (). Remarque : Dans la pratique, on omet souvent le signe de la multiplication pour la fonction produit u v et on écrit plutôt : (uv) = u v uv.

63 62 IV. DÉRIVÉES ET PÉRATINS Démonstration : Il s agit de démontrer que, pour tout a de I, pour tout h 0 tel que a h appartienne à I, on a (uv)(a h) (uv)(a) lim = u (a)v(a) u(a)v (a). h 0 h Soit a I. Soit h 0 tel que a h I. Le tau d accroissement r(h) de la fonction uv entre a et a h est donné par : (uv)(a h) (uv)(a) u(a h)v(a h) u(a)v(a) r(h) = =. h h En retranchant puis en ajoutant u(a)v(a h) au numérateur, on obtient : r(h) = r(h) = u(a h)v(a h) u(a)v(a h) u(a)v(a h) u(a)v(a). h v(a h)(u(a h) u(a)) u(a)(v(a h) v(a)). h u(a h) u(a) v(a h) v(a) r(h) = v(a h) u(a). h h u(a h) u(a) Comme la fonction u est dérivable sur I, h tend vers u (a) lorsque h tend vers 0. v(a h) v(a) De même, la fonction v est dérivable sur I donc tend vers v (a) lorsque h tend h vers 0. Enfin, on admet que, de la limite précédente, on peut en déduire le résultat : lim v(a h) = v(a). h 0 Par conséquent, lim r(h) = u (a)v(a) u(a)v (a). h 0 Ceci étant valable quel que soit a dans l intervalle I, on peut conclure que la fonction uv est dérivable sur I et sa dérivée (uv) est telle que : (uv) = u v uv. Eemple : La fonction f définie sur ]0; [ par f() = est le produit de deu fonctions u et v dérivables sur ]0; [ telles que u() = et v() =. Comme nous l avons vu précédemment, leurs dérivées sont définies par u () = 1 et v () = 1 2. Ainsi, la fonction f est dérivable sur ]0; [ et f () = u ()v() u()v (). Ainsi f () = = 2 = 3 2, pour tout > 0. La propriété IV-2 permet d énoncer les deu corollaires suivants qui en sont des conséquences : Corollaire IV-2 : Dérivée de ku Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Soit k un nombre réel. Alors la fonction ku est elle aussi dérivable sur I et sa dérivée (ku) est telle que : (ku) = ku. Démonstration : Il suffit d appliquer la propriété IV-2 avec la fonction constante v définie par v() = k, où k est une constante réelle. n sait que la fonction v est dérivable et de dérivée égale à la fonction nulle (v = 0). n obtient alors immédiatement le résultat ci-dessus. Eemple : Soit f la fonction définie sur R par f() = 5 3. f est le produit de la fonction cube u définie par u() = 3 et de la constante k = 5. La fonction cube u est dérivable sur R et sa dérivée u est telle que u () = 3 2. Ainsi la fonction f est dérivable sur R et f () = k u () = = 15 2, pour tout réel.

64 Dérivation 63 Corollaire IV-2 : Dérivée de u 2 Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors la fonction u 2, définie pour tout appartenant à I par u 2 () = (u()) 2, est elle aussi dérivable sur I et sa dérivée (u 2 ) est telle que : (u 2 ) = 2uu. Démonstration : Il suffit d appliquer la propriété IV-2 avec la fonction v égale à la fonction u. La fonction u étant dérivable sur I, la fonction u 2 est aussi dérivable sur I. n a alors (u 2 ) = (u u) = u u u u = 2u u = 2uu. Eemple : Soit f la fonction définie sur ]0; [ par f() = 1 2. f est le carré de la fonction inverse u définie par u() = 1. La fonction inverse u est dérivable sur ]0; [ et sa dérivée u est telle que u () = 1 2. Ainsi la fonction f est dérivable sur ]0; [ et f () = 2 u() u () = = 2 3, pour tout réel strictement positif. IV.3 Dérivée de l inverse Propriété IV-3 : Soit v une fonction dérivable sur un intervalle I et ne s annulant pas sur I. Alors l inverse de la fonction v, notée 1, est aussi dérivable sur I et sa dérivée 1 est telle que : v v 1 = v v v 2. Autrement dit, pour tout appartenant à I, 1 v () = v () [v()] 2. Démonstration : Il s agit de démontrer que, pour tout a de I, pour tout h 0 tel que a h appartienne à I, on a h) 1 v (a v (a) lim h 0 1 h = v (a) [v(a)] 2. Soit a I. Soit h 0 tel que a h I. Le tau d accroissement r(h) de la fonction 1 entre a et v a h est donné par : 1 v(a h) 1 v(a) v(a) v(a h) h) v(a) 1 r(h) = = = v(a h hv(a)v(a h) h v(a)v(a h). v(a h) v(a) Comme la fonction v est dérivable sur I, tend vers v (a) lorsque h tend vers 0. h Enfin, on admet que, de la limite précédente, on peut en déduire le résultat : lim v(a h) = v(a). h 0 Par conséquent, lim r(h) = v (a) 1 h 0 [v(a)] 2 = v (a) [v(a)] 2. Ceci étant valable quel que soit a dans l intervalle I, on peut conclure que la fonction 1 v est dérivable sur I et sa dérivée 1 v est telle que : 1 v = v v 2.

65 64 IV. DÉRIVÉES ET PÉRATINS Eemple : La fonction f définie surè1 2 ; åpar f() = est l inverse de la fonction affine v définie par v() = 2 1. Celle -ci est dérivable surè1 2 ; ået ne s annule pas surè1 2 ; å. Comme nous l avons vu précédemment, la dérivée de la fonction v est définie par v () = 2. Ainsi, la fonction f est dérivable surè1 2 ; ået f () = v () [v()] 2 = 2 ( 2 1) 2 = 2 ( 2 1) 2 pour tout > 1 2. IV.4 Dérivée du quotient Propriété IV-4 : Soit u et v deu fonctions dérivables sur un intervalle I avec v() 0 pour tout appartenant à l intervalle I. Alors le quotient de la fonction u par la fonction v, notée u, est aussi dérivable sur I et sa dérivée v u est telle que : v u u = v v uv v 2. u Autrement dit, pour tout appartenant à I, u () = v ()v() u()v () [v()] 2. Démonstration : Diviser par un nombre, c est multiplier par son inverse ; ainsi le quotient des deu fonctions u et v n est en fait qu un produit : u v = u 1 v. n applique alors la propriété IV-3 concernant la dérivée de l inverse d une fonction et la propriété IV-2 concernant la dérivée du produit des deu fonctions. n peut donc affirmer que la est dérivable sur I et on a : fonction u v u = u v v 1 = u 1 v u 1 = v u v u v v 2 = u v uv v 2. Eemple : La fonction rationnelle f définie surè1 2 ; åpar f() = 5 3 est le quotient de deu fonctions 2 1 affines u et v définies par u() = 5 3 et v() = 2 1. Elles sont dérivables surè1 2 ; ået la fonction v ne s annule pas sur cet intervalle. Comme nous l avons vu précédemment, la dérivée de la fonction u est définie par u () = 5 et celle de la fonction v est telle que v () = 2. Ainsi, la fonction f est dérivable surè1 2 ; ået, pour tout > 1 2, on a : f () = u ()v() u()v () [v()] 2 = 5 ( 2 1) (5 3) ( 2) ( 2 1) 2 = 11 ( 2 1) 2.

66 Dérivation 65 IV.5 Tableau récapitulatif Soient u et v deu fonctions dérivables sur un intervalle I. pérations Formules Ensemble où la fonction est dérivable V Dérivée de la somme u v (u v) = u v I Dérivée du produit uv (uv) = u v uv I Dérivée du produit de u par (ku) = k u I une constante k : ku v Dérivée du carré de u : u 2 (u 2 ) = 2uu I Dérivée de l inverse 1 v avec v ne s annulant pas sur I Dérivée du quotient u u avec v ne s annulant pas sur I Applications de la dérivation 1 v = v v 2 tout I tel que v() 0 v = u v uv v 2 tout I tel que v() 0 V.1 Liens entre le signe de la fonction dérivée et le sens de variation de la fonction Du sens de variation d une fonction au signe de sa dérivée Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Le plan étant muni d un repère, pour tout de I, f () est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C f au point d abscisse. Si la fonction f est croissante sur l intervalle I, les tangentes à la courbes C f ont toutes un coefficient directeur positif ou nul. y f ( 2) = 0 J I f (0) > 0 f (3) = 0 f (1, 5) > 0 C f n constate donc graphiquement que, si f est croissante sur l intervalle I, f () 0, pour tout appartenant à I. Si la fonction f est décroissante sur l intervalle I, les tangentes à la courbes C f ont toutes un coefficient directeur négatif ou nul.

67 66 V. APPLICATINS DE LA DÉRIVATIN y C f f ( 1) = 0 f (1) < 0 J f (3, 5) = 0 I f (5) < 0 n constate donc graphiquement que, si f est décroissante sur l intervalle I, f () 0, pour tout appartenant à I. n énonce donc le théorème suivant : Théorème V-1 : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f est une fonction croissante sur l intervalle I, alors f () 0, pour tout de I. Si f est une fonction décroissante sur l intervalle I, alors f () 0, pour tout de I. Si f est une fonction constante sur l intervalle I, alors f () = 0, pour tout de I. Démonstration : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Soit un nombre réel quelconque de I et h un nombre réel non nul tel que h appartienne à l intervalle I. 1 e cas : f est croissante sur l intervalle I Si h > 0 alors h > et f( h) f() puisque la fonction f est croissante sur I. Ainsi, f( h) f() f( h) f() 0 et, comme h > 0, on peut conclure que 0, comme h quotient de deu réels positifs. Si h < 0 alors h < et f( h) f() puisque la fonction f est croissante sur I. Ainsi f( h) f() f( h) f() 0 et, comme h < 0, on peut conclure que 0, comme h quotient de deu réels négatifs. f( h) f() Dans les deu cas, le tau d accroissement de la fonction f entre et h h est positif ou nul. Comme f est dérivable en, ce tau d accroissement tend vers f () lorsque h tend vers 0. n admet que la limite de ces tau d accroissement, tous positifs, est elle-même positive ou nulle. Ainsi f () 0, et ceci, pour tout de I. 2 e cas : f est décroissante sur l intervalle I f( h) f() n démontre, de la même manière, que les tau d accroissement sont tous h négatifs ou nuls. Ainsi, leur limite f () est elle-même négative ou nulle. Par conséquent, f () 0, et ceci, pour tout de I. 3 e cas : f est constante sur l intervalle I Comme f( h) = f(), les tau d accroissement de f sont tous nuls donc f () = 0 pour tout de I.

68 Dérivation 67 Remarque : Si la fonction f est dérivable et strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur un intervalle I, on ne peut pas affirmer pour autant que, pour tout de I, f () > 0 (respectivement f () < 0). En effet, comme l illustrent les graphiques précédents, la fonction dérivée f peut très bien s annuler en des valeurs isolées de I (c est-à-dire en un nombre fini de valeurs et non pas sur un intervalle) alors que la fonction f est bien strictement croissante ou strictement décroissante sur I. Du signe de la dérivée d une fonction à son sens de variation Théorème V-2 : (Admis) Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f () 0 pour tout de I, alors la fonction f est croissante sur l intervalle I. Si f () 0 pour tout de I, alors la fonction f est décroissante sur l intervalle I. Si f () = 0 pour tout de I, alors la fonction f est constante sur l intervalle I. Remarque : Le théorème V-2 est le théorème réciproque du théorème V-1. Il permet d étudier le sens de variation d une fonction dérivable à partir du signe de sa dérivée. Eemples : Soit f la fonction définie sur R par f() = La fonction f est dérivable sur R et f () = , pour tout réel. r, > 0, pour tout réel. Par conséquent, la fonction f est croissante sur R. Soit g la fonction définie sur R par g() = La fonction g est dérivable sur R et g () = 2 6, pour tout réel. r, g () 0, pour tout réel 3 et g () 0, pour tout réel 3. Ainsi, la fonction g est croissante sur ] ; 3] et elle est décroissante sur [3; [. n a pour habitude de construire le tableau de variations de la fonction g ci-dessous : g () g() Il indique, sur la deuième ligne, le signe de la fonction g puis, sur la dernière, le sens de variation de la fonction g ainsi que, dans le cas présent, la valeur du maimum g(3) = 10. n aurait très bien pu conclure ici sur les variations des fonctions précédentes sans utiliser le théorème V-2. En effet, la fonction f est la somme de deu fonctions croissantes sur R et la fonction g est une fonction polynôme du second degré. Les théorèmes vus lors du chapitre «Étude de fonctions» nous auraient permis de conclure directement. Néanmoins, ce théorème nous permettra d étendre l étude des variations des fonctions à des cas plus complees que l on ne pouvait traiter jusqu à présent.

69 68 V. APPLICATINS DE LA DÉRIVATIN Remarque : Pour conclure sur la stricte croissance (respectivement la stricte décroissance) d une fonction f dérivable sur un intervalle I, il suffit que sa dérivée f soit strictement positive (respectivement strictement négative) sur I sauf, peut-être, pour un nombre fini de valeurs où la fonction dérivée f s annule. V.2 Etremum d une fonction Définitions Définition V-1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant un nombre réel a. Soient m et M deu nombres réels. n dit que M est le maimum de la fonction f sur I, atteint en = a, si et seulement si, f() M, pour tout réel de I, et f(a) = M. n dit que m est le minimum de la fonction f sur I, atteint en = a, si et seulement si, f() m, pour tout réel de I, et f(a) = m. n appelle etremum de la fonction f sur l intervalle I un maimum ou un minimum de la fonction f sur I. Si f(a) est un etremum de la fonction f sur un intervalle ouvert J contenu dans I et contenant a, on dit que c est un etremum local de f. Remarque : D après la définition, si f(a) est un etremum local de la fonction f, a ne peut être égal à une des etrémités de l intervalle I. Eemple : Soit f la fonction définie sur [ 2; 5] dont la courbe représentative C f est tracée dans le repère (; I; J) ci-dessous : y J C f I 4 est le maimum de la fonction f sur [ 2; 5] et il est atteint pour = 5. En effet, f(5) = 4 et, pour tout [ 2; 5], f() 4. 1 est le minimum de la fonction f sur [ 2; 5] et il est atteint pour = 2. En effet, f( 2) = 1 et, pour tout [ 2; 5], f() 1. Les etrema de la fonction f sur [ 2; 5] sont donc 1 et 4. f(1) = 3 est un maimum local de la fonction f. En effet, pour tout ]0; 2[, f() 3. f(4) = 1 est un minimum local de la fonction f. En effet, pour tout ]3; 5[, f() 1.

70 Etremum local et dérivée Dérivation 69 Théorème V-3 : Condition nécessaire sur l eistence d un etremum local pour une fonction dérivable (admise) Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I contenant un nombre réel a. Si la fonction f admet un etremum local en = a alors f (a) = 0. Remarques : L interprétation graphique de ce théorème est la suivante : si une fonction dérivable f admet un etremum local en = a alors sa courbe C f admet une tangente parallèle à l ae des abscisses au point d abscisse a. Le théorème est fau dans le cas où l etremum n est pas un etremum local. En effet, dans l eemple précédent, la fonction f admet pour maimum 4, atteint en = 5, mais la tangente à la courbe C f au point d abscisse 5 a un coefficient directeur non nul : f (5) > 0. La condition «f (a) = 0» de ce théorème est nécessaire mais pas suffisante. Considérons, par eemple, la fonction cube f définie sur R par f() = 3. y C f J I Elle admet une dérivée (f () = 3 2 ) qui s annule en = 0 mais pourtant la fonction cube n admet pas d etremum local en zéro puisqu elle est strictement croissante sur R. Théorème V-4 : Condition suffisante sur l eistence d un etremum local pour une fonction dérivable (admise) Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Soit a un nombre réel de I, distinct d une des etrémités de I. Si la fonction dérivée f s annule en = a, en changeant de signe, alors f(a) est un etremum local de la fonction f sur l intervalle I. Remarques : L hypothèse du changement de signe est essentielle comme l illustre le cas précédent de la fonction cube dont la dérivée s annule en = 0 mais sans changer de signe. En effet, sa dérivée (f () = 3 2 ) est toujours positive. Il eiste un intervalle ouvert J, inclus dans I, sur lequel le tableau de variations de la fonction f est l un des deu tableau suivants : a a f () 0 f () 0 f() f(a) f() f(a) Ainsi, f(a) est un maimum local ou un minimum local de la fonction f.

71 70 VI. EXERCICES VI Eercices Eercice 1 : Tau d accroissement et nombre dérivé Soit f la fonction définie sur R par f() = et soit h un nombre réel non nul. 1) Calculer f(2) et f(2 h). 2) Calculer le tau d accroissement r(h) de la fonction f entre 2 et 2 h. 3) Préciser la limite de r(h) lorsque h tend vers zéro. 4) En déduire une conséquence pour la fonction f en = 2 et préciser alors la valeur de f (2). Eercice 2 : Nombre dérivé et calculatrice Soit f la fonction définie sur ]2; [ par f() = 1. Soit h un nombre réel non nul tel que h > ) Calculer f(3) et f(3 h). 2) Démontrer que la fonction f est dérivable en = 3 et calculer f (3). 3) Contrôler le résultat précédent à l aide de la calculatrice en utilisant les fonctionnalités de calcul, puis les outils graphiques. Eercice 3 : Calculer un nombre dérivé Soit f la fonction définie sur R par f() = 3 5. Démontrer que la fonction f est dérivable en = 1 et préciser alors la valeur du nombre dérivé de f en 1. Eercice 4 : Calculer un nombre dérivé - Interprétation graphique Soit f la fonction définie sur [0; [ par f() =. f(1 h) f(1) 1 1) Vérifier que, pour tout h > 0, =. h 1 h 1 2) En déduire l eistence et la valeur de f (1). 3) Dans un repère du plan, tracer la courbe C f de la fonction f puis la tangente à C f au point A(1; 1). Eercice 5 : Tangente à une courbe en un point Dans le plan muni d un repère, on note C f la courbe représentative d une fonction f et la droite d équation y = 2. n sait que est tangente à C f au point A d abscisse 4. Préciser la valeur de f (4) puis de f(4). Eercice 6 : Nombre dérivé - Tangente - Lectures graphiques Dans le plan muni d un repère, on représente ci-dessous la courbe C f d une fonction f définie sur l intervalle [ 5; 6]. n suppose que la fonction f est dérivable en a, pour tout nombre a appartenant à l intervalle [ 5; 6]. n trace cinq tangentes à la courbe C f en cinq points de celle-ci. 7 y J C f 0-1 I

72 Dérivation 71 1) Par lecture graphique, déterminer la valeur du nombre dérivé de f en 2. Eiste-t-il d autres points de la courbe C f où la tangente est parallèle à l ae des abscisses? Si oui, donner un encadrement de l abscisse de ces points à l unité près. 2) Par lecture graphique, déterminer les valeurs de f (3) et de f(3). En déduire l équation réduite de la tangente à C f au point d abscisse 3. 3) Par lecture graphique, préciser les valeurs de f( 4), f ( 4), f( 2), f (1), f(1), f (5) et f(5). 4) Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier la réponse. a) f ( 1) > 0 ; b) 3 < f (2) < 1 2 ; c) Pour tout appartenant à [4; 6], f () > 0 ; d) Il eiste appartenant à [ 4; 2] tel que f () = 3 7. Eercice 7 : Déterminer une équation d une tangente Soit f une fonction définie sur R, dont la courbe représentative C f, dans le plan muni d un repère, passe par le point A(2; 3) et admet 4 pour nombre dérivé en = 2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe C f au point A. Eercice 8 : Fonction racine carrée en zéro Soit f la fonction racine carrée définie sur [0; [ par f() = et soit h un nombre réel strictement positif. L eercice consiste à déterminer si la fonction racine carrée f est dérivable en zéro. 1) Démontrer que le tau d accroissement r(h) de la fonction f entre 0 et 0 h est donné par r(h) = 1. h 2) Calculer r(h) pour h = 10 2, 10 4, 10 6, 10 8, ) Le tau d accroissement r(h) semble-t-il admettre une limite lorsque h tend vers zéro? La fonction racine carré est-elle dérivable en zéro? 4) Le plan étant muni d un repère d origine, on désigne par M un point de la courbe C f différent du point. Comment se comportent les sécantes (M) lorsque le point M se rapproche du point en restant sur la courbe C f? En quoi cela confirme-t-il la réponse apportée à la question précédente? Eercice 9 : Fonction valeur absolue en zéro Soit f la fonction valeur absolue définie sur R par f() = et soit h un nombre réel non nul. L eercice consiste à déterminer si la fonction valeur absolue f est dérivable en zéro. 1) Calculer le tau d accroissement r(h) de la fonction f entre 0 et 0 h en distinguant les cas où h > 0 et h < 0. 2) Comment se comporte ce tau d accroissement r(h) lorsque h tend vers zéro en restant strictement positif? en restant strictement négatif? 3) Le tau d accroissement r(h) semble-t-il admettre une limite lorsque h tend vers zéro? La fonction valeur absolue est-elle dérivable en zéro? 4) Interpréter graphiquement ces résultats. Eercice 10 : Reconnaître la courbe d une fonction dérivable Par lecture graphique, indiquer, parmi les courbes suivantes, celles qui représentent une fonction dérivable en 0. Justifier la réponse.

73 72 VI. EXERCICES y y y J I C 1 J I C 2 J I C 3 y J I C 4 y J I C 5 y J I C 6 Eercice 11 : Énigme Le plan est muni d un repère (; I; J). n considère la parabole P d équation y = La surface située en dessous de la parabole P est opaque. A est un point fie dont les coordonnées sont ( 3; 0). M( M ; y M ) désigne un point variable appartenant à la parabole P. y M P A J I y = Déterminer les valeurs M de l abscisse du point M pour lesquelles le point M reste visible pour un observateur situé au point A. Justifier la réponse. Remarque : Toute trace de recherche, même incomplète, ou toute initiative, même non fructueuse, sera prise en compte. Eercice 12 : Notion de fonction dérivée n considère la fonction f définie sur R par f() = ) À l aide de la calculatrice, compléter le tableau de valeurs suivant : a 2 0 2,5 3 f (a) 2) Émettre une conjecture sur l epression de f (a) en fonction de a. 3) Démontrer cette conjecture. Eercice 13 : Dérivées de fonctions usuelles Déterminer le nombre dérivé des fonctions suivantes en = 1 : f() = ; g() = 2012 ; h() = 1.

74 Eercice 14 : Dérivée d une fonction usuelle Dérivation 73 Soit f la fonction racine carrée définie sur [0; [ par f() =. Dans un repère, on note C f sa courbe représentative. 1) Calculer f (4). 2) Tracer C f et sa tangente T A au point A d abscisse 4. Eercice 15 : Dérivées des fonctions de référence f est la fonction carré et g est la fonction racine carrée. 1) Déterminer le nombre dérivé de la fonction f en 1 et celui de la fonction g en 4. Comparer ces 8 deu nombres dérivés. 2) Interpréter graphiquement ce résultat. 3) Vérifier avec la calculatrice ou à l aide de l ordinateur. Eercice 16 : Tangentes à la courbe de la fonction cube Dans le plan muni d un repère, on note C f la courbe d équation y = 3. 1) Déterminer si C f admet une (ou des) tangente(s) de coefficient directeur égal à 6. Si oui, préciser les cordonnées de ce(s) point(s). 2) Déterminer si C f admet une (ou des) tangente(s) parallèle(s) à la droite D d équation y = 2. Justifier la réponse. Eercice 17 : Tangente à la courbe de la fonction racine carrée? Dans le plan muni d un repère, on note C f la courbe représentative de la fonction racine carrée. T désigne la droite dont l équation est y = Déterminer si la droite T est une tangente à la courbe C f. Si oui, préciser les cordonnées du point de tangence. Eercice 18 : Dérivées et opérations n donne ci-dessous l epression de f(). Préciser, dans chacun des cas suivants, sur quelle partie de R la fonction f est dérivable et calculer f () : f() = ; f() = ; f() = 3 5 ; f() = π 3. Eercice 19 : Dérivées et opérations n donne ci-dessous l epression de f(). Préciser, dans chacun des cas suivants, sur quelle partie de R la fonction f est dérivable et calculer f () : f() = (2 1)(7 5) ; f() = ( 2 ) ; f() = 1 ( 1) ; f() = 3 ( ). Eercice 20 : Dérivées et opérations n donne ci-dessous l epression de f(). Préciser, dans chacun des cas suivants, sur quelle partie de R la fonction f est dérivable et calculer f () : f() = 2 7 ; f() = 6 ; f() = 3 ; f() = 2. Eercice 21 : Dérivées et opérations n donne ci-dessous l epression de f(). Préciser, dans chacun des cas suivants, sur quelle partie de R la fonction f est dérivable et calculer f () : f() = ; f() = 1 10 ; f() = ; f() = 1 7.

75 74 VI. EXERCICES Eercice 22 : Dérivées et opérations n donne ci-dessous l epression de f(). Préciser, dans chacun des cas suivants, sur quelle partie de R la fonction f est dérivable et calculer f () : f() = ; f() = ; 1 f() = 2 3 Eercice 23 : Dérivées et opérations ; f() = 1. n donne ci-dessous l epression de f(). Préciser, dans chacun des cas suivants, sur quelle partie de R la fonction f est dérivable et calculer f () : f() = ; f() = (3 2 5) 2 ; f() = ; f() = 1. Eercice 24 : btenir le signe de f à partir des variations de f Dans le repère (; I; J) ci-dessous, on donne la courbe C f d une fonction f dérivable sur l intervalle [ 4; 4]. Les trois tangentes représentées sont parallèles à l ae des abscisses. y C f J I 1) En utilisant le graphique, construire le tableau de variation de la fonction f. 2) En déduire le tableau de signes de la fonction dérivée f. 3) Résoudre dans l intervalle [ 4; 4] l équation f () = 0. Interpréter les solutions trouvées. Eercice 25 : btenir les variations de f à partir de la courbe de f Dans le repère (; I; J) ci-dessous, on donne la courbe C f de la dérivée f d une fonction f dérivable sur l intervalle [ 4; 4]. y J I C f 1) En utilisant le graphique, construire le tableau de variation de la fonction f. 2) Préciser les abscisses des points de la courbe C f représentant la fonction f en lesquels la tangente est parallèle à l ae des abscisses.

76 Dérivation 75 Eercice 26 : Déterminer le sens de variation d une fonction dérivable Dans chacun des cas suivants, déterminer le sens de variation de la fonction dérivable donnée, après avoir précisé l ensemble sur lequel elle est dérivable. n répondra en dressant le tableau de variation et on vérifiera la cohérence de la réponse avec la calculatrice. 1) f() = ; 2) g() = ; 3) h() = Eercice 27 : Fonctions et fonctions dérivées : lectures graphiques Les courbes suivantes représentent celles de quatre fonctions dérivables (courbes C 1, C 2, C 3 et C 4 ) et celles de leurs fonctions dérivées (courbes C a, C b, C c et C d ) dans un ordre arbitraire. bserver attentivement ces courbes et associer à chaque fonction sa fonction dérivée en epliquant le choi effectué. y y J C 1 J C a I I y y J J I C 2 I C b y y J C 3 J C c I I y y J C 4 J I I C d Eercice 28 : Maimum Démontrer que la fonction f définie sur R par f() = admet un maimum. Préciser lequel et la valeur en laquelle il est atteint.

77 76 VI. EXERCICES Eercice 29 : Etremum Soit f la fonction définie sur R par f() = ) Calculer f ( 1). 2) Tracer la courbe de la fonction f à l aide de la calculatrice. 3) La fonction f admet-elle un etremum en = 1? Epliquer pourquoi et interpréter la valeur du nombre dérivé de f en 1. Eercice 30 : Etremum local ou global? Soit f la fonction définie sur R par f() = ) La fonction f admet-elle des etrema locau. Si oui, lesquels et en quelles valeurs? 2) La fonction f admet-elle des etrema (globau). Si oui, lesquels et en quelles valeurs? Eercice 31 : Modéliser et rechercher un minimum Déterminer la somme minimale que l on peut obtenir en ajoutant un nombre strictement positif et son inverse. Justifier. Eercice 32 : Eploiter le sens de variation pour obtenir une inégalité Démontrer que, pour tout appartenant à [ 2; [, on a l inégalité suivante : Indication : n pourra étudier les variations de la fonction f, définie sur [ 2; [ par f() = Eercice 33 : Démontrer une inégalité Démontrer que, pour tout strictement positif, on a l inégalité suivante : 1 2. Eercice 34 : Démontrer une inégalité Démontrer que, pour tout strictement positif, on a l inégalité suivante : Indication : n pourra utiliser les positions des courbes des fonctions carré et racine carrée afin d étudier le signe de 2 sur ]0; [. Eercice 35 : ptimisation n considère un carré ABCD dont la longueur du côté est égale à 10. D C 10 E A M B M est un point du segment [AB] et on pose AM =. n nomme E le point d intersection des segments [DM] et [AC]. n note A () l aire de la figure formée par les deu triangles AEM et DEC. Le but de l eercice est de déterminer pour la position du point M sur le segment [AB] pour laquelle l aire A () est minimale.

78 Dérivation 77 1) Conjecturer avec un logiciel de géométrie dynamique : a) Réaliser la construction avec le logiciel Geogebra, en faisant afficher l aire de la figure formée par les deu triangles AEM et DEC. b) bserver les variations de cette aire lorsque le point M se déplace sur le segment [AB]. c) Conjecturer la position du point M pour laquelle l aire A () est minimale et donner une valeur approchée de cette aire. 2) Démontrer la conjecture : La perpendiculaire au segment [AB] passant par le point E coupe le segment [AB] en H et coupe également le segment [CD] en H. Notons h la longueur du segment [EH]. a) Préciser l intervalle décrit par la variable. b) Démontrer que h 10 h = 10. c) En déduire que h = d) Démontrer que A () = e) Étudier les variations de la fonction A afin de répondre au problème posé. 3) Construire le point solution : a) Tracer le cercle C de centre C et de rayon 10. Il coupe le segment [AC] en un point F. b) Tracer le cercle C de centre A et de rayon AF. c) Démontrer que le cercle C coupe le segment [AB] au point solution du problème posé.

79 CHAPITRE 6 TRIGNMÉTRIE I Cercle trigonométrique I.1 Le cercle trigonométrique 1 Définition I-1 : Le cercle trigonométrique est le cercle C de centre, de rayon 1, et orienté de la manière suivante : le sens direct (appelé aussi sens positif ou trigonométrique) est le sens inverse des aiguilles d une montre ; le sens indirect (ou négatif) est le sens des aiguilles d une montre. sens direct 1 J #» j I #» ı 1 C Le plan est alors dit orienté et le repère (; #» ı ; #» j ) ci-dessus est qualifié de repère orthonormé direct. En effet, on se déplace sur le cercle C de I vers J, selon le trajet le plus court, dans le sens direct. Remarque : Le périmètre du cercle trigonométrique est égal à 2π. La longueur du demi-cercle trigonométrique est donc égale à π et celle du quart de cercle à π 2. I.2 Le radian En géométrie, il est d usage d utiliser le degré comme unité de mesure d un angle. Cette unité convient parfaitement pour la trigonométrie dans un triangle rectangle. Mais, pour mettre en œuvre des notions qui seront abordées dans les classes ultérieures, il est 1.

80 nécessaire de définir une autre unité de mesure des angles : le radian. Trigonométrie 79 Définition I-2 : Un angle de 1 radian est la mesure de l angle au centre qui intercepte un arc de cercle dont la longueur est égale à une unité sur le cercle trigonométrique C. M 1 1 rad 1 I Le symbole du radian est noté rad. C Remarques : La longueur du segment [IM] est inférieure à la longueur de l arc IM. Par conséquent, le triangle IM n est pas un triangle équilatéral. Ainsi 1 radian est inférieur à 60. n peut montrer que 1 radian est peu différent de 57,3, soit environ La mesure d un angle au centre est proportionnelle à la longueur de l arc qu il intercepte. Donc, d après la définition précédente, la mesure en radians d un angle au centre AB est égale à la longueur de l arc AB intercepté sur le cercle trigonométrique. Un angle plat mesure 180 mais, le demi-périmètre du cercle trigonométrique étant égal à π, il mesure aussi π radians. n peut formuler la proposition suivante : Propriété I-1 : La mesure d un angle en degrés est proportionnelle à sa mesure en radians. n a le tableau de proportionnalité suivant : Mesure de l angle en degrés d 180 π π Mesure de l angle en radians α π Ainsi α = π d 180. n établit ainsi le tableau des correspondances suivant, très utilisé dans la pratique : Mesure de l angle d en degrés Mesure de l angle α en radians 0 π 6 π 4 π 3 π 2 π 3π 2 2π

81 80 I. CERCLE TRIGNMÉTRIQUE I.3 Enroulement de la droite numérique réelle sur le cercle trigonométrique 2π 2π N M P #» j #» j C #» ı A 2π D 2π Dans le plan muni d un repère orthonormé (; #» ı ; #» j ), on considère le cercle trigonométrique C et la droite D, tangente à C, passant par le point A(1; 0). Cette droite représente l ensemble des nombres réels R ; on la munit du repère (A; #» j ). n place le point P défini par AP #» = #» j. n «enroule» cette droite D autour du cercle C de la manière suivante : la demi-droite [AP), formée des points de D d abscisses positives, s enroule dans le sens direct, alors que l autre demi-droite, formée des points d abscisses négatives, s enroule dans le sens indirect. À tout nombre réel est associé un unique point N d abscisse sur la droite D et un unique point M sur le cercle C après enroulement de D autour de C de sorte que la longueur de l arc AM soit égale à la longueur du segment [AN]. Le point M est alors appelé le point image de sur le cercle C. Réciproquement, tout point M du cercle trigonométrique C est l image d une infinité de nombres réels de la forme k 2π où k désigne un entier relatif. Le nombre k correspond au nombre de tours complets effectués dans l enroulement de D autour de C. n les compte positivement si l enroulement s effectue dans le sens positif et négativement s il a lieu dans le sens négatif. n a donc la propriété suivante : Propriété I-2 : Tout point du cercle trigonométrique C est l image d une infinité de nombres réels. Si désigne l un d entre eu, tous les autres sont de la forme k 2π où k désigne un entier relatif (k Z).

82 Trigonométrie 81 π 5π 6 3π 4 2π 3 π 2 Ainsi, chaque point M du cercle trigonométrique C peut être repéré par un unique nombre réel de l intervalle ] π; π] puisque cet 5π 6 intervalle a justement une longueur égale à 2π. C π 3π 4 2π 3 π 2 #» j π 3 5π π 6 3π π π π 3 π 3 2 #» ı π 4 π 6 A π 3 π 4 π 6 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 D π II II.1 Mesures d un angle orienté Angle orienté de deu vecteurs non nuls Définition II-1 : y Soit (; #» ı ; #» j ) un repère orthonormé direct du plan et soit C le cercle trigonométrique de centre. Considérons deu vecteurs non nuls #» u et #» v du plan. n appelle M et N les deu points définis par #» u = M #» et #» v = N. #» n construit les deu points M et N, intersections respectives des demi-droites [M) et [N) avec le cercle trigonométrique C. N #» v N y #» j M M #» u #» ı #» v C #» u D Une mesure en radians de l angle orienté de vecteurs ( #» u, #» v ) est le réel y où M est l image du nombre et N est l image du nombre y sur le cercle trigonométrique C.

83 2 82 II. MESURES D UN ANGLE RIENTÉ Eemple : B π 4 3π #» j 4 #» ı 5π 4 C C π Considérons les points B, image du nombre π 2, et C, image de π, sur le cercle trigonométrique. 4 Une mesure en radians de l angle orienté ( C, #» B) #» est donc π 2 π 4 = 3π 4. Mais, le point B est aussi l image du nombre 3π sur le cercle trigonométrique. Une autre mesure 2 en radians de l angle orienté ( C, #» B) #» est donc 3π 2 π 4 = 5π 4. n constate ainsi qu un angle orienté de vecteurs possède une infinité de mesures qui différent toutes d un multiple de 2π. Dans le cas présent, 5π 4 2π = 3π 4. Remarque : Par convention, la notation ( #» u, #» v ) désigne indifféremment l angle orienté ou toutes les mesures de cet angle orienté, qui peuvent être positives ou négatives. Pour le différencier d un angle géométrique, on code un angle orienté en faisant figurer une flèche à son etrémité, comme indiqué sur la figure ci-dessus. Propriété II-1 : Si α désigne une mesure de l angle orienté ( #» u, #» v ), alors toutes les autres mesures de l angle orienté ( #» u, #» v ) sont égales à α k 2π où k est un entier relatif. n note ( #» u, #» v ) = α 2kπ, k Z ou ( #» u, #» v ) = α [2π] que l on lit «α modulo 2π», ou encore ( #» u, #» v ) = α (modulo 2π). II.2 Mesure principale d un angle orienté Définition II-2 : L unique mesure en radians de l angle orienté ( #» u, #» v ) appartenant à l intervalle ] π; π] est appelée la mesure principale de cet angle orienté. Eemple : Dans l eemple précédent, la mesure principale de l angle orienté ( #» C, #» B) est donc 3π 4 car π < 3π 4 π. Remarque : Si M, et N sont trois points distincts, la mesure en radians de l angle géométrique MN est égale à la valeur absolue de la mesure principale de l angle orienté ( M, #» N). #» N N Angle géométrique MN M Angle orienté ( #» M, #» N) M

84 II.3 Trigonométrie 83 Propriétés des angles orientés La relation de Chasles Définition II-3 : Pour tout vecteur #» u non nul, on appelle ( #» u, #» u) l angle nul et ( #» u, #» u) l angle plat. Ainsi, pour tout #» u #» 0, ( #» u, #» u) = 0 [2π] et ( #» u, #» u) = ( #» u, #» u) = π [2π]. Propriété II-2 : Relation de Chasles (admise) Pour tous vecteurs non nuls #» u, #» v et #» w, on a : ( #» u, #» v ) ( #» v, #» w) = ( #» u, #» w) [2π] Eemple : D Sur la figure suivante, on a : ( BA, #» CD) #» = ( BA, #» BC) #» ( BC, #» CD). #» ( BA, #» CD) #» = ( BA, #» BC) #» ( CE, #» CD), #» donc ( BA, #» CD) #» = 3π 4 π 3 = 5π 12. 3π 4 #» w #» v π 3 C #» v E A #» u B Propriété II-3 : Conséquences de la relation de Chasles Pour tous vecteurs non nuls #» u et #» v, on a : #» v #» v 1) ( #» v, #» u) = ( #» u, #» v ) [2π] #» u #» u #» v 2) ( #» u, #» v ) = ( #» u, #» v ) π [2π] #» u #» v #» v 3) ( #» u, #» v ) = ( #» u, #» v ) π [2π] #» u #» u #» v 4) ( #» u, #» v ) = ( #» u, #» v ) [2π] #» u #» u #» v

85 84 II. MESURES D UN ANGLE RIENTÉ Démonstration : 1) ( #» u, #» u) = 0 [2π]. r, d après la relation de Chasles, ( #» u, #» u) = ( #» u, #» v ) ( #» v, #» u) [2π] donc ( #» u, #» v ) ( #» v, #» u) = 0 [2π]. Ainsi, ( #» v, #» u) = ( #» u, #» v ) [2π]. 2) n a : ( #» u, #» v ) = ( #» u, #» v ) ( #» v, #» v ) [2π]. r, ( #» v, #» v ) = π [2π] donc ( #» u, #» v ) = ( #» u, #» v ) π [2π]. 3) De même, on a : ( #» u, #» v ) = ( #» u, #» u) ( #» u, #» v ) [2π]. r, ( #» u, #» u) = π [2π] donc ( #» u, #» v ) = ( #» u, #» v ) π [2π]. 4) D après la relation de Chasles, on a : ( #» u, #» v ) = ( #» u, #» u) ( #» u, #» v ) ( #» v, #» v ) [2π]. Donc, ( #» u, #» v ) = π ( #» u, #» v ) π [2π]. Ainsi, ( #» u, #» v ) 2π est une autre mesure de ( #» u, #» v ) et donc ( #» u, #» v ) 2π 2kπ, k Z est une autre mesure de ( #» u, #» v ). Avec k = 1, on voit que ( #» u, #» v ) est une autre mesure de ( #» u, #» v ) donc ( #» u, #» v ) = ( #» u, #» v ) [2π] Angles orientés et colinéarité L angle ( #» u, #» v ) permet de traduire la colinéarité de deu vecteurs non nuls #» u et #» v. Propriété II-4 : Deu vecteurs non nuls #» u et #» v sont colinéaires et de même sens si et seulement si ( #» u, #» v ) = 0 [2π]. #» u #» v Deu vecteurs non nuls #» u et #» v sont colinéaires et de sens contraire si et seulement si ( #» u, #» v ) = π [2π]. #» v π #» u Cette propriété donne un moyen pour démontrer le parallélisme de deu droites ou l alignement de trois points : Propriété II-5 : Les droites (AB) et (CD) sont parallèles équivaut à ( AB, #» CD) #» = 0 ou π [2π], ce qui peut s écrire : les droites (AB) et (CD) sont parallèles équivaut à ( AB, #» CD) #» = 0 [π]. C A Propriété II-6 : Les trois points A, B et C, deu à deu distincts, sont alignés équivaut à ( AB, #» AC) #» = 0 ou π [2π], ce qui peut s écrire : A, B et C, deu à deu distincts, sont alignés équivaut à ( AB, #» AC) #» = 0 [π]. D B B A C

86 III Trigonométrie Trigonométrie 85 III.1 Cosinus et sinus d un angle orienté Définition III-1 : Cosinus et sinus d un nombre réel Considérons le cercle trigonométrique C dans le repère orthonormé (; #» ı ; #» j ). Soit un nombre réel et M son image sur le cercle C. n appelle cosinus du nombre réel, que l on note cos, l abscisse du point M dans le repère (; #» ı ; #» j ). n appelle sinus du nombre réel, que l on note sin, l ordonnée du point M dans le repère (; #» ı ; #» j ). Ainsi, dans le repère (; #» ı ; #» j ), le point M a pour coordonnées : M() cos B P sin #» j #» j #» ı A M(cos ; sin ). C D Eemple : Le nombre réel π a pour image le point B de coordonnées (0; 1), ainsi cos π sin π 2 2 =0et 2 =1. De même, on peut vérifier que cos(π) = 1 et sin(π) = 0. Dans le plan orienté muni d un repère orthonormé (; #» ı ; #» j ), considérons deu vecteurs non nuls #» u et #» v. Si et y désignent deu mesures en radians de l angle orienté ( #» u; #» v ), alors on a vu qu elles ne différaient que d un multiple de 2π. Donc, le point M tel qu une mesure de l angle ( #» ı, M) #» soit égale à et le point N tel qu une mesure de l angle ( #» ı, N) #» soit égale à y sont confondus. n en déduit que sin = sin y et que cos = cos y. Ainsi, on obtient la définition suivante : Définition III-2 : Cosinus et sinus d un angle orienté Soient #» u et #» v deu vecteurs non nuls et une mesure quelconque de l angle orienté ( #» u; #» v ). Le cosinus de l angle orienté ( #» u, #» v ) est le cosinus de l une quelconque de ses mesures en radians. Il se note cos( #» u, #» v ). Le sinus de l angle orienté ( #» u, #» v ) est le sinus de l une quelconque de ses mesures en radians. Il se note sin( #» u, #» v ). Remarque : Par la suite, on notera cos pour cos( #» u, #» v ) et sin pour sin( #» u, #» v ) où est une mesure en radians de l angle orienté ( #» u, #» v ). Propriété III-1 : Pour tout nombre réel, on a : 1 cos 1 et 1 sin 1 ; (cos ) 2 (sin ) 2 = 1, que l on peut aussi noter cos 2 sin 2 = 1 ; Pour tout entier relatif k, on a : cos( k 2π) = cos et sin( k 2π) = sin.

87 86 III. TRIGNMÉTRIE Démonstration : Tout point M situé sur le cercle trigonométrique C possède, dans le repère (; #» ı ; #» j ), une abscisse et une ordonnée comprise entre 1 et 1. n obtient donc le résultat énoncé, à savoir : 1 cos 1 et 1 sin 1. Avec les notations ci-contre, le triangle HM est rectangle en H. D après le théorème de Pythagore, on peut affirmer que : M 2 = H 2 HM 2 = H 2 K 2. Ainsi, M 2 = (cos ) 2 (sin ) 2 = cos 2 sin 2. En effet, H est égal soit à cos, soit à cos, suivant le signe de cos. De même, K est égal soit à sin, soit à sin, selon le signe de sin. En outre, M = 1, on obtient donc : M() 1 H B #» ı P K #» j #» j A (cos ) 2 (sin ) 2 = 1. Pour tout entier relatif k, les points images des nombres et k 2π sur le cercle trigonométrique C sont confondus. Par conséquent, ils ont les mêmes coordonnées dans le repère (; #» ı ; #» j ), ce qui se traduit par cos( k 2π) = cos et sin( k 2π) = sin. C D Propriété III-2 : Valeurs remarquables Il est utile de connaître ou de savoir retrouver rapidement les valeurs des sinus et cosinus des angles suivants : Mesure (en radian) 0 Mesure (en degré) π 6 π 4 π 3 π 2 1 sin cos La figure ci-dessous illustre le tableau précédent : sin B 6 3 M 3 π 2 2 M 2 π 2 1 M 1 π A cos

88 Trigonométrie 87 III.2 Angles associés n appelle angles associés à un angle orienté de mesure les angles dont une mesure est : soit ou π ou π ou π 2 ou enfin π 2. Ces mesures résultent des nombreuses propriétés de symétrie du cercle trigonométrique C : Propriété III-3 : 1) Pour tout réel, on a : cos( ) = cos ; sin( ) = sin. C J M I M J 2) Pour tout réel, on a : cos(π ) = cos ; sin(π ) = sin. M C π M I 3) Pour tout réel, on a : cos( π) = cos ; sin( π) = sin. C M J M π I 4) Pour tout réel, on a : cos π 2 =sin ; C J M M I : y = π 2 sin π 2 =cos. 5) Pour tout réel, on a : cos π 2 = sin ; sin π 2 =cos. C M 1 J π 2 M I

89 88 III. TRIGNMÉTRIE Démonstration : Pour des raisons de symétrie, on obtient les résultats suivants : 1) Les points M et M sont symétriques par rapport à l ae des abscisses. Ils ont la même abscisse mais des ordonnées opposées. 2) Les points M et M sont symétriques par rapport à l ae des ordonnées. Ils ont la même ordonnée mais des abscisses opposées. 3) Les points M et M sont symétriques par rapport au point. Ils ont des abscisses et des ordonnées opposées. 4) Les points M et M sont symétriques par rapport à la première bissectrice d équation y =. Leurs coordonnées sont «échangées». 5) Les points M 1 et M de l affirmation précédente sont symétriques par rapport à l ae des ordonnées. Ils ont donc la même ordonnée mais des abscisses opposées. Ceci permet d établir le résultat pour les points M et M 1. III.3 Équations trigonométriques Propriété III-4 : Soit a un nombre réel fié. L équation d inconnue, cos = cos a, admet pour solutions les nombres réels de la forme : = a k 2π et = a k 2π, où k Z. Démonstration : J M C a a cos a I M Graphiquement, il eiste deu points M et M sur le cercle trigonométrique C qui correspondent à des angles qui ont le même cosinus. Ces deu points sont symétriques par rapport à l ae des abscisses (I). n retrouve ici la propriété énoncée au paragraphe précédent concernant les angles associés : pour tout réel, cos( ) = cos. Attention! Lorsque l on utilise la calculatrice pour résoudre l équation cos = cos a, celle-ci ne donne qu une seule solution : celle qui appartient à l intervalle [0; π]. Z2 Eemple : L équation cos = cos π solutions réelles les nombres de la forme = 4 apour π k 2π et 4 = π k 2π, où k Z. 4 n écrit l ensemble des solutions sous la forme : S = π 4 2kπ; π 2lπ; (k, l) 4

90 Trigonométrie 89 Propriété III-5 : Soit a un nombre réel fié. L équation d inconnue, sin = sin a, admet pour solutions les nombres réels de la forme : = a k 2π et = π a k 2π, où k Z. Démonstration : M C J sin a π a a M I Graphiquement, il eiste deu points M et M sur le cercle trigonométrique C qui correspondent à des angles qui ont le même sinus. Ces deu points sont symétriques par rapport à l ae des ordonnées (J). n retrouve ici la propriété énoncée au paragraphe précédent concernant les angles associés : pour tout réel, sin(π ) = sin. Attention! Lorsque l on utilise la calculatrice pour résoudre l équation sin = sin a, celle-ci ne donne qu une seule solution : celle qui appartient à l intervalleå π 2 ; π 2è. Z2 Eemple : L équation sin = sin 2π solutions réelles les nombres de la forme = 3 apour 2π 3 k 2π et = 5π k 2π, où k Z. 3 n écrit l ensemble des solutions sous la forme : S = 2π 3 2kπ; 5π 2lπ; (k, l) 3

91 90 IV. EXERCICES IV Eercices Eercice 1 : Convertir des unités d angles 1) Convertir en radians les mesures d angles suivantes, eprimées en degrés : (n donnera les valeurs eactes puis les valeurs arrondies au centième près.) a) 15 ; b) 120 ; c) 200 ; d) 300 ; e) 29. 2) Convertir en degrés les mesures d angles suivantes, eprimées en radians : a) π 5 ; b) 5π 3π ; c) ; d) π ; e) ) Vérifier les réponses précédentes à l aide de la calculatrice. Eercice 2 : Le radian Un angle dont la mesure est π 8 radians mesure aussi 22,5. En déduire les mesures en degrés des angles suivants dont les mesures, eprimées en radians, sont : 1) π 16 ; 2) π 4 ; 3) 3π 8 ; 4) π 80. Eercice 3 : Sur le cercle trigonométrique Construire le cercle trigonométrique C et placer les points images des nombres réels suivants dans l enroulement de la droite des réels sur le cercle C : 1) 5π 6 ; 2) 7π 3 ; 3) 2π 5 ; 4) 5π 4. Eercice 4 : Sur le cercle trigonométrique 1) Déterminer deu nombres réels, l un positif, l autre négatif, ayant le même point image sur le cercle trigonométrique C que le nombre 11π 6. 2) Déterminer tous les nombres réels ayant le même point image sur le cercle trigonométrique C que le nombre 5π 9. Eercice 5 : Mesure principale n sait que ( #» u, #» v ) = 47π 12. Parmi les écritures suivantes, déterminer celle qui permet d obtenir la mesure principale de l angle ( #» u, #» v ) et préciser alors la mesure principale : 1) 47π 12 = 11π 47π 3π ; 2) = π 12 4π. Eercice 6 : Mesure principale Dans chacun des cas suivants, déterminer la mesure principale de l angle orienté, de mesure α, donnée ci-dessous : 1) α = 43π 4 ; 2) α = 500π 3 Eercice 7 : Déterminer des mesures d angles orientés ; 3) α = 325π ; 4) α = 25. 1) Dans le plan orienté, on considère un carré ABCD de centre direct, c est-à-dire que si l on «tourne autour du carré sur son cercle circonscrit dans le sens direct», on rencontre dans l ordre les points A, B, C et D. a) Déterminer deu mesures de l angle orienté ( AB, #» AD). #» b) Déterminer les mesures principales des angles orientés suivants : ( C, #» B) #» ; ( C, #» A) #» ; ( DA, #» C). #» 2) NMP désigne un triangle équilatéral direct. n appelle I le milieu du segment [NM]. Déterminer les mesures principales des angles orientés suivants : ( NM, #» MP #» ) ; ( PN, #» PI) #» ; ( NI, #» PM). #»

92 Eercice 8 : Déterminer des mesures d angles orientés Trigonométrie 91 Dans le plan orienté, on considère un trapèze rectangle ABCD tel que #» DC = 2 #» AB, ( #» DC, #» DA) = π 2 [2π] et AB=AD. n appelle I le milieu du segment [DC]. Déterminer la mesure principale de chacun des angles orientés suivants : ( AB, #» CD) #» ; ( AI, #» AD) #» ; ( BC, #» AI) #» ; ( BC, #» AD). #» Eercice 9 : Énigme n considère un carré dont la longueur du côté est égale à a. Comment choisir le rayon b et l angle α (eprimé en radians) du secteur circulaire suivant pour que son périmètre et son aire soient égau à ceu du carré de côté a? Justifier la réponse. α b a Remarque : Toute trace de recherche, même incomplète, ou toute initiative, même non fructueuse, sera prise en compte. Eercice 10 : Angles orientés et parallélisme Dans le plan orienté, on considère la figure ci-dessous où ABCD et CEF G sont deu parallélogrammes tels que ( AB, #» AD) #» = π #» [2π] et ( CD, CE) #» = π 6 2 [2π]. AHD est un triangle équilatéral tel que ( HA, #» HD) #» = π 3 [2π]. H π 3 A π 6 B D E π 2 C F G L objectif de l eercice est de déterminer si les droites (AH) et (F G) sont parallèles en utilisant les angles orientés. 1) Décomposer l angle de vecteurs ( AH, #» FG) #» en utilisant la relation de Chasles et les vecteurs AD #» et AB. #» 2) Démontrer que ( AB, #» FG) #» = π 2 [2π]. 3) En déduire une mesure de l angle orienté ( AH, #» FG). #» 4) Conclure sur la position relative des droites (AH) et (FG).

93 92 IV. EXERCICES Eercice 11 : Cosinus et sinus d un angle orienté À l aide du cercle trigonométrique, déterminer les valeurs eactes de : 1) cos 17π 2) sin 4 ; 5π 3) cos 3 ; 19π 4) sin 2 ; 11π 6. Eercice 12 : Cosinus et sinus des angles remarquables et des angles associés Sur le cercle trigonométrique C ci-dessous, 1) Compléter les carrés en y faisant figurer les mesures des angles remarquables (eprimées en radians) ainsi que celles de leurs angles associés ; 2) Indiquer, dans les disques, les valeurs eactes des sinus et cosinus des angles correspondants. sin B C A cos Eercice 13 : Équations trigonométriques Par lecture graphique sur le cercle trigonométrique, déterminer les nombres réels appartenant à ] π; π] tels que : 1) cos = ; 2) sin = 2 ; 3) cos = 1 ; 3 4) sin = 2.

94 Eercice 14 : Équations trigonométriques Trigonométrie 93 Résoudre dans R les équations suivantes : 1) cos = cos 3π 2) sin = sin 4 ; π 3 6 ; 3) cos = 2 ; 4) sin = 1. Eercice 15 : Utiliser les angles associés 5 1 n donne cos π. 5 = 4 1) Calculer la valeur eacte de sin π 5. 2) En déduire les valeurs eactes du cosinus et du sinus de chacun des nombres réels suivants : a) 4π 5 ; b) π 5 ; c) 6π 3π 7π ; d) ; e) Eercice 16 : Utiliser les angles associés Sans calculatrice, démontrer que sin 2π 5 sin 4π 5 sin 6π 5 sin 8π 5 = 0. Eercice 17 : Équation trigonométrique et angles associés 1) Démontrer que cos 5π 3 =sin 7π 6. 2) Résoudre dans R l équation trigonométrique sin = cos 5π 3. Eercice 18 : Équation trigonométrique et second degré Résoudre dans R les équations d inconnues suivantes : 1) 2 cos 2 1 = 0 ; 2) 4 sin 2 3 = 0.

95 CHAPITRE 7 PRBABILITÉS 1 I Variable aléatoire et loi de probabilité Définition I-1 : Rappels Une epérience est dite aléatoire lorsqu elle a plusieurs issues (ou résultats) possibles et que l on ne peut ni prévoir, ni calculer laquelle de ces issues sera réalisée. Dans ce chapitre, on se restreint uniquement au epériences ne comportant qu un nombre fini d issues. n appelle l univers d une epérience aléatoire l ensemble de toutes les issues possibles de cette epérience. Un événement est un ensemble d issues de l epérience aléatoire. Les événements élémentaires sont les événements qui ne comportent qu une seule issue de l epérience aléatoire. Eemple : n lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on note le résultat obtenu sur la face supérieure. C est une epérience aléatoire. L univers de cette epérience est l ensemble E = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. L événement «obtenir un nombre impair» est l ensemble I = {1; 3; 5}. L événement «obtenir 5» est un événement élémentaire. Dans cette epérience aléatoire, il y a si événements élémentaires : {1}, {2}, {3}, {4}, {5} et {6}. I.1 Variable aléatoire discrète Définition I-2 : Soit E l univers associé à une epérience aléatoire. n définit une variable aléatoire X sur E lorsque l on associe un nombre réel à chaque issue de l univers E. n dit que l ensemble de ces réels est l ensemble des valeurs prises par X. Autrement dit, une variable aléatoire sur E est une fonction X de E dans R qui à tout élément de E fait correspondre un nombre réel. Remarque : n dit que X est une variable aléatoire discrète puisqu elle ne prend qu un nombre fini de valeurs. Ce sera toujours le cas dans ce chapitre car, comme on l a dit précédemment, on suppose que l univers E est fini. 1.

96 Probabilités 95 Eemple : Reprenons l eemple précédent du lancer du dé cubique et considérons le jeu suivant : n gagne 1esi le résultat obtenu est 1, 2 ou 3. n gagne 3esi la face 4 apparaît. n perd 2es il s agit du nombre 5 ou 6. n peut donc définir la variable aléatoire X égale au «gain algébrique» (positif ou négatif) du joueur. Les valeurs prises par cette variable aléatoire sont 1, 3 et 2. E X(E) n note X(E) = { 2; 1; 3} et on a : X(1) = X(2) = X(3) = 1, X(4) = 3 et X(5) = X(6) = 2. Remarque : Si 1, 2,..., n désignent les images par la variable aléatoire X de l univers E, alors pour tout entier i tel que 1 i n, on note (X = i ), au lieu de X( i ), l ensemble des événements élémentaires de E qui ont pour image i par X. Ainsi, (X = i ) est l événement formé de tous les résultats possibles dont l image est i par la variable aléatoire X. n dit communément que (X = i ) est l événement «X prend la valeur i». Dans l eemple précédent, (X = 2) = {5; 6}, (X = 1) = {1; 2; 3} et (X = 3) = {4}. I.2 Loi de probabilité d une variable aléatoire discrète Définition I-3 : Soit X une variable aléatoire définie sur un univers E, muni d une loi de probabilité p. n note i, avec 1 i n, les différentes valeurs prises par X. Définir la loi de probabilité de la variable aléatoire X consiste à associer à chaque valeur i, pour i allant de 1 à n, la probabilité de l événement (X = i ), notée p(x = i ). Remarque : n présente souvent la loi de probabilité de la variable aléatoire X sous la forme d un tableau : Valeur i prise par X 1 2 n Probabilité p i p 1 = p(x = 1 ) p 2 = p(x = 2 ) p n = p(x = n ) D après la définition d une loi de probabilité, on a : p 1 p n = p i = n i=1 p(x = i ) = 1. n i=1 Eemple : Dans le jeu de l eemple précédent, chaque issue du lancer de dé est équiprobable, de probabilité égale à 1 6. (X = 2) est l événement {5; 6}, donc p(x = 2) = p{5; 6} = p{5} p{6} = = 1 3. De même, on obtient p(x = 1) = = 1 2 et p(x = 3) = 1 6. La loi de probabilité de X est ainsi résumée dans le tableau suivant : Gain i (ene) p(x = i ) 3 2 6

97 96 II. PARAMÈTRES D UNE LI DE PRBABILITÉ II Paramètres d une loi de probabilité Dans tout ce paragraphe, on considère une variable aléatoire discrète X, définie sur l univers E d une epérience aléatoire. Notons 1, 2,..., n les valeurs prises par X avec les probabilités p 1, p 2,..., p n. Ainsi, la loi de probabilité de la variable aléatoire X est résumée dans le tableau suivant : Valeur i prise par X 1 2 n Probabilité p i p 1 p 2 p n II.1 Espérance, variance et écart type d une loi de probabilité Définition II-1 : L espérance mathématique de la variable aléatoire X est le nombre réel, noté E(X), défini par : E(X) = p 1 1 p 2 2 p n n = p i i. n i=1 La variance de la variable aléatoire X est le nombre réel positif, noté V (X), défini par : V (X) = p 1 ( 1 E(X)) 2 p 2 ( 2 E(X)) 2 p n ( n E(X)) 2 = p i ( i E(X)) n i=1 2. L écart-type de la variable aléatoire X est le nombre réel positif, noté σ(x), défini par : σ(x) = V (X). Remarques : Pour comprendre les remarques ci-dessous, il est à noter que, dans le chapitre concernant les statistiques descriptives, on a vu que la moyenne d une série statistique s eprimait par = 1 n i i où N désignait l effectif total. n a donc une autre epression de la moyenne N n i=1 n i=1 n i avec = N i = f i i où f i = n i=1 n i est un nombre compris entre 0 et 1, qui n est autre que la N fréquence de la valeur i. Les définitions précédentes, énoncées pour les probabilités, sont donc semblables à celles établies dans le chapitre traitant des statistiques descriptives. En effet, l espérance mathématique de X est la moyenne de la série statistique des i, pondérée des probabilités p i ; la variance de X est la variance de la série des i, pondérée des probabilités p i ; et l écart-type de X est l écart-type de la série des i, pondérée des probabilités p i. L espérance mathématique d une variable aléatoire X peut s interpréter comme la valeur moyenne des valeurs prises par X lorsque l epérience aléatoire est répétée «un très grand nombre de fois». En effet, la moyenne pondérée des nombres 1, 2,..., n affectés des fréquences f 1, f 2,..., f n est égale à 1 f 1 2 f 2 n f n. En outre, d après la loi des grands nombres, lorsque l epérience est répétée un très grand nombre de fois, ces fréquences se stabilisent et tendent vers les probabilités p 1, p 2,..., p n. La variance d une variable aléatoire X est un indicateur de la dispersion des valeurs prises par X, pondérées par leurs probabilités. L écart-type s eprime dans la même unité que les valeurs i prises par X. Plus il est grand et plus la variable aléatoire X est dispersée.

98 Eemple : Reprenons le jeu précédent consistant à lancer le dé cubique. n a : Probabilités 97 E(X) = 1 3 ( 2) = = = = 1 3. L espérance peut s interpréter en disant que, si l on joue «un très grand nombre de fois», le gain moyen que l on peut «espérer» est de 1 e 0, 33e. 3 Lorsque E(X) = 0, le jeu est dit équitable. Ici, E(X) > 0 donc le jeu est favorable au joueur. V (X) = = = σ(x) =Ö29 9 = 1, Comme l espérance est égale à 1 e et que l écart-type est d environ 1, 795e, le risque d obtenir 3 un gain négatif (c est-à-dire une perte) est important. Propriété II-1 : Théorème de König-Huygens La variance de la variable aléatoire X peut aussi s écrire sous la forme : V (X) = p p p n 2 n (E(X)) 2 = p i n i=1 2 i (E(X)) 2 Démonstration : La démonstration a été établie lors du chapitre intitulé Statistiques Descriptives. Eemple : En reprenant l eemple précédent, on remarque que le calcul de la variance est un peu plus rapide. En effet, V (X) = 1 3 ( 2) = II.2 Transformation affine d une variable aléatoire Définition II-2 : Soit X une variable aléatoire discrète définie sur l univers E d une epérience aléatoire. n note i les valeurs prises par X avec les probabilités p i, pour i allant de 1 à n. Soient a et b deu nombres réels. n note Y = ax b la variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant : Valeur prise par X 1 2 n Valeur prise par Y = ax b a 1 b a 2 b a n b Probabilité p i p 1 p 2 p n Propriété II-2 : Soit X une variable aléatoire et soient a et b deu nombres réels quelconques. Alors, on a : E(aX b) = ae(x) b ; V (ax) = a 2 V (X) ; σ(ax) = a σ(x).

99 98 III. RÉPÉTITIN D EXPÉRIENCES IDENTIQUES ET INDÉPENDANTES Démonstration : E(aX B) = p i (a i b) = n i=1 (ap i i bp i ) = n i=1 ap i i n i=1 bp i = a n i=1 p i i b n i=1 p i. n i=1 r p i i = E(X), par définition de l espérance de X, et n i=1 p i = 1, par définition de la loi n i=1 de probabilité de X. Ainsi, E(aX b) = ae(x) b. V (ax) = p i (a i E(aX)) n i=1 2 = p i (a i ae(x)) n i=1 2 = p i (a( i E(X))) n i=1 2 = p i a n i=1 2 ( i E(X)) 2 = a n i=1 2 p i ( i E(X)) 2 = a 2 V (X). σ(ax) = V (ax) = a 2 V (X) = a 2 V (X) = a V (X) = a σ(x). Eemple : n considère que nombre de spectateurs d un match de football est une variable aléatoire X dont l espérance mathématique est égale à et dont l écart-type est égal à n suppose que le pri d une place est de 10e. Appelons Y la variable aléatoire égale à la recette du match. n a donc Y = 10X. Ainsi, E(Y ) = E(10X) = 10E(X) = = et V (Y ) = V (10X) = 10 2 V (X) = = , d où σ(y ) = V (Y ) = = = = 450. L espérance mathématique de la recette est donc de eet son écart-type est égal à 450e. III Répétition d epériences identiques et indépendantes Définition III-1 : n dit qu il y a répétition d epériences identiques lorsque la même epérience aléatoire est répétée plusieurs fois de suite. n dit que ces epériences aléatoires successives sont indépendantes si les résultats de chacune d elles ne dépendent pas des résultats des autres epériences. Eemples : Le fait de lancer trois fois de suite un dé cubique équilibré constitue la répétition de trois epériences (lancer un dé) identiques et indépendantes car le numéro apparu sur la face supérieure lors d un lancer du dé ne dépend pas du numéro obtenu au deu autres lancers. En revanche, si un professeur fait deu jours de suite un contrôle surprise à ses élèves ; ces deu epériences sont identiques mais la probabilité que les élèves aient révisé le second jour est plus importante que le premier jour. Ces deu epériences ne sont donc pas indépendantes. III.1 Modélisation d une epérience aléatoire à deu ou trois issues n peut modéliser une epérience aléatoire à deu ou trois issues à l aide d un arbre pondéré. Les différentes issues de l epérience aléatoire sont représentées au etrémités des branches de l arbre et la probabilité de chaque issue est inscrite sur la branche conduisant à cette issue. p q Ā Epérience à deu issues A et Ā : p q = 1 A p q r C Epérience à trois issues A, B et C : p q r = 1 A B

100 Probabilités 99 D après la définition de la loi de probabilité d une epérience aléatoire, on peut énoncer la loi des nœuds suivante valable dans un arbre pondéré : Propriété III-1 : Loi des nœuds La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d un même nœud d un arbre pondéré est toujours égale à 1. III.2 Modélisation de la répétition de deu epériences identiques et indépendantes Étude d un eemple Une urne contient neuf boules indiscernables au toucher : quatre rouges, trois vertes et deu noires. L epérience aléatoire considérée consiste à tirer successivement et au hasard deu boules de l urne avec remise et à noter les couleurs obtenues. Analysons la situation : on remet la boule après le premier tirage, donc la composition de l urne lors du second tirage est identique à celle rencontrée lors du premier tirage. Cette epérience aléatoire consiste donc en la répétition, deu fois de suite, de l epérience «tirer au hasard une boule dans l urne et noter sa couleur». Comme le résultat du second tirage ne dépend pas de l issue du premier, les deu epériences (1 er et 2 e tirage) sont donc indépendantes. Il s agit donc bien de la répétition de deu epériences aléatoires identiques et indépendantes. Attention, il n en serait pas de même lors d un tirage sans remise. En effet, la composition de l urne lors du second tirage se trouverait modifiée par le premier. L univers associé à chaque epérience précédente est l ensemble des neuf boules qui ont toutes la même probabilité d être tirées, puisque les boules sont supposées indiscernables. Cette probabilité est égale à 1. Étant dans un cas d équiprobabilité, les événements R (boule rouge), V (boule verte) et N 9 (boule noire) ont donc respectivement pour probabilités 4 9, 3 9 et 2 9. Cette répétition de deu epériences aléatoires identiques et indépendantes peut être ainsi illustrée par l arbre pondéré suivant : 1 re boule 2 e boule Issues 4 9 R (R; R) R 3 9 V (R; V ) N (R; N) 3 9 V R (V ; R) 9 V (V ; V ) 2 9 N (V ; N) R 9 (N; R) N 3 9 V (N; V ) 2 9 N (N; N) n associe à chaque chemin la liste des résultats lus en parcourant ce chemin. Cette liste est une issue de l epérience. Ainsi, le chemin R V représente l issue (R; V ). n admettra que, dans le cas d une répétition d epériences identiques et indépendantes, la probabilité d une issue s obtient en faisant le produit des probabilités inscrites sur le chemin représentant

101 100 III. RÉPÉTITIN D EXPÉRIENCES IDENTIQUES ET INDÉPENDANTES cette issue. Ainsi, l issue (R; V ) a pour probabilité p(r; V ) = p(r) p(v ) = = 12. De même, 81 on a p(v ; N) = = Cas général Lorsqu une epérience aléatoire est la répétition de plusieurs épreuves identiques et indépendantes, on peut la représenter par un arbre pondéré où une issue est une liste ordonnée de résultats, représentée par un chemin. n admettra la loi suivante : Propriété III-2 : Loi des chemins Dans une epérience aléatoire étant la répétition de plusieurs épreuves identiques et indépendantes, la probabilité d une issue représentée par un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin. En outre, on peut énoncer la propriété suivante, que l on admet également : Propriété III-3 : Dans une epérience aléatoire étant la répétition de plusieurs épreuves identiques et indépendantes, la probabilité d un événement A est la somme des probabilités des issues associées au chemins qui conduisent à la réalisation de A. Eemple : Reprenons l eemple précédent du tirage de deu boules avec remise et notons U l événement «obtenir un tirage unicolore». Trois chemins conduisent à U : R R, ou V V ou enfin N N. Ainsi, d après les deu propriétés précédentes, on a : p(u) = p(r; R) p(v ; V ) p(n; N) = = III.3 Un eemple de variable aléatoire associée à une telle situation Reprenons l eemple précédent du tirage de deu boules avec remise et considérons la variable aléatoire X qui indique le nombre de boules rouges obtenues. Lors des deu tirages, on ne peut obtenir que zéro, une ou deu boules rouges. Ainsi X prend les valeurs 0, 1 ou 2. Définissons la loi de probabilité de la variable aléatoire X : L événement (X = 2) correspond au seul chemin R R. Ainsi, p(x = 2) = p(r; R) = = L événement (X = 1) est réalisé à partir des chemins R V, R N, V R ou N R. Ainsi, on a : p(x = 1) = = Pour calculer, p(x = 0), on peut procéder de façon analogue ou bien procéder ainsi, d après la définition d une loi de probabilité : p(x = 0) = 1 p(x = 1) p(x = 2) = = La loi de probabilité de la variable aléatoire X peut donc être résumée dans le tableau suivant : Nombre de boules rouges i Probabilité p(x = i )

102 IV Eercices Eercice 1 : Variable aléatoire discrète Probabilités 101 Un enfant vise la cible ci-contre avec des fléchettes. S il la rate, il ne marque pas de point ; sinon il obtient le nombre de points indiqués dans la zone atteinte ) Il lance une série de deu fléchettes. n appelle X la variable aléatoire qui associe le score obtenu à la série de deu lancers. Déterminer l ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X. 2) Il lance une série de trois fléchettes. n appelle Y la variable aléatoire qui associe le score obtenu à la série de trois lancers. Déterminer l ensemble des valeurs prises par la variable Y. Eercice 2 : Loi de probabilité d une variable aléatoire discrète Un joueur lance un dé cubique équilibré deu fois de suite. Si, lors du deuième lancer, il obtient un numéro double du numéro obtenu au premier lancer, il marque deu points. S il obtient, au deuième lancer, le même numéro que celui obtenu lors du premier lancer, il ne marque aucun point. S il obtient, au deuième lancer, un numéro strictement inférieur à celui obtenu lors du premier lancer, il perd un point. Enfin, dans tous les autres cas, il marque un point. n appelle X la variable aléatoire qui, à chaque issue de l epérience, associe le nombre de points gagnés ou perdus. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. Eercice 3 : Propriété de la loi de probabilité d une variable aléatoire Soit N la variable aléatoire donnant le nombre de caisses en service à l ouverture d un supermarché. La loi de probabilité de N est indiquée dans le tableau ci-dessous : Nombre de caisses en service n i Probabilité p(n = n i ) 0,2 0,3 0,25 0,1 m 1) Déterminer le nombre réel m, en justifiant. 2) n note (N 3) l événement «(N = 3) ou (N = 4) ou (N = 5)». Déduire de la question précédente la valeur de p(n 3). Eercice 4 : Propriété de la loi de probabilité d une variable aléatoire Un dé déséquilibré à si faces est tel que les faces paires ont toutes la même probabilité de sortir, les faces impaires ont toutes la même probabilité de sortir, et les faces paires ont deu fois plus de chances de sortir que les faces impaires. n lance ce dé et on considère la variable aléatoire X qui, à chaque lancer, associe le nombre obtenu. 1) Démontrer que p(x = 1) = ) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. Eercice 5 : Loi de probabilité d une variable aléatoire discrète n tire une carte dans un jeu de 32 cartes. Si la carte tirée est un as, on gagne trois jetons. Si c est un cœur, on gagne deu jetons. Pour toutes les autre cartes, on perd un jeton. Ces gains se cumulent si la carte tirée répond à plusieurs critères. n désigne par X la variable aléatoire qui associe à chaque carte le gain en jetons correspondant. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. 5 2

103 102 IV. EXERCICES Eercice 6 : Loi de probabilité d une variable aléatoire discrète Trois jetons A, B et C sont placés initialement comme ci-dessous sur une rangée de trois cases. A B C n prend les trois jetons et on les place au hasard sur la rangée en mettent un jeton par case. 1) À l aide d un arbre, représenter les issues de cette epérience. 2) X désigne la variable aléatoire qui, à chaque issue, associe le nombre de jetons retrouvant leur place initiale. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. Eercice 7 : Paramètres d une loi de probabilité Lors d un marché nocturne, pour distribuer les places au eposants, un tirage au sort est organisé par la municipalité. Les emplacements sont numérotés de 1 à 20. Trois emplacements mesurent 5 mètres de large, huit emplacements mesurent 3 mètres de large et les emplacements restants ont une largeur égale à 2 mètres. n appelle X la variable aléatoire qui associe à chaque emplacement sa largeur. 1) Déterminer la loi de probabilité de X. 2) Calculer l espérance, la variance et l écart-type de la variable aléatoire X puis vérifier ces résultats à l aide de la calculatrice. 3) Interpréter l espérance de la variable aléatoire X par rapport au marché considéré. Eercice 8 : Calcul et interprétation de l espérance Yann le forain propose un jeu de dés avec un dé cubique particulier puisque ses faces sont numérotées avec des mots (de un à si) et non avec des chiffres. Pour une mise de 4e, le joueur lance le dé, supposé équilibré, et gagne autant d euros que le nombre apparu comporte de lettres dans son écriture en français. Zoé la foraine propose le même jeu, mais l écriture du nombre sur chaque face du dé est en anglais. Soient Y et Z les variables aléatoires donnant le gain algébrique d un joueur, en tenant compte de la mise initiale, respectivement au jeu de Yann et au jeu de Zoé 1) Déterminer les lois de probabilités des variables aléatoires Y et Z. 2) Calculer l espérance de Y puis celle de Z. 3) En déduire le jeu le plus favorable au joueur, en justifiant. Eercice 9 : Jeu équitable ou jeu non équitable n considère le jeu suivant : un joueur pose une mise m > 0 sur la table de jeu, puis tire au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes. Si la carte tirée est : un as, le joueur gagne quatre fois sa mise ; un roi, le joueur gagne deu fois sa mise ; une dame, le joueur remporte sa mise ; un valet, le joueur remporte sa mise. Dans les autres cas, le joueur perd sa mise. n considère que chaque carte a la même probabilité d être tirée et on nomme X la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur en tenant compte de sa mise. 1) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. 2) Calculer E(X) en fonction de m. 3) Eiste-t-il une valeur de m pour laquelle le jeu soit équitable? Si non, le jeu est-il favorable ou défavorable au joueur? Justifier la réponse.

104 Eercice 10 : Jeu équitables et risque Probabilités 103 Les deu frères UKI, Ted et Bill, ont chacun organisé un jeu de hasard. Pour jouer au jeu de Ted, le joueur doit débourser 12e. Il lance ensuite deu pièces de monnaie équilibrées. n compte alors le nombre de «FACE» obtenu. Si aucun «FACE» n est apparu, le joueur gagne 8e. Si «FACE» n apparaît qu une seule fois sur les deu lancers, alors le joueur gagne 13e. Enfin, dans le dernier cas, le joueur gagne 14e. Pour le jeu de Bill, le joueur débourse aussi 12e. Il lance cette fois trois pièces de monnaie. n compte alors le nombre de «FACE» obtenu. Si aucun «FACE» n est apparu, le joueur perd sa mise. Si «FACE» n apparaît qu une seule fois sur les trois lancers, alors le joueur gagne 13e. Si «FACE» apparaît deu fois sur les trois lancers, alors le joueur gagne 14e. Enfin, dans le dernier cas, le joueur gagne 15e. n définit les variables aléatoires T et B qui, à chaque partie, associe le gain algébrique (tenant compte de la mise initiale) du joueur ayant joué au jeu de Ted ou respectivement à celui de Bill. 1) Déterminer la loi de probabilité des variables aléatoires T et B. 2) Calculer l espérance de chacune des variables aléatoires T et B. Les comparer et les interpréter. Eiste-t-il un jeu plus favorable au joueur qu un autre? 3) Calculer la variance et l écart-type de chacune des variables aléatoires T et B. Quel jeu conseiller à un joueur qui n aime pas prendre de risque? Justifier. Eercice 11 : Transformation affine d une variable aléatoire n considère une variable aléatoire X dont la loi de probabilité est indiquée dans le tableau suivant : i p(x = i ) 0,2 0,1 0,3 0,3 0,1 1) Calculer les valeurs eactes de l espérance et de la variance de la variable aléatoire X. 2) Soit Y la nouvelle variable aléatoire définie par Y = X b où b est un nombre réel. Déterminer la valeur de b pour laquelle l espérance de Y est nulle. 3) Soit Z la nouvelle variable aléatoire définie par Z = ax où a est un nombre réel. Déterminer la (ou les) valeur(s) eacte(s) de a pour laquelle (pour lesquelles) la variance de la variable Z est égale à 1. Eercice 12 : Transformation affine d une variable aléatoire 1) Une enquête est réalisée par SMS auprès d adultes abonnés à un opérateur téléphonique. Lorsque l abonné répond à cette enquête, il participe automatiquement à un tirage au sort. Ainsi, il gagne 30 min de communications gratuites une fois sur si, 21 min une fois sur trois, sinon il gagne 10 min de communications gratuites. Considérons la variable aléatoire X dont les valeurs sont égales au nombre de minutes gratuites gagnées par l abonné. a) Calculer l espérance de la variable aléatoire X. b) Epliquer ce que représente cette espérance. 2) La même enquête est également menée sur une population d adolescents. n remplace alors chaque minute de communication gratuite gagnée par 5 SMS gratuits auquels s ajoutent 20 SMS gratuits, offerts pour tous. n appelle Y la variable aléatoire dont les valeurs sont le nombre de SMS gratuits gagnés. a) Eprimer la variable aléatoire Y en fonction de X. b) En déduire l espérance de la variable aléatoire Y. c) Interpréter E(Y ).

105 104 IV. EXERCICES Eercice 13 : Répétition d epériences identiques et indépendantes Un Questionnaire à Choi Multiples est composé de quatre questions. Pour chaque question, trois affirmations sont proposées. Une et une seule est eacte. Chaque question est notée sur 1 point. Pour chaque question, une réponse eacte rapporte 1 point ; une réponse ineacte enlève 0,5 point. A la fin, si le total des points est négatif, la note est ramenée à zéro. Un élève décide de répondre au hasard à toutes les questions. n note X la variable aléatoire donnant la note obtenue par l élève à ce QCM. 1) À l aide d un arbre pondéré, déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. 2) Calculer son espérance et son écart-type. 3) Interpréter E(X). Eercice 14 : Répétition d epériences identiques et indépendantes À une intersection, un feu de signalisation est successivement vert, orange et rouge pendant respectivement 30 secondes, 5 secondes et 15 secondes. Un automobiliste passe à cette intersection 3 fois par semaine. Il y arrive à un instant au hasard dans le cycle du feu. À l aide d un arbre pondéré, déterminer la probabilité que, en une semaine, l automobiliste : 1) arrive toujours lorsque le feu est vert ; 2) ne rencontre qu un seul feu rouge ; 3) arrive au moins une fois quand le feu est vert. Eercice 15 : Simulation d une variable aléatoire La roue d une loterie est divisée en trois secteurs identiques numérotés 1, 2 et 3. n suppose qu après l avoir fait tourner, celle-ci s arrête sur l un des trois secteurs de façon équiprobable. n s intéresse au jeu suivant : on fait tourner la roue trois fois de suite et on calcule la somme des trois numéros obtenus. n admet que chacun des numéros obtenus est indépendant des autres numéros. n note S la variable aléatoire dont les valeurs sont égales à la somme des trois numéros obtenus. 1) Dans un premier temps, on va effectuer une série de 10 parties, puis, ensuite, une série de 100 parties et enfin une série de parties. Ces simulations seront réalisées avec le tableur. a) Réaliser la feuille de calcul suivante où l on affiche les trois numéros obtenus et leur somme. Pour simuler une rotation de la roue, on utilise la fonction =Alea.entre.bornes(1 ;3) qui permet de choisir un nombre entier de façon aléatoire entre 1 et 3. n affiche également, la fréquence d apparition de chaque valeur de S en utilisant la fonction =nb.si(plage ;critère) qui permet, dans la plage de cellules spécifiée, de compter le nombre de cellules répondant à un critère donné. Enfin, on calcule la moyenne et la variance de la série statistique des 10 valeurs obtenue. b) Répéter la simulation plusieurs fois en appuyant simplement sur la touche F9. bserver alors les différentes valeurs des fréquences, de la moyenne et de la variance. c) Réaliser une simulation de 100 parties puis une autre de parties en recopiant et en adaptant les formules précédentes dans deu nouvelles feuilles du classeur. d) Quelles observations peut-on faire sur la moyenne et la variance de la série statistique lorsque le nombre de parties est de ? En comparant les trois feuilles de calculs correspondant au 10, 100 et parties, préciser l évolution de la moyenne des sommes obtenues lorsque le nombre de parties augmente.

106 Probabilités 105 e) Quelles observations peut-on faire sur les fréquences d apparition de chaque valeur de S lorsque le nombre de parties est de plus en plus grand? 2) n veut maintenant modéliser la situation de façon théorique. a) Modéliser à l aide d un arbre les différentes issues possibles lors d une partie de ce jeu. b) Dénombrer les issues favorables à l obtention d une somme égale à quatre. c) En déduire la loi de probabilité de la variable aléatoire S. d) Calculer l espérance E(S) et la variance V (S) de la variable aléatoire S. e) Quels liens peut-on faire entre les résultats des simulations effectuées à la question 1) et les valeurs E(S) et V (S) calculées ici? Eercice 16 : Loi géométrique tronquée n lance quatre fois de suite un dé cubique équilibré. n considère la variable aléatoire X définie de la façon suivante : si, au terme des quatre lancers, la face numérotée 6 n est pas apparue, alors la variable aléatoire X prend pour valeur 0 ; sinon, la variable aléatoire X prend pour valeur le rang de la première apparition de la face numérotée 6 lors des quatre lancers. 1) Lors d un lancer, seuls deu événements nous intéressent : l événement A : «le numéro apparu est le si» ; son événement contraire Ā : «le numéro sorti n est pas le si». Ainsi, on peut considérer qu un lancer du dé est une epérience aléatoire à deu issues A et Ā. Déterminer alors les probabilités des événements A et Ā. 2) n répète quatre fois cette epérience aléatoire dans les mêmes conditions. En outre, le lancer d un dé n a pas d influence sur les autres lancers. Il s agit donc d une répétition de quatre epériences aléatoires identiques et indépendantes. n peut alors la modéliser par un arbre pondéré qui permet le calcul des probabilités des événements. n a dessiné ci-dessous le début de cet arbre : er lancer 2 e lancer 3 e lancer... A... A... Ā A... Ā... A... Ā Ā a) Dessiner l arbre pondéré dans son intégralité. Les issues possibles sont-elles équiprobables? b) Préciser l ensemble des valeurs possibles prises par la variable X. c) Justifier pourquoi l événement «X = 0» est représenté par l unique chemin Ā Ā Ā Ā. En déduire p(x = 0). d) Dresser le tableau donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire X. e) Calculer l espérance E(X) de la variable X et l interpréter. Remarque : n dit que la variable aléatoire X suit une loi géométrique tronquée.

107 106 IV. EXERCICES Eercice 17 : Simuler la loi géométrique tronquée avec un algorithme n considère l algorithme suivant écrit avec le logiciel Algobo : 1) Epliquer quelles sont les valeurs possibles de la variable Piece avec l affectation suivante : «Piece PREND_LA_VALEUR floor(2 random())». 2) Afin de comprendre ce que réalise l algorithme, compléter pas à pas le tableau suivant en choisissant au hasard les différentes valeurs prises par la variable Piece : Initialisation Étape 1 Étape 2... i 0 1 Piece 0 Tant que (Piece == 0 ET i < 3) Vrai X 0 3) a) Epliquer quelle est l epérience aléatoire simulée par l algorithme précédent. b) Définir précisément la variable aléatoire X associée à cette epérience. 4) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X en établissant un arbre pondéré. 5) Calculer l espérance E(X) de la variable X et interpréter le résultat obtenu. Eercice 18 : Étude théorique de la loi géométrique tronquée Soit p un nombre réel appartenant à l intervalle ]0; 1[ et soit n un nombre entier naturel non nul. n considère l epérience aléatoire qui admet les deu issues contraires suivantes : l une appelée succès, «notée S», dont la probabilité est égale à p ; et l autre appelée «échec», notée E, dont la probabilité est égale à 1 p = q. n considère ensuite le procédé qui consiste à répéter dans des conditions identiques et indépendantes l epérience décrite précédemment, avec au maimum n répétitions et arrêt du processus lors de la réalisation du premier succès. n appelle loi géométrique tronquée de paramètres n et p la loi de probabilité de la variable aléatoire X définie par : X = 0, si aucun succès n a été obtenu lors des n répétitions, X est égale au rang du premier succès obtenu, sinon. 1) À l aide d un arbre probabiliste, déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X en démontrant que : a) p(x = 0) = (1 p) n. b) Pour tout entier k tel que 1 k n, p(x = k) = (1 p) k 1 p.

108 Probabilités 107 2) En utilisant les connaissances sur la somme des termes d une suite géométrique de raison distincte de 1, vérifier que p(x = k) = 1. n k=0 3) Démontrer que l espérance de la variance aléatoire X s eprime sous la forme : E(X) = p k(1 p) n k=1 k 1 = p kq n k=1 k 1 = p(1 2q 3q 2 nq n 1 ). 4) n cherche à eprimer la valeur eacte de E(X) en fonction de n et de p. Pour cela, considérons la fonction f, définie sur l intervalle ]0; 1[, par f() = 1 2 n. a) Pour tout appartenant à l intervalle ]0; 1[, écrire f() sous la forme d un quotient. b) Vérifier que la fonction f est dérivable sur l intervalle ]0; 1[ et calculer deu epressions différentes de f (), pour tout appartenant à ]0; 1[. c) En déduire l égalité E(X) = 1 p (1 (1 np)(1 p)n ). 5) Utiliser un outil numérique ou graphique pour émettre une conjecture sur la limite de E(X) lorsque n tend vers l infini. Eercice 19 : Simuler la loi géométrique tronquée avec un algorithme (Généralisation) 1) Soit p un nombre réel appartenant à l intervalle ]0; 1[. Epliquer pourquoi l instruction floor(random()p) génère un nombre aléatoire entier qui vaut 1 avec la probabilité p et 0 avec la probabilité 1 p. 2) Epliquer le rôle de l algorithme suivant en précisant la fonction de chacune des variables. Définir précisément la variable aléatoire X associée à cette epérience. 3) Modifier l algorithme précédent de façon à ce que l utilisateur puisse répéter l epérience le nombre de fois qu il le désire. De plus, on souhaite que le nouvel algorithme affiche les différentes valeurs de X obtenues pour chaque epérience. n peut alors ainsi visualiser la distribution de la loi géométrique tronquée. 4) En dernier lieu, modifier l algorithme précédent afin d afficher les fréquences des différentes valeurs de X obtenues. 5) Calculer la moyenne des fréquences des valeurs de X, pondérée par ces mêmes valeurs de X. La comparer avec E(X) théorique. bserver son évolution lorsque le nombre d epériences devient suffisamment grand.

109 108 IV. EXERCICES Eercice 20 : Les paradoes de l espérance n dispose d une roue de loterie qui comporte di secteurs identiques, neuf verts et un rouge. n propose les deu jeu suivants : Jeu 1 : Si la roue s arrête sur un secteur vert, le joueur gagne 2 000e, sinon il perd 8 000e. Jeu 2 : Si la roue s arrête sur un secteur vert, le joueur ne gagne ni ne perd rien, sinon il gagne e. 1) Pour chaque jeu, calculer l espérance et l écart-type du gain du joueur. Interpréter ces résultats. 2) Préciser les critères qui peuvent epliquer qu un joueur préfère, malgré tout, l un ou l autre des deu jeu. Remarque : Les deu jeu précédents ont conduit le mathématicien John Von Neumann ( ) à compléter, dans certains cas, la notion d espérance mathématique par celle «d utilité espérée», qui permet de tenir compte des choi personnels et de la psychologie du joueur. Eercice 21 : Le paradoe de Saint Pétersbourg L eercice suivant a été formulé par Nicolas Bernoulli en Ce problème a été approfondi par son cousin Daniel Bernouilli dans l ouvrage Les transactions de Saint Pétersbourg, ce qui lui a valu son nom. Un joueur joue contre la banque au jeu «PILE» ou «FACE», en misant toujours sur «FACE». Il adopte la stratégie suivante : il mise un euro au premier coup ; si «PILE» apparaît, il perd sa mise et il double alors sa mise au coup suivant, et ainsi de suite tant que «FACE» ne sort pas. Si «FACE» apparaît, il remporte le double de sa mise. Le joueur dispose naturellement d une fortune limitée, qui lui permet de perdre au maimum n coups consécutifs de sorte que, si «PILE» sort n fois de suite, il ne peut plus miser et doit arrêter le jeu. n admet que la fortune de la banque, elle, n est pas limitée. Une partie consiste pour le joueur à jouer, si sa fortune le lui permet, jusqu à ce que «FACE» apparaisse. 1) n suppose que le joueur ne dispose que de 1 000e. Déterminer le nombre maimum n de coups qu il peut effectuer. 2) Modéliser l epérience aléatoire à l aide d un arbre probabiliste. 3) Déterminer la probabilité que le joueur gagne la partie. (n pourra utiliser l événement contraire) 4) Notons X la variable aléatoire qui prend pour valeur le rang de l apparition de «FACE», si elle se produit. n convient que, dans le cas où «FACE» ne sort pas, X prend pour valeur 0. a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. b) Préciser le nom de la loi de probabilité précédemment étudiée que suit la variable aléatoire X. n précisera alors ses paramètres. 5) Notons Y la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain algébrique du joueur. a) Démontrer que, si le joueur gagne la partie, quel que soit le rang auquel il la gagne, son gain algébrique est toujours de 1 e. b) En déduire la loi de probabilité de la variable aléatoire Y. c) Préciser son espérance E(Y ). d) Ce jeu est-il équitable? 6) En observant la loi de probabilité de Y, epliquer pourquoi ce jeu n est pas très attrayant pour le joueur. Cette observation constitue un premier paradoe. 7) a) Si l on suppose que le joueur dispose désormais d une fortune illimitée, conjecturer la probabilité que le joueur gagne la partie. Il semble donc que la stratégie du joueur qui consiste à doubler sa mise, tant que «PILE» apparaît, constitue une martingale infaillible. b) Comparer ce résultat avec E(Y ) et epliquer en quoi il constitue un second paradoe. Remarque : Une martingale est une technique sensée augmenter les chances de gain au jeu de hasard tout en respectant les règles du jeu. Le principe d une martingale est d augmenter (par eemple, de doubler) la mise en cas de perte, afin de la rattraper.

110 Eercice 22 : Le lièvre et la tortue Probabilités 109 Partie 1 : Le lièvre est plus rapide que la tortue : il faut un pas au lièvre pour arriver au but, alors qu il en faut si à la tortue. Une partie du jeu du lièvre et de la tortue se déroule ainsi : n lance un dé cubique équilibré : Si le dé tombe sur 6, le lièvre atteint directement l arrivée et gagne la course. Sinon, la tortue avance d une case et on relance le dé jusqu à ce qu il y ait un gagnant, sachant que la tortue doit avancer de si cases depuis son point de départ pour atteindre l arrivée. Les lancers du dé sont indépendants. 1) A priori, quelle situation vous semble la plus enviable? Celle du lièvre, de la tortue ou les deu ont-ils autant de chances de gagner? 2) Préciser le nombre maimum de lancers du dé nécessaires pour que l un des deu joueurs ait gagné. 3) Représenter la situation par un arbre pondéré. 4) Déterminer la probabilité que la tortue gagne. En déduire celle que le lièvre gagne. 5) Notons X la variable aléatoire qui indique le nombre de lancers nécessaires pour que le lièvre gagne. Si le lièvre perd, on convient que X prend la valeur 0. a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. b) Calculer E(X) puis interpréter ce résultat. Partie 2 : n modifie la règle du jeu : la tortue ne doit plus maintenant avancer que de quatre cases depuis son point de départ pour atteindre l arrivée. 1) Modifier l étude précédente pour déterminer la probabilité que la tortue gagne. 2) Le jeu est-il équitable? Partie 3 : n suppose que la tortue n a que n cases à parcourir pour relier l arrivée, où n est un entier naturel non nul. n se propose de déterminer s il eiste une valeur n pour laquelle le jeu est équitable. n lance le dé n fois et on représente une partie par une liste de n nombres indiquant les valeurs successives du dé obtenues lors des n lancers. Si une liste comporte au moins un si, c est le lièvre qui gagne. Si une liste ne comporte aucun si, c est la tortue qui a gagné. 1) Combien de listes différentes peut on former? 2) Parmi ces listes, combien ne contiennent pas de si? 3) En déduire la probabilité que la tortue gagne en fonction de n. 4) Eiste-t-il une valeur de n pour laquelle le jeu est équitable? Sinon, pour quelles valeurs de n le jeu est-il favorable à la tortue, au lièvre?

111 CHAPITRE 8 LI BINMIALE 1 I Épreuve de Bernoulli - Loi de Bernoulli Définition I-1 : Une épreuve de Bernoulli est une epérience aléatoire ne comportant que deu issues : pile ou face, noir ou blanc, oui ou non, gagné ou perdu,... n décide d appeler l une de ces issues «succès», que l on note S, et l autre «échec», que l on note S. n dit qu une épreuve de Bernoulli est de paramètre p, où p [0; 1], si la probabilité du succès S est égale à p. La probabilité de l échec S est donc égale à 1 p, que l on note communément par la lettre q, de sorte que q = 1 p. L épreuve de Bernoulli de paramètre p est modélisée par l arbre probabiliste suivant : p S q = 1 p S Eemple : n lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on note le résultat obtenu sur la face supérieure. n peut décider d appeler «succès» la sortie du numéro 4. Cette epérience aléatoire est une épreuve de Bernoulli de paramètre p = 1 6. Définition I-2 : Dans une épreuve de Bernoulli de paramètre p, où p [0; 1], notons X la variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d échec. La loi de probabilité de la variable aléatoire X est indiquée dans le tableau suivant : i 0 1 p(x = i ) q = 1 p p n dit que la variable aléatoire X suit la loi de Bernoulli de paramètre p. 1.

112 Loi binomiale 111 Propriété I-1 : Soit X une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre p, où p [0; 1]. n a alors : E(X) = p ; V (X) = p(1 p) = pq ; σ(x) = p(1 p) = pq. Démonstration : En effet, on a : E(X) = 0 (1 p) 1 p = p ; V (X) = 0 2 (1 p) 1 2 p p 2 = p p 2 = p(1 p) = pq ; σ(x) = p(1 p) = pq. Eemple : Dans l eemple précédent du lancer du dé, notons X la variable aléatoire qui prend la valeur 1 lorsque le numéro 4 apparaît et 0 sinon. n dit que X est une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p = 1. Sa loi de 6 probabilité est donnée par : II Ses paramètres sont : E(X) = 1 6 Schéma de Bernoulli i p(x = i ) 6 6 et V (X) = Définition II-1 : Soit n un entier naturel non nul et p un nombre réel appartenant à l intervalle [0; 1]. n appelle schéma de Bernoulli d ordre n et de paramètre p toute epérience aléatoire qui consiste en la répétition de n épreuves de Bernoulli (de paramètre p) identiques et indépendantes. Propriété II-1 : n peut représenter un schéma de Bernoulli d ordre n et de paramètre p par un arbre probabiliste à 2 n branches. Les issues sont des n-uplets dont les n termes sont S pour «succès» ou S pour «échec». Comme le schéma de Bernoulli est la répétition d epériences aléatoires identiques et indépendantes, la probabilité d une issue représentée par un chemin s obtient en effectuant le produit des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin. Eemple : Considérons l epérience aléatoire qui consiste à lancer trois fois de suite un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. n s intéresse au nombre d apparitions du numéro 4 au terme de ces trois lancers. Cette epérience est un schéma de Bernoulli d ordre n = 3 et de paramètre p = 1 puisque l on 6 répète trois fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre p = 1, égale à la 6 probabilité d obtention du chiffre 4 lors d un lancer du dé. n convient de noter S :«le numéro 4 est apparu» et S :«le numéro 4 n est pas apparu», dont la probabilité est égale à q = 1 p = 5 6. L arbre probabiliste associé à cette epérience aléatoire possède 2 3 = 8 branches :

113 112 III. CEFFICIENTS BINMIAUX - TRIANGLE DE PASCAL Eemple : p q 1 er lancer 2 e lancer 3 e lancer Issues Probabilités p S (S; S; S) p 3 = S p q S (S; S; S) p 2 q = S p S (S; S; S) p 2 q = 5 q 216 S q S (S; S; S) pq 2 = S p q S S p S ( S; S; S) p 2 q = q S ( S; S; S) pq 2 = p S ( S; S; S) pq 2 = q S ( S; S; S) q 3 = Les probabilités de chacune des issues sont calculées en utilisant la loi des chemins. n remarque qu il y a trois chemins conduisant à deu succès, c est-à-dire au issues (S; S; S), (S; S; S) et ( S; S; S). Par symétrie, il y a aussi trois chemins menant à deu échecs, c est-à-dire au issues ( S; S; S), ( S; S; S) et (S; S; S). n peut ainsi formuler qu il y a autant de chemins conduisant à k succès qu à k échecs, où k est un entier compris entre 0 et 3. III Coefficients binomiau - Triangle de Pascal Définition III-1 : Soit n un entier naturel non nul et p un nombre réel appartenant à l intervalle [0; 1]. Considérons un schéma de Bernoulli d ordre n et de paramètre p. Soit k un entier naturel tel que 0 k n. n appelle coefficient binomial, que l on note n k, le nombre de chemins conduisant à k succès pour n répétitions sur l arbre probabiliste représentant le schéma de Bernoulli. Le nombre n k se lit «k parmi n». Remarque : Le nombre n k se nomme aussi le nombre de combinaisons de k éléments parmi n. Une issue de l epérience ayant k succès est un n-uplet de la forme (S, S, S,..., S, S) qui contient k termes S et n k termes S. Compter les issues ayant k succès revient à dénombrer les façons de choisir les places des succès S dans la liste des n termes. C est donc le nombre de sous-ensembles à k éléments que l on peut former à partir de l ensemble {1; 2; 3;... ; n}. Ceci eplique le terme «combinaison» car on cherche à dénombrer toutes les combinaisons possibles de S et de S.

114 Loi binomiale 113 Propriété III-1 : Soit n un entier naturel non nul et p un nombre réel appartenant à l intervalle [0; 1]. Soit k un entier naturel tel que 0 k n. Considérons un schéma de Bernoulli d ordre n et de paramètre p. n a les résultats suivants : n 0 =1 ; n n =1 ; Remarques : n 1 =n ; La dernière égalité eprime la symétrie des coefficients binomiau. Par convention, on a : 0 0 =1. Démonstration : n n k = n k. n 0 est, par définition, le nombre de chemins du schéma de Bernoulli conduisant à 0 succès, donc à n échecs. Il n y en a qu un seul : ( S; S;... ; S). Ainsi, on a bien n 0 =1. De même, n n est le nombre de chemins conduisant à n succès. Il n y en a également qu un seul : (S; S;... ; S). Ainsi, on a bien n n =1. n 1 est le nombre de chemins conduisant à 1 succès. Il y en a n qui correspondent au n places possibles pour l unique succès. Ainsi, on a bien n 1 =n. n k est le nombre de chemins conduisant à k succès. Il y a alors n k échecs. Mais, il y a autant de chemins qui réalisent k succès que de chemins qui réalisent k échecs, c est-à-dire n k succès. r, n n k est le nombre de chemins conduisant à n k succès. Par conséquent, on a bien n n k = n k. Théorème III-1 : Formule de Pascal Soit n un entier naturel non nul et p un nombre réel appartenant à l intervalle [0; 1]. Soit k un entier naturel tel que 0 k n 1. Considérons un schéma de Bernoulli d ordre n 1 et de paramètre p. 1 n a alors : n k n k 1 = n k 1. Démonstration : Soit n un entier naturel non nul et soit k un entier naturel tel que 0 k n 1. Considérons un schéma de Bernoulli d ordre n 1, c est-à-dire que l on réalise n 1 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Le nombre de chemins conduisant à k 1 succès pour ces n 1 répétitions est égal à n1 k1. Parmi ces chemins, il y en a de deu catégories disjointes : ceu qui commencent par un succès : l arbre représentant les épreuves suivantes (de la deuième à la dernière) est alors un arbre de n épreuves, où il reste à choisir k succès : il y a donc n k chemins possibles de cette catégorie. ceu qui commencent par un échec : l arbre représentant les épreuves suivantes (de la deuième à la dernière) est alors un arbre de n épreuves, où il reste à choisir k 1 succès : il y a donc n k1 chemins possibles de cette catégorie. Ces catégories étant disjointes, on peut conclure que n k n k1 chemins donnent k 1 succès en n 1 répétitions. Ainsi, n k n k1 = n1 k1.

115 114 IV. LI BINMIALE Théorème III-2 : Triangle de Pascal Soit n un entier naturel et p un nombre réel appartenant à l intervalle [0; 1]. Soit k un entier naturel tel que 0 k n. Considérons un schéma de Bernoulli d ordre n et de paramètre p. n peut déterminer de proche en proche tous les coefficients binomiau à l aide de la relation n 1 au théorème précédent, en construisant le triangle de k n k 1 = n k 1 énoncée Pascal partiellement représenté ci-dessous : n k = Démonstration : Notons, tout d abord, que pour un entier naturel n fié, le nombre k est tel que 0 k n. Ainsi, le tableau ne comporte aucun nombre dans le triangle supérieur situé au-dessus de la diagonale. Dans la case supérieure gauche du tableau, on commence à placer 0 0 qui, par convention, vaut 1. Ensuite, comme, pour tout entier n, n n =1, on place des 1 sur la diagonale. Enfin, comme, pour tout entier naturel n, n 0 =1, on place également des 1 sur la première colonne du tableau. Par la suite, avec la formule de Pascal, on peut compléter tout le tableau puisque chaque élément est la somme de deu éléments situés sur la ligne précédente : l un dans la même colonne et l autre dans la colonne précédente. Ainsi, 2 1 = =1 1 = 2. De proche en proche, on calcule tous les coefficients binomiau. Remarques : Cet algorithme de calcul était présent en Chine dès le XIV e siècle, mais Pascal a systématisé son étude et montré toutes ses ressources au XVII e siècle. La propriété n du triangle de Pascal. n k = n k de symétrie des coefficients binomiau s observe sur chaque ligne L utilisation de la calculatrice permet aisément de calculer les coefficients binomiau sans avoir à refaire, de façon systématique, le triangle de Pascal. IV IV.1 Loi binomiale Définition Définition IV-1 : Soit n un entier naturel non nul et p un nombre réel appartenant à l intervalle [0; 1]. n considère un schéma de Bernoulli d ordre n et de paramètre p et on note X la variable aléatoire qui compte le nombre total de succès. La loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi binomiale de paramètres n et p. n la note B(n; p).

116 Loi binomiale 115 Eemple : Reprenons l epérience aléatoire qui consiste à lancer trois fois de suite un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Notons X la variable aléatoire qui compte le nombre d apparitions du numéro 4 au terme de ces trois lancers. Alors, X suit la loi binomiale B 3; 1 6, de paramètres 3 et 1 6. En effet, on a répété trois fois une épreuve de Bernoulli et la probabilité du succès «btenir le numéro 4» est égale à 1 6. Propriété IV-1 : Soit n un entier naturel non nul et p un nombre réel appartenant à l intervalle [0; 1]. Si une variable aléatoire X suit une loi binomiale B(n; p), alors, pour tout entier k compris entre 0 et n, la probabilité que X soit égale à k est : p(x = k) = n k p k (1 p) n k. Démonstration : n sait que tous les chemins comportant k succès sont équiprobables car, en faisant le produit des probabilités des n issues de chaque épreuve de Bernoulli, on obtient k facteurs égau à p (ce sont les k succès) et n k facteurs égau à 1 p (les n k échecs). Leur probabilité est donc égale à p k (1 p) n k. Il suffit ensuite de compter les chemins menant à k succès ; par définition des coefficients binomiau, il y en a n k. n obtient donc : p(x = k) = n k p k (1 p) n k. Eemple : Reprenons l eemple des trois lancers successifs du dé. Comme le montre l arbre probabiliste, l événement «X = 2», correspondant à l obtention de deu chiffres 4 sur les trois lancers, est réalisé en suivant les trois chemins dont les issues correspondantes ont la même probabilité p 2 q = p 2 (1 p), d où p(x = 2) = 3p 2 (1 p) = = De même, p(x = 1) = = = = Nombre de chemins avec un seul succès Probabilité d un succès Probabilité de deu échecs La probabilité d obtenir eactement un 4 en trois lancers est donc égale à n détermine ainsi la loi de probabilité de la variable aléatoire X : i p(x = i ) IV.2 Espérance, variance et écart-type Propriété IV-2 : Admise Soit n un entier naturel non nul et p un nombre réel appartenant à l intervalle [0; 1]. Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n; p), de paramètres n et p. Alors, on a : E(X) = np ; V (X) = np(1 p) = npq ; σ(x) = np(1 p) = npq ;

117 116 IV. LI BINMIALE Eemple : En reprenant l eemple précédent, on peut calculer l espérance grâce à la loi de probabilité de X. Ainsi, on a : E(X) = = = 1 2. D autre part, on vérifie bien que n p = = 1 2. En outre, la variance est égale à V (X) = = 5 12 et l écart-type est σ(x) =Ö5 0, Remarque : n peut remarquer que la formule de l espérance peut s epliquer sans calcul. En effet, chaque épreuve de Bernoulli a une espérance de succès égale à p donc, en la répétant n fois, on peut espérer obtenir en moyenne n p succès. Dans l eemple précédent, le 4 sort avec la probabilité 1, donc on peut espérer tripler ce résultat 6 en répétant trois fois l epérience car ce sont des epériences successives et indépendantes et, naturellement, E(X) = = 1 2.

118 V Eercices Eercice 1 : Modéliser une épreuve de Bernoulli Loi binomiale 117 Dans chacune des situations suivantes, reconnaître une épreuve de Bernoulli, définir le succès et préciser la loi de Bernoulli associée : 1) n lance un dé cubique équilibré et on regarde si le nombre obtenu est un multiple de 3. 2) n tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes et on observe s il s agit d une reine. 3) Un chapeau contient 5 cartons jaunes et 2 cartons bleus. n tire un carton au hasard du chapeau et on observe s il est bleu. Eercice 2 : Schéma de Bernoulli Imaginer une epérience aléatoire qui suive un schéma de Bernoulli dont l arbre ci-dessous en est une représentation : 3 5 A A B A B A B 2 5 Préciser l ordre n et le paramètre p de cette epérience aléatoire. B Eercice 3 : Schéma de Bernoulli Un sac contient 6 boules bleues et 3 boules rouges. n tire successivement et avec remise trois boules du sac. 1) Représenter cette epérience aléatoire à l aide d un arbre pondéré. 2) Préciser l ordre n et le paramètre p de ce schéma de Bernoulli. 3) Calculer la probabilité de l événement E :«n tire eactement une boule rouge sur les trois tirages.». Eercice 4 : Coefficients binomiau 1) Donner la valeur de En déduire celle de ) n donne 12 En déduire 13 2 = k 3) À l aide de la calculatrice, déterminer 13 En déduire puis ) Recopier et compléter le tableau ci-dessous avec la liste des coefficients binomiau obtenus pour n = 13, en s aidant de la calculatrice : k A B A B A B

119 118 k V. EXERCICES Eercice 5 : Triangle de Pascal 1) Voici les nombres de la ligne du triangle de Pascal correspondant à n = 9 : k k En déduire la ligne correspondant à n = 10. 2) Voici les nombres de la ligne du triangle de Pascal correspondant à n = 12 : k En déduire la ligne correspondant à n = 11. Eercice 6 : Combinaisons La combinaison n k indique le nombre de façons différentes de choisir k éléments parmi n. Déterminer à l aide de la calculatrice le nombre de façons d effectuer les choi suivants : 1) n désigne au hasard 2 délégués dans une classe de 35 élèves. 2) À la fin d un match, on désigne au hasard 3 joueurs parmi les 11 d une équipe de football pour pratiquer un test anti-dopage. 3) n partage au hasard 20 enfants pour former 2 équipes de 10. Eercice 7 : Loi binomiale Une epérience consiste à lancer cinq fois un dé tétraédrique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 4. Un lancer est gagnant si le 4 est situé sur la face cachée. n appelle X la variable aléatoire qui associe à chaque issue de l epérience le nombre de lancers gagnants. 1) Epliquer pourquoi X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2) Déterminer la probabilité d obtenir un seul lancer gagnant. 3) Calculer et interpréter l espérance et l écart-type de la variable aléatoire X. Eercice 8 : Paramètres de la loi binomiale Une variable aléatoire suit une loi binomiale B(n; p) où n est un entier naturel non nul et p un nombre réel appartenant à l intervalle [0; 1]. Son espérance est égale à 0,4 et son écart-type vaut 0,6. Déterminer les valeurs de n et p. Eercice 9 : Calcul de probabilités pour la loi binomiale n considère la variable aléatoire X qui suit la loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0, 2. 1) À l aide de la calculatrice ou du tableur, déterminer p(x = 5) à 10 3 près, en utilisant le calcul direct, puis en utilisant la fonction disponible. 2) À l aide de la calculatrice ou du tableur, déterminer p(x 5) à 10 3 près, en utilisant la fonction disponible. En déduire la valeur de p(x > 5) à 10 3 près. Eercice 10 : Représenter graphiquement la loi binomiale n considère la variable aléatoire X qui suit la loi binomiale de paramètres n = 12 et p = 0, 3. 1) À l aide de la calculatrice ou du tableur, dresser le tableau donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire X, à 10 4 près. 2) À l aide de la calculatrice ou du tableur, représenter graphiquement la loi binomiale sous la forme d un diagramme en bâtons. 3) Déterminer pour quelle valeur de k la probabilité p(x = k) est maimale.

120 Eercice 11 : Le paradoe du chevalier de Méré Loi binomiale 119 En 1654, le chevalier de Méré, un noble de l époque, adorait les jeu. Il se posa la question suivante : «A-t-on plus de chance d obtenir au moins un si en lançant un dé cubique équilibré quatre fois de suite que d obtenir un double si en lançant deu dés vingt-quatre fois de suite?» En fait, après analyse, il pensait que la probabilité de gagner était la même pour les deu jeu. Il raisonnait de la façon suivante pour le premier jeu : En lançant un dé, on a une chance sur si d obtenir le numéro 6. Ainsi, en lançant le dé quatre fois de suite, on a quatre fois une chance sur si d obtenir le numéro 6. Par suite, la probabilité d obtenir le numéro 6 est égale à 2 3. Pour le second jeu, il faisait l analyse suivante : En lançant deu dés successivement, on a une chance sur trente-si d obtenir deu numéros 6. Ainsi, en lançant les deu dés vingt-quatre fois, on a vingt-quatre fois une chance sur trente-si d obtenir deu numéros 6. Par suite, la probabilité d obtenir deu numéros 6 est égale à 2 3. Mais comme l epérience montrait que le premier événement était plus probable, la prétendue contradiction prit le nom de paradoe du chevalier de Méré. Le chevalier de Méré demanda alors au fameu mathématicien Blaise Pascal de résoudre le problème. Celui-ci, aidé de son ami Pierre de Fermat, mathématicien à ses heures, réussit à résoudre le fameu problème ainsi : 1) n lance un dé équilibré quatre fois de suite. Déterminer la probabilité d obtenir au moins un 6 sur ces quatre lancers. 2) n lance deu dés équilibrés vingt-quatre fois de suite. a) Déterminer la probabilité de n obtenir aucun double si. b) En déduire la probabilité d obtenir au moins un double si. Conclure Eercice 12 : La formule du binôme de Newton Soient a, b et n trois entiers naturels non nuls. Une urne contient a boules blanches et b boules noires. n tire successivement et avec remise n boules de cette urne. n note X la variable aléatoire associant, à chaque tirage, le nombre de boules blanches obtenues. 1) a) Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p. Epliciter la valeur de p. b) n pose q = 1 p. Eprimer q en fonction de a et b. 2) a) n suppose que n = 3. Démontrer que p 3 3p 2 q 3pq 2 q 3 = 1. b) En déduire que a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 = (a b) 3. 3) n désigne désormais un entier quelconque non nul. n k=0 n a) Démontrer que k p k q n k = 1. n k=0 n b) En déduire que (a b) n = k a k b n k. c) Quelle relation vue au collège retrouve-t-on lorsque n est égal à 2? d) Appliquer la formule établie au-dessus dans les cas n = 4 et n = 5. Eercice 13 : Simuler la loi binomiale avec un algorithme L algorithme ci-dessous propose une simulation de la loi binomiale B(n; p) où n est un entier naturel non nul et p un nombre réel appartenant à l intervalle [0; 1]. Le schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de paramètre égal à p. Ce schéma est ici reproduit M fois. Pour un entier k compris entre 0 et n, Tab[k] représente le nombre de fois, parmi les M répétitions, où il y a eu k succès. 1) Saisir cet algorithme avec le logiciel Algobo. 2) Epliquer comment est simulée l épreuve de Bernoulli de paramètre p. 3) n eécute cet algorithme avec, par eemple, n = 10, p = 0, 6 et M =

121 120 V. EXERCICES Comparer les résultats obtenus dans le cas de la répétitions de ces épreuves de Bernoulli avec celles fournies, de façon théorique, par le tableur pour la loi binomiale de paramètres n et p.

122 INDEX È, 44 Base du plan, 24 Centre de gravité, 23 Coefficient directeur, 22 Colinéarité, 18 coefficient de, 19 condition de, 19 Coordonnées, 23, 24 Dérivé(es) des fonctions usuelles, 59 etremum local, 69 fonction, 58 nombre, 56 opérations sur les fonctions, signe de la, Diagramme en boîte, 48 Discriminant, 8 Droite(s) équation réduite d une, 22 équations cartésiennes d une, 21, 22 parallèles, 18, 20, 23 Écart interquartile, 46 type, 48 Équation cartésienne, 21, 22 d une tangente, 57 du second degré, 7 réduite, 22 Étendue, 45 Etremum, 68 Fonction(s) affine, 29 associées, carré, 29 constante, 28, 29 croissante, 28 décroissante, 28 dérivée, 58 dérivable en un point, 56 dérivable sur un intervalle, 58 de dispersion, 46 inverse, 30 linéaire, 29 polynôme du second degré, 5 racine carrée, 30 sens de variation d une, 28 strictement croissante, 28 strictement décroissante, 28 valeur absolue, 32 Forme canonique, 5 développée, 5 factorisée, 8 Hyperbole, 30 Inéquation du second degré, 11 Limite, 55 Logiciel Algobo, 16 Xcas, 40 Loi binomiale, 114 de Bernoulli, 110 de probabilité, 95 Médiane, 44 Maimum, 68 Minimum, 68 Moyenne, 43 Nombre dérivé, 56 rdonnée à l origine, 22 Parabole, 7, 29 Paramètre(s) de dispersion, de position, Point(s) alignés, 18 Quartile(s), 44 Racine d un trinôme, 7 Repère du plan, 23 Sommet d une parabole, 7, 29 Statistiques,

123 122 INDEX Tangente à une courbe, 57 Tau d accroissement, 55 Trinôme du second degré, 5 signe du, 10 Variance, Vecteur(s) colinéaires, 18 décomposition d un, 23 directeur, direction, 18 nul, 18