Jean Dieudonne. Panorama des mathématiques pures. Le choix bourbachique. gaultiierviuars

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1 Jean Dieudonne Panorama des mathématiques pures Le choix bourbachique gaultiierviuars

2 Table des matières INTRODUCTION xi A I : Topologie algébrique et différentielle 1 1. Les techniques. L'homotopie. Groupes d'homotopie. Homotopie et cohomologie. Homologie et cohomologie. Anneaux de cohomologie et d'homologie. Fibrations 1 2. Les résultats. Les différentes sortes de «variétés». La conjecture de Poincaré. Le cobordisme. Immersions, plongements et théorie des nœuds. Points fixes ; espaces où opère un groupe Rapports avec les sciences de la nature Les initiateurs 17 A II : Variétés différentielles; géométrie différentielle La théorie générale. Singularités des applications, différentiables. Champs de vecteurs sur les variétés différentielles Les G-structures. Les variétés riemanniennes La topologie des variétés différentielles Variétés différentielles de dimension infinie Rapports avec les sciences de la nature Les initiateurs 29 A III : Équations différentielles La théorie algébrique Les équations différentielles dans le domaine complexe L'étude qualitative des équations différentielles Le problème de classification Problèmes aux limites Rapports avec les sciences de la nature Les initiateurs 38 A IV : Théorie ergodique Le théorème ergodique Les problèmes de classification Rapports avec les sciences de la nature Les initiateurs 45

3 VI PANORAMA DES MATHÉMATIQUES PURES A V : Équations aux dérivées partielles L'étude locale des systèmes différentiels Systèmes complètement intégrables et feuilletages Équations aux dérivées partielles linéaires; théorie générale. Les techniques. Les résultats Équations à coefficients constants. Opérateurs invariants sur les espaces homogènes Problèmes aux limites pour les équations linéaires : I. Théorie générale Problèmes aux limites pour les équations linéaires : II. Théorie spectrale des opérateurs elliptiques. Opérateurs elliptiques du second ordre et théorie du potentiel Problèmes aux limites pour les équations linéaires : III. Les équations d'évolution. Équations strictement hyperboliques. Équations paraboliques Opérateurs pseudo-différentiels sur les variétés compactes Équations aux dérivées partielles non linéaires Rapports avec les sciences de la nature Les initiateurs 70 A VI : Analyse harmonique non commutative Les cas élémentaires : groupes compacts et groupes commutatifs Les problèmes fondamentaux L'analyse harmonique sur les groupes de Lie réductifs réels L'analyse harmonique sur les groupes réductifs p-adiques L'analyse harmonique sur les groupes de Lie nilpotents ou résolubles Représentations linéaires des extensions de groupes Rapports avec les sciences de la nature Les initiateurs 84 A VII : Formes automorphes et formes modulaires L'aspect analytique L'intervention des groupes de Lie L'intervention des groupes adéliques Applications à la théorie des nombres : a) Extensions de la théorie du corps de classes abélien. b) Courbes elliptiques et formes modulaires, c) La conjecture de Ramanujan-Petersson. d) Congruences et formes modulaires Formes automorphes, variétés abéliennes et corps de classes Relations avec la théorie arithmétique des formes quadratiques Rapports avec les sciences de la nature Les initiateurs 95

4 TABLE DES MATIERES VII A VIII : Géométrie analytique Fonctions de plusieurs variables complexes et espaces analytiques. Domaines d'holomorphie et variétés de Stein. Sous-espaces analytiques et faisceaux cohérents. Problèmes de globalisation. Problèmes de prolongement. Propriétés des morphismes et des automorphismes. Singularités des espaces analytiques. Singularités des fonctions analytiques ; résidus Espaces analytiques compacts; variétés kahleriennes. Les problèmes de classification Variations de structures complexes et variétés de dimension infinie Espaces analytiques réels et p-adiques Rapports avec les sciences de la nature Les initiateurs 114 A IX : Géométrie algébrique Le cadre moderne de la Géométrie algébrique Les notions fondamentales de la théorie des schémas. A) Propriétés locales et propriétés globales. B) Modules quasi-cohérents et sousschémas. C) Relativisation et changement de base. D) Les divers types de morphismes. E) Techniques de construction et fondeurs représentables L'étude des singularités La théorie «transcendante» des variétés algébriques. La monodromie. Topologie des sous-variétés. Cycles algébriques. Diviseurs et variétés abéliennes. Diviseurs et fibres vectoriels. Diviseurs amples et plongements projectifs La cohomologie des schémas. Les diverses cohomologies. Multiplicité d'intersection et homologie. Groupe fondamental et monodromie Problèmes de classification. Les problèmes des «modules» Groupes algébriques. Variétés abéliennes. Groupes algébriques linéaires. Théorie des invariants Schémas formels et groupes formels Rapports avec les sciences de la nature Les initiateurs 149 A X : Théorie des nombres Le point de vue moderne en Théorie des nombres. Corps locaux, adèles et idèles. Fonctions zêta et fonctions L. Corps locaux et corps globaux " La théorie du corps de classes. Corps de classes particuliers. Extensions galoisiennes de corps locaux et globaux A p p r o x i m a t i o n s d i o p h a n t i e n n e s e t n o m b r e s t r a n s c e n d a n t s Géométrie diophantienne. Géométrie diophantienne sur un corps fini. Variétés abéliennes définies sur des corps locaux ou globaux. Géométrie diophantienne sur un anneau d'entiers algébriques.. 164

5 VIII PANORAMA DES MATHÉMATIQUES PURES 5. Groupes linéaires arithmétiques. La théorie arithmétique des formes quadratiques Rapports avec les sciences de la nature Les initiateurs 170 B I : Algèbre homologique Foncteurs dérivés dans les catégories abéliennes. Exemples de foncteurs dérivés Cohomologie des groupes. Variantes. Cohomologie galoisienne Cohomologie des algèbres associatives Cohomologie des algèbres de Lie Structures simpliciales La K-théorie Rapports avec les sciences de la nature Les initiateurs 188 B II : Groupes de Lie Les théorèmes de structure Groupes de Lie et groupes de transformations Topologie des groupes de Lie et des espaces homogènes Rapports avec les sciences de la nature Les initiateurs 197 B III. Groupes abstraits Générateurs et relations Groupes de Chevalley et systèmes de Tits Représentations linéaires et caractères. La théorie classique. La théorie modulaire. Caractères de groupes particuliers La recherche des groupes simples finis Rapports avec les sciences de la nature Les initiateurs 207 B IV : Analyse harmonique commutative Les problèmes de convergence Algèbres normées de l'analyse harmonique. Homomorphismes et mesures idempotentes. Ensembles d'unicité et pseudofonctions. Algèbres A(E) et synthèse harmonique. Fonctions opérant dans les algèbres Ensembles parfaits symétriques en Analyse harmonique : relations avec l'arithmétique Fonctions presque périodiques et fonctions moyenne-périodiques Applications de l'analyse harmonique commutative Rapports avec les sciences de la nature Les initiateurs. 218 B V : Algèbres de von Neumann La théorie de Tomita et les invariants de Connes 223

6 TABLE DES MATIÈRES IX 2. Applications aux algèbres stellaires Rapports avec les sciences de la nature Les initiateurs 225 B VI : Logique mathématique Non contradiction et indécidabilité Procédés effectifs uniformes et relations récursives La technique des ultraproduits Rapports avec les sciences de la nature Les initiateurs 232 B VII : Calcul des probabilités Fluctuations dans les suites de variables aléatoires indépendantes Inégalités sur les martingales Trajectoires des processus Processus généralisés Variables aléatoires à valeurs dans les groupes localement compacts Rapports avec les sciences de la nature Les initiateurs 239 C I : Catégories et faisceaux Catégories et foncteurs. Catégories opposées; foncteurs contravariants. Morphismes fonctoriels Foncteurs représentables. Exemples : objet final, produits, noyaux, limites projectives. Notions duales. Foncteurs adjoints. Structures algébriques sur les catégories Catégories abéliennes Faisceaux et espaces annelés. Images directes et images réciproques de faisceaux. Morphismes d'espaces annelés Sites et topos Rapports avec les sciences de la nature Les initiateurs 258 C II : Algèbre commutative Les principales notions. Localisation et globalisation. Conditions de finitude. Algèbre linéaire sur les anneaux. Graduations et filtrations. Topologies et complétions. Dimension. Clôture intégrale. Anneaux excellents. Anneaux henséliens. Valuations et valeurs absolues. Structure des anneaux locaux nœthériens complets Problèmes de la théorie des corps. Corps quasi-algébriquement clos. Les sous-extensions d'une extension transcendante pure. Le 14 e problème de Hilbert Rapports avec les sciences de la nature Les initiateurs 272

7 X PANORAMA DES MATHEMATIQUES PURES C III : Théorie spectrale des opérateurs La théorie de Riesz-Fredholm. Raffinements et généralisations Algèbres de Banach La théorie spectrale de Hilbert-von Neumann Rapports avec les sciences de la nature Les initiateurs 287 BIBLIOGRAPHIE 288 INDEX 299