L e s m a t h é m a t i q u e s a u c o l l è g e Page 1. BREVET BLANC 21 avril Exercice 1 :

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1 Exercice 1 : 8 questions indépendantes Les huit questions suivantes sont indépendantes. 1. Écrire la fraction sous forme irréductible en détaillant tous les calculs. 1 ière étape : On cherche le P.G.C.D. (84 ; 126). Méthode : (Algorithme d Euclide par exemple) Dividende diviseur reste Le dernier reste non nul P.G.C.D. (126 ; 84) = ième étape : On divise le numérateur et le dénominateur par : Donner l'écriture scientifique du nombre (Avec au moins une étape de calcul). 3. Écrire l'expression sous la forme, où a est un nombre entier relatif (indiquer toutes les étapes de votre calcul). 1 ière étape : On commence par faire apparaître le nombre 5 sous chaque radical. L e s m a t h é m a t i q u e s a u c o l l è g e Page 1

2 4. Voici les tarifs pratiqués dans deux magasins : Magasin A : 17,30 euros la cartouche d'encre, livraison gratuite. Magasin B : 14,80 euros la cartouche d'encre, frais de livraison de 15 euros quel que soit le nombre de cartouches achetées. Écrire et résoudre l'équation permettant de déterminer le nombre de cartouches d'encre pour lequel les deux tarifs sont identiques. 1 ière étape : La mise en équation du problème. Soit : Un nombre quelconque de cartouches. Soient ( ) ( ) Les prix de revient des cartouches dans les magasins ( ) ( ) On cherche le nombre de cartouches telles que : ( ) ( ) Pour cela on doit résoudre l équation (E) ci-dessous. 2 ième étape : La résolution de l équation. 3 ième étape : conclusion. Les deux tarifs sont identiques pour l achat de cartouches. 5. On rappelle l'identité remarquable suivante : ( ) L e s m a t h é m a t i q u e s a u c o l l è g e Page 2

3 En déduire la forme développée de l'expression ( ) ( ) ( ) ( ) 6. Donner la valeur décimale arrondie au dixième du nombre 7. On rappelle l'identité remarquable suivante : ( )( ) En déduire la forme factorisée de l'expression ( ) 8. Résoudre l équation :( ) ( ) ( ) ( ) (( ) )(( ) ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) Résoudre cette équation revient à résoudre, l équation suivante : ( )( ) Un produit est nul, si au moins l un des facteurs est nul. ( ) ( ) Les solutions sont : Exercice 2 : Un programme de calcul Tous les calculs et toute trace de recherche, même incomplète, doivent figurer sur la copie. On considère le programme de calcul suivant. Choisir un nombre de départ. Ajouter 1. Calculer le carré du résultat obtenu. Lui soustraire le carré du nombre de départ. Écrire le résultat final. L e s m a t h é m a t i q u e s a u c o l l è g e Page 3

4 1. a) Vérifier que lorsque le nombre de départ est 1, on obtient 3 au résultat final. Si le nombre de départ est 1. La première étape : On ajoute 1 au nombre de départ, on obtient : La deuxième étape : On calcule le carré du résultat obtenu, on obtient :. La troisième étape : On soustrait le carré du nombre de départ, on obtient b) Lorsque le nombre de départ est 2, quel résultat final obtient-on? Si le nombre de départ est 2. La première étape : On ajoute 1 au nombre de départ, on obtient : La deuxième étape : On calcule le carré du résultat obtenu, on obtient :. La troisième étape : On soustrait le carré du nombre de départ, on obtient c) Le nombre de départ étant, exprimer le résultat final en fonction de. Si le nombre de départ est x. La première étape : On ajoute 1 au nombre de départ, on obtient : La deuxième étape : On calcule le carré du résultat obtenu, on obtient : ( ) La troisième étape : On soustrait le carré du nombre de départ, on obtient ( ) 2. On considère l'expression ( ) Développer puis réduire l'expression P. ( ) 3. Quel nombre de départ doit-on choisir pour obtenir un résultat final égal à 15? 1 ière étape : On cherche tel que : ( ) Il suffit de résoudre l équation : 2 ième étape : Conclusion L e s m a t h é m a t i q u e s a u c o l l è g e Page 4

5 Pour obtenir un résultat final égal à 15, il faut choisir au départ le nombre Pour programmer le calcul demandé ci-dessus. Bertrand propose la démarche suivante. 5. Comment Julie peut-elle terminer le calcul? En utilisant les cellules C1 et A1, donner la formule qu elle doit écrire dans la cellule D1, pour obtenir le même résultat que Bernard. Julie doit insérer la formule ci-dessous dans la cellule D1. Exercice 3 : Léa et Myriam On a posé à des élèves de 3 e la question suivante : «Est-il vrai que, pour n'importe quelle valeur du nombre, on a :» Léa a répondu «Oui, c'est vrai. En effet, si on remplace x par 3, on a:» Myriam a répondu : «Non, ce n'est pas vrai. En effet, si on remplace par 0, on a :.» Une de ces deux élèves a donné un argument qui permet de répondre de façon correcte à la question posée dans l'exercice. Indiquer laquelle en expliquant pourquoi. Myriam a répondu correctement à la question. L e s m a t h é m a t i q u e s a u c o l l è g e Page 5

6 En effet, elle a trouvé un nombre pour lequel l égalité n est pas vérifiée : 0, qui constitue un contre-exemple. Par conséquent on ne peut pas dire que cette égalité est vraie pour tout nombre x. Exercice 4 : Quadrilatère Sur la figure ci-dessous, qui n'est pas en vraie grandeur, le quadrilatère BREV est un rectangle avec BR = 13 cm et BV = 7,2 cm. Le point T est sur le segment [VE] tel que VT = 9,6 cm. N est le point d'intersection des droites (BT) et (RE). 1. Démontrer que la longueur est égale à 3,4 cm. Les points V, T et E sont alignés (Car [ ]). On peut donc établir la relation suivante : On en déduit que : 2. Calculer la longueur. Le triangle est rectangle en. D après le théorème de Pythagore, on a : Soit : L e s m a t h é m a t i q u e s a u c o l l è g e Page 6

7 3. Calculer la longueur. Les droites ( ) et( ) sont sécantes en T, traversées par deux autres droites parallèles ( ) ( ). Il s agit de l une des situations, permettant l utilisation du théorème de Thalès. On a donc : Application numérique : Calcul de. D après le produit en croix, on a : Donc Exercice 6 : On considère la figure ci-dessous sur laquelle les dimensions ne sont pas respectées. On ne demande pas de reproduire la figure. L'unité de longueur est le centimètre. Les points sont alignés ainsi que les points. L e s m a t h é m a t i q u e s a u c o l l è g e Page 7

8 1. Montrer que les droites ( ) et ( ) sont parallèles. { [ ] [ ] On en déduit que les points et les points sont alignés dans le même ordre. On plus nous avons : D une part : D autre part : On constate que : D après la réciproque du théorème de Thalès les droites ( ) ( ) sont parallèles. 2. Calculer la longueur du segment [ ] D après la question 1. Les droites ( ) ( ) sont parallèles, d après le théorème de Thalès, on a : Application numérique : Donc Exercice 7 : Pâtisserie confiserie 1. Calculer PGCD (78 ; 130), en précisant la méthode employée et vos calculs. 2. Manuarii est un pâtissier confiseur, il veut vendre tous ses chocolats et ses biscuits dans des boîtes identiques. Chaque jour il peut fabriquer 78 chocolats et 130 biscuits. Avec sa production du jour, il veut remplir des boîtes contenant chacune, d'une part le même nombre de chocolats et d'autre part le même nombre de biscuits. a. Justifier que 26 est le maximum de boîtes qu'il peut obtenir. L e s m a t h é m a t i q u e s a u c o l l è g e Page 8

9 b. Quel est alors le nombre de chocolats et le nombre de biscuits dans chaque boîte? 1. Méthode utilisée : Algorithme d Euclide Le dernier reste qui n est pas nul est 26. Donc le P.G.C.D. (130 ; 78)= Le nombre de boîtes doit diviser à la fois le nombre de chocolats et le nombre de biscuits. Autrement dit le nombre de boîtes est un diviseur commun aux nombres 130 et 78. Par conséquent le maximum de boîtes est le P.G.C.D. (130 ; 78) = Chacune des 26 boîtes doit contenir : a. biscuits. b. chocolats. L e s m a t h é m a t i q u e s a u c o l l è g e Page 9