3. Récurrence et ensembles finis

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1 3. Récurrence et ensembles finis Le chapitre qui suit porte sur un certains nombres de calculs liés à des ensembles finis. On commence par revoir la notion de raisonnement par récurrence qui est essentielle pour établir de nombreux résultats indexés par des entiers. On s intéresse ensuite rapidement à quelques propriétés des ensembles finis avant de considérer les sommes et produits finis de nombres. On revient ensuite plus longuement sur des questions de dénombrement dans les ensembles finis. 3.1 Raisonnement par récurrence Le principe de récurrence est un outil qui permet de faire la démonstrations de propriétés indexées par des entiers. Il est très utile en mathématiques. Il est utilisé depuis très longtemps sous des formes implicites (on le trouve dans les Éléments d Euclide), mais c est Pascal qui l utilise pour la première fois de manière explicite lorsqu il rédige son Traité du triangle arithmétique en Théorème Principe de récurrence. Soit P(n) une proposition définie pour tout n N. Si les deux propositions suivantes sont vraies : (i) P(0). (ii) n N, P(n) P(n + 1). Alors, on a la proposition suivante : n N, P(n). R Ce résultat peut être considéré comme un axiome, c est-à-dire un résultat toujours vrai sur lequel se fonde le reste des mathématiques. C est ce que l on fait dans ce cours et il n y a donc pas lieu de le démontrer. Il existe différentes formulations du principe de récurrence qui sont équivalentes mais qui peuvent se révéler plus ou moins pratiques selon le contexte.

2 44 Chapitre 3. Récurrence et ensembles finis Exercice 3.1 Montrer que n N : n(n + 1) n =. 2 À partir d un certain rang Soit n 0 N et P(n) une proposition définie pour tout n n 0. (i) P(n 0 ) (ii) n n 0, P(n) P(n + 1) n n 0, P(n). Exercice 3.2 Trouver un rang n 0 à partir duquel la proposition qui suit est vraie et la démontrer. n n 0, 2 n n 2. Récurrence d ordre 2 Soit n 0 N et P(n) une proposition définie pour tout n n 0. (i) P(n 0 ) et P(n 0 + 1) (ii) n n 0, P(n) et P(n + 1) P(n + 2) n n 0, P(n). Exercice 3.3 On pose F 0 = F 1 = 1 et n N, F n+2 = F n + F n+1. Montrer que n N, F n 0.

3 3.2 Ensembles finis 45 Récurrence forte Soit n 0 N et P(n) une proposition définie pour tout n n 0. (i) P(n 0 ) (ii) n n 0, (P(n 0 ) et P(n 0 + 1) et... et P(n)) P(n + 1) n n 0, P(n). Exercice 3.4 On pose u 1 = π et n N, u n+1 = 2 n (u 1 + u u n ). Montrer que n N, u n = nπ. Exercice 3.5 Montrer que chacune des formulations proposées peut être déduite du principe de récurrence. 3.2 Ensembles finis On a dit qu un ensemble non vide E est de cardinal fini n N s il est en bijection avec 1,n. Propriété Soit E un ensemble fini de cardinal n et A une partie de E. Alors A est de cardinal fini et A n, avec égalité si et seulement si A = E. Démonstration. Soit E un ensemble fini de cardinal n, alors il existe une bijection de E vers 1,n. Si A est une partie propre de E (i.e. A E, A,E), f définit une bijection de A sur f (A) par restriction et f (A) est une partie stricte de 1,n (sinon f ne serait pas injective). Si on montre que f (A) est en bijection avec 1, p où 0 < p < n, alors A sera transitivement en bijection avec 1, p. Mais c est clairement le cas, il suffit de compter les éléments de f (A) dans l ordre croissant. Théorème Principe des tiroirs. Soient E et F deux ensembles finis et f : E F. Alors on a les propositions suivantes : (i) (ii) f injective E F. f surjective E F.

4 46 Chapitre 3. Récurrence et ensembles finis Démonstration. Pour démontrer (i), on suppose que f est injective. Alors, E est en bijection avec f (E), d où E = f (E). Comme f (E) est une partie de F, on obtient le résultat via la proposition précédente. Maintenant, pour démontrer (ii), on suppose que f est surjective. Mais dans ce cas, on a une bijection entre F et une partie A de E, ce qui démontre le résultat. Théorème Soient E et F deux ensembles finis de même cardinal n et f : E F. On a équivalence des propositions suivantes : (i) (ii) (iii) f injective. f surjective. f bijective. Démonstration. On suppose f injective. Alors E est en bijection avec f (E). Mais alors f (E) = n et par la propriété f (E) = F. Ainsi f est surjective et donc bijective. Maintenant, si f est surjective, on a une bijection induite par f entre une partie A de E et F. Mais cela entraine que A = E et donc f est bien bijective. 3.3 Sommes finies de nombres Les résultats qui suivent portent tous sur des sommes de nombres complexes. Ils sont donc, a fortiori, valables pour les réels Notation Si n N et x 0, x 1,..., x n sont des nombres complexes, on utilise la lettre grecque Σ pour désigner la somme de tout ces nombres. x 0 + x x n = n x k Si p 0,n, on peut faire commencer la somme à partir de l indice p. x p + x p x n = n x k Plus généralement, si E est une partie finie de N et (x k ) une famille indexée par E, on note la somme de tous les éléments de la famille (x k ). Si l ensemble E est défini par une proposition comme suit E = {k 0,n P(k)}, alors on peut aussi noter n P(k) x k. On peut ainsi noter 0 k n x k pour n x k. k=1 P(k) x k, ou simplement R Si E est vide, alors on pose x k = 0. Cette convention permet de ne pas exclure l ensemble vide dans l énoncé de résultats généraux sur les sommes. En particulier, si n < p, comme il n y a pas d entiers k tels que p k n, on a n x k = 0.

5 3.3 Sommes finies de nombres Sommes à connaître Les sommes qui suivent sont à connaître absolument par cœur! Propriété Soient λ C, n N et p 0,n. (i) (ii) (iii) (iv) n (somme à terme 1 = (n p + 1). constant) n k = n(n+1) 2. (somme arithmétique) n k 2 = n(n+1)(2n+1) 6. (somme d Euler) { n n + 1 si λ = 1 λ k =. (somme géométrique) si λ 1 1 λ n+1 1 λ Exercice 3.6 Démontrer la propriété précédente. Exercice 3.7 Calculer la somme n k 3.

6 48 Chapitre 3. Récurrence et ensembles finis Règles de calcul Propriété Linéarité. Soient (x k ) et (y k ) deux familles finies de nombres complexes et λ un nombre complexe. On a les propositions suivantes : (i) (ii) ( (λx k ) = λ x k ). ( (x k + y k ) = ) x k + ( y k ). Démonstration. Elle découle directement des règles de calculs sur les complexes qui permettent de factoriser dans le premier cas et de réorganiser les éléments des sommes dans le deuxième. Exercice 3.8 Calculer les sommes suivantes : n (k p)(n k). Propriété Sommation par paquets. Soient (x k ) une famille finie de nombres complexes et E = E 1 E 2 une partition de E. On a : x k = 1 x k + 2 x k. Corollaire Relation de Chasles. Soient 0 p q n et (x k ) k p,n une famille de nombres complexes. On a : n x k = q x k + n k=q+1 q 1 x k = x k + n x k. k=q Démonstration. La propriété de sommation par paquets est un simple regroupement des termes de la somme en deux «paquets». Pour la relation de Chasles, il suffit de voir que p,n = p, q q +1,n = p, q 1 q,n sont des partitions de p,n et d appliquer la propriété. Propriété Changement d indice. Soient 0 p n, q N et (x k ) k p,n une famille de nombres complexes. On a : n n+q x k = x k q. k =p+q

7 3.3 Sommes finies de nombres 49 Propriété Retournement d indice. Soient 0 p n et (x k ) k p,n une famille de nombres complexes. On a : n n p x k = x n k. k =0 Démonstration. Il suffit de remarquer que les applications f et g, définies comme suit, sont bijectives f : p + q,n + q p,n k k q et g : 0,n p p,n k n k. C est bien le cas. En effet, elles sont toutes les deux injectives car strictement monotone. Par ailleurs, une application injective d un ensemble fini de cardinal m vers un ensemble fini de même cardinal m est bijective, ce qui permet de conclure. Propriété Somme télescopique. Soient 0 p n et (x k ) k p,n+1 une famille de nombres complexes. On a : n (x k+1 x k ) = x n+1 x p. Démonstration. On obtient le résultat en utilisant la linéarité, puis en faisant un changement d indice. Ce qui donne : n (x k+1 x k ) = n n x k+1 x k = n+1 k =p+1 x k n x k = x n+1 + n k =p+1 x k n +1 x k x p = x n+1 x p. Exercice 3.9 Calculer n k.k! pour tout n N. k= Sommes doubles On s intéresse dans cette section aux sommes sur des familles indexées par des parties de N 2. Comme précédemment, si E est une partie de N 2 la somme de tous les éléments d une famille (x k,l ) (k,l) E est notée x k,l. On va considérer particulièrement quelques types de parties de N 2. (k,l) E Théorème Fubini. Soient 0 m n, 0 p q, E = m,n p, q et (x k,l ) (k,l) E une famille de nombres complexes. Alors, on note : m k n p l q x k,l := x k,l (k,l) E

8 50 Chapitre 3. Récurrence et ensembles finis et on a : m k n p l q x k,l = ( ) ( n q q n x k,l = x k,l ). l=p l=p k=m k=m Démonstration. Il suffit d écrire les éléments de la famille dans un tableau à n m + 1 lignes et q p + 1 colonnes. Le théorème de Fubini signifie alors que la somme de l ensemble des éléments du tableau est égal à la somme sur les colonnes des sommes des éléments de chaque colonne, ce qui est aussi égal à la sommes sur les lignes des sommes des éléments de chaque ligne. Exercice 3.10 Calculer les sommes 1 k n 1 l q (k + l) et 1 k n 1 l q (k l).

9 3.3 Sommes finies de nombres 51 Théorème Fubini. Soient n N et E = {(k,l) 1,n 2 k l} et (x k,l ) (k,l) E une famille de nombres complexes. Alors, on note : et on a : 1 k l n 1 k l n x k,l := x k,l (k,l) E ( ) ( n n n l x k,l = x k,l = x k,l ). k=1 l=k l=1 k=1 De même, pour F = {(k,l) 1,n 2 k < l} et (y k,l ) (k,l) F, on note : 1 k<l n y k,l := y k,l (k,l) E et on a : 1 k<l n y k,l = n 1 k=1 ( ) n y k,l = l=k+1 n 1 l=2 ( l l y k,l ). k=1 Démonstration. On écrit de la même façon que pour le théorème précédent les différentes valeurs dans un tableau à n n entrées et on ajoute les différents éléments du tableaux qui sont au-dessus de la diagonale (comprise ou non selon qu il s agisse d une simple inégalité ou d une inégalité stricte). En ajoutant ligne par ligne ou colonne par colonne on obtient les différentes écritures. Propriété Soient n N et E = {(k,l) 1,n 2 k + l = n + 1} et (x k,l ) (k,l) E une famille de nombres complexes. Alors, on note : x k,l := et on a : k+l=n+1 k+l=n+1 x k,l = x k,l (k,l) E n x k,n+1 k. Démonstration. Il suffit de voir que l application f, définie comme suit, est une bijection. k=1 f : 1,n E k (k,n + 1 k). C est clairement le cas, puisqu elle est injective d un ensemble fini vers un ensemble fini. Exercice 3.11 Calculer la somme 1 k l n 2 k+l.

10 52 Chapitre 3. Récurrence et ensembles finis 3.4 Produits finis de nombres De même que pour la section précédente, les résultats ici sont présentés pour des nombres complexes et sont donc vrais, a fortiori, pour des nombres réels Notation Si n N et (x k ) k 0,n est une famille de nombre complexes, on utilise la lettre grecque Π pour désigner le produit de tout les éléments de cette famille. x 0 x 1... x n = n x k De même que pour la somme, on a des notations de types n R x k, x k et n x k. P(k) Si E est vide, alors on pose x k = 1. Cette convention est à rapprocher du fait que la somme sur un ensemble vide est nulle. Définition Soit n N, on appelle factorielle de n et on note n! l entier défini par : n! := n k. k=1 R La convention précédente implique que 0! = 1. En effet, l ensemble des k tels que 1 k 0 est vide Règles de calcul Propriété Soient (x k ) et (y k ) deux familles finies de nombres complexes, λ un nombre complexe et n N. On a les propositions suivantes : (i) (ii) (iii) ( (λx k ) = λ E x k ). ( )( (x k y k ) = x k y k ). ( ) n (x n k ) = x k. Si, de plus, aucun des y k n est égal à zéro, alors, on a : (iii) x k y k = x k y k. Démonstration. Les résultats s obtiennent par simple réarrangement et regroupement des termes des produits. Comme pour les sommes, on peut également regrouper les éléments par paquets, faire un changement d indice et même faire un produit télescopique comme on le voit dans la propriété qui suit. Propriété Produit télescopique. Soient 0 p n et (x k ) k p,n+1 une famille de nombres complexes tous non nuls. On a : ( ) n xk+1 = x n+1. x p x k

11 3.5 Combinatoire et dénombrement 53 Démonstration. On peut, entre autres possibilités, montrer ce résultat par récurrence. Exercice 3.12 Calculer le produit n (2k + 1) Produits doubles Toutes les notations et formules présentées pour les sommes doubles sont transposables aux produits doubles. Exercice 3.13 Calculer le produit 1 k n 1 l q (k l). 3.5 Combinatoire et dénombrement On revient maintenant aux ensembles finis, plus précisément, on s intéresse à des problématiques en combinatoire et en dénombrement. La combinatoire est une branche des mathématiques qui s intéresse aux différentes configurations d ensembles finis d objets et le dénombrement est une sous-branche de la combinatoire qui s intéresse au comptage du nombre de telles configurations Parties d ensembles, produits d ensembles Théorème Principe des bergers. Soient A et B deux parties d un ensemble E. Si A et B sont disjoints, alors on a : A B = A + B. Plus généralement, si (A i ) i 1,n est une famille finie de parties deux à deux disjointes de E, alors : n n A i = A i. i=1 Démonstration. On pose A = p et B = q. Si A et B sont disjoints, alors on peut numéroter les éléments de A de 1 à p et les éléments de B de p + 1 à q + 1 et cela donne une bijection i=1

12 54 Chapitre 3. Récurrence et ensembles finis entre A B et 1, p + q. On obtient le deuxième résultat par récurrence en remarquant que n+1 i=1 A i = ( n i=1 A i ) An+1. Exercice 3.14 Que peut-on dire si la famille (A i ) i 1,n est une partition de E? Théorème Formule du crible (Poincaré). Soient A et B deux parties d un ensemble E. Alors on a : A B = A + B A B. Plus généralement, si (A i ) i 1,n est une famille finie de parties de E, alors on a : [ n n A i = ( 1) k+1 k A i j ]. i=1 k=1 1 i 1 <...<i k n j =1 Démonstration. On remarque que A B = (A B) (B A) (A B) est une partition de A B. Ainsi, A B = A B + B A + A B. De plus A = (A B) (A B) est une partition de A, d où A = A B + A B et, de manière analogue, B = A B + A B. Ainsi A B = ( A A B )+( B A B )+ A B = A + B A B, ce qui est le résultat souhaité. Le deuxième résultat s obtient par récurrence sur n. Comme cette formule n est pas au programme sous sa forme généralisée, on ne détaille pas plus sa démonstration. R La formule du crible n est pas au programme sous sa forme généralisée, mais ses formes pour n = 2, présentée ci-dessus, et pour n = 3, dans l exercice ci-dessous, sont au programme. Ces formes particulières, comme leurs démonstrations, sont à connaître. Exercice 3.15 Donner la formule du crible pour trois parties A, B et C d un ensemble E et démontrer cette formule.

13 3.5 Combinatoire et dénombrement 55 Théorème Cardinal d un produit cartésien. Soient E et F deux ensembles finis alors E F est un ensemble fini et on a : E F = E F. Démonstration. Si E = n et F = p alors on a une bijection entre E F et 1,n 1, p. Or on vérifie facilement que l application f définie ci-dessous est bijective : f : 1,n 1, p 1,np (x, y) x + n(y 1). On en déduit donc que 1,n 1, p = np et donc que E F = np. Corollaire Soit E un ensemble fini et n un entier naturel, alors on a : E n = E n. Démonstration. On obtient le résultat par récurrence, en remarquant que E n+1 est en bijection avec E n E. Ce corollaire amène un premier résultat de dénombrement, donnant le nombre de parties d un ensemble fini. Théorème Dénombrement des parties. Soit E un ensemble fini, alors l ensemble de ses parties P (E) est un ensemble fini et on a : P (E) = 2 E. Démonstration. Soient E = {x 1,..., x n } un ensemble fini, n son cardinal et f l application définie par : f : P (E) {0,1} n X f (X) = (0 X (x 1 ),...,0 X (x n )). Alors, f est bijective. On a donc P (E) = {0,1} n = 2 n p-listes Définition Soient E un ensemble fini et p un entier. On appelle p-liste d éléments de E tout élément de E p. Théorème Dénombrement des p-listes. Soit E un ensemble fini de cardinal n, le nombre de p-listes de E est égal à n p. Démonstration. Ce théorème n est qu une reformulation du corollaire R Pour retrouver le résultat rapidement, on peut réfléchir de la manière suivante. On veut compter le nombre de possibilités différentes d avoir une liste à p éléments de E. On a n possibilités pour le premier élément, qui se multiplient avec les n possibilités pour le deuxième, qui se multiplient avec les n possibilités pour le troisième, et cela p fois. Au final, on a n p possibilités. R On considère que le nombre de 0-listes est égal à 1. Ceci est bien compatible avec la formule et avec l idée qu il n y a qu une seule liste sans éléments.

14 56 Chapitre 3. Récurrence et ensembles finis Arrangements Définition Soient E un ensemble fini et p N. On appelle arrangement de p éléments de E toute p-liste d éléments de E dont les termes sont deux à deux distincts. On note A p n l ensemble des arrangements de p éléments de 1,n. Exercice 3.16 Déterminer A 4 2. Théorème Dénombrement des arrangements. Soient E un ensemble fini de cardinal n et p N. Le nombre d arrangements de p éléments de E, noté A p n, est donné par la formule suivante : A p n = { n (n 1) (n 2)... (n p + 1) = n! (n p)! 0 si p n si p > n. Démonstration. On remarque d abord qu il suffit de montrer le résultat pour E = 1,n. En effet, la bijection entre E et 1,n induit une bijection entre l ensemble des arrangements de p éléments de E et A p n. Ces deux ensembles ont donc même cardinal. Maintenant, si p > n, alors il n y a aucun arrangement de p éléments de E. En effet, il faudrait qu il existe au moins p éléments tous distincts dans E pour obtenir une telle liste. Il n y en a que n. Pour le cas p n, on démontre le résultat par récurrence. Le résultat est vrai pour p = 1 : n! il y a n arrangements de 1 élément de E, un pour chaque élément de E et (n 1)! = n (le cas n = 0 fonctionne d ailleurs également). On suppose le résultat vrai pour un entier k tel que 1 k n 1. On a donc A k n = n! (n k)!. Soit f l application définie par : f : A p n 1,n p A p+1 n ((x 1,..., x p ),k) (x 1,..., x p, y) où y est le k-ième élément de E \ {x 1,..., x p } dans l ordre croissant. Cette application est une bijection. On en déduit que A p+1 n = (n p)a p n. Par l hypothèse de recurrence, cela donne A p+1 n = n! (n p), ce qui permet de conclure. (n p)! = n! (n p 1)! Propriété Dénombrement des applications injectives. Soient E et F deux ensembles finis de cardinaux m et n respectivement. Alors le nombre d applications injectives de E vers F est égal à A m n. Démonstration. Il suffit de remarquer que toute injection de 1,m dans 1,n est associée à un unique arrangement de An m Permutations Définition Soient E un ensemble fini et n son cardinal. On appelle permutation de E tout arrangement de n éléments de E. L ensemble des permutations de 1,n est noté S n. Théorème Dénombrement des permutations. Soient E un ensemble fini et n son cardinal. Le nombre de permutations de E est égal à n!. Démonstration. Il s agit simplement d un cas particulier de dénombrement d arrangements.

15 3.5 Combinatoire et dénombrement 57 Propriété Dénombrement des bijections. Soient E et F deux ensembles finis de même cardinal n. Alors le nombre de bijections de E vers F est égal à n!. Démonstration. Comme précédemment, il suffit de remarquer que toute bijection de 1,n dans lui-même est associée à une unique permutation de 1,n Combinaisons Définition Soient E un ensemble fini, n son cardinal et p un entier naturel. On appelle combinaison de p éléments de E une partie de E de cardinal p. Théorème Dénombrement des combinaisons. Soient E un ensemble fini, n son cardinal et p 0,n. Le nombre de combinaisons de p éléments de E, noté C p n, est donné par la formule suivante : C p n = n! p!(n p)!. Démonstration. Encore une fois, il suffit de considérer le cas E = 1,n. On montre le résultat suivant par récurrence sur n : p 0,n, C p n! n = p!(n p)!. Pour n = 1, on a C0 1 = 1 (il n y a qu une seule combinaison à 0 élément de E) et C1 1 = 1 (il n y a qu une seule combinaison à 1 élément de E). Or on a bien 1! 0!1! = 1! 1!0! = 1. Le résultat est donc vrai pour n = 1. On suppose le résultat vrai pour un entier naturel n 1. On pose F = 1,n +1. Soit p 0,n +1. Si p = 0, alors le résultat est immédiat et on n a pas besoin de l hypothèse de récurrence : il n y a qu une seule combinaison à 0 éléments de F. De la même façon, si p = n + 1, il n y a qu une seule combinaison à n + 1 éléments de F et le résultat est obtenu sans l hypothèse de récurrence. On suppose maintenant 1 p n. On cherche à déterminer le cardinal de l ensemble des parties de F de cardinal p. Or cet ensemble peut se partitionner en deux ensembles comme suit : { X F X = p } = { X F X = p et (n + 1) X } { X F X = p et (n + 1) X }. On en déduit que : C p n+1 = { X F X = p et (n + 1) X } + { X F X = p et (n + 1) X }. Or, le premier terme de cette somme vaut C p 1 n (on peut le voir en exhibant une bijection entre l ensemble { X F X = p et (n + 1) X } et l ensemble { X E X = p 1 } ). De plus, le deuxième terme de cette somme vaut C p n (on le voit en exhibant une bijection entre l ensemble { } { } X F X = p et (n + 1) X et l ensemble X E X = p ). On déduit donc que : C p n+1 = Cp 1 n + C p n. Mais, on peut appliquer l hypothèse de récurrence, ce qui donne : [ ] C p n+1 = n! (p 1)!(n p + 1)! + n! p!(n p)! = n! 1 (p 1)!(n p)! p + 1 n p + 1 C p n+1 = n! (p 1)!(n p)! [ n p p p(n p + 1) ] (n + 1)! = p!(n + 1 p)!. C est bien le résultat que l on voulait obtenir ce qui conclut la démonstration.

16 58 Chapitre 3. Récurrence et ensembles finis R Dans cette démonstration, on a utilisé la notation C p n, qui désigne le cardinal d un ensemble, pour la différencier de la notation ( n p), qui désigne une fraction (voir ci-dessous). C est nécessaire de faire cette distinction dans la démonstration puisque l on cherche justement à montrer l égalité de ces deux quantités. Par contre, maintenant que l on a établi cette égalité, cette distinction n est plus nécessaire et on utilise de préférence la notation ( n p) Coefficients binomiaux Définition Soit (n, p) Z 2. On définit le coefficient binomial de p parmi n, noté ( n p) et lu «p parmi n», par : ( ) n p = n! p!(n p)! 0 si 0 p n. sinon Propriété Propriétés classiques des coefficients binomiaux. Soient n N et p 0,n. On a les propositions qui suivent. ( ) ( ) n (i) si p 0, = n n 1. p p p 1 ( ) ( ) ( ) n n n + 1 (formule de Pascal) (ii) + =. p p + 1 p + 1 ( ) ( ) n n (symétrie) (iii) =. p n p Exercice 3.17 Démontrer ces propositions.

17 3.5 Combinatoire et dénombrement 59 Exercice 3.18 Montrer que les coefficients binomiaux sont tous des entiers. Propriété Coefficients binomiaux à connaître. Soit n N. On a : ( ) ( ) (i) n n = = 1. 0 n ( ) ( ) (ii) n n = = n. 1 n 1 ( ) ( ) (iii) n n n(n 1) = =. 2 n 2 2 Exercice 3.19 Retrouver ces résultats en raisonnant sur le nombres de possibilités de choisir un certain nombres d éléments parmi n. Exercice 3.20 La formule de Pascal permet de construire simplement le triangle de Pascal, un tableau infini qui contient tous les coefficients binomiaux. Remplir le tableau jusqu à n=6. n p La formule qui suit est très importante et intervient dans tous les domaines de mathématiques. Vous connaissez tous sa forme pour n = 2. Il faut maintenant connaître sa forme pour n = 3,4,5 et sa forme généralisée. Théorème Binôme de Newton. Soient n N et (x, y) C 2. On a : ( ) ( ) n (x + y) n n n = x k y n k n = x n k y k. k k

18 60 Chapitre 3. Récurrence et ensembles finis Exercice 3.21 Démontrer la formule du binôme de Newton. De très nombreux résultats sur les coefficients binomiaux sont connus. Les résultats qui suivent et leurs démonstrations ne sont pas au programme et ne sont pas à connaître par cœur, mais leur connaissance peut s avérer utile. Propriété Soient n, p et q trois entiers tels que 0 q p n. On a : ( )( ) ( )( ) n p n n q =. p q q p q Exercice 3.22 Démontrer cette propriété. De quelle autre propriété du cours est-elle une généralisation? Propriété Soient n, p et q trois entiers tels que 0 n p + q. On a : ( )( ) ( ) n p q p + q =. k n k n Exercice 3.23 Démontrer la propriété précédente en raisonnant sur des nombres de combinaisons. En déduire une formule pour ( 2n) n.

19 3.5 Combinatoire et dénombrement Culture G La combinatoire permet l élaboration de nombreux modèles dans des domaines scientifiques très divers, notamment en chimie, en biologie, en cryptologie, en théorie des jeux, en sociologie, etc. En biologie, c est en phylogénie et en génétique que l on retrouve le plus de modèles issus de la combinatoire. La phylogénie, c est l étude des relations de parenté entre les êtres vivants. La génétique, c est l étude des gènes. En effet, depuis que la structure de la molécule d ADN a été décrite par Francis Crick et James Watson en 1953 (ce qui leur valut le prix Nobel de médecine en 1962), on modélise très généralement les brins d ADN à l aide de p-listes de l ensemble {C,G, A,T} où l on associe les éléments C, G, A et T aux molécules de cytosine, guanine, adénine, thymine respectivement. Exercice 3.24 Pour chacun des autres domaines scientifiques cités, imaginer un contexte dans lequel il vous paraitrait raisonnable de faire appel à la combinatoire.

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