Cours de mathématiques pour la Terminale S. Savoir-Faire par chapitre avec corrigé

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1 Cours de mathématiques pour la Terminale S Savoir-Faire par chapitre avec corrigé Florent Girod Année scolaire 205 / 206. Eternat Notre Dame - Grenoble

2 Table des matières I Savoir-Faire 2 ) Suites numériques ) effectuer un raisonnement par récurrence ) démontrer qu une suite est géométrique ou arithmétique ) étudier la monotonie d une suite ) démontrer qu une suite admet une limite ) déterminer la limite d une suite ) Limites et continuité ) déterminer la limite d une fonction à l infini ) déterminer la limite infinie d une fonction en un réel a ) utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue 5 3) Compléments sur les fonctions numériques ) dériver des fonctions ) connaître et utiliser les fonctions sinus et cosinus ) Fonction eponentielle ) propriétés numériques de la fonction eponentielle ) propriétés de la fonction eponentielle ) calculs de limites avec la fonction eponentielle ) étude de fonctions définies à partir de la fonction eponentielle ) résolution d équations utilisant la fonction eponentielle ) Fonction logarithme népérien ) fonction logarithme népérien comme fonction réciproque de la fonction eponentielle ) propriétés numériques de la fonction logarithme népérien ) calculs de limites avec la fonction logarithme népérien ) étude de fonctions définies à partir de la fonction logarithme népérien 0 5-5) résolution d équations utilisant la fonction logarithme népérien ) Calcul intégral ) intégrale et aire sous la courbe ) détermination de primitives de fonctions ) propriétés de l intégrale ) valeur moyenne d une fonction ) Les nombres complees ) forme algébrique d un nombre complee ) résolution d équation du second degré dans C ) forme eponentielle d un nombre complee ) interprétation géométrique d un nombre complee ) Droites et plans de l espace - Vecteurs ) étude de la position relative de droite(s) et de plan(s)

3 8-2) vecteurs de l espace ) formules dans un repère de l espace ) représentation paramétrique d une droite, d un plan ) Produit scalaire de l espace ) calculs de produits scalaires ) équation cartésienne d un plan ) intersection de droites et de plan ) Probabilités conditionnelles ) modéliser une situation (par un arbre par eemple) ) utiliser la formule des probabilités totales ) indépendance de deu évènements ) Lois de probabilité continues ) définition d une loi à densité ) utiliser la loi uniforme ) utiliser la loi eponentielle ) loi normale centrée réduite : calculs ) loi normale centrée réduite : valeurs remarquables ) loi normale à paramètres ) Échantillonnage et estimation ) centrer et réduire une loi binomiale ) déterminer et utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique ) déterminer et utiliser un intervalle de confiance II Réponses au eercices 2 2

4 Première partie Savoir-Faire 3

5 ) Suites numériques - ) effectuer un raisonnement par récurrence Soit (u n ) la suite définie par : u 0 = et la relation de récurrence : u n+ = r.u n, où r est un réel quelconque. Démontrer que pour tout nombre entier n, u n = r n correction page 22-2) démontrer qu une suite est géométrique ou arithmétique Soit (p n ) la suite définie pour tout nombre entier supérieur à par : p = 4 5 et p n+ = 3 5 p n+ 5 On pose, pour tout n N, u n = p n 2 : montrer que la suite (u n) est une suite géométrique, dont on précisera la raison. En déduire une epression de u n puis de p n (n entier supérieur à ) correction page 22-3) étudier la monotonie d une suite On considère les suites (u n ) et (v n ) définies pour tout entier n par : u 0 = et u n+ = u n + n 2 v n = n 2 + 3n Étudier la monotonie de ces suites. correction page 22-4) démontrer qu une suite admet une limite Soit (u n ) la suite définie par : * u 0 = 0 * u = 0, * u 2 = 0, * u 3 = 0,... * u n = 0,... } {{ } n fois Étudier la convergence de la suite (u n ) correction page 23 4

6 - 5) déterminer la limite d une suite Déterminer les limites suivantes : lim ( )n n lim n + ( ) n lim n2 +3n 5 n 2 lim ( 4 5 ) n correction page 23 5

7 2) Limites et continuité 2 - ) déterminer la limite d une fonction à l infini Déterminer les limites suivantes : lim lim + + sin() lim + + correction page ) déterminer la limite infinie d une fonction en un réel a Déterminer les limites suivantes : 5 lim 5 lim ( ) 2 lim 0 e correction page ) utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue En étudiant le fonction f() = , justifier que l équation f() = admet trois solutions, dont on donnera un encadrement à partir du tableau de variation ; peut-on donner les valeurs eactes? Mêmes questions avec l équation f() = 00 correction page 27 6

8 3) Compléments sur les fonctions numériques 3 - ) dériver des fonctions Dériver les fonctions suivantes : f() = f() = ( ) 3 f() = e 2 3+ f() = e correction page ) connaître et utiliser les fonctions sinus et cosinus Étudier la fonction f() = sin() correction page 24 7

9 4) Fonction eponentielle 4 - ) propriétés numériques de la fonction eponentielle simplifier le plus possible les écritures suivantes : * e7 e 5 * e7 e 5 e 5 * (e 4 ) 2.e 5 * e 3.e 0 correction page ) propriétés de la fonction eponentielle Écrire toutes les propriétés de la fonction eponentielle. Les démontrer à partir de la relation e a+b = e a.e b correction page ) calculs de limites avec la fonction eponentielle Déterminer les limites suivantes : lim + e 2 e lim + e 2 e e 3 e lim + e 2 2 lim + e 2 e e correction page ) étude de fonctions définies à partir de la fonction eponentielle Soit f la fonction définie sur R par f() = e Étudier les variations de f 2. Étudier les limites au bornes de l ensemble de définition correction page 30 8

10 4-5) résolution d équations utilisant la fonction eponentielle Résoudre les équations suivantes :. 0 3e > , 3 n 0, 9 correction page 3 9

11 5) Fonction logarithme népérien 5 - ) fonction logarithme népérien comme fonction réciproque de la fonction eponentielle Résoudre les équations suivantes :. e = 8 2. e 2 = 8 3. ln() = ln( + 8) 4. ln() = 4 5. ln(2) = ln( ) correction page ) propriétés numériques de la fonction logarithme népérien Eprimer les nombres suivants en fonction de ln() (où est un réel strictement positif) : ). ln ( 4 ( 2. ln 3. ln ) e ( e ) ( ) 4. ln e. ( 5. ln ) e correction page ) calculs de limites avec la fonction logarithme népérien Déterminer les limites ( ) suivantes : (. lim 0 + ln et lim + ln ( ) 2. lim + ln ( 3. lim + ln 4. lim + ln() + 5. lim 0.ln() ) ) correction page 32 0

12 5-4) étude de fonctions définies à partir de la fonction logarithme népérien Soit f la fonction définie par f() = ln( 2 + ).. domaine de définition 2. parité? 3. limite au bornes 4. sens de variation 5. etremum? 6. équation de la tangente en 0 correction page ) résolution d équations utilisant la fonction logarithme népérien Résoudre les équations suivantes :. (0, 7) n > 0, e = 8 3. e 2 + e = 0 correction page 33

13 6) Calcul intégral 6 - ) intégrale et aire sous la courbe La figure ci-dessous représente le logo d une entreprise. Pour dessiner ce logo, son créateur s est servi de la courbe C qui représente la fonction f() = e et de la droite d équation y = + 2 (comme l indique la figure de droite ci-dessous). Afin d estimer les coûts de peinture, il souhaite déterminer l aire de la partie colorée en gris. Le contour du logo est représenté par le trapèze DEFG où : - D est le point de coordonnées ( 2 ; 0), - E est le point de coordonnées (2 ; 0), - F est le point d abscisse 2 de la courbe C, - G est le point d abscisse 2 de la courbe C 2. La partie du logo colorée en gris correspond à la surface située entre la droite, la courbe C, la droite d équation = 2 et la droite d équation = 2. Déterminer l aire de cette zone grisée (eprimée en unités d aire). correction page ) détermination de primitives de fonctions Déterminer une primitive des fonctions suivantes :. f() = ( 2 3) 2 2. g() = 3. h() = 4. i() = e 3 5. j() = ( ) correction page 35 2

14 6-3) propriétés de l intégrale. Comment calculer 4 5 t2 dt? 2. Calculer (astucieusement!) 5 0 t2 dt ( t2 )dt 3. Démontrer que si f g sur [a ;b], alors b a f(t)dt b a g(t)dt correction page ) valeur moyenne d une fonction Déterminer la valeur moyenne de la fonction proposée, sur l intervalle donné :. f() = 2 sur [0 ; ] 2. f() = 2 sur [ ; 0] 3. f() = 2 sur [ ; ] 4. f() = 2 sur [4 ; 5] 5. f() = 2 sur [4 ; 8] correction page 36 3

15 7) Les nombres complees 7 - ) forme algébrique d un nombre complee z = + 2i, z 2 = i Donner la forme algébrique de :. z 3 = z z 2 2. z 4 = z.z 2 3. z 5 = z z 2 correction page ) résolution d équation du second degré dans C On cherche à résoudre l équation z = 0. Donner les valeurs des réels a et b tels que z = (z 2)(z 2 + az + b) 2. Résoudre l équation z = 0 correction page ) forme eponentielle d un nombre complee. donner la forme algébrique de z = 3e i π 3 2. donner la forme eponentielle de z = + i 3 et de z 2 = i ( ) 3 3. donner la forme eponentielle de z = 5 cos( π5 ) + i sin( π5 ) correction page ) interprétation géométrique d un nombre complee Dans le plan muni d un repère orthonormé direct, on considère les points A, B et C d affies respectives : z A = 3 + i, z B = 2 i et z C = + 2i Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle en A. correction page 38 4

16 8) Droites et plans de l espace - Vecteurs 8 - ) étude de la position relative de droite(s) et de plan(s) A partir d un cube, et des milieu des arêtes : donner deu droites coplanaires (deu types à identifier) donner deu droites non sécantes et non parallèles donner une droite et un plan parallèles (deu cas de figure) donner une droite et un plan sécants donner deu plans sécants donner deu plans parallèles 8-2) vecteurs de l espace correction page 40 Les vecteurs u(; 2; 3) et v( ; 2 ; ) sont-ils colinéaires? 3 3 Les vecteurs u(; 2; 3), v(2; 2; ) et w(7; 2; ) sont-ils coplanaires? correction page ) formules dans un repère de l espace Formules à retenir dans un repère du plan (et leurs conditions d application) Application au cube (longueur de la diagonale par eemple). correction page 4 8-4) représentation paramétrique d une droite, d un plan Donner l équation de la droite passant par A(0; 2; ) et dirigée par u(; 2; 3) Dire si le point B(; 2; 5) appartient à cette droite ou pas. correction page 4 5

17 9) Produit scalaire de l espace 9 - ) calculs de produits scalaires Déterminer u. v : * en se ramenant à un problème plan ; * en décomposant les vecteurs (par une relation de Chasles) ; * en utilisant les coordonnées dans un repère orthonormé. correction page ) équation cartésienne d un plan Soient A( ; 2 ; 3), B(0 ; ; 2) et C(2 ; ; 0) trois points du plan ; justifier que ces points définissent un plan et donner une équation cartésienne de ce plan. correction page ) intersection de droites et de plan. Soit P le plan d équation 2y + z = 2 et D la droite d équation paramétrique = 2t y= + t Montrer que D est (strictement) parallèle à P. z= 2 2. Soit P le plan d équation 2y + z = 2 et D la droite d équation paramétrique = 2t y= + t Déterminer D P. z=2 + 2t correction page 43 6

18 0) Probabilités conditionnelles 0 - ) modéliser une situation (par un arbre par eemple) Une urne contient trois boules bleues et une noire. On effectue un tirage sans remise jusqu à obtenir la boule noire. On note R le rang de sortie de la boule noire. Donner la loi de probabilité de R. (on pourra utiliser un arbre pour illustrer cette propriété) Remarque : les boules sont indiscernables au toucher. Pour aller plus loin : que se passe-t-il s il y a remise? correction page ) utiliser la formule des probabilités totales On a trois boules rouges et une noire. On effectue un tirage : si la boule est noire, on la remet et on effectue un nouveau tirage. Si la boule est rouge, on la garde et on effectue un nouveau tirage. Quelle est la probabilité d obtenir une boule rouge au second tirage? correction page ) indépendance de deu évènements Deu approches : une approche «intuitive» où l on justifie qu il y a indépendance de réalisation d événements ; une approche numérique où un calcul justifie que deu événements sont indépendants ou non.. Donner une situation où deu événements apparaissent indépendants. 2. Soit la situation suivante : on considère les nombres entiers de à 00. on note A l événement «le nombre est pair» ; on note B l événement «le nombre est un multiple de 5». Les événements A et B sont-ils indépendants? Même question si on considère les nombres entiers de à 0. correction page 45 7

19 ) Lois de probabilité continues - ) définition d une loi à densité. Déterminer la valeur de k pour que la fonction f() = k. 2 soit une loi à densité sur l intervalle [ ; 8] 2. On se place sur l intervalle [ ; + [ : eiste-t-il une valeur de k telle que f() = k 2 soit une loi à densité? 3. On se place sur l intervalle [ ; + [ : eiste-t-il une valeur de k telle que f() = k soit une loi à densité? - 2) utiliser la loi uniforme correction page 46 Monsieur Lettré achète son journal de l après-midi du lundi au vendredi entre 6 h et 6 h 30 devant son domicile. L heure d achat du journal suit une loi uniforme sur l intervalle [6 ; 6, 5]. Quelle est la densité définissant la loi de probabilité pour l heure d achat du journal? 2. Lundi midi : quelle est la probabilité que M Lettré achète son journal entre 6 h 20 et 6 h 30? 3. Vendredi 6 h 5 : le gérant du kiosque n a pas encore vu M Lettré. Quelle est la probabilité que celui-ci achète son journal entre 6 h 20 et 6 h Mercredi, 5 h : à quelle heure le gérant peut-il «espérer» voir M Lettré? correction page 46-3) utiliser la loi eponentielle X est une variable aléatoire suivant une loi eponentielle de paramètre λ ; sachant que P (X < 4) = 0, 3, donner la valeur de λ. Y est une variable aléatoire suivant une loi eponentielle de paramètre λ ; sachant que E(Y ) = 7, donner la valeur de λ. Démontrer qu une loi eponentielle est une loi sans vieillissement. correction page 47 8

20 - 4) loi normale centrée réduite : calculs Soit X une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite N (0 ; ). Calculer :. P (X < 2) 2. P ( < X < 2) 3. P (X > ) 4. le réel k (à 0 2 près) tel que P (X < k) = 0, 9 5. le réel k (à 0 2 près) tel que P ( k < X < k) = 0, 95 correction page 47-5) loi normale centrée réduite : valeurs remarquables Soit X une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite N (0 ; ).. A quoi est égal P ( < X < )? 2. Donner la valeur du réel k (à 0 2 près) tel que P ( k < X < k) = 0, A quoi est égal P ( 3 < X < 3)? correction page 47-6) loi normale à paramètres X est une variable aléatoire qui suit une loi normale N (0 ; 25).. Calculer P (5 < X < 5) ; comment contrôler ce résultat (sans faire de calcul)? 2. Calculer P (X < 5) 3. Calculer P (5 < X) 4. Vérifier la cohérence de ces trois calculs. correction page 48 9

21 2) Échantillonnage et estimation 2 - ) centrer et réduire une loi binomiale Si X suit une loi binomiale de paramètres n = 200 et p = 0, 2, quelle variable «centrée réduite» lui est associée? correction page ) déterminer et utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique On vous indique que 2 % des personnes sont des gauchers. Que peut-on penser du fait qu il y ait 8 gauchers parmi les 50 premiers du classement ATP de Tennis? (on pourra utiliser un intervalle de fluctuation pour argumenter la réponse). correction page ) déterminer et utiliser un intervalle de confiance Un sondage précédent le second tour d élections présidentielles indique que le candidat A a 5 % des intentions de vote. Sachant que le sondage a interrogé 000 personnes, montrer que l on n est pas sûr que le candidat A sera effectivement élu. Combien de personnes aurait-il fallu interroger (avec un résultat de sondage identique) pour «être sûr» que ce candidat soit vainqueur au second tour? correction page 49 20

22 Deuième partie Réponses au eercices 2

23 Suites numériques Effectuer un raisonnement par récurrence initialisation : si on remplace n par 0 dans la formule proposée, on obtient : u 0 = r 0 = Or, il est dit dans la consigne que u 0 = : la formule proposée fonctionne pour n = 0 ; l initialisation est vérifiée au rang n = 0 hérédité : soit n un entier quelconque (fié) ; on suppose que pour cette valeur de n, la relation est vérifiée, donc que u n = r n On a comme objectif de montrer que la relation est alors vérifiée au rang suivant, le rang n + ; on cherche donc à démontrer la relation : u n+ = r n+ Ainsi, u n+ = r.u n = r.r n = r n+ La relation cherchée est bien vérifiée : l hérédité est démontrée. conclusion : la relation est vérifiée pour n = 0, elle est héréditaire ; d après le principe de récurrence, elle est vérifiée pour entier n. Ainsi, pour tout nombre entier n, u n = r n Démontrer qu une suite est géométrique ou arithmétique u n+ = p n+ 2 = 3 5 p n = 3(u 5 n + ) = 3u 5 n = 3u 5 n La suite (u n ) est donc géométrique de raison 3 5. ( ) n 3 On sait eprimer un terme d une suite géométrique : u n = u 5 ( On calcule u : u = p 2 = = = 3 0 ; donc u n = 3 0 Comme p n = u n +, on conclut que p 2 n = à. 3 5 ) n ( 3 5) n pour tout nombre entier supérieur Etudier la monotonie d une suite On calcule u n+ u n : u n+ u n = u n + n 2 u n = n 2 0 : la suite (u n ) est croissante. On calcule v n+ v n : v n+ v n = (n+) 2 +3(n+) (n 2 +3n ) = n 2 +2n++3n+3 n 2 3n+ = 2n+4 > 0 On conclut que cette suite est croissante. 22

24 Démontrer qu une suite admet une limite La suite (u n ) est croissante : en effet, on ajoute une valeur positive pour passer d un terme au suivant. Cette suite est majorée : est un majorant ; 0,2 est aussi un majorant. Une suite croissante et majorée étant convergente, on conclut que la suite est convergente. Déterminer la limite d une suite lim ( )n n Pour tout entier n strictement positif, ( )n n n n Or, les suites et tendent vers 0 ; par le théorème d encadrement, on conclut que la n n suite de terme général ( )n tend vers 0. n lim n + ( ) n Pour tout entier n, n + ( ) n n ; or, la suite de terme général n diverge vers +. Par le théorème de comparaison, on conclut que la suite de terme général n + ( ) n diverge vers +. lim n2 +3n 5 n 2 Par les théorèmes générau, on a une forme indéterminée (type ) : la méthode consiste à factoriser les termes prépondérants au numérateur et dénominateur : ) n 2 + 3n n ( 2 + 3n n = 2 n ( ) 2 = + 3 n n 2 5 n 2 n n 2 n 2 Le numérateur tend vers, le dénominateur vers - : par quotient, on conclut que la suite de terme général n2 +3n tend vers -. 5 n 2 ( ) n lim ( ) n 4 5 est le terme général d une suite géométrique dont la raison est 4 : comme < 4 <, 5 5 on sait que cette suite tend vers 0. ( Par produit, 7 ( n 4 5) tend vers 0 ; on conclut, par somme, que la suite de terme général ) n converge vers 5. 23

25 Compléments sur les fonctions numériques Dériver des fonctions f() = f () = 2 = 2 sur l intervalle ] ; [ f() = ( ) 3 f () = 3( ) 2 ( ) = 3( ) 2 sur R f() = e 2 3+ f () = (2 3)e 2 3+ sur R f() = e f () =.e (e ). =.e sur ] ; 0[ ]0 ; + [ Connaître et utiliser les fonctions sinus et cosinus f() = sin() domaine de définition : ] ; 0[ ]0 ; + [ limite au bornes : * en 0 : résultat du cours : lim 0 sin = * en + : pour tout réel > 0 : sin conclut que lim + sin = 0 * en : pour tout réel < 0 : sin ; par le théorème d encadrement, on ; par le théorème d encadrement, on sin conclut que lim = 0 la fonction est continue sur l intervalle ] ; 0[ ]0 ; + [ ; on peut la «prolonger par continuité» en 0 en posant f(0) = f( ) = sin( ) = sin() = sin() = f() : la fonction est paire (son étude peut se limiter à l intervalle ]0 ; + [ et être complétée par symétrie par rapport à l ae des ordonnées, pour sa représentation graphique). recherche des valeurs d annulation : f() = 0 sin() = 0 et 0 = k.π, avec k un entier relatif non nul. f. cos() sin() () = : cette dérivée est difficile à eploiter (il faudrait être en mesure 2 de connaître son signe ; le signe du numérateur est délicat à étudier). équation de la tangente en un point d annulation : y = f (k.π)( k.π) + f(k.π) ce qui donne : y = ( )k ( k.π) (alternance d un coefficient directeur positif et négatif, valeur qui tend k.π vers 0 lorsque k tend vers l infini). il faut pour cela résoudre l équation = tan(), ce qui ne peut pas se faire algébriquement 24

26 représentation graphique : 25

27 Limites et continuité Déterminer la limite d une fonction à l infini Déterminer les limites suivantes : lim Par les théorèmes générau, 2 ++ présente une forme indéterminée type «+» : on factorise le terme prépondérant : ( ) ( ) = = : par somme, le terme entre parenthèses converge vers lorsque tend vers ; par produit, l epression diverge vers +. Or, lim X + X = + : ainsi, par composition des limites, lim = + lim + + sin() Comme la fonction sin() n a pas de limite en +, on ne peut pas utiliser les théorèmes générau. Mais, comme pour tout réel, sin(), on a : + sin() Comme la fonction diverge vers + en +, par le théorème de comparaison, on conclut que lim + + sin() = + lim + + Par les théorèmes générau, l epression présente une forme indéterminée type «+». La méthode consistant à factoriser le terme prépondérant est inefficace ici : pour une epression contenant des racines carrées, on peut penser à utiliser l epression conjuguée : + = ( + )( + + ) + + = = + + Le dénominateur, par composition et par somme, diverge vers + ; ainsi, par quotient, lim + + = 0 Déterminer la limite infinie d une fonction en un réel a 5 lim Numérateur : quand, 5 4 > 0 Dénominateur : quand, 0 en étant positif. Donc, par quotient, la limite est infinie ; le quotient étant positif, lim 5 = + 26

28 lim 5 ( ) 2 Numérateur : quand, 5 4 > 0 Dénominateur : * quand, ( ) 2 0 en étant positif. * quand +, ( ) 2 0 en étant positif. Donc, par quotient, la limite est infinie ; le quotient étant positif, lim et lim + 5 ( ) 2 = + Dans ce cas, on peut considérer que lim lim 0 e Numérateur : quand 0, e 0 Dénominateur : 0 On a donc une forme indéterminée, du type «0 0» 5 ( ) 2 = + 5 ( ) 2 = + Seul un résultat du cours permet de lever cette indétermination (résultat à connaître) : e lim 0 = Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue f() = f est définie, continue et dérivable sur R ; f () = On étudie le signe de ce polynôme du second degré : = ( 36) = = 900 Il a deu racines : = = 3 et 2 = = On a le tableau de variation suivant : f () f 6-64 On complète avec les limites en et en + : + lim = lim 3 ( ) = lim = lim + 3 ( ) = + 27

29 D après ce tableau de variation, en appliquant le théorème des valeurs intermédiaires, on conclut que : l équation f() = admet trois solutions : une dans l intervalle ] ; 3[, une dans l intervalle ] 3 ; 2[, et une dans l intervalle ]2 ; + [ l équation f() = 00 admet une seule solution, dans dans l intervalle ]2 ; + [ remarque : pour obtenir les solutions au équations proposées, il faut des méthodes numériques (par dichotomie, par «balayage») pour approcher les solutions. 28

30 Fonction eponentielle Propriétés numériques de la fonction eponentielle * e7 e 5 = e2 * e7 e 5 = e5 (e 2 ) = e 2 e 5 e 5 * (e 4 ) 2.e 5 = e 8.e 5 = e 3 * e 3.e 0 = e 3+0 = e 3 = e 3 Propriétés de la fonction eponentielle e a = e a preuve : e a a = e a+( a) = e a.e a d après la relation e a+b = e a.e b Or, e a a = e 0 = ; on a donc : e a.e a = ; comme, pour tout nombre a, e a 0, on peut diviser par e a la relation précédente pour obtenir que e a = e a e a b = ea e b preuve : e a b = e a+( b) = e a.e b (en appliquant la relation e a+b = e a.e b ) Or, e b = e b donc ea b = e a+( b) = e a.e b = ea e b ( e a ) n = e na principe de la preuve : c est une démonstration par récurrence pour n entier naturel ; si on veut le prouver pour n entier relatif, on utilise le résultat précédent avec n qui est alors positif. Calculs de limites avec la fonction eponentielle lim + e 2 e : forme indéterminée par les théorèmes générau. e 2 e = e (e ) ; comme lim + e = +, par produit, lim + e 2 e = + e 2 e lim + : forme indéterminée par les théorèmes générau. e 3 e ( ) e 2 e e2 e e 3 e = e 2 ( ) e = e 3 e e e 3 e 2 D une part, lim + e = 0 et d autre part, lim e + = e 2 Par produit, lim + e 2 e e 3 e = 0 29

31 e 2 lim + : forme indéterminée par les théorèmes générau. 2 e 2 2 = e2 2 = (e ) 2 ( e ) 2 2 = e Par croissances comparées (résultat du cours), lim + = + ( e ) 2 Par composition de limites, lim + = + Par ailleurs, lim + = 2 Par produit, lim + lim + e 2 e e e e 2 e e = e (e ) e = e Et donc, lim + e 2 e : forme indéterminée par les théorèmes générau. e = + Etude de fonctions définies à partir de la fonction eponentielle f() = e f est définie, continue et dérivable sur R et f () = ( 6 + 2)e Comme pour tout nombre, e > 0, le signe de la dérivée est donné par le signe de On a donc le tableau de variations suivant : 3 + f () en : f( 3 ) f 0 0 Par somme, lim = ; comme lim X e X = 0, par composition des limites, lim e = 0 en + : Par les théorèmes générau, lim est une forme indéterminée. ( ) ( ) = = ; par produit (du type «+ ( 3)»), on obtient lim = Comme lim X e X = 0, par composition des limites, lim e = 0 30

32 Résolution d équations utilisant la fonction eponentielle. 0 3e > 0 0 > 3e 0 3 > e En utilisant la fonction ln, croissante sur ]0 ; + [, on obtient ln ( 0 ) > ln 3 Conclusion : S = ] 0 3 ; + [ 2. 0, 3 n 0, n 0. 0, 3 n 0, ( 0 ) 3 > En utilisant la fonction ln, croissante sur ]0 ; + [, on obtient ln(0, 3 n ) ln(0, ) ln(0, ) n ln(0, 3) ln(0, ) n (le changement de sens dans la dernière inégalité est ln(0, 3) due au fait que ln(0, 3) < 0) [ ln(0, ) [ Conclusion : S = ln(0, 3) ; + 3

33 Fonction logarithme népérien Fonction logarithme népérien comme fonction réciproque de la fonction eponentielle. e = 8 = ln(8) 2. e 2 = 8 2 = ln(8) = ln(8) ou = ln(8) 3. ln() = ln( + 8) = + 8 et > 0 et + 8 > 0 0 = 8 : pas de solution 4. ln() = 4 = e 4 5. ln(2) = ln( ) 2 = et 2 > 0 et > 0 = et > 0 et > : pas de solution Propriétés numériques de la fonction logarithme népérien ). ln ( 4 = 4 ln() ( 2. ln 3. ln e ( ) = ln(e) ln() = ln() e ) ( ) = ln ln(e) = ln() 2 ( ) 4. ln e. ln(e) + ln() = + ln() ( ) ( e ) 5. ln = ln(e) ln = ln() 2 Calculs de limites avec la fonction logarithme népérien ( ) ( ). lim 0 + ln et lim + ln lim 0 + = + et lim X + ln(x) = + : ( ) par composition des limites, lim 0 + ln = + ( ) 2. lim + ln lim = lim + 2 ( ) = + (par produit) ( ) Par composition des limites, lim + ln = + 32

34 ( 3. lim + ln ) lim ) ( = lim 2 + ( ) = lim ( ) ( Par composition des limites, lim + ln = ln ) 4. lim + ln() = 2 C est une forme indéterminée par les théorèmes générau. Il faut utiliser un résultat du cours (croissances comparées entres les fonctions ln() et pour conclure) : ln() + = ln() + ln() Par croissances comparées, lim + = 0 Par ailleurs, lim + + = lim + Ainsi, par produit, lim + ln() + = 0 5. lim 0.ln() ( + ) = lim + + Les théorèmes générau ne permettent pas de conclure : il faut utiliser un résultat sur les croissances comparées eprimé en + pour répondre au problème ; pour ce faire, on pose X = : ( ) lim 0.ln() = lim X + X. ln = lim X + X.( ln(x)) = lim X + ln(x) X = 0 (résultat du cours : croissances comparées) = Etude de fonctions définies à partir de la fonction logarithme népérien f() = ln( 2 + ).. domaine de définition : D f = R ; en effet, pour tout nombre réel, 2 + > 0 donc, on peut en prendre le logarithme népérien. 2. parité : f( ) = ln(( ) 2 + ) = ln( 2 + ) = f() : la fonction est paire (on peut faire l étude sur R + et compléter par symétrie) 3. limite au bornes : lim = + ; par composition des limites, comme lim X + ln(x) = +, on conclut que lim + f() = + Par un raisonnement similaire, ou par parité, on obtient que lim f() = + 33

35 4. sens de variation : la fonction est dérivable sur R et : f () = 2 : le signe est donné par le numérateur (le dénominateur étant toujours 2 + strictement positif). Ainsi, f est décroissante sur l intervalle ] ; 0] et croissante sur l intervalle [0 ; + [ 5. etremum : de ce qui précède, la fonction admet un minimum en 0 égal à 0 (en effet, f(0) = ln() = 0) 6. équation de la tangente en 0 : f (0) = 0 et f(0) = 0 : l équation est donc : y = 0 L ae des abscisses est tangent à la courbe représentative de f en 0. Résolution d équations utilisant la fonction logarithme népérien. (0, 7) n > 0, 95 (0, 7) n > 0, 05 (0, 7) n < 0, 05 La fonction ln() étant croissante sur ]0 ; + [, cela revient à : ) ln ((0, 7) n ln(0, 05) < ln(0, 05) n ln(0, 7) < ln(0, 05) n > ln(0, 7) (le changement de sens de l inégalité est dû au fait que ln(0, 7) < 0 ] ln(0, 05) [ Conclusion : S = ln(0, 7) ; + 2. e = 8 = ln(8) 3. e 2 + e = 0 (e ) 2 + e = 0 En posant X = e, on est amené à résoudre : X 2 + X = 0 Cette équation du second degré a un discriminant égal à 5. Les racines sont = 5 2 et 2 = 5 2 Or, en posant X = e, X > 0 donc on ne retient que la solution positive : X = Au final, on obtient e = + 5 ( + 5 ) = ln

36 Calcul intégral Intégrale et aire sous la courbe On peut interpréter l aire de la zone grisée par un calcul intégral, comme la différence entre l intégrale de f et de la fonction + 2 sur l intervalle [ 2 ; 2]. (pour être rigoureu, il faut montrer que f() + 2 sur cet intervalle) Ainsi, A zone grise = A zone grise = e d e d = d 2 e + d ( A zone grise = [ e ] 2 2 = e ) e ( 2) + 2 ( 2)2 ( 2) A zone grise = e 2 + e = e 2 e 2 4 3, 25 unités d aire Détermination de primitives de fonctions. f() = ( 2 3) 2 (du type u u n ) F () = 6 (2 + 3) 3 2. g() = 3. h() = (du type u u ) G() = 6 ln(32 4) + 3 u (du type ( ) 3 u ) H() = n 4 ( ) 2 4. i() = e 3 (du type u e u ) I() = 3 e 3 5. j() = (du type u u ) J() = Propriétés de l intégrale. 4 5 t2 dt t2 dt = 0 0 t2 dt (relation de Chasles) Donc, 4 5 t2 dt t2 dt = 0 et donc 4 5 t2 dt = 5 [ ] 5 3 t3 Or, 5 4 t2 dt = Au final, 4 5 t2 dt = t2 dt = 3 ( ) = 6 (25 64) =

37 2. Par linéarité, 5 0 t2 dt + 5 ( 0 t2 )dt = 5 0 t2 + t 2 dt = Démontrer que si f g sur [a ; b], alors b a f(t)dt b a g(t)dt dt = (5 0) = 4 Soit h() = g() f() ; comme f g sur [a ; b], pour tout [a ; b], h() 0 Or, d après la propriété de positivité, on a : b h(t) dt 0 a Cela donne : b g(t) f(t) dt 0 ; par linéarité, b g(t) f(t) dt = b g(t) dt b a a a a Ainsi, comme b g(t) f(t) dt 0, b g(t) dt b a a a Et donc b g(t) dt b f(t) dt a a f(t) dt 0 f(t) dt Valeur moyenne d une fonction. f() = 2 sur [0 ; ] µ = [ ] t 2 dt = 0 3 t3 = 0 3 (3 0 3 ) = f() = 2 sur [ ; 0] 0 [ ] 0 µ = t 2 dt = 0 ( ) 3 t3 = 3 (03 ( ) 3 ) = 3 3. f() = 2 sur [ ; ] µ = ( ) 4 t 2 dt = 2 4. f() = 2 sur [4 ; 5] µ = 5 [ ] 5 t 2 dt = t f() = 2 sur [4 ; 8] µ = t 2 dt = 4 [ 3 t3 ] 8 [ 3 t3 ] = 6 (3 ( ) 3 ) = 3 = 3 ( ) = 6 6 = = 2 ( ) = 448 (52 64) = 2 2 =

38 Les nombres complees Forme algébrique d un nombre complee z = + 2i, z 2 = i. z 3 = z z 2 z 3 = + 2i ( i) = + 2i + i = 3i (c est un nombre complee imaginaire pur) 2. z 4 = z.z 2 z 4 = ( + 2i)( i) = i + 2i + 2i ( i) = i + 2i 2i 2 = + i + 2 = 3 + i 3. z 5 = z z 2 z 5 = + 2i i = ( + 2i)( + i) ( i)( + i) + i + 2i + 2i2 = = + 3i 2 i 2 + = + 3i 2 = 2 + i3 2 Résolution d équation du second degré dans C On cherche à résoudre l équation z = 0. Donner les valeurs des réels a et b tels que z = (z 2)(z 2 + az + b) On va procéder par identification, après avoir développé (z + 2)(z 2 + az + b) : (z + 2)(z 2 + az + b) = z 3 + az 2 + bz + 2z 2 + 2az + 2b = z 3 + (a + 2)z 2 + (b + 2a)z + 2b Ainsi, a + 2 = 0, b + 2a = 0 et 2b = 8 ; cela donne : b = 4 et a = 2 On conclut alors que z = (z + 2)(z 2 2z + 4) 2. Résoudre l équation z = 0 z = 0 (z + 2)(z 2 2z + 4) = 0 z + 2 = 0 ou z 2 2z + 4 = 0 On résout z 2 2z + 4 = 0 : = ( 2) = 4 6 = 2 On a donc deu solutions complees : z = ( 2)+i 2 2 = 2+2i 3 2 = + i 3 et z 2 = i 3 Au final, l équation z = 0 a trois solutions : -2, + i 3 et i 3 Forme eponentielle d un nombre complee. donner la forme algébrique de z = 3e i π 3 ( ) ( z = 3e i π 3 = 3 cos( π3 + i sin( π3 ) = 3 + i ) = i

39 2. donner la forme eponentielle de z = + i 3 et de z 2 = i 3 z = 2 + ( 3) 2 = + 3 = 2 Pour l argument (que l on note provisoirement θ) : cos(θ) = donc θ = π ou θ = π ; comme sin θ > 0, on conclut que θ = arg(z ) = π et donc : z 3 = 2e i π 3 z 2 = 2 + ( 3) 2 = + 3 = 2 Pour l argument (que l on note provisoirement θ) : cos(θ) = 2 donc θ = π 3 ou θ = π 3 ; comme sin θ < 0, on conclut que θ = arg(z 2 ) = π 3 et donc : z 2 = 2e i π 3 remarque : z 2 = z ; on peut alors conclure directement que z 2 = z = 2 et que arg(z 2 ) = arg(z ) = π 3 ( ) 3. donner la forme eponentielle de z = 5 cos( π5 ) + i sin( π5 ) ( ) ( ) z = 5 cos( π5 ) + i sin( π5 ) = 5 cos( π5 ) + i sin( π5 ) = 5e i π 5 Interprétation géométrique d un nombre complee Dans le plan muni d un repère orthonormé direct, on considère les points A, B et C d affies respectives : z A = 3 + i, z B = 2 i et z C = + 2i Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle en A. On veut prouver que AB = AC ; en terme de module, cela revient à z B z A = z C z A : z B z A = 2 i 3 i = 2i = ( ) 2 + ( 2) 2 = 5 z C z A = + 2i 3 i = 2 + i = ( 2) = 5 Ainsi, on a prouvé que AB = AC : le triangle est isocèle de sommet principal A. On veut prouver que ( AC ; AB) = π 2 Pour cela, on va passer par les arguments de nombres complees : ( AC ; AB) = ( u ; AB) + ( AC ; u ) = ( u ; AB) ( u ; AC) = arg(z B z A ) arg(z C z A ) ( ) zb z A = arg z C z A 38

40 Or, z B z A z C z A = 2 i 3 i + 2i 3 i = 2i 2 + i Et donc : ( AC ; AB) = arg(i) = π 2 = ( 2i)( 2 i) 2 + i)( 2 i) Comme ( AC ; AB) = π, ABC est bien un triangle rectangle en A. 2 = 2 + i + 4i + 2i2 5 = i 39

41 Droites et plans de l espace - Vecteurs Etude de la position relative de droite(s) et de plan(s) donner deu droites coplanaires (deu types à identifier) * droites parallèles : (AE) et (BF ) ; (LK) et (IJ) * droites sécantes : (AC) et (BD) ; (AG) et (CE) donner deu droites non sécantes et non parallèles : (MP ) et (OR) donner une droite et un plan parallèles (deu cas de figure) * droite incluse dans un plan : (LK) dans le plan (ABC) * droite parallèle sans être incluse : (LK) dans le plan (EF G) donner une droite et un plan sécants : (LS) et le plan (EF G) donner deu plans sécants : (EAC) et (F BD) donner deu plans parallèles : (T LK) et (EAC) vecteurs de l espace Les vecteurs u(; 2; 3) et v( ; 2 ; ) sont-ils colinéaires? 3 3 Pour passer des deu premières coordonnées de u à celles de v, on multiplie par ; mais il 3 faut multiplier la dernière coordonnée par : les coordonnées n étant pas proportionnelles, 3 les vecteurs ne sont pas colinéaires. Les vecteurs u(; 2; 3), v(2; 2; ) et w(7; 2; ) sont-ils coplanaires? On cherche à établir une relation entre les trois vecteurs du type a u + b v + c w = 0, ce qui se traduit en terme de coordonnées par le système : a + 2b + 7c =0 2a 2b + 2c=0 3a + b + c=0 40

42 En ajoutant les deu premières lignes, on obtient : 3a + 9c = 0 soit a = 3c En multipliant la première ligne par 2, et en lui soustrayant la seconde, on obtient : 6b + 2c = 0 soit b = 2c En remplaçant a par 3c et b par 2c dans la troisième ligne, on obtient c + c = 0, ce qui montre que le système admet une infinité de solutions du type ( 3c ; 2c ; c) ; on peut choisir par eemple c = et donc : a = 3, b = 2 et c =. Au final, la relation w = 3 u + 2 v, ce qui montre que les vecteurs sont coplanaires. Formules dans un repère de l espace Formules * AB ; ( B A ; y B y A ; z B z A ) ( A + B * Coordonnées de M, milieu de [AB] : ; 2 y A + y B 2 ; ) z A + z B 2 * Coordonnées de G, ( centre de gravité du triangle ABC : ) A + B + C y A + y B + y C z A + z B + z C ; ; Dans un repère orthonormé, AB = ( B A ) 2 + (y B y A ) 2 + (z B z A ) 2 Si ABCDEF GH est un cube d arête a, le repère ( A ; ) AB ; AD ; AE est orthonormé. On considère la diagonale [AG] ; on donne facilement les coordonnées des points A et G dans ce repère : A(0 ; 0 ; 0) et G(a ; a ; a) En appliquant la formule donnant la longueur d un segment, on obtient : AG = (a 0) 2 + (a 0) 2 + (a 0) 2 = 3a 2 = a 3 Représentation paramétrique d une droite, d un plan Donner l équation de la droite passant par A(0; 2; ) et dirigée par u(; 2; 3) M D u et AM sont colinéaires il eiste un réel t tel que AM = t u Or, 0 0 t AM = t u y 2 = t 2 y 2 = = t 2 t y= 2 2 t z ( ) 3 z + ) 3 t z= + 3 t Dire si le point B(; 2; 5) appartient à cette droite ou pas. Pour la première coordonnée : t = ; si on remplace t par dans la seconde coordonnée, on obtient y = 2 2t = 2 2 = 0 ; or, la seconde coordonnée de B est 2 ; cela montre que le point B n appartient pas à la droite D. 4

43 Produit scalaire de l espace Calculs de produits scalaires * u. v = ) AE. AH = AE AH cos (ÊAH = a a = a2 * u. v = ( ) BF. AG = BF. BF + F G = BF. BF + BF. F G = a = a 2 * On se place dans le repère orthonormé u a pour coordonnées (0 ; 0 ; a) et v (0 ; a ; a). Ainsi, u. v = a + a a = a 2 ( A ; ) AB ; AD ; AE : Équations cartésienne d un plan * AB( ; ; ) et AC( ; ; 3) : ces deu vecteurs ne sont pas colinéaires et donc les trois points A, B et C définissent bien un plan. * il faut tout d abord déterminer les coordonnées d un vecteur normal au plan (ABC) ; pour ce faire, on va traduire que ce vecteur (que l on note n(a ; b ; c)) est normal à la fois de AB et de AC : n. AB = 0 a b c = 0 et n. AC = 0 a b 3c = 0 En ajoutant ces deu relations, on trouve : 2b 4c = 0 ce qui donne b = 2c En soustrayant ces deu relations, on trouve : 2a 2c = 0 ce qui donne a = c En prenant c =, on trouve le vecteur normal suivant : n( ; 2 ; ) M( ; y ; z) P ABC AM et n sont orthonormau AM. n = 0 ( ). + (y 2).( 2) + (z 3). = 0 2y + z = 2 L équation cartésienne est 2y + z = 2 42

44 Intersection de droites et de plan. D après l équation cartésienne de P, le vecteur n( ; 2 ; ) est un vecteur normal au plan. D après l équation paramétrique de D, le vecteur d(2 ; ; 0) est un vecteur directeur de la droite. Or, n. d = 2 + ( 2) + 0 = 0 : ces deu vecteurs sont orthogonau, ce qui signifie que la droite et le plan sont parallèles. Par ailleurs, le point A(0 ; ; 2) appartient à la droite : en remplaçant ses coordonnées dans l équation du plan, cela donne : = 0 2 ; cela signifie que la droite n est pas incluse dans le plan. An conclusion, la droite est strictement parallèle au plan. 2. On remplace les coordonnées d un point M( ; y ; z) appartenant à la droite D dans l équation cartésienne du plan P pour déterminer la valeur du paramètre t correspondant au point d intersection de la droite et du plan. Cela donne : 2t 2( t) + (2 + 2t) = 2 2t 2 2t t = 2 2t = 2 t = En remplaçant la valeur de t par dans l équation paramétrique de la droite, on obtient les coordonnées du point d intersection : M(2 ; 2 ; 4) 43

45 Probabilités conditionnelles Modéliser une situation (par un arbre par eemple) D où la loi de probabilité : a i P (R = a i ) La variable aléatoire R suit une loi uniforme. 4 Pour aller plus loin : s il y a remise, l arbre est «infini» ; il faut compléter le raisonnement pour aboutir à des résultats complets. 44

46 Utiliser la formule des probabilités totales On peut illustrer la situation par l arbre suivant : On a noté : R l événement : «obtenir une boule rouge au premier tirage» ; R 2 l événement : «obtenir une boule rouge au second tirage» ; N l événement : «obtenir une boule noire au premier tirage» ; N 2 l événement : «obtenir une boule noire au second tirage». On cherche à calculer P (R 2 ) ; d après la formule des probabilités totales : P (R 2 ) = p(n R 2 ) + P (N 2 R 2 ) Cela donne : P (R 2 ) = p(n ) P N (R 2 ) + P (N 2 ) P N2 (R 2 ) Numériquement : P (R 2 ) = = 6 Indépendance de deu évènements. Le lancer de deu dés : le numéro sorti sur un dé est indépendant de celui sorti sur l autre dé. 2. pour les entiers de à 00 : P (A) = 2 et P (B) = 5 P (A B) = 0 00 = (il y a 0 nombres entiers entre et 00 qui sont multiples à la 0 fois de 2 et de 5). On constate que P (A B) = P (A) P (B) : les événements A et B sont indépendants. pour les entiers de à 0 : P (A) = 50 0 et P (B) = 20 0 P (A B) = 0 0 Ainsi, P (A) P (B) = = 000 : on constate que P (A B) P (A) P (B) : 02 les événements A et B ne sont pas indépendants. 45

47 Lois de probabilité continues Définition d une loi à densité. La fonction f est continue et positive sur [ ; 8] ; pour que ce soit une loi à densité, il faut que 8 f(t) dt =. Cela donne : 8 k.t2 dt = k.[ 3 t3 ] 8 = k = k = k = Sur cet intervalle, la f est continue et positive. Reste à montrer qu il eiste une valeur de k telle que + k dt = t 2 Pour faire ce calcul, on évalue X k dt et on fera tendre X vers + : t 2 [ X k dt = k. ] X ( = k ) ( t 2 X ( ) = k ) X En faisant tendre X vers +, on a donc : X k dt = t 2 Ainsi, en prenant k =, la fonction f() = est une loi à densité sur [ ; + [ Sur cet intervalle, la f est continue et positive. Reste à montrer qu il eiste une valeur de k telle que + k dt = t Pour faire ce calcul, on évalue X X [ k dt = k. ln(t) t ] X k t ( = k ln(x) ln() dt et on fera tendre X vers + : ) ( ) = k ln(x) En faisant tendre X vers +, on a donc une intégrale qui tend vers + : il n est pas possible de trouver une valeur de k pour laquelle la fonction soit une loi à densité. Utiliser la loi uniforme. C est une loi uniforme sur un intervalle de longueur 0,5 : la densité est la fonction constante f() = 2 sur l intervalle [6 ; 6, 5]. 2. On intègre une fonction constante égale à 2 sur un intervalle de longueur (0 minutes 6 représentent un siième d heure) : cela revient à calculer l aire d un rectangle de sur 6 2 ; cela donne Il s agit de calculer une probabilité conditionnelle : P (h>6h5) (6h20 < h < 6h30) = Numériquement : p = 3 2 = 3 2 = 2 3 P (6h20 < h < 6h30) P (h > 6h5) = P (h > 6h20) P (h > 6h5) 46

48 4. Il s agit de calculer l espérance mathématique d un loi uniforme (ou de faire fonctionner son «bon sens») : l espérance est la moyenne des etrémités des bornes de l intervalle de la loi uniforme, 6 h et 6 h 30 ici, ce qui donne 6 h 5. Utiliser la loi eponentielle 4 [ ] 4 P (X < 4) = λe λt dt = e λt = e 4λ ( ) = e 4λ 0 0 On est amené à résoudre l équation : e 4λ = 0, 3 Elle est équivalente à : e 4λ = 0, 7 4λ = ln(0, 7) λ = ln(0, 7) Conclusion : λ = 4 (cette valeur est bien positive) Pour une loi eponentielle de paramètre λ, E(Y ) = λ donc λ = 7 ln(0, 7) 4 Si X est une variable aléatoire qui suit une loi eponentielle de paramètre λ, h [ ] h P (X > h) = P (X < h) = λe λt dt = e λt 0 Ainsi, P (X > h) = ( e λh ( ) ) = + e λh = e λh Montrer que la loi est sans vieillissement signifie montrer la relation : 0 P (X>t) (X > t + h) = P (X > h) On eprime donc P (X>t) (X > t + h) : P (X>t) (X > t + h) = P ( (X > t + h) (X > t) ) P (X > t) = P (X > t + h) P (X > t) On utilise les propriétés de la fonction eponentielle : e λ(t+h) e λt Or, e λh = P (X > h) : la relation est bien vérifiée. = e λ(t+h) e λt = e λt.e λh e λt = e λh Loi normale centrée réduite : calculs. P (X < 2) 0, P ( < X < 2) 0, 4 3. P (X > ) 0, 6 4. le réel k (à 0 2 près) tel que P (X < k) = 0, 9 ; k, le réel k (à 0 2 près) tel que P ( k < X < k) = 0, 95 ; cela revient à chercher le réel k tel que P (X < k) = 0, 975 : k, 96 Loi normale centrée réduite : valeurs remarquables. P ( < X < ) 0, 68 47

49 2. Donner la valeur du réel k (à 0 2 près) tel que P ( k < X < k) = 0, 95 : k, P ( 3 < X < 3) 0, 997 Loi normale à paramètres X est une variable aléatoire qui suit une loi normale N (0 ; 25).. P (5 < X < 5) 0, 682 ; c est P (µ σ < X < µ + σ) 2. P (X < 5) 0, P (5 < X) 0, P (X < 5) P (5 < X) 0, 84 0, 59 0, 682 Ceci est cohérent car P (X < 5) P (5 < X) = P (5 < X < 5) 48

50 Échantillonnage et estimation Centrer et réduire une loi binomiale E(X) = np = 200 0, 2 = 24 V (X) = np( p) = 200 0, 2 0, 88 = 2, 2 Ainsi, la variable aléatoire Z = X 24 2, 2 a une espérance égale à 0 (elle est centrée) et une variance égale à (elle est réduite). Déterminer et utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique On s attend à ce qu il y ait 2% 50 = 6 gauchers parmi les 50 joueurs en question. On va utiliser un intervalle de fluctuation pour savoir si cette différence est due au hasard, ou s il y a à chercher une autre eplication. On est dans les conditions d application de l intervalle de fluctuation asymptotique, puisque : n = 50 > 30, np = 50 0, 2 = 6 > 5 et n( p) = 50 0, 88 = 44 > 5 [ ] p( p) p( p) Cela donne : I = p, 96 ; p +, 96 [0, 03 ; 0, 2] n n Cet intervalle (donné en fréquence) donne en effectif : [, 5 ; 0, 5] Ainsi, avec 8 gauchers parmi 50 joueurs, on ne peut pas dire qu il y ait une raison spéciale qui justifierait une enquête pour epliquer qu il y a plus de gauchers parmi les 50 meilleurs joueurs mondiau que dans la population globale : on peut penser que cela est juste dû au hasard. Déterminer et utiliser un intervalle de confiance On est [ dans les conditions ] d application du calcul d un intervalle de confiance par la formule : I = f n ; f + n puisque nf = 50 > 5, n( f) = 90 > 5 et n > 30. Cet intervalle donne numériquement : I = [0, 478 ; 0, 542] : il est donc possible que moins de 50 % des électeurs votent pour le candidat A donc il n est pas sûr d être élu. Pour qu on soit sûr qu il soit élu, il faut que la borne inférieure de l intervalle de confiance soit supérieure à 50 %, ce qui donne : f n > 0, 5 0, 5 n > 0, 5 n < 0, 0 n > 00 n > Si on interroge personnes, et que le résultat de ce sondage donne le candidat A vainqueur à 5 %, on peut être sûr (à 95 %) qu il gagnera. Remarque : dans la pratique, on interroge de l ordre de 000 personnes ; interroger beaucoup plus de personnes revient trop cher. 49